PHÉP BIẾN đổi MELLIN và các TOÁN tử TOEPLITZ GIAO HOÁN

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMLÊ MINH PHẤN ĐỀ TÀI PHÉP BIẾN ĐỔI MELLIN VÀ CÁC TOÁN TỬ TOEPLITZ GIAO HOÁN Chuyên ngành: Giải Tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngư

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LÊ MINH PHẤN

ĐỀ TÀI

PHÉP BIẾN ĐỔI MELLIN

VÀ CÁC TOÁN TỬ TOEPLITZ GIAO HOÁN

Chuyên ngành: Giải Tích

Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn: PGS.TSKH Nguyễn Quang Diệu

Thái Nguyên - 2010

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình củaPGS.TSKH Nguyễn Quang Diệu Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc vàthành kính nhất đến thầy, thầy không chỉ hướng dẫn tôi nghiên cứu khoahọc mà Thầy còn thông cảm tạo mọi điều kiện động viên tôi trong suốtquá trình làm luận văn Cũng nhân dịp này tôi xin chân thành cảm ơn giađình và bạn bè tôi đã hết sức quan tâm và giúp đỡ tôi trong thời gian họctập và hoàn thành luận văn

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy côgiáo Đại học Sư Phạm Hà Nội, viện Toán học Việt Nam và các thầy côgiáo trong khoa sau Đại học, Đại học Sư Phạm Thái Nguyên, Đại HọcThái Nguyên đã dạy bảo tôi tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.Trong quá trình viết luận văn cũng như trong việc xử lý văn bản chắcchắn không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót Rất mong nhận được sựgóp ý của các thầy cô, các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiệnhơn

Thái Nguyên, tháng 8 năm 2010

Học viên

Lê Minh Phấn

Mục lục

Lời cảm ơn 1

Lời mở đầu 3

Chương 1.HÀM CHỈNH HÌNH, KHÔNG GIAN BERGMAN VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI MELLIN 5

1.1.Hàm chỉnh hình 5

1.2.Điều kiện Cauchy - Riemann 6

1.3.Chuỗi Taylor, chuỗi Laurent 14

1.4.Không gian Bergman 23

1.5.Phép biến đổi Mellin 24

1.6.Hàm Gamma, Beta 25

Chương 2.TOÁN TỬ TOEPLITZ GIAO HOÁN TRÊN KHÔNG GIAN BERGMAN 27

2.1.Kết quả chính 27

2.2.Chứng minh kết quả chính 27

2.3.Trường hợp ˆψk hữu tỉ 33

2.4.Trường hợp ˆψk vô tỉ 37

2.5.Thảo luận 43

Kết luận 45

Tài liệu tham khảo 46

LỜI MỞ ĐẦU

Toán tử Toeplitz giao hoán đã được nghiên cứu trong không gianHardy bởi những kết quả cổ điển của Brown và Halmol Gần đây ZeljkoCuckovic và N.V Rao đã nghiên cứu và phát biểu bài toán này trong khônggian Bergman thông qua phép biến đổi Mellin Cụ thể hơn, các tác giả đãchứng minh được kết quả cơ bản sau :

Cho ϕ và ψ là các hàm điều hòa bị chặn trên D TϕTψ = TψTϕ nếu vàchỉ nếu:

1, ϕ và ψ là chỉnh hình trong D

2, ¯ϕ à ¯ψ là chỉnh hình trong D

3, Tồn tại a, b ∈ C, a2+ b2 6= 0, sao cho aϕ + bψ là hằng số trong D

Rõ ràng nếu ϕ và ψ là chỉnh hình trong D, ¯ϕ và ¯ψ là chỉnh hình trong

D, tồn tại a, b ∈ C, a2+ b2 6= 0, sao cho aϕ + bψ là hằng số trong D khi

eikθψk(r) và ϕ (reiθ) = rmeiδ θ

thì điều kiện Tϕ, Tψ giao hoán được diễn tả như thế nào

Mục đích của luận văn này là trình bày lại các kết quả nói trên củaCuckovic và Rao

Luận văn bao gồm 2 chương

Chương 1, trước hết chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở về hàmchỉnh hình, không gian Bergman, phép biến đổi Mellin Chúng là nhữngcông cụ cơ bản nhất cho những nghiên cứu được trình bày trong luận văn.Chương 2 là một chương quan trọng của luận văn Trong chương nàychúng tôi nghiên cứu toán tử Toeplitz giao hoán thông qua phép biến đổiMellin Phần đầu chương trình bày điều kiện cần và đủ để toán tử Toeplitzgiao hoán với các symbol ϕ, ψ là các hàm điều hòa Phần tiếp theo chúngtôi trình bày các kết quả về điều kiện cần và đủ để toán tử Toeplitz giaohoán thông qua phép biến đổi Mellin với ϕ, ψ ∈ L∞(D, dA) và ˆψk là hữu

tỉ, vô tỉ

Do thời gian thực hiện luận văn không nhiều, kiến thức còn hạn chế nênkhi làm đề tài không tránh khỏi những hạn chế và sai sót Tác giả mongnhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc

Chương 1

HÀM CHỈNH HÌNH, KHÔNG GIAN BERGMAN VÀ

PHÉP BIẾN ĐỔI MELLIN

Trong chương này tôi trình bày một số kiến thức cơ sở, đặc biệt làcác kiến thức sử dụng cho việc chứng minh chương sau Một số kiến thứcquan trọng như khái niệm hàm chỉnh hình, lý thuyết tích phân của hàmchỉnh hình, chuỗi Taylor, chuỗi Laurent trong không gian phức, khônggian Bergman, phép biến đổi Mellin

Nếu tại diểm z giới hạn này tồn tại thì nó được gọi là đạo hàm phức của f

tại z, ký hiệu f0(z) hay d f

dz(z)Như vậy

nên nếu f là C- khả vi tại z thì

lim

∆z→0

[ f (z + ∆z) − f (z)] = 0

Nói cách khác f liên tục tại z

Cũng như đối với hàm biến thực, bởi quy nạp ta viết

f(k) = ( f(k−1))0nếu vế phải tồn tại và gọi là đạo hàm phức cấp k của f trên Ω

Giả sử f (z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + iy xác định trên miền Ω ∈ C.Hàm f được gọi là R2- khả vi tại z = x + iy nếu hàm u(x, y) và v(x, y) khả

vi tại (x, y) (theo định nghĩa đã biết trong giải tích thực)

1.2.1 Định lý Để hàm f C- khả vi tại z = x + iy ∈ Ω điều kiện cần và đủ

là f R2- khả vi tại z và điều kiện Cauchy - Riemann sau được thỏa mãn tại

Chứng minh Điều kiện cần:

Giả sử f C - khả vi tại z = x + iy ∈ Ω Khi đó tồn tại giới hạn

điều kiện đó nghĩa là u và v khả vi tại (x, y).

1.2.2 Nhận xét (1.) Giả sử f là R2-khả vi tại z ∈ Ω ⊂ C

1.2.3 Định nghĩa Hàm f xác định trong miền Ω ∈ C với giá trị trong C

gọi là hàm chỉnh hình tại z0 ∈ Ω nếu tồn tại r > 0 để f C-khả vi tại mọi

z∈ D(z0, r) ⊂ Ω Nếu f chỉnh hình tại mọi z ∈ Ω ta nói f chỉnh hình trênΩ

1.2.5 Định lý (Công thức tích phân Cauchy)

Giả sử f là hàm chỉnh hình trên miền Ω và z0 ∈ Ω Khi đó với mọi chu

tuyến γ ⊂ Ωγ ⊂ Ω ta có công thức tích phân Cauchy

Chứng minh. Giả sử γ là chu tuyến tùy ý vây quanh z0 sao cho Ωγ ⊂ Ω.Chọn ρ > 0 đủ bé để hình tròn D(z0, ρ) ⊂ Ωγ Ký hiệu Cρ là biên củaD(z0, ρ) và đặt

Ωγ ,ρ = Ωγ\D(z0, ρ)

Ωγ ,ρ là miền 2- liên, ta có

Z

γ ∪C − ρ

f(z0+ ρeiϕ)

ρ eiϕ iρeiϕdϕ

= i

Z 2π 0

f(z0+ ρeiϕ)dϕ

= i

Z 2π 0

[ f (z0+ ρeiϕ) − f (z0)]dϕ + 2πi f (z0)

Chú ý rằng khi ρ → 0 thì do tính liên tục của f ta có

lim

ρ →0

i

Z 2π 0

Trong trường hợp f liên tục trên ¯Ω và chỉnh hình trên Ω có thể lấy ∂ Ωthay cho γ trong chứng minh trên Khi đó với mọi z ∈ Ω các điều kiện củatrường hợp nói trên đều được thỏa mãn, vì vậy ta có :

Nếu f là hàm chỉnh hình trên Ω, điểm a ∈ Ω, 0 < r < d(a, ∂ Ω) và

M(a, r) = sup|z−a|=r| f (z)|

Nếu hàm f (z) chỉnh hình và bị chặn trên C, thì f = const.

Chứng minh. Giả sử z ∈ C tùy ý Theo bất đẳng thức Cauchy (với n = 1)

ta có

| f0(z)| ≤ M

R, ∀R > 0

ở đây

M = supz∈C| f (z)| < ∞Cho R → ∞, ta có f0(z) = 0 Vì vậy f = const

Viết z = z0+ reiϕ, z ∈ ∂ D(z0, r) ta có

f(z0) = 1

2π

Z 2π 0

1.2.10 Định lý Giả sử các hàm fn liên tục trên miền Ω và chuỗi hàm

∑∞n=1 fn hội tụ đều trên Ω tới hàm f Khi đó với mọi đường cong trơn (hay trơn từng khúc) γ ⊂ Ω ta có

1.3.1 Định nghĩa (Chuỗi Taylor)

1.3.2 Định lý (Taylor)

Nếu hàm f chỉnh hình trên hình tròn |z − z0| < R, thì trong hình tròn này

f(z) là tổng của chuỗi Taylor của nó tại z0 Cụ thể là

Z

|η−z0|=r

f(η)(η − z0)n+1dη

với 0 < r < R.

Chứng minh. Lấy tùy ý z với |z − z0| < R

Chọn r > 0 sao cho |z − z0| < r < R Theo công thức tích phân Cauchy

và chuỗi này hội tụ đều trên γr Theo định lý 1.2.8 ta có

12πi

Z

γr

f(η)(η − z)dη =

12πi

(k)(z0)k! , k = 0, 1, 2,

không phụ thuộc vào r, 0 < rR Vậy ta có

1.3.3 Hệ quả Hàm f (z) xác định trên miền Ω là chỉnh hình khi và chỉ khi

với mọi z0 ∈ Ω hàm f có thể khai triển thành chuỗi lũy thừa theo z − z0 mà

nó hội tụ tới f (z) với bán kính hội tụ R ≥ d(z0, ∂ D)

1.3.4 Định nghĩa (Chuỗi Laurent)

trong đó γρ là đường tròn bất kỳ |z − z0| = ρ, r < ρ < R.

Chứng minh. Cố định r < r0 < R0< R Hàm f chỉnh hình trên hình vànhkhăn r0< |z − z0| < R0, do đó theo công thức tích phân cho miền đa liên tacó

12πi

Z

γ+

R0

f(η)(η − z)dηvới mọi z : r0< |z − z0| < R0

Tương tự trong chứng minh định lý Taylor ta có :

= 12πi

mà nó không phụ thuộc vào r < R0< R

Cho R0→ R ta suy ra chuỗi

mà nó không phụ thuộc vào r < r0 < R.

Cho r0 → r ta suy ra chuỗi

Lau-1.3.6 Định nghĩa (Điểm bất thường của hàm chỉnh hình)

Giả sử f là hàm chỉnh hình trên miền Ω Điểm z0 ∈ C gọi là điểm bấtthường của f nếu tồn tại r > 0 sao cho vành khăn 0 < |z − z0| < r bao hàmtrong Ω và f chỉnh hình trên hình vành khăn đó không thể mở rộng chỉnhhình tới z0, tức là không tồn tại hàm chỉnh hình g trên hình tròn |z − z0| < rsao cho

g(z) = f (z) với 0 < |z − z0| < r

Giả sử f chỉnh hình trên hình vành khăn 0 < |z − z0| < r Chỉ có thể sảy ramột trong ba khả năng sau:

1 Tồn tại limz→z0 f(z) = a ∈ C Khi đó z0 gọi là điểm thường của f

2 Tồn tại limz→z0 f(z) = ∞ Khi đó z0 gọi là cực điểm của f

3 Không tồn tại limz→z0 f(z) trong ¯C Khi đó z0 gọi là điểm bất thườngcốt yếu của f

Để khảo sát các trường hợp này ta xét khai triển Laurent của f tại z0 trênvành khăn0 < |z − z0| < r

với ρ tùy ý, 0 < ρ < r.

1.3.7 Định lý Nếu tồn tại limz→z0f(z) = a ∈ C, tức z0 là điểm thường của

f , hay tổng quát hơn f bị chặn trong lân cận của a thì f có thể mở rộng

1.3.8 Định lý 1 Điểm z0 là cực điểm của hàm chỉnh hình f (z) trên

0 < |z − z0| < r nếu và chỉ nếu trong khai triển

tồn tại m > 0 để C−m 6= 0 và Ck = 0 với k < −m Số nguyên m > 0, gọi là

bậc của cực điểm z0

2 Điểm z0 là điểm bất thường cốt yếu nếu và chỉ nêu tồn tại vô số k >0

để C−k 6= 0

Chứng minh. Rõ ràng chỉ cần chứng minh (1.) Giả sử tồn tại m > 0 để

C−m 6= 0 còn Ck = 0 với k < −m Khi đó ta có khai triển

lim

z→z0 f(z) = ∞

Nghĩa là z0 là cực điểm của f

Ngược lại giả sử z0 là cực điểm của hàm f (z), tức là limz→z0 f(z) = ∞.Chọn r0, 0 < r0< r sao cho f (z) 6= 0 với 0 ≤ |z − z0| < r0

Đặt ϕ(z) = 1

f(z), 0 < |z − z0| < r0 thì ϕ(z) là hàm chỉnh hình trên vànhkhăn 0 < |z − z0| < r0 và limz→z0ϕ (z) = 0 Theo định lý 1.3.7, ϕ là hàmchỉnh hình trên hình tròn |z − z0| < r0 với ϕ(z0) = 0 Vì vậy

trong đó m ≥ 1 và Cm0 6= 0 Ta có thể viết

∑∞k=mCk0(z − z0)k = (z − z0)−m 1

ψ (z)với

f(m)6= 0Như vậy z0 là không điểm bậc m của f (z) nếu và chỉ nếu khai triển (1.3.1)

2 Trong khai triển (1.3.1) , đặt

m= in f {k : Ck 6= 0}

khi đó

(i) z0 là cực điểm nếu và chỉ nếu −∞ < m < 0 Trong trường hợp này −m

là bậc của cực điểm z0

(ii) z0 là điểm bất thường cốt yếu nếu và chỉ nếu m = −∞

3 z0 là cực điểm bậc m của f (z) nếu và chỉ nếu nó là không điểm cấp m

của hàm 1

f(z).

4 Điểm ∞ được gọi là điểm bất thường của hàm chỉnh hình f (z) trên

|z| > R nếu 0 là điểm bất thường của hàm g(z) = f (1

z) Như vậy, tồn tại

R> 0 sao cho f chỉnh hình trên vành khăn |z| > R và không chỉnh hình tại

∞ Khai triển Laurent của hàm f (

1

z) trong vành khăn 0 < |z| < 1

R đưa tớikhai triển mà ta cũng gọi là khai triển Laurent của hàm f (z) tại ∞, trongvành khăn |z| > R

R< |z| < +∞

Phân loại tính bất thường của ∞ được suy ra tương ứng từ phân loại tính

bất thường của điểm 0 đối với hàm f (1

z) Như vậy, nếu tồn tạilim

z→∞ f(z) ∈ Cthì z = ∞ là điểm thường của hàm f tức là f có thể mở rộng chỉnh hình tới

∞

Nếu tồn tại

lim

z→∞ f(z) = ∞thì tồn tại m > 0 để Cn = 0 với mọi n > m và Cm 6= 0 Lúc đó z = ∞ đượcgọi là cực điểm cấp m của f (z)

Cuối cùng nếu không tồn tại limz→∞ f(z) (trong ¯C) thì có vô số m > 0 để

Cm 6= 0, lúc đó ∞ sẽ được gọi là điểm bất thường cốt yếu của f (z)

Như vậy z = ∞ là cực điểm của mọi đa thức khác const Bậc của nó chính

là bậc của đa thức

1.4.1 Định nghĩa 1 Cho D = {z ∈ C : |z| < 1} là đĩa đơn vị trong C,

Z 1 0

r |a(r)|2dr < ∞



vàRk = eikθR, k ∈ Z, với mỗi Rk là không gian con của L2(D, dA)

Từ đó với u ∈Rk thì u(reiθ) = eikθa(r) và

Z

D

|u(z)|2dA(z) =

Z 1 0

Z 2π 0

1.4.2 Mệnh đề L2a(D, dA) là không gian con đóng của L2(D, dA).

Chứng minh. Lấy { fn} ∈ L2a(D, dA) thỏa mãn fn → f trong L2(D, dA) Tachứng minh f chỉnh hình trên D

⇒ { fn} là dãy Cauchy trong D(z0, r)

Theo định lý Weierstrass f chỉnh hình trên D(z0, r), do z0 tùy ý nên fchỉnh hình trên D

1.4.3 Định nghĩa Giả sử P là toán tử chiếu trực giao từ L2(D, dA) lên

L2a(D, dA) Cho ϕ ∈ L∞(D, dA), toán tử Toeplitz với symbol ϕ là toán tử

Tϕ : L2a → L2a xác định bởi

Tϕ( f ) = P(ϕ f )

1.5.1 Định nghĩa Cho hàm f liên tục trên (0; ∞), biến đổi Mellin của hàm

f là hàm ˆf xác định bởi :

ˆ

f(z) :=

Z ∞ 0

f(x)xz−1dxvới z là một số phức

1.5.2 Mệnh đề Gải sử f (x) là hàm iên tục trên khoảng (0; ∞) sao cho

f(x) =





o(xα) x→ 0o(xβ) x→ ∞

thì biến đổi Mellin ˆf(z) xác định trên miền −α < ℜ(z) < −β

≤

Z 1 0

| f (x)| xℜ(z)−1dx+

Z ∞ 1

| f (x)| xℜ(z)−1dx

≤ c1

Z 1 0

xℜ(z)+α −1dx+ c2

Z ∞ 1

xℜ(z)+β −1dx

với c1, c2 là hằng số Tích phân thứ nhất tồn tại với ℜ(z) > −α, tích phânthứ hai tồn tại với ℜ(z) < −β

1.5.3 Định nghĩa (Phép nhân Mellin)

Cho k0, k1 là hai hàm khả tích trong tập các số thực dương Phép nhânMellin được xác đinh như sau:

(k0∗ k1)(x) =

Z 1 0

tz−1e−tdt

1.6.2 Nhận xét 1 Hàm Γ(z) là phép biến đổi Mellin của hàm

f(t) = e−t

2 Γ(z + 1) = zΓ(z) với z ∈ C, Rez > 0

Thật vậy

Γ(z + 1) =

Z ∞ 0

tze−tdt

= tz

Z ∞ 0

e−tdt−

Z ∞ 0

(tz)0

Z ∞ 0

e−tdt

= z

Z ∞ 0

e−uup−1du, Γ(q) =

Z ∞ 0

e−vvq−1du

Vậy

Γ( p)Γ(q) =

Z ∞ 0

Z ∞ 0

e−u−vup−1vq−1dudv

Đổi biến u = zt, v = z(1 − t), khi đó

Γ( p)Γ(q) =

Z ∞ z=0

Z 1 t=0

e−z(zt)p−1(z(1 − t))q−1zdtdz

=

Z ∞ z=0

e−zzp+q−1dz

Z 1 t=0

tp−1(1 − t)q−1dt = Γ(p + q)B(p, q)

Vậy B(p, q) = Γ( p)Γ(q)

Γ( p + q)

chỉ nếu ∀k, tồn tại hằng số a0(k), a(k), b(k), c(k), d(k) ∈ R sao cho

2δ − k2δ và d(k) =

k+ δ + m2δ .

Chứng minh. Chúng ta biểu diễn các symbol trên tọa độ cực như sau:.Giả sử ψ(reiθ) = ∑+∞k=−∞eikθψk(r) và ϕ (reiθ) = rmeiδ θ

=∑+∞k=−∞ 2λ + 2δ + 2

2λ + δ + m + 2(2λ +2k +2δ +2)

+ψˆk(2λ +2δ +k +2)zk+δ +λ.suy ra

ˆ

ψk(2λ +2δ +k +2) = ˆψk(2λ +k +2) (2λ + 2k + 2)(2λ + δ + m + 2)

(2λ + 2δ + 2)(2λ + 2k + δ + m + 2)

(2.2.4)Vậy Tψ và Tϕ giao hoán

Giả sử z = 2λ + k + 2 do vậy (2.2.4) có thể viết

ˆ

ψk(z + 2δ ) = ˆψk(z) (z + k)(z − k + δ + m)

(z − k + 2δ )(z + k + δ + m) (2.2.5)với z nguyên dương, z ≥ |k| + 2

Nếu M > 0 có nghĩa ψ bị chặn, thì cho một bán kính cố định r0 < 1,

Z 2Π 0

|ψ(r)||rz−1|dr ≤ M

Z 1 0

rx−1dr = M

x ≤ M nếu x≥ 1và

| ˆψ (z + 2δ )| ≤

M

x+ 2δ ≤

M2δ + 1 nếu x≥ 1

Do đó trong nửa mặt phẳng phải , Rez ≥ N,N > 0, hàm

chứa không điểm αj bởi vì điều kiện Blaschke

Ta thấy

(z + k)(z − k + δ + m)

(z − k + 2δ )(z + k + δ + m)=

(z/2δ + k/2δ )(z/2δ + (m + δ − k)/2δ )(z/2δ + (2δ − k)/2δ )(z/2δ + (k + δ + m)/2δ ).

2δ − k2δ và d(k) =

k+ δ + m2δChú ý

Ký hiệu Γ(z) là hàm gamma và giả sử

F(z) = Γ(z/2δ + a)Γ(z/2δ + b)

Γ(z/2δ + c)Γ(z/2δ + d)

F(z) là hàm tuần hoàn với chu kì 2π nếu Rez > 0

Từ biểu thức biểu diễn cơ số của hàm gamma ([4,p.251])

Theo (2.2.7) ta có vế phải của (2.2.9) có dạng

ψ (z)

F(z) = o(|z|) nếu Rez≥ N (2.2.10)

Vậy F(z) là hàm chỉnh hình với Rez lớn tùy ý và do đó ψ (z)ˆ

F(z) là chỉnh hìnhvới Rez ≥ N

Bởi vì nó là hàm tuần hoàn, ta có thể mở rộng nó trong toàn mặt phẳng,

vì vậy ψ (z)ˆ

F(z) là hàm điều hòa với chu kì 2δ Cho z ∈ C, z = x + iy thì tồn tại

số k ∈ N sao cho

x+ 2(k − 1)δ ≤ N < x + 2kδ với mỗi z ta có

|ψ (z)ˆ

F(z)| = |ψ (z + 2kδ )ˆ

F(z + 2kδ )| ≤ C|z + 2kδ | ≤ C1|z| +C2,với C1 và C2 là hằng số, vì 2kλ ≤ N − x + 2δ ≤ N + |z| + 2δ

tồn tại thì ψk có dạng như thế nào? Trường hợp sau cung cấp câu trả lờicho những câu hỏi đó.

và δ ∈ N Thì ˆψk(z) là một hàm hữu tỉ nếu và chỉ nếu một trong các số

a− c, a − d, b − c, b − d là nguyên Trong trường hợp này ˆψk(z) là hàm hữu

tỉ thực với bậc của mẫu số lớn hơn bậc của tử số Hơn thế

(a) Nếu a − c = λ ≥ 0, ψk(r) tồn tại với mọi k = (λ + 1)δ và có dạng

ψk(r) = 2δ ∑

j≥0 (λ δ −m)/2δ ≤ j≤λ