Ideal Nguyên tố trong Vành Đa Thức 5

Thạc sĩ toán học đại số lý thuyết -chuyên đề :Ideal Nguyên tố trong Vành Đa Thức

Chương 2

IDEAL NGUYÊN TỐ TRONG VÀNH ĐA THỨC n BIẾN R[Xị, X¿, „ Xa]

Mục đích của chương này là mở rộng các kết quả ở chương 1 cho vành đa thức

r biến Trước tiên, ta trình bày một vài ký hiệu được sử dụng trong chương này:

R— Vành bất kì có đơn vị

R[t] - Vành đa thức theo biến / trên ®

P là ideal nguyên tố của Ẩ[/] và @Q = P ¬Ñ Trường hợp P O[f] gọi ƒ e P là đa thức bậc nhỏ nhất có a=lc() £Q

2.1 Bổ đề

Cho số nguyên m > u, g e P có & < m và bộ các sỐTq, rịụ,F, ;.„ Fm.u e R Khi

đó tôn tại h e (ƒ) sao cho Ì = grạar;a r„.„a — h e QỊ

Chứng minh

Xét m = u, gid stt dg <u, dat g=a,,t"'+ a,,t"? + +a,.Néua,, ¢ Q thi

ge Pcoé & =u-l<u valc(g) <Q, điều này mâu thuẫn với giả thiết / là đa thức có |

bậc nhỏ nhất Vậy a„, ¢ QO Suyra k=g -a, ,t"' =a, ,t"? + +a,¢P Ti€p tuc lí luận tương tự như trên ta được a,e(@ với mọii = 0;z—1 Vậy g € Olt] Khid6, chỉ cần

chọn =0, thì 7= gra—h = gracO[r] Nếu đ = uw thì với mọi r e Ñ ta có gra- brƒ eP

và ố(gra-br/)<u với b = Ic(g) Ly luận tương tự như trên ta có gra- özƒ e @I/] Khi đó, chỉ

cần chọn z =ðz/ e(/)thì 7= gra—h = gra—br/ e O[]

Bằng phương pháp qui nạp giả sử với m > u kết quả trên đúng với mọi đa thức øge Pcóổg < m -], cần chứng minh kết quả trên cũng đúng khi 6g = m That vay, giả sửg e Pcó đg= m Khi đó với rọc ®, đặt g„ = @røa- f”“brý' e P Theo cách

đặt, ta có ổ(g„) < m— 1 Do đó, theo giả thiết qui nạp với bộ các số r, r¿, rm.„ €

R, tổn tại ø e( ƒ) sao cho

l= g„ra Tm„a— he Q[I

Khđó 1 = (grạa- f”"br, £)ra r„„4— b

= grạara r„„a — f”“br, ƒrạa r„„4— h

= groar,a r„„a-b° e Q[f}(VỚih' = b +f“"“brọ grịa rmụa e (ƒ))

Từ đó suy ra kết quả trên đúng với mọi ge P,dg=m.@

Từ đây ta thay đổi hệ thống kí hiệu như sau:

R là vành bất kì có đơn vị

R; = R[x), x;, x;J— Vành đa thức ¿ biến với ¿= 1;n

Với ge#R,, ö,g là bậc của g như là đa thức theo biến x;

Gọi @ là ideal nguyên tố của R, dit QO[x] = Olx¿, xz x;Ì

F;: Tap tat cd cdc day (f;, fy fi) V6i ¡= 1;n, trong đó ƒ e R,,j= bi

Cho f = (f), fo» fy) €F; Ta kihiéu

(f); la ideal của R; sinh bdi { fi, J5 } vớii= Ln

(ƒ,) là ideal của R,sinh bởi { f; } voii= Ln,

5fi=u,, a = loli) € R,

2.2.Dinh nghia

V6i f= (fis fo» fn) €Fq ta định nghĩa :

[Q.f» f2] =(g e R, : tôn tại e; > 0,i=1,n sao cho g(Ra,)* (Ra,)“ < Q[x] +(f) ,}.

2.3 Ménh dé

[O,f 1) 5 fn] la ideal cia R,,chita Q[x] va (f),

Chứng minh

That vay, vdi gh e [Ojƒ, ƒ,], tổn tại các số nguyên không âm «,,é;, ,é„ Và n

d,,d,, d, saocho g(Ra,)* .(Ra;)* ¢ Q[x] +(f), va

h(Ra,)* (Ra;)* < O[x] +),

Khiđó (g—h\Ra,)** (Ra,)** c g(Ra,)“ .(Raj)*% + h(Ra,)** — (Ra;)%*

c g(Ra,)* .(Ra;)* + h(Ra,)® .(Ra;) *

c 0Olz]+0,

Suy ra g-he [O,f,, fy f,] Mat khac, voi ge [O, fy fn] ton tai cdc s6 nguyén

không âm a¡,e,, ,e„ sao cho g(Ra„)” (Ra;)* c O[x] + ()„ Khi đó, với moi

reR n? ta có

rg(Ra,)* (Ra,)" ¢ rQ[x] + r(f),

lñ Olx] + 0),

Hơn nữa

gr(Ra„)” (Ra,)* c_ g (Ra„)” (Ra,)*

c Olx]+0),

Do 46 [O, f 1,» f nj 1a ideal cia R,

Tiép theo ta chifng minh (Q,f,, , f,] chtta Q[x] va (f), That vay,

Lay g € (Ofp fal, VOi e, =0,i=1n , tacd

g(Ra„)” (Ra;)*^ c gR c O[x] c O[xÌ] + (0),

Theo Định nghĩa 2.2 g €[Q,f,, ƒ/„Ì Vậy O[x]c<[O,/ 2]

Hơn nữa, với g c () „chứng minh tương tự như trên ta có g e[|@,ƒ, fr] Vay (),

clØ/: /„] @

2.4 Định nghĩa

Cho ƒ = (fứ» W„) e F„ Ta nói ƒ là bất khả quy hoàn toàn (mod Q) nếu ƒ; + ¡ là Tp,

bất khả quy hoàn toàn như là ấa thức theo biến x,„ ¡, trong đó Pạ = Q, P¡ =[P:_ ¡, fJ

voi i= 0,n-1

Trường hợp Q = 0 ta nói ƒ là bất khả qui hoàn toàn thay cho bất khả qui hoàn toàn (mod 0)

Nhận xét

Trong định nghĩa trên # là To bất khả quy hoan toan va P =[Q,f,] nén theo

Định lí 1.12, P, là ideal nguyên tố của R, Bằng qui nạp ta có ? nguyên tố với mọi ¡

= 0On-1

Đến đây chúng ta đã có thể chứng minh được kết quả chính của chương 2 là

“Mọi ideal nguyên tố của ®„ đều được xác định bởi giao của nó với # cùng với n da thức trong ®„ ”

2.5 Định lý

Nếu P lò ideal nguyên tố của R,„ và Po R = Q thì tôn tại dãy đa thức (f}, fr, fn) e F„ bất khả qui hoàn toàn (mod Q) sao cho P =]Q, fu fnl-

Chứng minh

Đặt P; = P ¬k¿, khi đó Đ, là ideal nguyên tố của ®, với mọi ¿ = 1,n Ta chitng

minh quy nạp theo i rang tổn tại ƒ= (, f6 Ø) e#; sao cho ý, là F„ bất khả qui

hoàn toàn (mod @) và P; = [P,.,,/,] = [O, Ú, f„ ƒ] với mọi j = Li That vay: Tru@ng hdp i = J, khi dé j = 1 NéuP =Q[x,] th ñ¬*®=@l[x,]Ì®=Ơ Khi đó

chicanchon f, = 0 thi P = [Q,f,] = O[x,] (theo Dinh lí 1.12) Giả sử P¡— @[x¡], ta

có P¬R=(PR)¬R=P¬R=Q Chọn ƒ¡ eP¡ có bậc nhỏ nhất theo x, sao cho

lce( f,) = a; ¢ Q Khi dé, theo Định lí 1.12, ta có ƒ là Ty bất khả qui hoàn toần va P¡= [O,f#] Ta đã chứng minh khẳng định trên trong trường hợp ¡ = 1

Giả sử khẳng định trên đúng với ¿ = k, nghĩa là, tổn tại ƒ = (, ) < F„sao

cho /, là F„, bất khả qui hoàn toàn và P;= [P ,f,] = [fi fof) voi moij =

1,k

Để chứng minh kết quả trên đúng với ¡ = k+/ ta chỉ cần xây dựng đa thức

fun © R,, Saocho /¿„ là I„ bất khả quihoàn toàn và

Pit = [Pi Sen] = (2fb fo» fers)

Gid stt Pry = Prlxiss] kh đó P„¬R=(P¬aR,j)¬R=P¬R=O, ta chỉ cần

chọn f,,, = 0 thì [,,/,¡] =¡¡ Thật vậy, hiển nhiên Z,„ = PX] © [Pha] -

Đảo lại, với mọi ge|P,,/,„], tổn tại một số nguyên không âm é¿,; sao cho

s(R,a, uc P[x,.]+ Ain )=P,, Từ đó ø 6 P,„¡ vì P„, nguyên tố và „2 g PQ„¡

(do a,,, = /c(/,„)#ÐP,, vì nếu không thì z,„¡ <7, ¬#, =P,, mâu thuẫn) Suy ra

[P.> Sen) CP VAY [Pe Se] =Peat -

Gia st? P,,, > Pyles], ta c6 P,,, AR, =(PAR,.)OR, =POR, =P,.Chon f,,, € P.,

có bậc nhỏ nhất sao cho z,,, £ P, Khi đó, theo Định lí 1.12, ƒ,„ là T„ bất khả qui

Tiếp theo ta chứng minh Đ„„ = |O,/ƒ,,/, ƒ„ | Thật vậy, với mọi g e [Ó./ý, /,.¡Ì

tồn tại một dãy các số nguyên không âm #;¿, ,đ¿, ©„,¡ sao cho

g(Ra,,,) *" wee (Ra,) G Ox), x¿, X¿.;] + (ƒ)k¿¡ G P¿.¡( vì P,,, chifa (f),,, va

Olxị xự, ] = Ol[xi ,x,][x,,] 6 Px¿.¡] 6c Pu, ) Khi đó g e P,„¡ vì P,, nguyên tố

và với mọi 1< j<kt+/, a, = Ie(f,)€P,,, (điểu này hiển nhiên vì nếu a,€P,,, thì

a,€P,ạ ¬^Ñ,„, =P,,, mâu thuẫn ) Từ đó [Ø,/ /,¡] © Py Mặt khác, với mọi

Zin EP, , đặt m = max {6,,,2,.,,U,.,} Ta cd 6,,,9,,,<m va m> u,,, V6i moih

€ 8,,(Ra, 7, heb dang h= gyal odeals Genel mn Fen VỚI Pọ, Ty Tm st

e R Theo Hé qua 2.1 , téntai h’e (f,,,) sao cho

A-W= 8yarođpaTt đẹa «Pa đe — 2 © Pere)

Khi đó h—H' € P,[x,.,] = (0, fn fo» fll x,,; (theo gia thiét quy nap)

© [O.Sb favs fers -

Suy ra h & [Offa fist )-

Do đó, tổn tại một dãy các số nguyên không âm ”,, , £”„, ©”,,¡ sao cho

h(Ray.i) ° *" (Ra¡)”" c Olx x,„¡] + (sa:

Suyra g,(Rd,¡) (Ragas) 6 (Ray) = 844, (Ragas) ** (Ray) “* (Raj) ”

S OX) Xl + Dene (VỚI 1,,, = m-u,,,+1+e',,,29)

khẳng định trên đã được chứng minh

Ap dụng kết quả trên cho ¿ = ø và chú ý rằng P,=POR,=P ta dude day đa

thite f= (fi, fa fn) €F, saocho f, 1a T , bat khd quihoan toan va P;= [P.,,f,] =

[Ø, #.#» ] với mọi j = 1,n, nghĩa là tôn tại dãy ƒ = (2 /„) €F, bất khả qui

hoàn toàn sao cho P= [Ø, /» /, | @

Chiểu ngược lại của định lí trên cũng đúng, điểu ấy sẽ được phát biểu và chứng

minh ở định lí tiếp theo

2.6 Định lí

Nếu Q là một ideal nguyên tố của R và ƒ = (fi, fy Sn) e F„ là dãy đa thức bất khả quy hoàn toàn (mod Q) thì P = [O, ƒ„, Í» ƒ„ | là ideal nguyên tố của R„ và P ¬R =Q

Chứng minh

Ta có ƒ = (, ƒ„) e F„ bất khả qui hoàn toàn (mođ @) nên theo Định nghĩa

2.2, P; = [P;_ 1, f;] 1a ideal nguyén t6 cia Rị và P; ¬Ñ,.; = P,_; với ¡ =1n, trong đó

Ro = R, Po = Q Khi do P = P, ciing 1a ideal nguyén t6 cla R, va P AR; = P; véii

=1n Vivéi méi i=17, P; = [P;_1,f;] néntheo B6 dé 1.4, tacé fj = 0 (khi P; =

P,_,Jx;]}) hoặc ƒ e P, có bậc nhỏ nhất sao cho /cŒ;) # P,_,( khi P; z P;- ,[x] ) TY đây và lí luận trong chứng minh Định lí 2.5 ta dudc P = [Q, f,, fa fr] @

- 2.7 Nhận xét

Từ chứng minh cuả Định lí 2.5 và Định lí 2.6 ta có

Dat 1a tap hop tat ca cdc day (Q, fi, fo fy ), V6i Q 14 ideal nguyén t6 cia R,

(fi, fo» Sn) € F,, 14 mét day đa thức bất khả quy hoàn toàn (mod Q)

2.8 Định nghĩa

Trên Z ta định nghĩa quan hệ “~ “ như sau :

(O, fuf» ,) ~ (O3 hụh„ h„) khi và chỉ khi P; = P?; với mọi ¡ =l,n, trong đó

Po=Q, P,= [P:., fil,

Pạ=Q,P,= [P,.„bị] với mọii =In

2.9 Định lí

Goi K là tập tất cả các lớp tương tương trong 2 và ? là tập hop tat ca cdc ideal

nguyên tố của R|x;, xx „x„] Khi đó tương ng

là một song ánh

Chứng minh

Để chứng minh W xác định, ta cần chỉ ra rằng nếu (Ø, tứ ) ~ (O), hạụ,h;„ h„) thì [O, f, f» „] = [O'”, hụị,h¿, h„] Thật vậy, theo Định nghĩa 2.8, ta có

P,= P', với mọi ¡ =1,n, trong đó Po= Q, Pi= [P;.„ f] P'la= 0, P;=[P`¡- „ hị

với mọi ¡ =1,n Mặt khác theo Nhận xét 2.7, ta có

[Q fr fr» fn] = [Pron fol = P,

va [Q’, hy, haha) = [PA )= P’,

nên [@,ứ,, ý ƒ„] = [O”, hị, hạ h„] Vậy W được xác định

Rõ ràng Wlà toàn ánh (do Định lí 2.5) Để Wlà song ánh, cần chứng minh

W đơn ánh Giả sử [O, ƒ, ý ƒ] = [O',h,,b;, h,] cần chứng minh (Ó, ƒ, ý ƒ„ ) ~

Thật vậy, đặt P = [@,/¡ /; ƒ„] =[@',h,,h„ h„] và

PDb= Q P.=[P.i.#,], Pe = OP '= [P/,,h,] với mọi ¡ =1,n Theo Nhận xét 2.7, P = PAR, = P’ véimoii=1n

Từ đó và Định nghĩa 2.8 ta suy ra (O,/;, ƒ;, /,) ~ (C,h,,h,, h„) @

2.10 Nhận xét

Xét trường hợp R = XK là trường, K„ = K[x,,x;, ,x„] là vành đa thức trên trường K

Khi đó, với mỗi P là ideal nguyên tố của K„ ta có P¬R = 0 và tổn tại dãy đa thức (,,

% ƒ„) e F„ bất khả qui hoàn toàn sao cho P =[f , f,] Trong d6,

L: /„] = [0 ;: /„Ì

={g eK,„: tỔn tại e,, e„ >0 sao cho ga” a„“ e(ƒ/)„Ì.