Phép biến đổi Kelvin và hàm điều hòa cầ

Tuy nhiên do hạn chế về thời gian nên chúng ta mới chủ yếunghiên cứu trong miền bị chặn, tính đặt chỉnh của các bài toán sự tồntại, tính duy nhất và sự phụ thuộc liên tục mà chưa tìm hiể

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Trần Văn Bằng, người đãđịnh hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thànhluận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học,các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đạihọc Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới giađình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi chotôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 10 năm 2013

Tác giả

Hà Thị Xuân

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, Luận văn này là kết quả tìm hiểu, nghiên cứu của

cá nhân tôi dưới sự hướng dẫn của TS Trần Văn Bằng

Trong quá trình thực hiện luận văn, chúng tôi đã kế thừa những thànhtựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 10 năm 2013

Tác giả

Hà Thị Xuân

Mục lục

Mở đầu 2

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5

1.1 Hàm điều hòa 5

1.2 Hàm điều hòa bị chặn 27

1.2.1 Định lý Liouville 27

1.2.2 Điểm kì dị cô lập 28

1.2.3 Nguyên lý cực đại 29

1.3 Hàm điều hòa dương 31

1.3.1 Định lý Liouville 31

1.3.2 Bất đẳng thức Harnack và nguyên lý Harnack 32

1.3.3 Đặc trưng của hàm điều hòa dương 36

Chương 2 PHÉP BIẾN ĐỔI KELVIN 43

2.1 Phép nghịch đảo qua mặt cầu đơn vị 43

2.2 Phép biến đổi Kelvin 45

2.2.1 Định nghĩa 45

2.2.2 Phép biến đổi Kelvin bảo toàn hàm điều hòa 46

2.2.3 Hàm điều hòa tại vô cực 48

2.3 Bài toán Dirichlet ngoài 50

Chương 3 HÀM ĐIỀU HÒA CẦU 52

3.1 Hàm điều hòa cầu 52

3.1.1 Định nghĩa 52

3.1.2 Không gian L2(S) 54

3.2 Hàm điều hòa đới cầu 57

3.3 Hàm điều hòa cầu qua phép lấy vi phân 62

Kết luận 66

Tài liệu tham khảo 66

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Phương trình đạo hàm riêng được nghiên cứu lần đầu tiên vào giữathế kỷ 18 trong các công trình của các nhà toán học như Euler, D’Alambert, Lagrange, Laplace, như là một công cụ quan trọng để mô

tả các mô hình của vật lý và cơ học Những bài toán có nội dung tương

tự vẫn còn được nghiên cứu đến tận ngày nay

Trong chương trình học đại học cũng như cao học, ta đã được tìmhiểu lý thuyết cơ bản về các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấphai quan trọng và những ứng dụng của chúng, đặc biệt là phương trìnhLaplace Tuy nhiên do hạn chế về thời gian nên chúng ta mới chủ yếunghiên cứu trong miền bị chặn, tính đặt chỉnh của các bài toán (sự tồntại, tính duy nhất và sự phụ thuộc liên tục) mà chưa tìm hiểu sâu đượctrong miền không bị chặn cũng như nhiều tính chất đặc trưng khác củahàm điều hòa (nghiệm của phương trình Laplace)

Được sự hướng dẫn của TS- Trần Văn Bằng, tôi chọn đề tài: “Biếnđổi Kelvin và hàm điều hòa cầu” để tìm hiểu về biến đổi Kelvin

và vai trò của nó đối với việc nghiên cứu hàm điều hòa trên miền không

bị chặn và hàm điều hòa cầu

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu về hàm điều hòa trên miền không bị chặn, hàm điều hòacầu

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu các nội dung sau:

+ Các tính chất cơ bản của hàm điều hòa.

+ Biến đổi Kelvin và các tính chất

+Hàm điều hòa cầu và các tính chất

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Biến đổi Kelvin và hàm điều hòa cầu

Phạm vi nghiên cứu: Các sách, các bài báo, tài liệu viết về biến đổiKelvin và hàm điều hòa cầu

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các kiến thức và công cụ của giải tích để tiếp cận và giảiquyết vấn đề

Thu thập tài liệu, nghiên cứu, tổng hợp và trình bày một cách hệthống những vấn đề mà luận văn đề cập tới

6 Những đóng góp của đề tài

Trình bày một cách tổng quan, rõ ràng, hệ thống về biến đổi Kelvin

và hàm điều hòa cầu

Hà Nội, tháng 10 năm 2013

Tác giả

Hà Thị Xuân

Nội dung

Nội dung của luận văn bao gồm ba chương:

Chương 1: Trình bày các kiến thức chuẩn bị về hàm điều hòa trongmiền bị chặn và các tính chất cơ bản của chúng

Chương 2: Tìm hiểu về phép biến đổi Kelvin và ứng dụng trong việcnghiên cứu bài toán Dirichlet ngoài đối với phương trình Laplace

Chương 3: Tìm hiểu về hàm điều hòa cầu và các tính chất của chúng

Hà Nội, tháng 10 năm 2013

Tác giả

Hà Thị Xuân

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản của hàmđiều hòa trong miền bị chặn Các kết quả trình bày ở đây được thamkhảo từ các tài liệu [1]-[4]

1.1 Hàm điều hòa

con không nhất thiết mở Ta kí hiệu:

C (E) là không gian tất cả các hàm liên tục trên E;

trên Ω;

thứ j;

Laplace;

đơn vị n trên biên Ω;

|x| = x12 + + xn2
1/2

phức trừ khi được nói rõ.

thỏa mãn phương trình Laplace:

mở) nếu u có thể thác triển thành một hàm điều hòa trên một tập mởchứa E

mọi i = 1, · · · , n

Từ định nghĩa ta thấy hàm điều hòa (trên Ω) có các tính chất sau:Tính chất 1 : Tổng hai hàm điều hòa trên Ω là hàm điều hòa trên Ω

và bội vô hướng của hàm điều hòa trên Ω là hàm điều hòa trên Ω Nóicách khác tập tất cả các hàm điều hòa trên Ω là một không gian vectơ

tiến theo vectơ y, u (x − y) cũng là hàm điều hòa trên Ω + y

Tính chất 3 :Với r > 0, nếu u là hàm điều hòa trên Ω thì hàm co giãn

tỉ lệ r :

Đại số tuyến tính cho ta thấy T là trực giao nếu và chỉ nếu các vectơ cột

ngoài đơn vị n Ta có công thức Green:

Công thức Green được suy ra dễ dàng từ công thức Ostrogradski:

thành phần khả vi liên tục) trong một lân cận của Ω, divw là divergence

Green từ công thức Ostrogradski ta chỉ cần cho w = u∇v − v∇u và tínhtoán

Áp dụng công thức Green với u là hàm điều hòa và v ≡ 1 ta nhậnđược:

B (a, r) là hình cầu đóng tâm a bán kính r;

B (0, 1) = B và bao đóng của nó là B;

S là biên của hình cầu B;

σ (S) là chuẩn hóa của độ đo diện tích mặt trên S (σ (S) = 1); σ là

độ đo xác suất Borel duy nhất trên S bất biến đối với phép quay, tức là:

σ (T (E)) = σ (E), với mọi tập Borel E ⊂ S và mọi phép biến đổi trựcgiao T

Định lý 1.1 [Tính chất giá trị trung bình] Nếu u là hàm điều hòa trên

B (a, r) thì u (a) bằng trung bình của u trên ∂B (a, r) Cụ thể,

u (a) =

Z

S

u (a + rζ) dσ (ζ)

Hàm điều hòa cũng có tính chất giá trị trung bình đối với độ đo thể

hằng số nV (B) sinh ra từ tính chuẩn hóa của σ

Định lý 1.2 [Tính chất giá trị trung bình liên quan đến V] Nếu u làhàm điều hòa trên B (a, r) thì u (a) bằng trung bình của u trên B (a, r)

Cụ thể:

Z

udV

Chứng minh Ta có thể giả thiết B (a, r) = B Sử dụng công thức tọa

Định lý 1.3 [Nguyên lý cực đại] Cho Ω là tập liên thông, u là hàmđiều hòa và có giá trị thực trên Ω Nếu u đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏnhất trên Ω thì u là hằng số

Chứng minh Giả sử u đạt giá trị lớn nhất tại a ∈ Ω Chọn r > 0 saocho B (a, r) ⊂ Ω Nếu u < u (a) tại một số điểm thuộc B (a, r) thì từtính liên tục của u suy ra trung bình của u trên B (a, r) nhỏ hơn u (a)(mâu thuẫn) Do đó, u là hằng số trên B (a, r) Chứng tỏ rằng tập cácđiểm mà ở đó u đạt giá trị lớn nhất là tập mở trên Ω Vì tập này cũng

là tập đóng trên Ω (do u liên tục trên Ω), suy ra nó phải là toàn Ω (dotính liên thông) nên hàm u là hằng số trên Ω

Hệ quả 1.1 Giả sử Ω bị chặn và u là hàm điều hòa trên Ω, đồng thời

u là hàm liên tục lấy giá trị thực trên Ω Khi đó giá trị lớn nhất và giátrị nhỏ nhất của u trên Ω sẽ đạt được trên ∂Ω

Hệ quả trên cho ta thấy: Trên một miền bị chặn, hàm điều hòa hoàntoàn được xác định bởi các giá trị trên biên của nó Chính xác hơn, với

Ω bị chặn nếu u và v liên tục trên Ω, điều hòa trên Ω và nếu u = v trên

∂Ω thì u = v trên Ω Điều này có thể không đúng trên một miền không

Hệ quả tiếp theo của nguyên lý cực đại có thể được áp dụng ngay cảkhi Ω không bị chặn và khi u không liên tục trên Ω

Hệ quả 1.2 Cho u là hàm điều hòa trên Ω và có giá trị thực Giả sử:

lim

trên Ω

và đổi chiều các bất đẳng thức

Chứng minh Hệ quả 1.2:

số trên thành phần liên thông của Ω chứa b (theo nguyên lý cực đại)

Định lý 1.3, Hệ quả 1.1 và Hệ quả 1.2 chỉ phát biểu đối với hàm thực

Hệ quả sau đây sẽ phát biểu đối với hàm phức

Hệ quả 1.3 Cho Ω là miền liên thông, u là hàm điều hòa trên Ω Nếu

|u| đạt giá trị lớn nhất trên Ω thì u là hằng số

Chứng minh Giả sử max

Lưu ý : Không có nguyên lý cực tiểu đối với |u| (chẳng hạn xét

hình tương tự của các Hệ quả 1.1 và 1.2 vẫn đúng Mô hình địa phươngcủa nguyên lý cực trị sẽ được chứng minh sau khi chứng minh mọi hàmđiều hòa đều giải tích thực

Ta có thể thấy rằng hàm điều hòa giá trị thực có thể có điểm kì dị

chúng không có không điểm cô lập

Hệ quả 1.4 Mọi không điểm của hàm điều hòa giá trị thực đều khôngphải là điểm cô lập

Chứng minh Với u là hàm điều hòa và có giá trị thực trên Ω, a ∈ Ω

phải chứng minh Nếu u không đồng nhất bằng 0 trên B (a, r) thì theonguyên lý cực đại nó lấy ít nhất một giá trị âm và giá trị dương trên

∂B (a, r) Do đó tập liên thông u (∂B (a, r)) ⊂ R chứa 0 Vậy u có khôngđiểm trên ∂B (a, r) với mọi r > 0 Chứng tỏ rằng a không phải là một

Giả thiết giá trị thực là cần thiết trong Hệ quả 1.4 vì khi n = 2 mọihàm giải tích khác hằng số đều có đúng một không điểm Khi n ≥ 2,hàm điều hòa

điều hòa trên B thì:

Để tìm ra P ta bắt đầu với trường hợp đặc biệt n = 2 Giả sử u là

u = Ref với một hàm giải tích f trên một lân cận của hình tròn đóng

ở đó 0 ≤ r ≤ 1 và |ζ| = 1 Trong công thức này lấy r = 1, nhân hai vế

Vậy đặt P (x, ζ) = 1 − |x|2 /|x − ζ|2, ta có biểu diễn với n = 2:

|x|−1x − |x| y

Hình 1.1: Hình minh họa của bổ đề đối xứng.

Để tìm P khi n > 2, ta thực hiện như trong chứng minh định lý

rằng u (0) là trung bình của u trên S, ta đã áp dụng công thức Green

không đổi trên S Bây giờ ta cố định một điểm x 6= 0, x ∈ B Để chứngminh u (x) là trung bình với trọng của u trên S, một cách tự nhiên ta

kì dị tại x, nhưng lại không phải là hàm hằng trên S

Tuy nhiên, theo Bổ đề 1.1 với y ∈ S thì: