Ideal Nguyên tố trong Vành Đa Thức 4

Thạc sĩ toán học đại số lý thuyết -chuyên đề :Ideal Nguyên tố trong Vành Đa Thức

Chương 1

IDEAL NGUYEN TO TRONG VANH DA THUC R[x]

Cho R 14 vanh có đơn vi Trong chương này chúng ta sẽ mô tả tất cả các ideal nguyêr

tố P của vành đa thức #|[x] Vì P¬R là ideal nguyên tố của ® nên vấn đề đặt ra như sau: Với @ là một ideal nguyên tố bất kì của R, hay mé ta tat ca cdc ideal nguyên tố

P cia R[x] saocho PAR =Q

Trước tiên ta trình bày một số kí hiệu được sử dụng trong chương này:

Ó chỉ một ideal nguyên tố của R

V6i f € R[x], f chi bac ca f va /c() là hệ số cao nhất của ƒ

(f) chi ideal cia R sinh bởi ƒ

ACB chiA là tập con của B

AcB chiA là tập con của B va khác 8

A g8 chỉ A không là tập con của B

PAR chi Pla ideal cia R

1.1 Dinh nghia

Ta dinh nghia

Tạ= { fe R[x] - arf - frac Q[x] voi moireR, of +0 vaa=lIc(f) <Q }

Nhận xét:

1) Khi ® là vành giao hoán, ta có

To={feR[x]: f „0 và a= icƒ) eO },

2) Khi R= K 1a trường ta có @ = 0 nên

Tn = Ty ={fe Kix: f # 0}

= K[x]\ K

1.2 Dinh nghia

Cho f € Tg ,a = Ic(f), ta định nghĩa:

[Q7] = { g eR|x]: tôn tại e> 0 sao cho g(Ra) °c R[x/f + Q[x] }

Nhận xét:

1) Khi R = K là trường, ta có @= 0 nên

[Of] = [0,f] = {g e K[x]:tồn tại e >0 sao cho g(Ka)“ c K[zx]/ }

= K[xlf = (/),

1.3 Mệnh đề

[Of] là m6t ideal ctia R[x] chita f va Q[x]

Chifng minh

Thật vậy, với mọi g, h e [Ø,ƒ] tổn tại các số nguyên khéng 4m e,, e,sao cho

g(Ra)ˆ cK[zJ/+ @lz] và h(Ra)* cK[x]ƒ+ Olx]

Không mất tính tổng quát , có thể giả sử e, >e, Khi đó

(g- b)Ra* c g(Ra)* + h(Ra)"

c g(Ra)^ + h(Ra)*

c Rx/ + Olzl

Suy ra ø- h e [O,ƒ] Mặt khác, với ø e [O,ƒ] tổn tại một số nguyên không âm e sao

cho g(Ra)‘ c R[x]f + @|x] Khi đó , với mọi re R[x], tacé

rø(Ra)°c rR[x|ƒ + rQ[x}

Hơn nữa gr(R4a)° c g(Ra)° c R[x̃ + O[x] Vay [Qf] 1a mét ideal của R[x]

Tiếp theo ta chứng minh [Q@,/] chứa O|x] và ƒ Thật vậy,

Lay g e O|x], với e=0 ta có

ø(Ra)°= øR c Olx] c R[x]ƒ/+ OI]

Theo Định nghĩa 1.2, ta có ø « [Qf] Vay O[x]c [Q,/]

Hơn nữa, vì ƒ lo nên với mọi re # tacé arf — fra = le Q[x] Suy ra fra = arƒ- Ï Khi đó f(Ra)* ¢ R[x] f + O[x] vdi e = 1 Theo Dinh nghia 1.2, fe [Of] Vay [Of] chifa Q/x] va f.@

1.4 B6 aé

Cho f «Vg Néu ge [Q,f] va og < of thi g «Q[x] Dat biét, [Of] 0 R=Q

Chifng minh

Vi Ic(f) =a ¢ Q nénténtai H1a mot ideal cha R, H ¢ Q sao cho

gHa c R[xJƒ + O[x] (1)

Thật vậy, vì ge [Q@/l, tổn tại số nguyên không âm e sao cho g(Ra) °c R[x]f + O[x]

Nếu e>0thì g(Ra)°= g(Ra)“°'Ra c R[xJƑ + Ola], ta chỉ cần chọn ; =(Ra)*'R

thì / là ideal của ®, HơQ và thỏa (/).Nếu e=0 thì g® c #[zx]f+ Olx], ta chỉ

cần chọn #j= ® thìH là ideal của ®,H g Q và với mọi r e Öj ta có

gra c Ri{x|fra + Q[x]

c Klzxla7/ + Olz]

Ta đã chứng minh (1) Từ đó suy ra, với mọi r e Öƒ tổn tại

k=b x" +b, x"! 4+ +b, € R[x]

va h € Q[x] saocho

gra=kf+h (*)

Để chứng minh g e Q/xj, trước hết ta chứng minh qui nạp theo /rằng b, ,a € O với mọi /=0,m Thật vậy, nếu b„a z 0 thì từ (*), do 6(g) < 6(7), ta suyra b„a= Ic(kf) = - lc(h) e Q Giả sử b„.a€Q với ¡ = 0:—1, cần chứng minh b„_,4 e Q

Thật vậy , với mọi se®#, từ (*)ta có: grasa = kƒsa + hsa

= kasƒ + hsa + Ì với Ì c Q[xJ

Suy ra grasa = kasf (mod Q[x]) (**)

Theo gid thiét quy nap b,a, ,b,,,,,@ €Q cho nén

grasa = (b, ,x™' + + b,) asf (modQ{[x])

Từ đó, lý luận tương tự như trên suy ra ?„,asa c với mọi se #, suy ra (Kb„, aR)(RaR) c_ Ó Từ đây, do tính nguyên tố của Q và RaR ợg Ó nên Rb„,aR c Q Ta

đã chứng minh b,a e @ với mọi 7= 0,m Do do, theo (**) (RgR)H(RaR)* c Q[x] TY

đó, vì QƒxJ nguyên tố và H(RaR) ? g @[z] nên g e Qf[x]

Tiếp theo ta chitng minh Q = [Q,f] 7 R That vay:

(5)Vì @cØ[z]c<[Ø, /Z] và @c R nên Ø c [Ø/] ¬ 8

(©) Với ge [O,/] ¬ R® Khi đó g e[O, ƒ] và geR, tổn tại số nguyên không âm e sao

cho g(Ra)* c Ri[x]f + Q[x] va g (Ra)’ CR Do đó

g (Ra) c (KR[xlƒ+ O[x]) ¬R cR+Oc0

Do Q nguyên tố va a= Ic(f) <Q nén geQ Suy ra [Of] 0 Rc

Vay 2 = [Ø/] ¬ R.@

VéifeTg, ta dat

I= { g € R[x]: ton tai HAR, H ¢ Q saocho gHac R[x/f + Q[x] }

Khi d6 ] cting 14 mét ideal của R[x] chifa f va Q[x]

Thật vậy, với mọi ø, / e7 tổn tại các ideal H va H’ cia Rkhéng nam trong Q sao cho

gHa c_ Rịx|f + Olxl và

l’a < KRlxƒ + Olz]

Khi đó HH' gQ (do Q nguyên tố) nên

(g-l)HH’a < gHa + IH’a

< R[x]f + Ox]

Mặt khác , với mọi b e Kj/xj ta có

hgHa c hRix|f + hOl[x]

c Ñz]/ + @Ixl

và ghHa c gHa c R[x]ƒ + O[x] Vậy Ilà tdeal của R[x]

Tiếp theo ta chứng minh 7 chứa Q|[x] và ƒ Thật vậy,

Lấy ø e O[x], ta có gRa c gR c Olx] c R[x]ƒ+ Olx], ta chỉ cần chọn W= # thì H

là Ideal của ®, H ợ Q và g c 1 Vậy O[x]c1

Hơn nữa, vì ƒ elÏo nên với mọi rze# ta có a-— #a=ie(Q[x] Suy ra ƒra = arƒ- Ì

Khi đó /®ac Rịx]/ +O[x], chọn H= & thì H là ideal của ®, H g Q@ và ƒe 1l Vậy I chifa Q[x] va f.@

1.5 Bổ dé

/Q/7 = 1,

trong đó I= { g e R[x]: tổn tại HAR, H g Q sao cho gHac RỊx]f+Q([x] }

Chứng minh

Gọi b= Ic(g)

(=) Néu f= Othi [Q,f] = O([x] Thật vậy, theo Địnhnghĩa 1.2, ta có O[x] c [Ø/1 Ngược lại, với mọi ø e [@/], tổn tại một số nguyên không âm esao cho

8(Ra)“ c RlxJ + Olx] = O3].

Khi đó g € Q[x] vi O[x] nguyén té va (RaR)* ¢ Q/x], do dé [Qf] ¢ Q[x]

Mặt khác , với mọi ge/, thn tai HAR, HzQ sao cho gHac R{[x]f + Q[x] = Q[x] Khi

đó g e Olz] và! œ Olx] Hơn nữa, Ofx] c I.TYd6 I= QOfx] Vay [Ofl= 1

Nếu ƒ z 0, lấy ge[O./I tổn tại một số nguyên không âm e sao cho g(Ra)’ c R[xJƒ + O[x] Nếu e = 0thì øR c R[x]ƒ+ OIx] Khi đó gRa c R[x]fRa + Q[x]

c Rlz]aR/ + Olx]

c #lz]/ + Olx],

ta chọn H = £ thì H là ideal của ®, H ợ @ và theo định nghĩa của 7 ta có g e l Nếu e>1 thì e -1 >0, khi đó g(Ra)° = g(a)*'Ra c K[x]f + Q[x] , ta chon H = (Ra)°'R thì H là ideal của ®,H ợg Q và gel Vậy [O/] c 1

(<=) Giả sử g e /và đ&= m, Ÿ = n Nếu m < r6 thì chứng minh tương tự như trong

Bổ để 1.4, ta được g € Ofx] c [O/] Giả sử m = nø, khi đó với mọi r e £, ta có

gra—brfe Il (vig el1,1A Rva fe [Qf] c 1Itheo chứng mnnh trên) và 6 (gra - brf)

<n nén theo chifng minh trén gra — brf « Q[x] Suy ra gra € brf+ Q[x] hay gRac R[x]ƒ + O[x] Từ đó g e [O/l Xét trường hợp m > ø, ta chứng minh rằng với mọi k > n+], với mọi h e !, nếu 8h < k thì

h(Ra)*” © RIxlý + Øx)-— ()

Xétk= m+1], với bh e I, nếu öb<k thì ổb < n, khi đó hRa c R{[x}f + Q[x] (theo chttng minh trén), do d6 h(Ra)*" c R[x]f + Q[x] Bằng phương pháp quy nạp giả sử

kết qủa trên đúng với k (k > n) Can chứng minh kết quả trên cũng đúng với k + 7, nghĩa là với mọi » e7, nếu öJ < k + ¡ thì h(Ra~”* c Rlx]ƒ+ Olx] Thật vậy, nếu

ổ b < k thì theo giả thiết qui nạp ta có h(Ra)"'”" c R[x}f + Ofx]

suy ra h(Ra'"Ra c Rx|Ra + Olz|,

hay h(Ra}**!'" c R[x]aRƒ + Olr]

c Rlzf + Olxl.

Xét Sh=k Goid=Ic(h), v6imoire R dat 1=hra—x*"drf € I vihrae 1, x

"đrƒ e [O//] c I theo chứng minh chiều thuận Theo cách đặt ta có ổ! < k và dùng

giả thiết qui nạp

I(Raƒˆ" c RỊxJƑ + Olx]

Suy ra

(hra—x'~"drf) (RaJ"`" c RỊx]ƒ + Lx, hra(Ra)*'"— x*“"drƑƒ(Ra)*'” c R[xJf+ Ola]

Ta đã chứng minh (1) Vì mm > ø nên với k= m+] > n +], (1) cho ta

h(Ra)"*!"" c R[xlf+ Ol]

với mọi b e Ithỏa ổh< m + 1 Từ đây do gc!, ổg=mm < m + l nên

Suy ra geé[Q, f].Ta da chifng minh J c [O0,f] Vay J = [Ó,/].@

1.6 Ménh dé

Gid st f,g ¢ Tg vag < [O,f] Khi dé [Q,g] c [OJ] Hơn nữa, [Q,g] = [Q,f] néu

Chifng minh

Trước tiên ta chitng minh [Q,g] c[Q,f] Lay h € [Q,g], theo B6é để 1.5, tổn tại

H’A R, H’g Qsaocho hH’b c Rix]g + Q[x] với b = Ic(g) Hon nffa , theo gid thiét

tổn tại HA R, Hg Q sao cho gHa c R[x]f + Q[x] Vi thé

hH'bHa c KR[x]gHa + O[x]

c Rizƒf + @tzl

Vì H’bH g ÓO nên theo Định nghĩa 1.2 ta có b c [Q//l

Tiếp theo ta sẽ chứng minh đ&= Ø khi và chỉ khi [Ø,g] = [Q1] Thật vậy,

10

() Giả sử &= of =n Khi dd, với mọi r e ® ta cĩ ƒ?b-~ arg « [Q,f] vaod (frb— arg)

<n Theo Bổ để 1.4, ta cĩ ƒ#b-— arg e O[x], suy ra ƒ#b c KRlx]g + O[x] Từ đĩ ƒ#b c

K[x]s + O[x] nên ƒ e [Ø,z] Vậy [@/] c [Ø,z] Từ đĩ [@/] = [Ø,zg]

(<) Giả sử [@/] = [O,g] Vì g «¢ To nén g ¢ Q[x] Ti day, dofe Tg9,g € [Of] nén

theo Bổ để 1.4, ta cĩ ĩ > Do vai trị của ƒ và ø như nhau nên ta cũng cĩ of >

og Ti dé suy ra df =dg @

1.7 Dinh nghia

Ta định nghĩa theo cách đối ngẫu

[OST = { g € R[x]: tn tai e > 0 sao cho (aR)’g < fR[x] + Q[x] }

Rõ ràng [Ò./] cũng là một Ideal của R[x], (chifng minh tương tự như việc chứng

minh [Ø/] là ideal của R[x]) va [Q,f]’ = [O,/] That vay:

Với mọi ø e [Oÿ/], Ÿ = ", ưg= m,b= lc(g) Nếu m < n thì chứng minh tương tự

như Bổ đề 1.4 ta được g e [O/]' Giả sử m = n, khi đĩ với mọi r e Ư, ta cĩ arg — ƒrb

e [O/] và 6(arg - #b) < n nên theo Bổ đề 1.4, arg - frb e O[x] suy ra arg e b + O[zx] hay aKg c /R[x] + O|zx] Từ đĩ g <[O, ƒ]” Xét trường hợp m > 2, ta chtfng minh

rằng với mọi k > ø„+1, với mọi ở e [@/], nếu ổ*h < k thi

h(aR)*” & fR[x] + Olzl (1)

Xét k= m+1], với b e [O,/], nếu ưb < k thì Sh <n, khid6 aRh c fR[x] + O[x] (theo chứng minh trên), do đĩ (aR⁄'”b c /R[x] + O[x] Bằng phương pháp quy nạp giả sử

kết qủa trên đúng với k (k > ø) Cần chứng minh kết quả trên cũng đúng với k + J, nghĩa là với mọi h e[Ø,/], nếu 6b < k + ¡ thì(aR)”””*“b c /ẨĐ[z] + Olx] Thật vậy, nếu ở b < k thì theo giả thiết qui nạp ta cĩ

(aR“”h c_ /Rlx] + OEl,

11

suy ra aR (aR)! "h = c aRfR[x] + Ox],

hay (aR“*“"h c_ fRaR[x] + Of]

c fR[x] + Q[x)

Xét Sh=k Goid= Ic(h), v6imoir ¢ R dat l= arh — fraxk-" c [Ø,/] Theo cách

đặt ta có ó/ < k, do đó dùng giả thiết qui nạp

(aRJ!"! c ƒRlzx] + Ole),

Suy ra (aRJ°" (arh—- fả") c ƒRlx] + Olxl,

(aR)*"" arh— (aR) " frat co f Rix] + OL]

Ta đã chứng minh (1) Vìzm >ø nên với k= m+1 > n +1, (1) cho ta

(aR *"" h c FRx) + Ob]

với mọi h e/Ợ,ƒj thỏa 6b < m + 1 Từ đây do g c[O, ƒ]., ög = m < m + Ì nên

(Ra)}"°'""g c ƒRlz] + Olt)

Suy ra ø c[Ó, ƒ†.Ta đã chứng minh [O/] c [O@,/]'.Chiều ngược lại chứng minh tương

tự @

Lưu ý: chứng minh tương tự như Bổ dé 1.4 ta được kết quả: “Nếu ge [Ø/]' và đ& <

of thi g «Q[x]”

1.8 Hé qua

Giả sửƒ, g <¢ Tg Khidé [Qf] =[0,g] néu va chi néu gra — brf < Q[x] véi moi

reR.

12

Chifng minh

(=>) Néu [C,/] = [O.g] thi &= of Khi dd, vdi moir € Rta cé gra— brf « [Qf]

và ổ (gra - brƒ) < n, theo Bổ để 1.4, ta có gra— brƒ € Q[x]

() Giả sử với mọi r e #, ta có gra - br/ƒ e Olx] Khi đó gRa c Rlzxl/ + Q[x]

Suyra g e [ØO,/J] và vìg e Olx] nên theo Bổ để 1.4, ta có & > # Hơn nữa, bRƒ gR[x] + Q[x] do dé fe [Q,g]’, t¥ day va Luu ¥ trong Dinh nghia 1.7, ta cédf > &

Suy ra of = đ& Từ đó, theo Bổ để 1.6 ta có [O,/] = [Ø,g] ®

Bổ để sau được trích dẫn trong [5]

1.9 Bổ đề

Giả sử P là một ideal của Rịx] Khi đó P nguyên tố nếu và chỉ nếu hai tính chất sau

được thỏa:

1) PAR Ia ideal nguyên tố của R ;

2) P=(POR)[x] hoặc P tối đại trong tập cdc ideal I cia R[x] sao choI AR =

POR

1.10 Dinh nghia

Một đa thức ƒ e Tg duge goi la Tọ—bất khả qui hoàn toàn nếu thỏa các điều

hiện: Nếu b c R, g e Ứọ và h e R[x] sao cho fb ¢ Q[x] và ƒb — hạ e QJx] thì = Ff

Nhận xét

1) Hiển nhiên đa thức ƒ= 0 thỏa Định nghĩa Do đó đa thức không là Fọ —bất khả qui

hoàn toàn.

13

2) Khi RE là miền nguyên Gọi # là trường các thương cla R Khi đó, với ƒe R[x] có

ở >1, ta có ƒ là Tạ- bất khả quy hoàn toàn nếu và chỉ nếu ƒ bất khả quy trong Ƒ†x]

Thật vậy

(=>) Giả sử ƒ= gh véi g,h e Ƒ [x] Vì g e Ƒ[x] nên ta có thể phân tích g = ð''g'

với b là bội số chung của các mẫu số của các hệ số của ø Do đó, 0 z ð e Ñ, g' e R[| Khi đó, ƒ = b'g? suy ra ƒb = g'h Vìƒ là I; -bất khả quy hoàn toần nên & = of TY

đó suy ra g'e R hay g7 Vậy ƒ bất khả quy trong #/xJ

(<=) Gid st beR, gel, va he R[x] thoa fb = hg Khi đó, ƒ = b'hg' nén do tinh

bất khả qui của ƒ trong F [x] va do 6g #0 tacé @# =đ& Suy ra ƒ là I;-bất khả quy

hoàn toàn @

1.11.Nhận xét

Giả sử ƒ e T ọ Khi đó, nếu a b e Q thì ƒb e Tọ và [Qý} = [Qb]

Ta có ab = !cŒb) Vì ab # Q nên abz 0 và Ö(b) = Ø + 0 Với mọi r e R, ta có

abr(ƒfb) -(b) rab e [Of] và ổ( abr(b) - (fb)rab) <@ Theo Bổ đề 1.4, ta có abr(b)

- Œb)rab e Q(+x] Từ đó ƒb e Fọ

Cuéi cing , do fb « [Q,f] va 5( fb) = of nén theo Ménh để 1.6, [O,/] = [Ø,b] ®

Qua các bổ để và định nghĩa đã được trình bày đến đây chúng ta đã có thể phát biểu

và chứng minh một định lí khá quan trọng của chương này — định lí tổng quát mô tả dạng của các ideal nguyên tố trong vành đa thức K[z] với vành cơ sở là một vành ®

bất kì có đơn vị