Ideal Nguyên tố trong Vành Đa Thức 3

Thạc sĩ toán học đại số lý thuyết -chuyên đề :Ideal Nguyên tố trong Vành Đa Thức

MỞ ĐẦU

Đối với vành đa thức, có rất nhiều vấn dé để nghiên cứu Một trong những vấn

đề đó là khảo sát về ideal nguyên tố của nó Như chúng ta đã biết, nếu K là trường và K[x] là một vành đa thức theo biến x trên K thì : “Với mỗi ideal nguyên tố P khác 0 của K/xj, tổn tại một đa thức bất khả quy ƒ e K/xJ sao cho P = K[x]ƒ”

Kết quả trên đối với vành đa thức K/xj đã có từ lâu và còn là nên tảng của lý thuyết đại số Mặc dầu vậy, đối với vành đa thức n biến K[x¡, x;, x„] thì vẫn còn là dấu chấm hỏi Vì thế, thật khó để xác định hệ thống tập sinh cho một ideal nguyên tố bất kì trong vành đa thức n biến K[x, x ;, x, ]

Mục đích của luận văn nhằm mô tả các ideal nguyên tố trong vành đa thức:

“Mọi ideal nguyên tố P trong vành đa thức #|z,,x;, x„] trên vành cơ sở ® bất kì

đều được xác định bởi giao của P với cùng với ø đa thức trong R[z;, x„, , x„]”, điểu

này được thể hiện trong Định lí 1.12 — đối với vành đa thức một biến và Định lí 2.5 — đối với vành đa thức ø biến Hơn nữa, các đa thức xác định P ấy tạo thành một dãy (trong đó có hữu hạn đa thức bất khả qui) và dãy ấy được gọi là dấy các đa thức bất khả qui hoàn toàn (mo PK), định nghĩa về đa thức bất khả qui hoàn toần được nêu

ở Định nghĩa 1.10 và dãy đa thức bất khả qui hoàn toàn (mod P¬R) được nêu ở Định nghĩa 2.4 Đồng thời luận văn cũng đã giải quyết triệt để chiều còn lại của mệnh để trên , nghĩa là đã chứng minh kết quả “ Với mỗi Q là ideal nguyên tố của ® và bất kì

một dãy đa thức f;, ƒ, /„ bất khả qui hoàn toàn (mođdØ) đều tổn tại duy nhất 1 ideal

nguyên tố của #|x;, x,, x„ ] được xác định bởi chúng”, Định lí 2.6 Điều đó cho ta

sự tương ứng 1 — 1 giữa các ideal nguyên tố của [x, x;, x„] và các lớp tương đương của bé (Q, fi, fo fo) , Dinh li 2.9

Luận văn được chia làm hai chương:

* Chương 1: Ideal nguyên tố trong vành đa thức K|x]

* Chương 2: Ideal nguyên tố trong vành đa thức n biến Klx,,x;, x„]