phương pháp thứ hai của lyapunov và ứng dụng trong việc nghiên cứu tính ổn định của phương trình vi phân hàm và phương trình vi phân hàm có xung

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊNCAO THỊ ĐÔNG PHƯƠNG PHÁP THỨ HAI CỦA LYAPUNOV VÀ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM VÀ PHƯƠN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

CAO THỊ ĐÔNG

PHƯƠNG PHÁP THỨ HAI CỦA LYAPUNOV VÀ ỨNG DỤNG

TRONG VIỆC NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH

CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM

VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM CÓ XUNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - Năm 2012

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

CAO THỊ ĐÔNG

PHƯƠNG PHÁP THỨ HAI CỦA LYAPUNOV VÀ ỨNG DỤNG

TRONG VIỆC NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH

CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM

VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM CÓ XUNG

Mã số : 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌCPGS.TS ĐẶNG ĐÌNH CHÂU

Hà Nội - Năm 2012

Mục lục

1 Một số định lý cơ bản của phương pháp thứ hai của Lyapunov

1.1 Hệ rút gọn 6

1.2 Các khái niệm về ổn định 7

1.3 Các hàm xác định dấu 8

1.4 Định lý thứ nhất của Lyapunov về sự ổn định 10

1.5 Định lý thứ hai của Lyapunov về sự ổn định tiệm cận 12

1.6 Định lý thứ ba của Lyapunov về sự không ổn định 15

1.7 Sự ổn định mũ 17

2 Về phương pháp hàm Lyapunov đối với phương trình vi phân hàm 20 2.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán với giá trị ban đầu 20

2.1.1 Định nghĩa và ký hiệu 20

2.1.2 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm 21

2.2 Các định lý cơ bản về phương pháp hàm Lyapunov đối với phương trình vi phân hàm 23

2.2.1 Các khái niệm về ổn định 23

2.2.2 Các định lý về sự ổn định nghiệm của phương trình vi

phân hàm 252.3 Định lý Razumikhin 33

3 Phương pháp hàm Lyapunov đối với phương trình vi phân hàm

3.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương vi phân hàm có xung 383.2 Các định lý ổn định kiểu Lyapunov-Razumikhin của hệ phươngtrình vi phân hàm có xung 413.3 Phương trình vi phân có chậm-Logistic với nhiễu xung 463.3.1 Tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính

có chậm với nhiễu xung 463.3.2 Sự dao động nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính 503.3.3 Phương trình Logistic có chậm với nhiễu xung 51

Lời nói đầu

Một trong những người đã có công đầu trong việc nghiên cứu một cách hệthống và hoàn thiện các bài toán nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phươngtrình vi phân là nhà toán học người Nga A.Lyapunov Vào năm 1982, ông đãcông bố các kết quả nghiên cứu tính ổn định nghiệm trong luận văn tiến sĩ khoahọc nổi tiếng của mình Trong bản luận văn này ông đã đưa ra các phương phápkhác nhau để giải quyết bài toán về tính ổn định nghiệm của các phương trình

vi phân Một trong các phương pháp đó là phương pháp hàm Lyapunov, nhờphương pháp này chúng ta có thể xác định tính ổn định nghiệm của phươngtrình vi phân thông qua tính chất tương ứng của một phiếm hàm được kí hiệu

là V (t, x) mà không cần thiết phải biết rõ nghiệm tường minh của phương trình

vi phân đang xét Từ đó đến nay đã có rất nhiều công trình nghiên cứu khoahọc tiếp theo về phương pháp này Ngoài việc mở rộng và hoàn thiện phươngpháp hàm Lyapunov người ta đã phát triển nó cho những mô hình nghiên cứumới để có thể ứng dụng trong các bài toán thực tế đa dạng và phức tạp hơn.Nội dung chính của luận văn là trình bày một cách hệ thống các kết quả cơbản về phương pháp hàm Lyapunov cho các dạng phương trình vi phân thườngtrong Rn, phương trình vi phân hàm, phương trình vi phân hàm bị nhiễu cóxung

Ngoài việc trình bày các định lý về tính ổn định, tính ổn định tiệm cận củaLyapunov cho các dạng phương trình vi phân mới trên, chúng tôi đã giành một

sự quan tâm đặc biệt đối với phương pháp hàm Lyapunov kiểu Razumikhin.Phương pháp này tạo nên một ưu thế cho chúng ta trong việc nghiên cứu tính

ổn định của phương trình vi phân hàm và sau đó là phương trình vi phân hàm

bị nhiễu có xung

Phần cuối cùng của luận văn đã trình bày một minh họa cho mô hình dân

số dạng đơn giản (phương trình Logistis) Trong mô hình này chúng tôi đã chỉ

ra khả năng ứng dụng của lý thuyết định tính của phương trình vi phân chophương trình vi phân tuyến tính có chậm với nhiễu có xung

Toàn bộ nội dung luận văn gồm ba chương:

Chương 1: Một số định lý cơ bản của phương pháp thứ hai của Lyapunov trong

Rn

Chương 2: Về phương pháp hàm Lyapunov đối với phương trình vi phân hàm.Chương 3: Phương pháp hàm Lyapunov đối với phương trình vi phân hàm cóxung

Lời cảm ơn

Em xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệm Khoa toán , các đồng nghiệp đãtạo điều kiện cho em hoàn thành tốt bản luận văn này Em xin bày tỏ lời cảm

ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn PGS TS Đặng Đình Châu cùng gia đình, bạn bè

đã hướng dẫn tận tình cũng như động viên em trong quá trình làm luận văn

hệ (1.1) với điều kiện ban đầu y(t0, y0) = y0 Trong chương này ta giới hạn chỉxét nghiệm thực.

Giả sử η = η(t) (t ≤ +∞, t > a) là nghiệm của hệ (1.1) (chuyển động không

bị nhiễu) mà ta phải nghiên cứu tính ổn định của nó, hơn nữa giả sử H là lâncận của nghiệm đó sao cho UH(η(t)) ⊆ G với t ∈ [t 0 , ∞), trong đó

UH(η(t)) = {(t, y) : t0 ≤ t < +∞ : ||y − η(t)|| < H ≤ ∞}.

Ta đặt:

x = y − η(t), (1.2)

X(t, x) = [Y (t, x + η(t)) − Y (t, η(t))] ∈ Ctx(0,1)(Z), Z = {a < t < ∞, ||x|| < H},

hơn nữa rõ ràng X(t, 0) ≡ 0 Do đó, hệ (1.3) có nghiệm tầm thường x = 0 ứngvới nghiệm đã choη = η(t) trong không gian Rny Hệ (1.3) được gọi là hệ rút gọn(theo Lyapunov thì nó là một hệ phương trình của chuyển động bị nhiễu) Nhưvậy, việc nghiên cứu sự ổn định của nghiệm η = η(t) trong không gian Rn đượcđưa về nghiên cứu sự ổn định của nghiệm tầm thường (vị trí cân bằng) x = 0

Ta có các khái niệm về tính ổn của nghiệm tầm thường như sau:

Định nghĩa 1.2.1 Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của hệ (1.3) được gọi là ổnđịnh theo Lyapunov khi t → ∞ nếu

∀ε > 0, ∃δ = δ(t0, ε) > 0 : ||x0|| < δ ⇒ ||x(t, t0, x0)|| < ε; ∀t ≥ t0.

Định nghĩa 1.2.2 Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân (1.3)được gọi là ổn định đều theo Lyapunov nếu số δ trong định nghĩa (1.2.1) có thểchọn không phụ thuộc vào t0.

Định nghĩa 1.2.3 Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân (1.3)được gọi là ổn định tiệm cận khi t → ∞ nếu

(i) Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 là ổn định

(ii) Tồn tại 4 = 4(t0) > 0 sao cho với mọi x0 và ||x0|| < 4 thì

lim

t→∞ ||x(t, t0, x0)|| = 0.

Định nghĩa 1.2.4 Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân (1.3)được gọi là ổn định tiệm cận đều nếu:

(i) Nghiệm x(t) ≡ 0 là ổn định đều

(ii) Tồn tại 4 > 0 (không phụ thuộc vào t 0) sao cho với mọi x 0 thỏa mãn

Định nghĩa 1.3.2 Hàm V = V (t, x) được gọi là xác định dương trong Z0 nếutồn tại hàm W (x) ∈ C(||x|| < h) sao cho:

V (t, x) ≥ W (x) > 0 với mọi ||x|| 6= 0

V (t, x, y) ≥ x2+ y2− 2|α|.|x|.|y| ≥ (1 − |α|)(x2+ y2) = W (x, y)

với x2+ y2 > 0, V = 0 với x = y = 0

Nếu |α| = 1 hàm V chỉ là hàm không đổi dấu dương

Định nghĩa 1.3.4 Hàm V = V (t, x) được gọi là có giới hạn vô cùng bé bậc caokhi x → 0 trong Z0 nếu với t0 > a nào đó, ta có V (t, x) hội tụ đều theo t đến 0

trên [t 0 , ∞), khi ||x|| → 0, tức là với bất kỳ ε > 0 tồn tại số δ = δ(ε) > 0 sao cho

|V (t, x)| < ε (1.5)khi ||x|| < δ và t ∈ [t0, ∞)

Nhờ bất đẳng thức (1.5) ta kết luận rằng hàm V (t, x) có giới hạn vô cùng bébậc cao khi x → 0 sẽ bị chặn trong hình trụ nào đó

t0 ≤ t < ∞, ||x|| < h.

Ta chú ý rằng nếu V (x) là hàm liên tục không phụ thuộc vào thời gian t và

V (0) = 0, thì rõ ràng V (x) có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi x → 0

Ví dụ 1.3.2 Hàm trong ví dụ 1.3.1.với |α| < 1 có giới hạn vô cùng bé bậc caokhi

Nếu x = x(t) là nghiệm của hệ (1.6) thì V (t, x)˙ là đạo hàm toàn phần theothời gian của hàm hợp V (t, x(t)), tức là

Chú ý Khái niệm đạo hàm V (t, x)˙ theo hệ (1.6) có thể mở rộng được Cụ thể,khi đó ta đặt

Nếu V (t, x) ∈ Ctx(1,1)(Z0) thì hiển nhiên có công thức (1.7)

Định lý 1.4.1 (Định lý thứ nhất của Lyapunov) Nếu đối với hệ rút gọn (1.6),tồn tại hàm Lyapunov V (t, x) ∈ C(t,x)(1,1)(Z0), với Z0 ⊂ Z, là hàm xác định dương

và có đạo hàm theo thời gian V (t, x)˙ theo hệ đó có dấu không đổi âm Khi đónghiệm tầm thường x = 0, (a < t < ∞) của hệ đã cho ổn định theo Lyapunov khi

Trong không gian Rnx, xét mặt cầuS ε = {x ∈Rnx : ||x|| = ε}nằm hoàn toàn trong

Z0, trong đó 0 < ε ≤ h < H Vì Sε là tập compact và hàm W (x) liên tục, xácđịnh dương, do đó theo định lý Weierstrass, tồn tại x∗ ∈ Sε mà cận dưới của

W (x) là x∗, Tức là

inf

x∈S ε

W (x) = W (x∗) = α > 0. (1.9)Giả sử t0 ∈ (a, ∞) tùy ý HàmV (t0, x) liên tục theo x, và do V (t0, 0) = 0 nên tồntại lân cận ||x|| < δ < ε sao cho

0 ≤ V (t0, x) < α với ||x|| < δ. (1.10)Xét nghiệm khác0 tùy ýx = x(t)với điều kiện ban đầu ||x(t0)|| < δ Ta sẽ chứngminh quỹ đạo của nghiệm đó nằm hoàn toàn bên trong mặt cầu Sε, tức là

||x(t)|| < ε, ∀t ≥ t0. (1.11)

Định lý 1.5.1 Giả sử đối với hệ rút gọn (1.6), tồn tại hàm xác định dương

V (t, x) ∈ Ctx(1,1)(Z 0 ) có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi x → 0 và có đạo hàm theothời gian V (t, x)˙ theo hệ là xác định âm Khi đó, nghiệm tầm thường x = 0 của

hệ ổn định tiệm cận theo Lyapunov khi t → +∞

Chứng minh Từ giả thiết của định lý (1.5.1) suy ra nó thỏa mãn các điều kiệnđịnh lý (1.4.1) , nên nghiệm tầm thường x = 0 của hệ (1.6) là ổn định Bây giờ

ta sẽ chứng minh nghiệm tầm thường x = 0 là ổn định tiệm cận

Để chứng minh điều này ta sẽ chứng minh rằng với nghiệm khác0tùy ýx = x(t))

thỏa mãn điều kiện ban đầu ||x(t 0 )|| ≤ h < H với h đủ nhỏ ta luôn có

lim

t→+∞ x(t) = 0 (1.12)

x = 0).

Giả sử W1(x) là hàm xác định dương, liên tục thỏa mãn bất đẳng thức

Φ(t) = ˙ V (t, x) ≤ −W1(x). (1.15)Hàm đó tồn tại vì theo giả thiết của định lý, V (t, x)˙ là hàm xác định âm

Ta kí hiệu

γ = inf

β≤||x||≤h W 1 (x) > 0. (1.16)

Khi đó lấy tích phân bất đẳng thức (1.15) với cận từ t 0 đến t và nhớ rằng

Thật vậy, giả sử ε > 0 bé tùy ý và

||x(t1)|| ≥ ε,

đó là điều phải chứng minh.

định

Định lý 1.6.1 Giả sử đối với hệ rút gọn (1.6), tồn tại hàm V (t, x) ∈ Ctx(1,1)(Z0)

có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi x → 0 và có đạo hàm V (t, x)˙ theo t theo hệphương trình là xác định dấu Nếu với t0 > a nào đó trong lân cận ||x|| < ∆ (

∆ ≤ h < H) tìm được điểm (t 0 , x 0 ) mà tại đó dấu của hàm V cùng dấu với đạohàm V˙, tức là

V (t0, x0) ˙ V (t0, x0) > 0 (1.22)thì nghiệm tầm thường x = 0 của hệ (1.6) không ổn định theo Lyapunov khi

t → ∞

Chứng minh Để xác định ta giả sử V (t, x)˙ là hàm xác định dương, tức là

˙

V (t, x) ≥ W1(x) > 0 (1.23)với t0 ≤ t < ∞ với 0 < ||x|| < h, trong đó W1(x) là hàm liên tục, không đổi dấudương Vì theo giả thiết của định lý, hàm V (t, x) có giới hạn vô cùng bé bậc caokhi x → 0, nên V (t, x) bị chặn trong hình trụ đủ hẹp, tức là

|V (t, x)| ≤ M (1.24)

với t 0 ≤ t < ∞, ||x|| < ∆ 0 < h, trong đó M và ∆ 0 là các hằng số dương nào đó.Giả sửδ > 0 (δ < ∆ 0 )nhỏ tùy ý Nhờ giả thiết của định lý, tồn tạo điểm(t 0 , x 0 ),trong đó 0 < ||x|| < δ, sao cho:

ta có

V (t, x(t)) ≥ V (t0, x(t0)) = α > 0 (1.26)

Ta chứng minh rằng với giá trị t = t1 (t1> t0) nào đó sẽ thỏa mãn bất đẳng thức

||x(t1)|| > ∆0 (1.27)Thật vậy, giả sử ||x|| ≤ ∆0 với t ≥ t0, khi đó nghiệm x(t) thác triển vô hạn bênphải Vì hàm V (t, x) có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi x → 0, nên từ bất đẳngthức (1.26), nhờ lý luậnđã trình bày trong định lý thứ hai Lyapunov, ta suy rarằng

điều này trái với tính bị chặn của hàm V (t, x) trong miền t 0 ≤ t < ∞, ||x|| < ∆ 0.

Vì δ > 0 tùy ý và ∆ > 0 cố định, nên theo bất đẳng thức (1.25) và (1.27) ta kếtluận rằng nghiệm tầm thường x = 0 không ổn định theo Lyapunov khi t → ∞.Định lý được chứng minh

Định nghĩa 1.7.1 Nghiệm tầm thường x = 0 của hệ (1.6) được gọi là ổn định

mũ khi t → +∞nếu đối với mỗi nghiệm x(t) ≡ x(t, t0, x0) của hệ đó ở trong miềnnào đó t 0 ≤ t < ∞, ||x|| ≤ h < H thỏa mãn bất đẳng thức

||x(t)|| ≤ N ||x(t0)||e−α(t−t0 ) (t ≥ t0) (1.29)trong đó N và α là hai hằng số dương không phụ thuộc vào sự lựa chọn nghiệm

Định nghĩa 1.7.2 Tương tự ta định nghĩa sự ổn định mũ đối với nghiệm khôngtầm thường Cụ thể là nghiệm ξ(t) là ổn định mũ nếu với t ≥ t 0, các nghiệm x(t)

gần nó thỏa mãn

||x(t) − ξ(t)|| ≤ N ||x(t0) − ξ(t0)||e−α(t−t0 ) , (t ≥ t0)

trong đó N và α là hai hằng số dương nào đó

Bổ đề 1.7.1 Nếu nghiệm tầm thường của hệ tuyến tính thuần nhất

dx

với ma trận hằng số A, ổn định tiệm cận khi t → ∞, thì hệ đó ổn định mũ, tức

là mỗi nghiệm của nó ổn định mũ khi t → ∞

Chứng minh Như đã biết, nghiệm tầm thường ξ = 0của hệ (1.30) ổn định tiệmcận khi và chỉ khi mọi nghiệm đặc trưngλ p (A) của ma trận A có phần thực âm:

Chú ý Đối với hệ tuyến tính có hệ số biến thiên, từ tính ổn định tiệm cậncủa nó, nói chung không suy ra tính ổn định mũ.

Ví dụ 1.7.1 Xét phương trình vô hướng

Chương 2

Về phương pháp hàm Lyapunov đối với phương trình vi phân hàm

giá trị ban đầu

2.1.1 Định nghĩa và ký hiệu

Cho Rn là không gian Euclid, x ∈Rn, |x| = px21+ x22+ + x 2

n gọi là chuẩncủa x Với h > 0, ta ký hiệu C = C([−h, 0],Rn) là không gian Banach các hàmliên tục trên [−h, 0] và nhận giá trị trong Rn Với ϕ ∈ C thì chuẩn của ϕ đượcđịnh nghĩa là:

ta gọi phương trình (2.1) là phương trình vi phân hàm trên Ω

Định nghĩa nghiệm của phương trình vi phân hàm

Định nghĩa 2.1.1 Hàm x được gọi là nghiệm của phương trình vi phân (2.1)

trên [t 0 − h, t 0 + A] nếu x ∈ C([t 0 − h, t 0 + A],Rn), (t, x t ) ∈ Ω và x(t) thỏa mãnphương trình (2.1) với t ∈ [t 0 , t 0 + A].

Định nghĩa 2.1.2 Cho t0 ∈R,ϕ ∈ C, ta kí hiệu x(t) = x(t0, ϕ)(t) gọi là nghiệmcủa phương trình vi phân (2.1) với giá trị ban đầu ϕ tại t = t0, nếu tồn tại số

A > 0 sao cho x là một nghiệm của (2.1) trên [t0− h, t0+ A] và xt0(t0, ϕ) = ϕ.Phương trình (2.1) gọi là phương trình tuyến tính nếu f (t, ϕ) = L(t, xt)ϕ + h(t)

với L(t, xt) là hàm tuyến tính, trong trường hợp này (2.1) là phương trình tuyếntính thuần nhất nếu h ≡ 0 và không thuần nhất nếu h 6= 0

2.1.2 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm

Sau đây tôi sẽ nêu một số điều kiện để nghiệm của phương trình (2.1) tồntại và duy nhất Các bổ đề và định lý trong phần này được trích dẫn từ [6]

Bổ đề 2.1.1 Giả sử f là hàm liên tục và nghiệm x(t) của phương trình (2.1)

đi qua (t0, ϕ), ϕ ∈ C thì phương trình sẽ tương đương với phương trình tích phân

Định lý 2.1.2 (Duy nhất nghiệm) Giả sử Ω là tập mở trong R× C, f : Ω →Rn

liên tục vàf (t, φ)là Lipschitz với φ trên mỗi tập compact trong Ω Nếu (t0, ϕ) ∈ Ω

thì có duy nhất nghiệm của phương trình (2.1) đi qua (t0, ϕ)

Ta có thể đi tìm nghiệm của phương trình vi phân hàm (2.1) bằng hai phươngpháp là phương pháp từng bước và phương pháp Laplace

Ví dụ 2.1.1 (Phương pháp từng bước) Xét phương trình vi phân có chậm sau:

(

˙x(t) = 6x(t − 1), ϕ(t) = t, 0 ≤ t ≤ 1

Ta sẽ tìm nghiệm x(t) = xt(t0, ϕ), (t0 = 1) của phương trình vi phân trên [0, 3]

Nghiệm của phương trình vi phân trên có dạng

(

x(t) = ϕ(1) +R1t6x(s − 1)ds, t ≥ 1 x(t) = ϕ(t), 0 ≤ t ≤ 1.

Trên đoạn [1, 2] ta có

(

x(t) = ϕ(1) +R1t6sds, 1 ≤ t ≤ 2 x(t) = ϕ(t), 0 ≤ t ≤ 1.

hay

(

x(t) = 1 + 3(t − 1)2, 1 ≤ t ≤ 2 x(t) = ϕ(t), 0 ≤ t ≤ 1.

Trên đoạn [2, 3] ta có

(

x(t) = ϕ(2) +R1t6x(s − 1)ds, 2 ≤ t ≤ 3 x(t) = 1 + 3(t − 1)2, 1 ≤ t ≤ 2.

Suy ra

(

x(t) = 6(t − 2)[(t − 2)2+ 1] + 4, 2 ≤ t ≤ 3 x(t) = 1 + 3(t − 1)2, 1 ≤ t ≤ 2.

Vậy nghiệm của phường trình trên [0, 3] là

Cứ như vậy ta có thể mở rộng nghiệm trên một đoạn hữu hạn tùy ý

Ví dụ 2.1.2 (Bằng phương pháp xấp xỉ Laplace) Xét phương trình vi phân cóchậm

(

˙x(t) = x(t − 1) ϕ(t) = t, −1 ≤ t ≤ 0.

Ta có x(t) → X(p), ˙x(t) → pX(p), x(0) = ϕ(0) = 0.

Nếu

f (t) → F (p) và t0 > 0 thì f (t − t0) → e−t0 p F (p) x(t − 1) → e−p

trong đó η là hàm đơn vị thỏa mãn:

η(t) =

(

1 khi t > 0

0 khi t < 0.

Lya-punov đối với phương trình vi phân hàm

2.2.1 Các khái niệm về ổn định

Để nghiên cứu tính ổn định của phương trình vi phân hàm thông thườngchúng ta thường áp dụng phương pháp hàm Lyapunov Sau đây, tôi xin trình

bày các khái niệm về sự ổn định của nghiệm của phương trình vi phân hàm.Xét phương trình:

˙x(t) = f (t, xt) (2.3)với điều kiện ban đầu x(t) = ϕ(t), t ∈ [t0− h, t0] Nghiệm (2.3) thỏa mãn phươngtrình sau

(

x(t) = ϕ(0) +Rtt

0 f (s, xs)ds, t ≥ t0, x(t) = ϕ(t), t ∈ [t0− h, t0]

Giả sử trong miền Ω ⊂R× C phương trình (2.3) thỏa mãn tất cả các điều kiện

về sự tồn tại, duy nhất nghiệm và:

Định nghĩa 2.2.3 Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân (2.3)được gọi là ổn định tiệm cận khi t → ∞ nếu

(i) Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 là ổn định

(ii) Tồn tại 4 = 4(t 0 ) > 0 sao cho với mọi ϕ ∈ C và ||ϕ|| < 4 thì

lim

t→+∞ |x(t0, ϕ)(t)| = 0.

Định nghĩa 2.2.4 Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân (2.3)được gọi là ổn định tiệm cận đều nếu:

(i) Nghiệm x(t) ≡ 0 là ổn định đều.

(ii) Với ∀ε > 0, ∃4 > 0(4 không phụ thuộc vào t 0), ¯t = ¯ t(ε) : ∀ϕ ∈ C, ||ϕ|| < 4 ⇒

Định nghĩa 2.2.5 (Phiếm hàm Lyapunov) Ta nói phiếm hàm V :R+×CH →R

là phiếm hàm Lyapunov nếu nó liên tục và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theobiến thứ hai

Giả sử x = xt(t0, ϕ)là nghiệm (2.3) khi đó đạo hàm phải trên của V dọc theoquỹ đạo nghiệm của (2.3), kí hiệu là V (t, x). được xác định bởi

Ω =R+× C để nghiên cứu tính ổn định đều và ổn định tiệm cận đều của phươngtrình vi phân hàm (2.3), ta luôn giả thiết f (t, ϕ) là hàm thoả mãn các điều kiệnđảm bảo sự tồn tại và duy nhất nghiệm và f (t, 0) = 0

Từ đây về sau chúng ta sẽ sử dụng các ký hiệu:

CIP: Họ các hàm tăng, liên tục, xác định dương trên R+

CH = {ϕ ∈ C : ||ϕ|| ≤ H, H > 0}

Định lý 2.2.1 (Định lý ổn định)

Giả sử tồn tại phiếm hàm liên tục Lyapunov V : R+ × CH → R+ và hàm

ặ) ∈ CIP thỏa mãn điều kiện:

(i) V (t, 0) = 0;

(ii) ă||ϕ||) ≤ V (t, ϕ);

(iii) V (t, ϕ) ≤ 0..

Khi đó, nghiệm tầm thường x ≡ 0 của (2.3) là ổn định

Chứng minh Giả sử có hàm V (t, x) thỏa mãn các điều kiện (i), (ii), (iii), ta sẽchứng minh nghiệm tầm thường x ≡ 0 của (2.3) là ổn định