Khoá luận tốt nghiệp ứng dụng một số vấn đề phép biến đổi đồ thị hàm số để giải phương trình và bất phương trình

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁNHOÀNG XUÂN QUÝ ỨNG DỤNG MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐẺ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC • • • • r Chuy

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN

HOÀNG XUÂN QUÝ

ỨNG DỤNG MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐẺ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC • • • •

r

Chuyên ngành: Đại sô

Người hướng dẫn khoa học

Th.s NGUYỄN THỊ BÌNH

Hà Nôi - 2014

LỜI CẢM ƠN

Khóa luận tốt nghiệp được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm HàNội 2 Có được bản khóa luận tốt nghiệp này em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán, đặc biệt là ThS Nguyễn Thị Bình đã trực tiếp hướng dẫn, dìu dắt và giúp đỡ em những chỉ dẫn hết sức quýgiá đế em nghiên cứu và hoàn thành đề tài này

Với mong muốn viết được một khóa luận đầy đủ phong phú và hữu ích cho người đọc em đã rất cố gắng nhưng lượng thời gian ít, kinh nghiệm bản thân còn ít và dung lượng hạn chế nên không thế tránh khỏi sai sót và chưa hoàn thiện Rất mong được sự góp

ý của quý thầy cô và bạn đọc để đề tài được hoàn chỉnh và phát triển hơn nữa

Em xin chân thành cảm ơn!

H à N ộ i , n g à y 2 0 t h á n g 4 n ă m 2 0 1 5 Sinh viên

Hoàng Xuân Quý

Khóa luận tốt nghiệp "ứng dụng một số phép biến đổi đồ thị hàm số để giải

phưong trình và bất phương trình " được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của cô giáo

Nguyễn Thị Bình Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong khóa luận này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác

Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện khóa luận này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong khóa luận đã được ghi rõ nguồn gốc

H à N ộ i , n g à y 2 0 t h á n g 4 n ă m 2 0 1 5 Sinh viên

LỜI CAM ĐOAN

Hoàng Xuân Quý

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU * 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu 2

3 Đối tượng nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

5 Cấu trúc khóa luận 3

CHƯƠNG 1 : MỘT SỐ KIẾN THỨC cơ SỞ 4

1.1 Khái niệm hàm số 4

1.2 Khái niệm đồ thị hàm số 4

1.3.Một số đồ thị hàm số cơ bản 4

1.3.1 Đồ thị hàm số lũy thừa 4

1.3.2 Đồ thị hàm số lượng giác 8

1.3.3 Đồ thị hàm số mũ và hàm logarit 9

1.3.4 Đường bậc hai

10 CHƯƠNG 2 MỌT SỐ PHÉP BIẾN ĐỐI ĐÒ THỊ 14

2.1 Sự biến đổi đồ thị 14

2.2 Phép tịnh tiến 14

2.3 Phép co, dãn đồ thị 18

2.4 Phép phản xạ(phép đối xứng) 24

2.5 Các phép biến đổi hỗn hợp 29 2.6 Một số dạng đồ thị đặc biệt 33

Đồ thị hàm số dạng: y = lf(x)l và y = f (Ixl) 33

CHƯƠNG 3 MỘT SỐ VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP 37

3.1 Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số 37

3.2 Dạng 2:ửng dụng các phép biến đối trong giải phương trình và bất phương trình 40

TÀI LIỆU THAM KHẢO 46

MỎ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Toán học là một môn khoa học nói chung, nó chiếm vị trí rất

quan trọng trong việc dạy học ở các trường học Qua toán học, người học nâng cao khả năng tư duy, suy luận và việc vận dụng các kiến thức đó vào các môn học khác Và toán học cũng giúp người học phát triển và hoàn thiện nhân cách của mình Chính vì lẽ đó việc lĩnh hội và tiếp thu môn toán là cả một vấn đề mà không người dạy toán nào không quan tâm

Trong chương trình toán học phố thông, đại số là một bộ phận lớn mà trong đó hàm

số, đặc biệt là các phép biến đổi đồ thị hàm số đóng vai trò khá quan trọng Vì vậy việc hiểu và nắm vững được nó là việc làm vô cùng cần thiết, là tiền đề cho người học khi tiếp tục học lên những bậc cao hơn Hơn thế nữa, ứng dụng của các phép biến đối đồ thị hàm

số là vấn đề được sách giáo khoa nước ngoài đặc biệt quan tâm, ngoài phép tịnh tiến, đối xứng trục còn bổ sung phép co dãn đồ thị theo chiều ngang hay chiều dọc với nhiều ứng dụng của nó Trong khi đó, sách giáo khoa toán Việt Nam biến đổi đồ thị hàm số chỉ giới hạn ở phép tịnh tiến đồ thị song song với trục tọa độ và cũng được cung cấp hết sức đơn giản trong sách giáo khoa đại số 10 nâng cao, chưa nghiên cứu kĩ ứng dụng các phép biến đối này vào giải phương trình và bất phương trình Trong xu thế hội nhập quốc tế hiện nay, nền toán học cũng cần hội nhập

Hiện nay trên thị trường sách đã xuất bản và Internet ngày càng có nhiều tác giả với những tài liệu khác nhau viết về chủ đề này Tuy nhiên, trong các tài liệu này thì các dạng bài tập chưa thực sự được phân loại rõ ràng, hệ thống hóa chưa được đầy đủ, đa dạng Vì vậy việc nghiên cứu chúng gặp nhiều khó khăn, gây ảnh hưởng đến việc nắm bắt kiến thức và giải bài tập

Với những lí do trên cùng niềm say mê nghiên cứu và sự chỉ bảo tận tình của ThS

Nguyễn Thị Bình em đã tập trung thực hiện đề tài "ứng dụng một số phép biến đổi đồ

thị hàm số để giải phương trình và bất phương trinh " nhằm làm rõ hơn vấn đề này và

phân loại các dạng bài tập Từ đó giúp học sinh có một hệ thống bài tập được phân loại rõ ràng, đáp ứng được nhu cầu khác nhau của việc tự học cũng như học tập trên lóp,tiến tới hội nhập chương trình toán quốc tế

2 Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu và phân loại ứng dụng một số phép biến đổi đồ thị của

ánh xạ vào giải phương trình và bất phương trình Làm rõ sự biến đối đồ thị hàm số và một số bài tập liên quan

3 Đối tưọng nghiên cứu

Một số phép biến đổi đồ thị hàm số, ứng dụng trong giải phương

trình và bất phương trình và các bài tập liên quan

4 Phương pháp nghiên cứu

Đọc tài liệu sau đó phân tích, so sánh, tống hợp, khái quát hóa

5 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo khóa luận tốt

nghiệp bao gồm 3 chương:

Chương 1: Một số kiến thức cơ sở Chương 2: Một số phép biến đổi đồ thị

x ^ y

Tập D được goi là tập xác định của hàm số Phần tử X gọi là đối số (biến số) Phần tử

y < = R tương ứng với X gọi là giá trị của hàm số tại X, kí hiệu

Việc biểu diễn các điểm (x,/(x)) thuộc đồ thị hàm số y = f (x) lên mặt phang tọa độ

Oxy gọi là vẽ đồ thị của hàm số

Hình 1.3.1.3

d) Hàm số nghịch đảo lũy thừa bậc lẻ y = X nvới n E { , — 5, —3, —1}

5

e) Hàm số căn bậc chẵn y = X nvới n 6 Ị, ,

-Hình 1.3.1.6

6f) Hàm số căn bậc lẻ y = X nvới n e Ị -

Hình 1.3.1.5

Hình 1.3.3.2

7

1.3.3 Đồ thị hàm số mũ và hàm logarit

a) hàm y = a x

Hình 1.3.2.1

1.3.2 Đồ thị hàm số lưọng giác

Hình 1.3.2 2

8

Hình 1.3.3.1

b) Hàm y = loga X

Hình 1.3.3.2

9

X y

a b

Ạ Y

75/3

• N /5/3

XV5/3

Hình 1.3.4.7

CHƯƠNG 2 MỘT SỎ PHÉP BIÉN ĐỎI ĐÒ THỊ

2.1.Sự biến đổi đồ thị

Cho đồ thị của hàm số y = f(x):

Neu biến X được thay thế bởi một hàm số của X (ví dụ X được thay bởi 2x), hoặc nếu biến y được thay thế bởi một hàm số của y (ví dụ y được thay thế bởi 3y+4), thì về mặt đồ thị, các đồ thị này sẽ tương ứng với sự biến đối của đồ thị hàm số y=f(x)

2.2 Phép tịnh tiến Cho đồ

thị hàm số y = f(x):

Đồ thị của các hàm số sauđược tịnh tiến từ đồ thị hàm y=f(x)

vị(tịnh tiến theo trục Ox)(i) sang trái nếu a > 0

(ii) sang phải nếu a < 0

(x,y)-> (x-a,ỵ) Không cóđiếm bất động

đon vị (Tịnh tiến theo trục Oy)(i) xuống dưới nếu a > 0

(ii) lên trên nếu a < 0

(x,y)-> (x,y-a) Không cóđiểm bất động

>’ = (x + l)2 được suy ra từ đồ thị hàm y = X 2bằng cách tịnhtiến sang trái 1đơn vị

• Tịnh tiến (C’l) xuống dưới 1 đơn vị được hàm số: y + l

y = f(x)

dãn là 1/a (co, dãn theo trục Ox)(i) đồ thị dãn nếu 0 < a < 1 (ii) đồ thị

co nếu a > 1

(x, y) ->(x/a, y) Điểmbất động: mọi điểmnằm trên truc Oy

dãn là 1/a (co, dãn theo trục Oy)(i) đồ thị dãn nếu 0 < a < 1 (ii) đồ thị

co nếu a > 1

(x, y)->(x, y/a) Điểmbất động: mọi điểmnằm trên trục Ox

=> Nhận xét: từ hình 2.3.1 ta có thế thấy với mỗi giá trị của y thì giá trị của X giảm 2 lần từ đồ thị trước sang đồ thì sau biến đổi Tức là giá trị X nhỏ đi hay đồ thị co lại theo chiều ngang.

Ví dụ 2.3.2:

Vẽ đồ thị hàm số — = x 2 từ đồ thị hàm số Ỵ = x 2

4Lời giải:

(0;0) -> (0;0) (-1:0 —> (-1:4)

T a c ó O < a = — < 1 : phép co theo hướng của truc Oy với hệ số co Ặ

b = 2 > \ : phép co theo hướng của trục Ox với hệ số co —

=> từ đồ thị (C) thực hiện 2 phép co dãn theo cả trục tung và trục hoành với

Hình 2.3.4

4 x 2 - 2 m 2 + 6 m = 0 <£=> ( 2 x ) 2 = 2(m2 - 3m ) <=> —(2x)2 = [ m 2 - 3m)

Từ đồ thị có :

Với m — 3m <Oo«ỉe(0,3)phương trình (2) vô nghiệm.

Với ra2 -3ra = 0 <=> m = 0 hoặc m = 3, phương trình (2) có nghiệm duy nhất

Với m 2 - 3 m > 0 m G (-00, o) u (3, +00), phương trình (2) có 2 nghiệmphân biệt

Ket luận: m e (0,3) phương trình (1) vô nghiệm

m = 0 hoặc m = 3 phương trình (1) có nghiệm duy nhất m e

(-00,0) u (3, +00) phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

Số nghiệm của phương trình (1) bằng số nghiệm của phương trình

(b) Đồ thị hàm y = (x +1)3 và — y = (x +1)3 đối xứng nhau qua trục Ox

2.4 Phép phản xạ(phép đối xứng)

Cho đồ thị của hàm số y = f(x), đồ thị của các hàm số sau là phản xạ từ đồ thịhàm y = f (x)

(Đối xứng theo trục Oy)

( x , y ) - > ( - x , y )

Điểm bất động:Mọi điểm thuộc trục Oy

(Đối xứng theo trục Ox)

(x,y)->(*,-}>)Điểm bất động: Mọiđiểm thuộc trục Ox

Ví dụ 2.4.1:

(a) Đồ thị của hàm y = (* +1)3 và y = (-X +1)3 đối xứng nhau qua trục Oy

-Hàm số đồng biến trên các khoảng (-00,0) và (2,+oo)

Hàm số ngịch biến trên khoảng (0,l)u (1,2)

Điểm cực đại A(0,-3), điểm cực tiểu B(2,l)

Đồ thị:

• Lây đôi xứng 2 tiệm cận của đô thị hàm y = f(x) qua gôc toạ độ ta được

tiệm cận đứng X = -1 và tiệm cận xiên y = x+ 2 của đồ thị hàm y = g (x)

• Lấy đối xứng 2 điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm y = f(x) được 2

điểm cực đại, cực tiếu của đồ thị hàm y = g(x)

• -1 < m < 3 phương trình vô nghiệm

• m = -1 hoặc m = 3 phương trình có nhiệm duy nhất

• m e (-°°,-l)U(3,+oo) phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Ví dụ 2.4.3:

x ~ + X +1

Cho hàm số y =

X + 1a) Khảo sát và vẽ đồ thị

xứng với đô thị hàm sô y =

x — \

toạ độ

Đồ thị: hình 2.4.4

• Biện luân:

Từ đồ thị hàm số ta thấy không tồn tại m đế bất

đắng thức luôn đúng Ket luận: không tồn tại m

thoả mãn yêu cầu bài toán.

2.5 C á c phép biến đổi hỗn hợp

Cho đồ thị hàm số y = f (x), đồ thị của các hàm số y = f (ax + b) và

[ay + b) = /(*) thu được bằng việc thực hiện trình tự các phép biến đối từ đồ

thị hàm y = f (x)

Với hàm soy = f (ax + b)(a, b > 0), sự biến đối được cho bên dưới theo thứ tự:

i Tịnh tiến theo phương nằm ngang b đơn vị về phía bên trái,

ii Co theo phương ngang với tỉ lệ phân so

Chú ý: Khi biến đối một đường cong, các đường tiệm cận , các điểm, các trục

đối xúng sẽ được biến đối theo

Ví dụ 2.5.3:

Trong các đồ thị riêng biệt, dựng đồ thị các hàm số sau bằng việc ứng dụng trình

tự các phép biến đối từ các hàm số cơ bản tương ứng

+ Bước 4: Vẽ đồ thị hàm số y - 1 = e"x+2 bằng phép tịnh tiến theo trục Oy.

Ví dụ 2.5.4:

liên tiếp các sự biến đối sau:

A: Tịnh tiến theo phương ngang 1 đơn vị theo hướng dương của trục Ox B: Co dãn theo chiều ngang song song trục Ox với tỉ lệ là 2 C: Co dãn theo chiều dọc song song trục Oy với tỉ lệ là 1/2 D: Tịnh tiến theo chiều dọc 3 đon vị theo hướng âm truc Oy

(b) Một đường cong y = f(x)trải qua liên tiếp các sự biến đổi A, B,C,D ở trên,

Xác định phương tình đường cong ban đầu y = f(x)

Lời giải:

Hình 2.5.4

b ) 4x = x —14->4(j-3) = x-14

3 7

Y

y

\ 3

= l-2(y + 3)

Với phần đồ thị phía trên trục Ox, tức

là với y > 0, phần đồ

thị này không thay đổi

Với phần đồ thị phía dưới trục

Ox, tức là với y < 0, lấy đối xứng củaphần đồ thị này với trục Ox

Với phần đồ thị bên phải trục Oy, tức là

X > 0, giữ nguyên phần đồ thị này, và lấy đối

xứng của phần đồ thị này với trục Oy

• Với

*>0:(x,;y)-»(+*,)>)

38

Đồ thị (C’) nhận được từ sự biến đổi

đồ thị (C):

+ Bỏ phần đồ thị của (C) nằm bên trái trục Oy

+ Giữ nguyên phần đồ thị của (C) nằm bên phải trục Oy và lấy đối xứng phần đồ thị này qua Oy

Hình 2.6.1

1

H ì n h 2 6 3

X - 3 x + 6

b) Vẽ đồ thị hàm ỵ =

x - ì

(Ci) phía trên Ox, Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị của (Ci) phía dưới Ox rồi

bỏ phần đồ thị của (Ci) phía dưới Ox Đồ thị:

Biện luận: số nghiệm của phương trình (1) là số giaođiếm của đồ thị

X 2 - 3 x + 6

Từ đồ thị hàm số ta thấy đế phương trình có 4 nghiệm phân biệt thì

m > 2 m < - 2

3 Tịnh tiến xuống dưới 1 đơn vị.

Tọa độ điểm thay đổi:

Hình 3.1.1

Ví dụ 3.1.2:

Dựng đồ thị hàm số y = -2Vl - Xtừ đồ thị hàm số y = yfx, bằng việc sử dụng phù hợp các phép biên đôi