De, dap an Thi HSG Khoi 11 2009

Gọi M là trung điểm cạnh AA’ và N là trung điểm cạnh CC’.. Hãy xác định độ dài cạnh AA’ theo a để tứ giác B’MDN là hình vuông.. Chứng minh ABC là tam giác đều... trên hệ trục toạ độ Oty

ĐỀ THI HSG KHỐI 11

(Thời gian 90’ không kể thời gian phát đề)

Câu 1: (3 đ)

1 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

2 2

2 8 2  x x x  2x m  0

2 Giải hệ phương trình :















2 2 2 2

2 3

2 3

y x x

x y y

Câu 2: (3 đ)

Cho hình lăng trụ ABCD A’C’B’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAD  60 0 Gọi M là trung điểm cạnh AA’ và N là trung điểm cạnh CC’

1 Chứng minh rằng 4 điểm B’, M, D, N cùng thuộc 1 mặt phẳng

2 Hãy xác định độ dài cạnh AA’ theo a để tứ giác B’MDN là hình vuông

Câu 3: (2đ)

1 Giải bất phương trình :

 2 

1

2

x

x x



2 Tìm các giá trị x, y nguyên thoả mãn :

x 2x 3y 7 y 3y

2

2









Câu 4 : (2 đ)

1 Giải phương trình :

cosx + cos2x + cos4x + cos5x = - 1/2

2 Gọi , ,  là các góc mà tâm I của đường tròn nội tiếp ABC nhìn xuống 3 cạnh BC, CA, AB

Giả sử: sin.sin.sin =

8

3

3 Chứng minh ABC là tam giác đều

(Hết)

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG KHỐI 11 NĂM HỌC 2006 – 2007.

(Thời gian 90’ không kể thời gian phát đề) Người ra đề: Nguyễn Xuân Đàn.

Câu 1 : (3 đ)

1 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 2 8 2  x x 2 x2  2x m  0 Đặt 8 2  x x 2  t o t  3 Khi đó Pt  

t

   



 

 



Pt (1) là Pt hoành độ giao điểm của (P): y = t2 – 2t – 8 và d: y = m trên hệ trục toạ độ Oty Dựa vào đồ thi ta có:

 m > - 5 ∨ m < - 9 thì không

có nghiệm t nên không có nghiệm x

 m = - 5 có 1 nghiệm x

 - 8 < m < - 5 ∨ m = - 9 có 1

nghiệm t nên có 2 nghiệm x

 - 9 < m ≤ - 8 có 2 nghiệm t nên

có 4 nghiệm x

2 Giải hệ phương trình:















2 2 2 2

2 3

2 3

y x x

x y y

Cách 1 :

2

2

2 2

2

3

0

0

y

x

xy x

y

x y y

x y y

x y

x y y

x y

xy x y







   

 



 

   



v

1

x y







 « ngiÖm do xy 0

Cách 2 : Từ hệ ta có x; y > 0  2 22

2







x

y y

x

Giả sử 0 < x  y 

1 1

2

2

2

2













y

y

y

x

Câu 2 : (3 đ)

1 Chứng minh 4 điểm B’, M, D, N cùng thuộc 1 mặt phẳng

Ta có A’M //= NC  A’MCN là hình bình hành  A’C & MN cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

t

y

y ≥ -5

y = -5

- 8 ≤ y ≤ -5

y = -8

y = -9

y ≤ -9

O

-8 -9

Mặt khác A’B’CD là hình bình hành  A’C & B’D cắt nhau tại trung điểm mỗi đường  B’, M, D, N cùng thuộcmột mặt phẳng, và B’MDN là hình bình hành

2 Tính độ dài cạnh AA’ theo a để tứ giác B’MDN là hình vuông

Ta có AC ⊥ BD  MN ⊥ BD Để tứ giác B’MDN là hình vuông 

MN ⊥ B’D & MN = B’D = a 3

Khi đó MN ⊥ (BDD’B’)  AC’ ⊥ (BDD’B’) = () Vậy cứ mỗi BDB’ được xác định trên mf () cố định thì ta có một độ dài BB’ = AA’

 B'D BDAA' B'DBD a 3  aAA' a 3 a

Câu 3: (2đ)

1 Giải bất phương trình : 1  2 

2

x

x x



    D = R*

 1 1 2  1

ln

2

1



















 Nếu x + 1 > 0  x > -1  Bpt  2 x2 – 3x + 1 < 0  1/ 2 < x < 1 Thoả mãn

 Nếu x + 1 < 0  x < -1  Bpt  2 x2 – x + 3 < 0  Bpt vô nghiệm

Vậy Bpt có tập nghiệm là : (1/ 2; 1)

2 Ta có : x2 + 2x + 3 = (x + 1)2 + 2  2, x và y2 + 8 > 0, y 

 2 3 ( 8 ) log  2 3 ( 8 ) log 2 8

2 2

2 2 2

8 2

2

2



















 y2 + 8  7 – y2 – y  2y2 – 3y + 1  0  1/2  y  1 Vì y  Z  y = 1

Với y = 1  BPt  log  2 2 39 9 2 2 3 2 1

Kiểm tra lại đúng  Nghiệm nguyên của hệ là: x = - 1, y = 1

Câu 4 : (2 đ)

1 Giải phương trình : cosx + cos2x + cos4x + cos5x = - 1/2

 Nếu x = k2  pt  5 = - 1/2 Vậy x = k2 không là nghiệm của pt

 Nếu x  k2 nhân hai vế của pt với 2sinx/2 ta có pt 

11

2 0

2

11 sin 2

sin 2

9 sin

2

11

sin

2

7 sin 2

9 sin 2

5 sin 2

7 sin 2

3 sin 2

5 sin 2

sin

2

3

sin



k x x

x x

x

x x

x x

x x

x

x

































D’

C’

C D

M

N I

 Vì x  k2  nghiệm của pt là: x = ;

11

k

Với k  11

2 Ta có:

sin.sin.sin =

8

3 3

3 3

8

3 3

sin sin sin sin sin sin

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ABC là tam giác đều