Ứng dụng một số vấn đề phép biến đổi đồ thị hàm số để giải phương trình và bất phương trình

LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp "Ứng dụng một số phép biến đổi đồ thị hàm số để giải phương trình và bất phương trình " được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của cô giáo Nguyễn Thị Bình.

LỜI CẢM ƠN

Khóa luận tốt nghiệp được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm HàNội 2

Có được bản khóa luận tốt nghiệp này em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán, đặc biệt là ThS Nguyễn Thị Bình đã trực tiếp hướng dẫn, dìu dắt và giúp đỡ em những chỉ dẫn hết sức quý giá để em nghiên cứu và hoàn thành đề tài này

Với mong muốn viết được một khóa luận đầy đủ phong phú và hữu ích cho người đọc em đã rất cố gắng nhưng lượng thời gian ít, kinh nghiệm bản thân còn ít và dung lượng hạn chế nên không thể tránh khỏi sai sót và chưa hoàn thiện Rất mong được sự góp ý của quý thầy cô và bạn đọc để đề tài được hoàn chỉnh và phát triển hơn nữa

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 20 tháng 4 năm 2015

Sinh viên

Hoàng Xuân Quý

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp "Ứng dụng một số phép biến đổi đồ thị hàm

số để giải phương trình và bất phương trình " được hoàn thành dưới

sự hướng dẫn của cô giáo Nguyễn Thị Bình Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong khóa luận này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác

Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện khóa luận này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong khóa luận đã được ghi rõ nguồn gốc

Hà Nội, ngày 20 tháng 4 năm 2015

Sinh viên

Hoàng Xuân Quý

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu 2

3 Đối tượng nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

5 Cấu trúc khóa luận 3

CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 4

1.1 Khái niệm hàm số 4

1.2 Khái niệm đồ thị hàm số 4

1.3 Một số đồ thị hàm số cơ bản 4

1.3.1 Đồ thị hàm số lũy thừa 4

1.3.2 Đồ thị hàm số lượng giác 8

1.3.3 Đồ thị hàm số mũ và hàm logarit 9

1.3.4 Đường bậc hai 10

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ 14

2.1 Sự biến đổi đồ thị 14

2.2 Phép tịnh tiến 14

2.3 Phép co, dãn đồ thị 18

2.4 Phép phản xạ(phép đối xứng) 24

2.5.Các phép biến đổi hỗn hợp 29

2.6 Một số dạng đồ thị đặc biệt 33

Đồ thị hàm số dạng: y = |f(x)| và y = f (|x|) 33

CHƯƠNG 3 MỘT SỐ VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP 37

3.1 Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số 37

3.2 Dạng 2:Ứng dụng các phép biến đổi trong giải phương trình và bất phương trình 40

TÀI LIỆU THAM KHẢO 46

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Toán học là một môn khoa học nói chung, nó chiếm vị trí rất quan trọng trong việc dạy học ở các trường học Qua toán học, người học nâng cao khả năng tư duy, suy luận và việc vận dụng các kiến thức đó vào các môn học khác Và toán học cũng giúp người học phát triển và hoàn thiện nhân cách của mình Chính vì lẽ đó việc lĩnh hội

và tiếp thu môn toán là cả một vấn đề mà không người dạy toán nào không quan tâm

Trong chương trình toán học phổ thông, đại số là một bộ phận lớn

mà trong đó hàm số, đặc biệt là các phép biến đổi đồ thị hàm số đóng vai trò khá quan trọng Vì vậy việc hiểu và nắm vững được nó là việc làm vô cùng cần thiết, là tiền đề cho người học khi tiếp tục học lên những bậc cao hơn Hơn thế nữa, ứng dụng của các phép biến đổi đồ thị hàm số là vấn đề được sách giáo khoa nước ngoài đặc biệt quan tâm, ngoài phép tịnh tiến, đối xứng trục còn bổ sung phép co dãn đồ thị theo chiều ngang hay chiều dọc với nhiều ứng dụng của nó Trong khi đó, sách giáo khoa toán Việt Nam biến đổi đồ thị hàm số chỉ giới hạn ở phép tịnh tiến đồ thị song song với trục tọa độ và cũng được cung cấp hết sức đơn giản trong sách giáo khoa đại số 10 nâng cao, chưa nghiên cứu kĩ ứng dụng các phép biến đổi này vào giải phương trình và bất phương trình Trong xu thế hội nhập quốc tế hiện nay, nền toán học cũng cần hội nhập

Hiện nay trên thị trường sách đã xuất bản và Internet ngày càng có nhiều tác giả với những tài liệu khác nhau viết về chủ đề này Tuy nhiên, trong các tài liệu này thì các dạng bài tập chưa thực sự được phân loại rõ ràng, hệ thống hóa chưa được đầy đủ, đa dạng Vì vậy việc nghiên cứu chúng gặp nhiều khó khăn, gây ảnh hưởng đến việc nắm bắt kiến thức và giải bài tập

Với những lí do trên cùng niềm say mê nghiên cứu và sự chỉ bảo tận

tình của ThS Nguyễn Thị Bình em đã tập trung thực hiện đề tài "Ứng

dụng một số phép biến đổi đồ thị hàm số để giải phương trình và bất phương trình " nhằm làm rõ hơn vấn đề này và phân loại các dạng bài

tập Từ đó giúp học sinh có một hệ thống bài tập được phân loại rõ ràng, đáp ứng được nhu cầu khác nhau của việc tự học cũng như học tập trên lớp,tiến tới hội nhập chương trình toán quốc tế

2 Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu và phân loại ứng dụng một số phép biến đổi đồ thị của ánh xạ vào giải phương trình và bất phương trình Làm rõ sự biến đổi đồ thị hàm số và một số bài tập liên quan

3 Đối tượng nghiên cứu

Một số phép biến đổi đồ thị hàm số, ứng dụng trong giải phương trình và bất phương trình và các bài tập liên quan

4 Phương pháp nghiên cứu

Đọc tài liệu sau đó phân tích, so sánh, tổng hợp, khái quát hóa

5 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo khóa luận tốt nghiệp bao gồm 3 chương:

Chương 1: Một số kiến thức cơ sở

Chương 2: Một số phép biến đổi đồ thị

Chương 3: Một số ví dụ và bài tập

NỘI DUNG CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Khái niệm hàm số

Cho DR, D  Một quy tắc f cho tương ứng mỗi x  D với một và chỉ một yR gọi là một hàm số

a) Hàm lũy thừa bậc chẵn y = xn với n { }

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

c) Hàm số nghịch đảo lũy thừa bậc chẵn y = xn với { }

-1

1 2 3 4

1.3.2 Đồ thị hàm số lƣợng giác

x y

1.3.3 Đồ thị hàm số mũ và hàm logarit

a) hàm y = a x

-2 -1

1 2 3 4

x y

O

y = e x

y = 1 x

Hình 1.3.3.1 b) Hàm y = log a x

Tâm đối xứng: O(0,0),

Các đỉnh có tọa độ (-a,0) và (a,0)

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ

2.1.Sự biến đổi đồ thị

Cho đồ thị của hàm số y = f(x):

Nếu biến x được thay thế bởi một hàm số của x (ví dụ x được thay bởi 2x), hoặc nếu biến y được thay thế bởi một hàm số của y (ví dụ y được thay thế bởi 3y+4), thì về mặt đồ thị, các đồ thị này sẽ tương ứng với sự biến đổi của đồ thị hàm số y=f(x)

2.2 Phép tịnh tiến

Cho đồ thị hàm số y = f(x):

Đồ thị của các hàm số sauđược tịnh tiến từ đồ thị hàm y=f(x)

Y = f(x+a)

Tịnh tiến theo phương ngang a đơn

vị (tịnh tiến theo trục 0x) (i) sang trái nếu a > 0 (ii) sang phải nếu a < 0

(x,y) (x-a,y) Không có điểm bất động

Y+a = f(x)

Tịnh tiến theo phương thẳng đứng

a đơn vị (Tịnh tiến theo trục 0y) (i) xuống dưới nếu a > 0 (ii) lên trên nếu a < 0

(x,y) (x,y-a) Không có điểm bất động

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-3 -2 -1

1 2 3 4 5 6 7

x y

x y

Hình 2.2.2

Ví dụ 2.2.2: Dựng đồ thị hàm số cho bởi phương trình sau

Hình 2.2.3

O

y

x -2

X2+ y2 = 5

(x-2)2+(y+1)2=5 (2,-1)

 Tịnh tiến (C1) sang phải 2 đơn vị

( 2) 1 3( 2) 1 13( 2) ( )

x y

Từ đồ thị có: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi 2 m  0 m 2

Kết luận: Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi m < 2

(x, y)(x/a, y) Điểm bất động: mọi điểm nằm trên trục

Oy

ay = f(x)

Co dãn theo chiều dọc với hệ số co

dãn là 1/a (co, dãn theo trục Oy) (i) đồ thị dãn nếu 0 < a <1 (ii) đồ thị co nếu a > 1

(x, y)(x, y/a) Điểm bất động: mọi điểm nằm trên trục

 từ đồ thị hàm số y x2 Lời giải:

Hàm số 2

4

y x

Nhƣ vậy đồ thị hàm số 2

4

y x

 sẽ đƣợc vẽ dễ dàng nhờ việc dãn đồ thị hàm số 2

(-1;1)  (-1;4)

Ta có đồ thị:

1 2 3 4 5

1 2 3

x y

x

y  y 

Hình 2.3.3

Ví dụ 2.3.4:

a) Vẽ đồ thị hàm số 1 2

(2 ) 2

y  x từ đồ thị hàm số y  x2 b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình sau 2 2

4x 2m 6m0 (1)

Hướng dẫn:

(2 )2

-3 -2 -1 1 2 3

1 2 3 4 5

x y

O

y = x 2

(1,1) (0.5,0.5)

2

1 (2x) 2

m  m  m phương trình (2) vô nghiệm

Với m23m0 m = 0 hoặc m = 3, phương trình (2) có nghiệm duy nhất

m  m   m   , phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt

Kết luận: m 0,3 phương trình (1) vô nghiệm

m = 0 hoặc m = 3 phương trình (1) có nghiệm duy nhất

 ,0 3, 

m    phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

1 2 3 4 5 6

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-5 -4 -3 -2 -1

1 2 3 4 5 6

x

y

y = (x+ )3

-y = (x+ )3O

b) Biện luân theo m số nghiệm phương trình sau dựa và đồ thị (C)

Đồ thị (C ) có tiệm cận đứng là đường x 1, tiệm cận xiên là đường

2

y x

Hàm số đồng biến trên các khoảng ,0 và 2,

Hàm số ngịch biến trên khoảng    0,1  1,2

Điểm cực đại A(0,-3), điểm cực tiểu B(2,1)

Đồ thị:

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x y

O

2

3 3 1

x x y

x x y

* x = -1 không là nghiệm của phương trình

 Lấy đối xứng 2 tiệm cận của đồ thị hàm y = f(x) qua gốc toạ độ ta được tiệm cận đứng x = -1 và tiệm cận xiên y = x+ 2 của đồ thị hàm y = g (x)

 Lấy đối xứng 2 điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm y = f(x) được 2 điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm y = g(x)

   1 m 3 phương trình vô nghiệm

 m = -1 hoặc m = 3 phương trình có nhiệm duy nhất

 m   , 1 3, phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Ví dụ 2.4.3:

Cho hàm số

2

11

b) Tìm m để bất phương trình sau luôn đúng với  x TXD

2

2

1

1 01

m x



Hướng dẫn:

a) Vẽ đồ thị

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x y

O

2

1 1

x x y x

x x y x

11

Đồ thị : hình 2.4.4

 Biện luân:

Từ đồ thị hàm số ta thấy không tồn tại m để bất đẳng thức luôn đúng

Kết luận: không tồn tại m thoả mãn yêu cầu bài toán

2.5.Các phép biến đổi hỗn hợp

Cho đồ thị hàm số y = f (x), đồ thị của các hàm số y = f (ax + b) và

ay b  f x thu được bằng việc thực hiện trình tự các phép biến đổi từ đồ thị hàm y = f (x)

Với hàm sốy = f (ax + b)(a, b > 0), sự biến đổi được cho bên dưới theo thứ tự:

i Tịnh tiến theo phương nằm ngang b đơn vị về phía bên trái,

ii Co theo phương ngang với tỉ lệ phân số1

x y

2 4

x y

O

y = ln x

- y = ln (2x-3)

Hình 2.5.2 Chú ý: Khi biến đổi một đường cong, các đường tiệm cận , các điểm, các trục đối xứng sẽ được biến đổi theo

Ví dụ 2.5.3:

Trong các đồ thị riêng biệt, dựng đồ thị các hàm số sau bằng việc ứng dụng trình tự các phép biến đổi từ các hàm số cơ bản tương ứng

bằng phép đối xứng qua trục Oy

x y

A: Tịnh tiến theo phương ngang 1 đơn vị theo hướng dương của trục Ox B: Co dãn theo chiều ngang song song trục Ox với tỉ lệ là 2

C: Co dãn theo chiều dọc song song trục Oy với tỉ lệ là 1/2

D: Tịnh tiến theo chiều dọc 3 đơn vị theo hướng âm truc Oy

(b) Một đường cong y = f(x)trải qua liên tiếp các sự biến đổi A, B,C,D ở trên,

và kết quả thu được là đường cong có phương trình 4y = x -14

Xác định phương tình đường cong ban đầu y = f(x)

Lời giải:

2.6 Một số dạng đồ thị đặc biệt

Đồ thị hàm số dạng: y = |f(x)| và y = f (|x|)

Đồ thị của hàm số y = |f(x)| và y = f (|x|) được biến đổi từ đồ thị hàm y f x( )

| ( ) |

y f x

 Với phần đồ thị phía trên trục

Ox, tức là với y > 0, phần đồ thị này không thay đổi

 Với phần đồ thị phía dưới trục

Ox, tức là với y < 0, lấy đối xứng của phần đồ thị này với

 Với phần đồ thị bên phải trục

Oy, tức là x > 0, giữ nguyên phần đồ thị này, và lấy đối xứng của phần đồ thị này với

21

y x  x nhận được từ việc biến đổi đồ thị (C) :

Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên Ox, lấy đối xứng của phần đồ thị phía dưới Ox qua trục Ox

x y

+ Bỏ phần đồ thị của (C) nằm bên trái trục Oy

+ Giữ nguyên phần đồ thị của (C) nằm bên phải trục Oy và lấy đối xứng phần

đồ thị này qua Oy

b) Tìm m để phương trình có 4 nghiêm phân biệt

2

2

11

m x

 (1) Hướng dẫn:

a) Vẽ đồ thị

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x

3 6 1

y x

Đồ thị:

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

x

y

2

3 6 1

y x

CHƯƠNG 3.MỘT SỐ VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP 3.1.Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số

Ví dụ 3.1.1:

Đồ thị hàm số 1 2

4

y  x x được suy ra từ đồ thị hàm số yx2 qua phép biến

đổi nào đó Hãy chỉ ra phép biến đổi đó và vẽ đồ thị hàm số 1 2

3 Tịnh tiến xuống dưới 1 đơn vị

Tọa độ điểm thay đổi:

-6 -4 -2 2

-2 -1

1 2 3 4

y x x

Hình 3.1.1

Ví dụ 3.1.2:

Dựng đồ thị hàm số y  2 1 x từ đồ thị hàm sốy  x , bằng việc sử dụng phù hợp các phép biến đổi

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5 -4 -3 -2 -1

1 2 3 4

x y

O

3

3 1

yx  x 3

3 1

y  x x

Hình 3.1.3

b) Đồ thị (C3) nhận đƣợc từ việc biến đổi đồ thị (C1):

Bỏ phần đồ thị bên trái trục Oy của (C1), giữ nguyên phần đồ thị (C1) bên phải trục Oy và lấy đối xứng phần đồ thị này qua Oy

-5

5

x y

O(C3)

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

x y

2

1 334

+ Vẽ đồ thị hàm số 2 1

1

x y x

x y

O

2 1 1

x y x



 

 với  x R

 2 2

m  m  m   với mọi m

1 2 3 4 5

x y

O

(C)(C1)

+ Biện luận:

Từ đồ thị ta thấy bất phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m Vậy bất phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m

KẾT LUẬN

Trên đây là toàn bộ nội dung khóa luận tốt nghiệp "Ứng dụng

một số phép biến đổi đồ thị hàm số để giải phương trình và bất phương trình" Khóa luận đã làm rõ lý thuyết về các phép biến đổi,đưa

ra các dạng bài tập cụ thể để hiểu rõ về phép biến đổi này và ứng dụng trong giải, biện luận phương trình, bất phương trình

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 “A” Level Mathematics of Singapore

2 Đậu Thế Cấp (2004), Đại số sơ cấp, Nhà xuất bản giáo dục

3 Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên, 2013), Đại số 10 – Nâng cao, Nhà

xuất bản giáo dục Việt Nam

4 Hồ Sĩ Vinh (2 11), Những bài toán chọn lọc và phương pháp giải

cácbài tập về hàm số, Nhà xuất bản ĐHQG Hà Nội