Biết rằng AB, AC, AD đôi một vuông góc và có độ dài bằng a.
Trang 1Đề thi học kỳ 2 khối 11 (90 phút) Câu 1: (2đ)
Cho hàm số
2
2
2
khi x
a) Tính giới hạn hàm số đã cho khi x→ 2
b) Xác định a để hàm số đã cho liên tục tại x0 =2
Câu 2: (2đ)
Tính đạo hàm các hàm số sau:
a) 3 2 1
1
x
y
x
−
=
− b) y=cos3( 2010−x)
Câu 3: (2đ)
Cho hàm số y=2x2− −3x 1
a) Viết phương trình tiếp tuyến của parabol y=2x2− −3x 1 tại điểm có tung độ y0 =1 b) Giải bất phương trình y 1 0
g− ≥ với g= −1 x
Câu 4: (4đ)
Cho tứ diện ABCD Biết rằng AB, AC, AD đôi một vuông góc và có độ dài bằng a Gọi M,
N, K lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AD, AC
a) Chứng minh rằng AD⊥(ABC)
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và BC
c) Tính (·AB CD, )
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
1a)
1điểm
2
2 2
lim ( ) lim
2 2( 2)( 1) lim
2 lim( 2)( 1) ( 2)(2 1) 6
x x
f x
x
x x
→
→
=
−
=
−
0.25 0.25
0.25 0.25
1b)
1điểm
Ta có: f(2)=a
lim ( )x→2 f x = −6
Để hàm số đã cho liên tục tại x0 =2 thì
(2) lim ( )2
6
x
a
→
=
Vậy a= −6 thì hàm số đã cho liên tục tại x0 =2
0.25
0.5 0.25
Trang 21điểm
2
2 2 2
(3 1) '.(1 ) (3 1).(1 ) ' '
(1 ) (3 ) '.(1 ) (3 1)( ) '
(1 )
6 (1 ) (3 1) (1 )
y
x
x
x
=
−
=
−
=
−
Vậy
2 2
6 (1 ) (3 1) '
(1 )
y
x
=
−
0.25
0.25
0.25 0.25
2b)
1điểm
2 2 2
' 3.cos ( 2010 ) cos( 2010 ) '
3.cos ( 2010 ).sin( 2010 ).( 2010 ) ' 3.cos ( 2010 ).sin( 2010 )
2 2010
x
=
−
Vậy ' 3.cos ( 20102 ).sin( 2010 )
2 2010
y
x
=
−
0.25 0.25 0.25 0.25
3a)
1điểm
Ta có: y' (2= x2− −3x 1) ' 4= x−3
Mặt khác:
0 0 0 0
1 2 3 1
2 3 2 0 2
1 2
x x
=
⇔
= −
• Tại x0 =2 ⇒ y'(2) 4.2 3 5= − =
Vậy phương trình tiếp tuyến là: y− =1 5(x−2)
1 2
x = − ' 1 4 1 3 5
y
Vậy phương trình tiếp tuyến là: 1 5 1
2
0.25
0.25
0.25
0.25
3b)
1điểm Đặt
2
1 2 3 2 ( )
1
h x
−
Ta có: 2
2
2
x
x
=
− − = ⇔
= −
1− =x 0 ⇔ x=1
Lập bảng xét dấu h x( )
x
−∞ 1
2
− 1 2 +∞
2
2x − −3x 2 + 0 − − 0 +
1 x− + + 0 − −
( )
h x + 0 − + 0 −
2
0.25
0.5
0.25
Trang 3Hình vé
0.5điểm
0.5
4a)
1điểm
Ta có: AD AB
AD AC
⊥
(giả thiết)
Suy ra AD⊥(ABC) (đpcm)
0.5 0.5
4b)
1.5điểm
• Xác định đoạn vuông góc chung của AD và BC:
Ta có:
( ) ( )
AD ABC
AD AM
AM ABC
Mặt khác do M là trung điểm của cạnh BC và ∆ABC cân tại A Nên AM ⊥BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra AM là đoạn vuông góc chung của AD và BC
• Tính độ dài đoạn vuông góc chung AM:
Trong tam giác vuông ABC, có:
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
BC a a BM
Trong tam giác vuông AMB, có:
2 2
2 2 2
2
a AM
0.25
0.25 0.25
0.25
0.25
0.25
4c)
1điểm
Ta có:
/ /
( , ) ( ) / /
OM AB
AB CD MON
ON CD
Trong tam giác MON, ta có:
0.25
Trang 4·
·
2 .cos( ) cos( )
2
2
MON
OM ON
MON
OM ON
Tính độ dài OM, ON, MN:
MN = AN +AM = +AM = + =
Thay các giá trị vừa tìm được vào (1):
·
2
0
2
2
2 2
90 ( , )
MON
a a
÷
Vậy (·AB CD, ) 90= 0
0.25
0.25
0.25
* Cách 2:
Ta có:
/ /
( , ) ( ) / /
OM AB
AB CD MON
ON CD
Vì O, M lần lượt là trung điểm của AC, BC nên OM là đường trung bình của tam giác CAB
Suy ra OM / /AB (1)
Mặt khác: AB AD AB (ACD) (2)
AB AC
Từ (1), (2) suy ra: OM ⊥(ACD) (3)
Ta lại có: ON ⊂(ACD) (4)
Từ (3) và (4) suy ra OM ⊥ON
Hay MON· =900
Vậy (·AB CD, ) 90= 0
0.25
0.25
0.25 0.25
