Số học trong vành đa thức a {x}

Các kháiniệm cơ bản đợc trình bày là: Ước chung lớn nhất, Bội chung nhỏ nhất, số nguyên tố...Vấn đề đặt ra là liệu ta có đa đợc các khái đó vào vành các đa thức A[x] haykhông?. Chơng I c

Lời nói đầu

Trong Đại số-số học khái niệm Iđêan là cơ sở cho việc trình bày các kháiniệm về Ước chung lớn nhất, Bội chung nhỏ nhất và các khái niệm liên quan trongvành chính Bên cạnh đó “ khái niệm Iđêan là cơ bản trong hình học đại số”( theo[1] ) Mặt khác ngay từ lớp 6, chúng ta đã đợc làm quen với môn Số học Các kháiniệm cơ bản đợc trình bày là: Ước chung lớn nhất, Bội chung nhỏ nhất, số nguyên tố Vấn đề đặt ra là liệu ta có đa đợc các khái đó vào vành các đa thức A[x] haykhông ? Khi đó vai trò của các khái niệm trên và các tính chất tơng ứng của chúng

đối với vành A[x] ra sao ? Xuất phát từ đó chúng tôi đa ra đề tài nghiên cứu :

Số học trong vành đa thức A[x] Khóa luận gồm hai chơng

Chơng I của khoá luận một mặt ôn lại các kiến thức biết về vành và Iđêan, mặtkhác đa ra một số khái niệm mới nh : Cơ sở của Iđêan, Iđêan tích, Iđêan thơng cùng các tính chất tơng ứng Mối liên hệ giữa vành và Iđêan của nó đợc thể hiện ở

định lí 3.10 của chơng này Ngoài ra các kiến thức đợc trình bày ở chơng này còn làcơ sở cho việc trình bày các kiến thức ở chơng II của khoá luận

Chơng II của khoá luận gồm ba tiết Bằng cách tơng tự hoá, ở Đ 1,chơngII Chúng tôi đa ra một số khái niệm và tính chất trong vành A[x] giống nh các kháiniệm và tính chất về số trong vành Z Điều đặc biệt ở đây là chúng tôi đã sử dụngkhái niệm Iđêan để làm cơ sở cho việc trình bày các khái niệm về ƯCLN, BCNN.Vai trò của các khái niệm và tính chất về số trong vành A[x] đợc làm sáng tỏ ở Đ 2,chơng II và Đ 3, chơng II Trong Đ 2, chơng II chúng tôi nghiên cứu sâu thêm vềphần tử đại số, phần tử siêu việt và vành A[c] Việc nghiên cứu Iđêan trong mộtvành bất kì là rất khó khăn trong một khoảng thời gian ngắn ngủi Do vậy trong Đ 3chơng II chúng tôi chỉ nghiên cứu Iđêan trong vành A[x] Qua đây chúng ta thấyrằng Iđêan trong vành A[x] có một tính chất giống nh tính chất số trong vành các sốnguyên Z là phân tích ra các thừa số nguyên tố

Trong khoá luận hoạt động tơng tự hoá, tổng quát hoá luôn đợc áp dụng để tìm

ra và giải quyết các vấn đề mới dựa vào các kiến thức cũ đã biết

1

Khoá luận này đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn, giúp đỡ tận tình của thầy giáo

PGS TS Nguyễn Quý Dy Trong thời gian hoàn thành khoá luận, tôi còn đợc sự góp

ý quý báu của các thầy giáo trong khoa Toán

Gia đình và bạn bè thân hữu luôn là nguồn động viên để tác giả có thêm nghịlực, tinh thần hoàn thành khoá luận

Trớc khi trình bày nội dung chính của khóa luận, xin chân thành cảm ơn tất cảmọi tấm lòng đã u ái dành cho tác giả

Với thời gian nghiên cứu cha phải là đủ, hơn nữa trình độ còn hạn chế nên khoáluận chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót Tác giả mong đợc sự góp ý chânthành của quý thầy cô cùng tất cả các bạn

Vinh, tháng 4 năm 2003 Tác giả

Chơng I Vành và Iđêan

Đ 1 Khái niệm về vành

1.1 Định nghĩa Một tập hợp X trên đó xác định hai phép toán hai ngôi là phép +

và phép  thoả mãn các điều kiện sau:

Phần tử trung lập của phép cộng kí hiệu là 0 và gọi là phần tử không

Phần tử đối (đối với phép cộng) của phần tử x kí hiệu là -x

Nếu phép nhân giao hoán thì X đợc gọi là vành giao hoán

Nếu phép nhân có phần tử trung lập thì phần tử đó gọi là phần tử đơn vị của X

và thờng kí hiệu là e hoặc 1

3) Tập hợp các số có dạng a + b 2, với a, b Z là một vành giao hoán ,có

đơn vị

1.2 Miền nguyên

1.2.1 Định nghiã Giả sử X là vành giao hoán Một phần tử a  Xlà bội của một phần tử b  X hay a chia hết cho b, kí hiệu ab, nếu có c  Xsao cho a = bc, ta còn nói rằng b là ớc của a hay b chia hết a, kí hiệu b | a.

1.2.2 Định nghĩa Giả sử X là vành giao hoán Ta gọi ớc của 0 mọi phần tử a  X,

0

a  sao cho có b  X,b  0 thoả mãn ab = 0.

Ví dụ: 2là ớc của 0 trong vành Z 6 vì có 3  Z6và 2.3=0

3

1.2.3 Định nghĩa Một vành có nhiều hơn một phần tử, giao hoán , có đơn vị,

không có ớc của 0 đợc gọi là một miền nguyên

Ví dụ: 1) Vành các số nguyên Z là một miền nguyên

2) Vành Zm( m  N*) là miền nguyên khi và chỉ khi m là số nguyên tố

1.3 Vành con

1.3.1 Định nghĩa Cho X là một vành Tập con A  X đợc gọi là một vành con nếu

A cũng lập thành một vành đối với phép cộng và phép nhân trong X

Ví dụ: 1) Z, Q là các vành con của vành R

2) N không phải là vành con của vành R

1.3.2 Định lí Giả sử A là một bộ phận khác rỗng của vành X Các điều kiện sau

1.3.4 Định nghĩa Giả sử X, Y là các vành bất kì Khi đó tập hợp :

XY=( x , y ) x  X , y  Y cùng với hai phép toán:

(a 1 , b 1 ) + (a 2 , b 2 ) = (a 1 +a 2 , b 1 + b 2 )

(a 1 , b 1 ).(a 2 , b 2 ) = (a 1 a 2 , b 1 b 2 ) trong đó (a 1 , b 1 ) , (a 2 , b 2 )  XY Lập thành một vành và gọi là tích của hai vành X và Y

Ví dụ: Tập hợp ZZ cùng với hai phép toán:

Đ2 Khái niệm về Iđêan

2.1 Định nghĩa Giả sử X là một vành Một vành con A của X thoả mãn

điềukiện: ax A ( xaA ) với mọi aA, mọi xX đợc gọi là Iđêan phải ( Iđêan trái ) của vành X Nếu A vừa là Iđêan phải, vừa là Iđêan trái của X thì đợc gọi là Iđêan của vành X.

Ví dụ: Với X là một vành tuỳ ý, aX Khi đó:

1) Bộ phận aX = ax x  Xlà một Iđêan phải của X2) Bộ phận Xa =xa x  Xlà một Iđêan trái của X

Sau đây là một tiêu chuẩn để nhận biết Iđêan của một vành

2.2 Định lí Một bộ phận A khác rỗng của vành X là một Iđêan của X nếu và chỉ

nếu các điều kiện sau thoả mãn :

1) a – b b A với mọi a,b A.

2) xaA và axA với mọi aA, mọi x X.

Ví dụ: 1) Bộ phận  0 và bộ phận X là hai Iđêan của vành X Chúng đợc gọi

là các Iđêan tầm thờng của vành X

2) Bộ phận mZ gồm các số nguyên là bội của một số nguyên m cho trớc

là một Iđêan của vành các số nguyên Z

3)Tìm tất cả các Iđêan trong vành Z6

Giải:

Đầu tiên ta có hai Iđêan tầm thờng là  0 và Z6 Gọi I là Iđêan thực sự của

Z6 Khi đó I chứa ít nhất một phần tử m  0 Ta gọi m1 là số nguyên dơng nhỏ nhấtsao cho m 1  I Với m bất kì thuộc I, ta có : m = m1q + r với 0  r  m-1 suy ra:

)

1

( =( 5 )=Z6 , ( 2 )= ( 4 )=  0 , 2 , 4, ( 3 )= 0 , 3

Tóm lại tất cả các Iđêan của Z6 là :  0 ,  0 , 3,  0 , 2 , 4, Z6

2.3 Mệnh đề Nếu C 1 , C 2 lần lợt là các Iđêan trong các vành A 1 , A 2 thì

C 1C 2 là một Iđêan của A 1A 2 và mọi Iđêan của A 1A 2 đều có dạng ấy

Chứng minh

Giả sử C1, C2 là những Iđêan trong các vành A1, A2 Ta cần chứng minh rằng

C1C2 là Iđêan của A1A2 Thật vậy, ta có C1C2   vì C1 và C2 khác rỗng Mặtkhác với  ( a1, b1) , ( a2, b2)  C1C2 thì:

5

( a1, b1) - ( a2, b2) = ( a1- a2, b1- b2)  C1C2 ( vì a1- a2 C1 , b1- b2 C2 ).

Với  (a , b )  A1A2 , ta có ( a,b ) ( a1, b1) = ( aa1, bb1)  C1C2

(Vì aa1 C1 , bb1  C2 ) Do đó C1C2 là Iđêan của A1A2

Để kết thúc bài toán, ta cần chứng minh mọi Iđêan trong A1A2 đều có dạng

C1C2 với C1 là Iđêan của A1, C2 là Iđêan của A2 Thật vậy, giả sử C1C2 là Iđêancủa A1A2 Khi đó C1C2 là bộ phận khác rỗng trong A1A2 do đó C1 , C2 lần lợt

Vậy C1,C2 lần lợt là các Iđêan trong A1 , A2

Ví dụ: Tìm tất cả các Iđêan của ZZ, trong đó Z là vành các số nguyên

Giải

áp dụng mệnh đề 2.3, ta có I = I1 I2 là Iđêan của ZZ  I1, I2 là các Iđêancủa Z  I1= m1Z, I2= m2Z (m1, m2Z )

Vậy tất cả các Iđêan của ZZ là (m1Z )(m2Z )

2.4 Định lí Giao của một họ bất kì những Iđêan của vành X là một Iđêan của

vành X.

*Nhận xét: Giả sử U là một bộ phận của vành X Khi đó U chứa trong đó ítnhất một Iđêan của X, chẳng hạn là X Theo định lí 2.4 giao A của tất cả các Iđêancủa X chứa U là một Iđêan của X chứa U và là Iđêan bé nhất chứa U, Iđêan này gọi

là Iđêan sinh bởi U Nếu U =  a1, a2, , an, ( n  *

N ) thì A đợc gọi là Iđêan sinhbởi các phần tử a1, a2, , an Iđêan sinh bởi một phần tử đợc gọi là Iđêan chính

2.5 Định lí Giả sử X là một vành giao hoán, có đơn vị và a1, a2, , an X Bộ phận

A của X gồm các phần tử có dạng x1a1 x2a2  xnan với x1, x2, , xnX là Iđêan của X sinh bởi a1, a2, , an.

Ví dụ: Trong vành giao hoán, có đơn vị Z Bộ phận mZ =  mx x  Z làIđêan ( chính ) của vành Z sinh bởi m

2.6 Định nghĩa Các phần tử a1, a2, , an nói trong định lí 2.5 gọi là cơ sở của Iđêan A.

Iđêan A đợc kí hiệu là (a1, a2, , an) Vậy:

n i i

1

Hai ví dụ sau đây chứng tỏ rằng có những miền nguyên mà mọi Iđêan của nó

n

m

( p là một số nguên tố)

a, Chứng minh rằng Dp là một miền nguyên

b, Chứng minh rằng mọi Iđêan thực sự trong Dp đều có dạng ( pk )

1

1 n

m

,

2

2 n

m

-

2

2 n

m

=

2 1

1 2 2 1

n n

n m n

m 

,

2

2 1

1 n

m n

m

=

2 1

2 1 n n

m m

 Dp ,(vì ( n1n2 , p ) = ( n1 , p ) = 1 )

Vậy Dp là vành con của vành Q Do đó Dp là vành giao hoán, có đơn vị,không có ớc của không vì Q là vành giao hoán, có đơn vị, không có ớc của không Tóm lại Dp là một miền nguyên

b) Giả sử I là một Iđêan thực sự của Dp Ta cần chứng minh I = ( pk ), với k  N

* Thật vậy : Vì I là Iđêan thực sự của Dp nên I chứa ít nhất một phần tử

1 n

n n

m

I,

7

Dp )  a  I,  a  Dp  Dp I  I = Dp mâu thuẫn với I

là Iđêan thực sự của Dp Vậy k  N*

Bây giờ ta sẽ chứng minh I = ( pk ), với k  N* thoả mãn (1) :

+) Chứng minh I ( pk): Giả sử nm  I Chia m cho m1, ta có m = m1q + r,trong đó 0  r  m1 1 , q  0 Khi đó :

n

r n

q n n

m n

r n

q m n

   

n

q n n

m n

m n

1

1 n

m

I , n

q

n1

Dp )  r = 0 ( vì m1 là số nguyên dơng bé nhất ) Từ đó:

n m

m

=

1

1 n

m

2

1 n

Mệnh đề sau đây khẳng định rằng tồn tại ít nhất một vành không có Iđêan thực

sự nào

2.7 Mệnh đề Trong vành M tất cả các ma trận vuông cấp n, n N * với phần tử là những số thực không có Iđêan thực sự nào.

Chứng minh

Ta có tập M tất cả các ma trận vuông cấp n có một cơ sở gồm n2 ma trận E ij,

có phần tử 1 tại vị trí ( i,j ) và phần tử 0 tại mọi vị trí khác

Giả sử vành M có Iđêan thực sự I Khi đó I chứa ít nhất một ma trận A khác

không Ta có: A = 



n

j i

ij

ij E a

r k

suy ra BE = B  I, B M  M I  I = M mâu thuẫn với I là Iđêan thực

- Mệnh đề 2.7 không còn đúng nữa với các Iđêan một phía Chẳng hạn :

0 là Iđêan phải thực sự của vành các ma trận vuông cấphai với các phần tử lấy trên trờng A

Định lí sau đây khẳng định mối liên hệ giữa sự bao hàm của các Iđêan và tínhchia hết trong vành

2.8 Định lí Cho X là vành giao hoán, có đơn vị a,b là các phần tử tuỳ ý của X.

 Đảo lại, giả sử a | b, ta cần chứng minh (b) (a):

Vì a | b nên có x X sao cho: b = ax (a) Từ đó với y (b)  y = b.y1, y1 

X suy ra y = ax y1= a[x y1] (a) hay là (b) (a) Ta có điều phải chứng minh

2.9 Mệnh đề Cho X là vành giao hoán, có đơn vị B và C là những Iđêan trong X.

Khi đó tập hợp B + C = b  c b  B , c  C là một Iđêan trong X.

Chứng minh

Dễ thấy B + C là một bộ phận khác rỗng trong X Mặt Khác ta có:

Với mọi a, b B + C nghĩa là a = b1 + c1, b = b2 + c2 ở đây b1 , b2 B ; c1 , c2  C,với  x  X thì:

a – b b = (b1 + c1) – b (b2 + c2) = (b1 - b2) + (c1 + c2) B + C

x.a = x(b1 + c1) = x b1 + xc1  B + C Do đó B + C là Iđêan của vành X

2.10 Định nghĩa 1) Cho vành giao hoán X Một phần tử b X đợc gọi là ớc chung của các phần tử a 1 , a 2 , ,a nX nếu b | a i , i = 1 , n.

9

2) Một ớc chung d của các phần tử a 1 , a 2 , ,a n X sao cho mỗi ớc chung của a 1 , a 2 , ,a n đều là ớc của d, thì đợc gọi là ớc chung lớn nhất của a 1 ,

a 2 , ,a n

Ta kí hiệu: d = (a1, a2, ,an)

2.11 Mệnh đề Trong một vành giao hoán, có đơn vị X, tổng (b) + (c) của hai Iđêan

chính tự nó là một Iđêan chính (d) khi và chỉ khi d là ớc chung lớn nhất của b và c.



 1 , với xi, yj X

 1  x (b1, b2, , bn , c1, c2, , cm)

m c b B ; c C , i , m , m N b

c b c

j

j j

i

i i i

i c x b

i c x b

i c b

1, với ci

2.15 Mệnh đề Trong vành giao hoán X, gọi B:C là tập hợp tất cả các phần tử b

sao cho cb thuộc B mỗi khi c thuộc C.Khi đó :

1) Nếu B và C là những Iđêan trong X, thì B:C cũng là một Iđêan trong X ( nó gọi là Iđêan thơng ).

2) ( B1B2):C = ( B1 : C ) ( B2: C), với B1, B2, C là các Iđêan của vành X.

Chứng minh

1) Ta có : B:C =  b cb  B ,  c  C  Dễ thấy B:C khác rỗng

Gọi a1, a2 B:C  c a1, c a2 B, c  C  c a1-c a2 B, c  C

 c(a1- a2)  B, c  C Với x  X thì ta có cx  C, c  C  cxa1

 B1, c  C Vậy B:C là Iđêan của X

2) a ( B1B2):C  ca  B1B2, c  C  ca  B1, ca  B2,

c  C  a ( B1 : C ) ( B2: C) Vậy ( B1B2):C = ( B1 : C ) ( B2:C)

2.16 Mệnh đề Cho X là vành giao hoán, có đơn vị c1, c2, , cm, x là các phần

tử tuỳ ý trong vành X Khi đó :

1) (c1, c2, , cm) = (c1+xc2, c2, , cm )

2) ( xc1, c2, , cm) = (c1, c2, , cm) ( x  o , x 1  X).

Chứng minh

1) Với a (c1, c2, , cm) , ta có a = 



m

i i

i x c

1, xi  X.Từ đó:

i

x c

2

1 + c2(x2 + xx1)  a  (c1, c2, , cm) Vậy (c1+xc2, c2, , cm )  (c1, c2, , cm)

Do đó (c1+xc2, c2, , cm ) = (c1, c2, , cm)

2) Lập luận tơng tự ta có điều phải chứng minh

Ví dụ: Giản ớc cơ sở của các Iđêan sau đây trong R[x,y]:

1) (x2 + y, 3y, 4x3 + x2)

2) (x2 + 3xy + y2, 2x2 – b y2, x2 + 6xy, x3 + y2)

Giải 1) Ta có (x2 + y, 3y, 4x3 + x2) = (x2 + y, y, 4x3 + x2) = (x2, y, 4x3 + x2) =

= (x2 , 2x2 – b y2, xy, x3 + 2x2) = (x2 , y2, xy, 0) = (x2 , y2, xy)

Tóm lại ta có: (x2 + 3xy + y2, 2x2 – b y2, x2 + 6xy, x3 + y2) = (x2 , y2, xy)

13

Đ 3 Vành thơng và đồng cấu vành

3.1 Vành thơng

3.1.1 Định lí Nếu A là một Iđêan của vành X thì:

1) Lớp xy + A chỉ phụ thuộc vào các lớp x + A và y + A mà không phụ thuộc vào sự lựa chọn của các phần tử đại diện x, y từ các lớp đó.

2) X/A cùng với hai phép toán:

f(ab) = f(a)f(b) , với  a, b X.

Nếu X = Y thì đồng cấu f gọi là tự đồng cấu của X

Nếu đồng cấu f là một toàn ánh (đơn ánh) thì ta bảo f là toàn cấu (đơn cấu)

Nếu đồng cấu f là một song ánh thì ta bảo f là đẳng cấu

Đặt Im f = f(X), Ker f =  x  X ( x )  0 Y (0Y là phần tử không trong vành Y) Khi

đó Im f gọi là ảnh của đồng cấu f, Ker f gọi là hạt nhân của đồng cấu f

Ví dụ: Giả sử A là một Iđêan của vành X ánh xạ h: X  X / A

x  x + A

là một đồng cấu vành từ vành X đến vành thơng X/A Đồng cấu này là toàn cấu, gọi

là toàn cấu chính tắc

3.3 Định lí Giả sử X, Y, Z là những vành, f: X  Y, g: Y  Z là những đồng cấu Thế thì ánh xạ: gf: X  Z cũng là một đồng cấu vành Đặc biệt tích của hai đẳng cấu là một đẳng cấu

3.4 Định lí Giả sử f: X  Y là một đồng cấu từ vành X đến vành Y Thế thì:

1) f(0) = 0 2) f(-x) = -f(x) với x  X.

3.5 Định lí Giả sử f: X  Y là một đồng cấu từ vành X đến vành Y, A là một vành con của vành X, B là một Iđêan của Y thế thì:

1) f(A) là một vành con của Y 2) f -1 (B) là một Iđêan của X.

3.6 Hệ quả Giả sử f: X  Y là một đồng cấu từ vành X đến vành Y Thế thì Imf là một vành con của Y và Kerf là một Iđêan của vành X.

3.7 Định lí Giả sử f: X  Y là một đồng cấu từ một vành X đến một vành Y Thế thì:

1) f là một toàn ánh nếu và chỉ nếu Imf = Y 2) f là một đơn ánh nếu và chỉ nếu Kerf =  0

3.8 Định lí Giả sử f là một đồng cấu từ vành X đến vành Y, p: X  X/Kerf là toàn cấu chính tắc từ vành X đến vành thơng của X trên Kerf Thế thì:

1) Có một đồng cấu duy nhất: f : X/Kerf  Y sao cho tam giác f

X Y

p f X/Kerf là giao hoán, nghĩa là f g = f 2) Đồng cấu f là một đơn cấu và Imf = f(X)

3.9 Hệ quả Với mọi đồng cấu f: X  Y từ vành X đến vành Y, ta có:

f(X)X/Kerf

Sau đây chúng ta nêu một định lí nói lên mối liên hệ giữa vành và các Iđêancủa nó

3.10 Định lí Giả sử một vành R chứa các Iđêan B và C sao cho B C =  0 , B + C

= R Khi đó R đẳng cấu với tích của B và C

Từ đó, f((b,c).(b1,c1)) = (b + c).(b1 + c1) = f(b,c).f(b1,c1) Vậy f là đồng cấu vành.3) f là song ánh :

+) Với x, y Z và xypZ thì xy = pa, a Z  xyp  xp hoặc yp

 x = px1 hoặc y = py1  x  pZ hoặc y pZ  pZ là Iđêan nguyên tố, (vì pZ 

Z)

+) Việc kiểm tra pZ là Iđêan tối đại sẽ trở nên dễ dàng khi chúng ta sử dụngmệnh đề 3.13 dới đây

3.12 Mệnh đề Cho X là vành giao hoán, có đơn vị Khi đó nếu A là Iđêan tối đại

của X thì A sẽ là Iđêan nguyên tố của X.

Chứng minhGiả sử A là Iđêan tối đại của X, ta cần chứng minh A là Iđêan nguyên tố củaX:

Thật vậy: giả sử x, y X và xy A Khi đó:

+) Nếu x A thì tính nguyên tố của A đã đựơc chứng minh

+) Nếu x A Ta sẽ chứng minh y A Thật vậy, dễ chứng minh đợc rằng:

A + xX =  a  xz a  A , z  X là một Iđêan của vành X, Iđêan này chứa A

và A + xX A nên suy ra A + xX = X (vì A là Iđêan tối đại), vì thế  a1 A, z1 

X sao cho e = a1 + xz1, (vì X chứa đơn vị e) Từ đó y = ey = a1y + xz1y = a1y + (xy)z1

A, (vì a1y và xy A) Vậy A là Iđêan nguyên tố của X

Sử dụng mệnh đề 3.12 ta có mệnh đề sau đây:

3.13 Mệnh đề Giả sử X là vành giao hoán, có đơn vị e P, A lần lợt là các Iđêan

của vành X Khi đó:

1) X/P là miền nguyên khi và chỉ khi P là Iđêan nguyên tố

2) X/A là trờng khi và chỉ khi A là Iđêan tối đại.

Ví dụ: Xét Q[x] là vành các đa thức với hệ số hữu tỷ Khi đó với d N, d >1, dkhông có ớc chính phơng thì ( x2-d) là Iđêan tối đại và nguyên tố của Q[x]

Chứng minh+) Đầu tiên, ta dễ thấy rằng quy tắc h: Q[x]  Q[ d]

f(x)  h(f(x)) = f( d )

(Trong đó Q[ d] = ( d ) ( x )  Q   x  ) , là toàn cấu vành

+) Ta có Ker h =  ( x )  Q x ( d )  0 = ( x2-d) Từ đó, theo định lí cơ bảncủa đồng cấu vành, ta có: h(Q[x]) Q[x]/Kerh suy ra:

Q[ d]  Q[x]/(x2 – b d)

Do Q[ d] là một trờng nên theo mệnh đề 3.13, ( x2 – b d) vừa là Iđêan tối đạivừa là Iđêan nguyên tố của Q[x]

3.14 Định lí Cho X, Y là các vành giao hoán, P là Iđêan nguyên tố của Y

f:X  Y là đồng cấu vành Khi đó f -1 (P) là Iđêan nguyên tố của vành X.

Chơng II

Số học trong vành đa thức A[x]

Đ1 ứơc chung lớn nhất, Bội chung nhỏ nhất và đa thức

bất khả quy trong vành A[x]

Trong chơng này, chúng ta luôn giả thiết rằng A là một trờng Ngoài ra chúng

ta cũng không nhắc lại về các khái niệm quen thuộc nh: Vành đa thức A[x], Iđêancủa vành A[x], Iđêan chính của vành A[x], vành Ơ clit,

4.1 Định nghĩa Một miền nguyên X gọi là vành chính nếu mọi Iđêan của nó là

Iđêan chính

Ví dụ: Miền nguyên Z là một vành chính

4.2 Định lí Nếu A là một vành Ơclit thì A là một vành chính.

4.3 Hệ quả Nếu A là một trờng thì vành đa thức A[x] là một vành chính

Hệ quả 4.3 đợc suy ra một cách trực tiếp từ định lí 4.2

4.4 Định nghĩa 1) Một đa thức khác không thuộc vành A[x] đợc gọi là ớc chung

của các đa thức f 1 (x), f 2 (x), , f n (x) A[x] ( n N *)khi nó là ớc của mỗi đa thức

f i (x) (i=1 , n).

2) Một ớc chung d(x) của các đa thức f 1 (x), f 2 (x), , f n (x) A[x] sao cho mỗi ớc chung của f 1 (x), f 2 (x), , f n (x) đều là ớc của d(x), thì đợc gọi là ớc chung lớn nhất (ƯCLN) của f 1 (x), f 2 (x), , f n (x).

Khi đó ta kí hiệu: d(x) = ƯCLN(f1(x), f2(x), , fn(x))

4.5 Hệ quả Nếu d 1 (x) =ƯCLN (f 1 (x), f 2 (x), , f n (x)),

d 2 (x) =ƯCLN(f 1 (x), f 2 (x), , f n (x)) thì ta có: d 1 (x) = ad 2 (x) trong đó a A, a 0.

Chứng minh Theo định nghĩa 4.4 ta có: d1(x) | d2(x) và d2(x) | d1(x) suy ra d2(x) =

d1(x).g1(x) và d1(x) = d2(x) g2(x)  d2(x) = d2(x) g1(x).g2(x)

 d2(x)[1- g1(x).g2(x)] = 0 Do d2(x)  0, A[x] là miền nguyên nên ta phải có: 1- g1(x).g2(x) = 0  g1(x).g2(x) = 1  g2(x) a A, a 0 và g1(x) = a-1 Vậy ta có

d1(x) = ad2(x) trong đó a A, a 0

4.6 Định nghĩa 1) Một đa thức thuộc vành A[x] đợc gọi là bội chung của các đa

thức f 1 (x), f 2 (x), , f n (x) A[x] khi nó là bội chung của mỗi đa thức f i (x) (i=1 , n) 2) Một bội chung m(x) của các đa thức f 1 (x), f 2 (x), , f n (x) sao cho mỗi bội chung của f 1 (x), f 2 (x), , f n (x) đều là bội của m(x) đợc gọi là bội chung nhỏ nhất (BCNN) của các đa thức đó.

Hai mệnh đề sau đây sẽ trả lời câu hỏi này

4.8 Mệnh đề Giả sử f 1 (x), f 2 (x), , f n (x)  A[x] Khi đó ƯCLN của các đa thức

1

.A[x] là một Iđêan của vành A[x]

Vì A[x] là một vành chính nên ta suy ra Iđêan 



n

i

i ( x ) f

1

.A[x] là Iđêan chính, nghĩa

là d(x) A[x] (d(x) 0) sao cho: 



n

i

i ( x ) f

1 A[x] nên các đa thức u1(x), u2(x), , un(x) 

A[x] sao cho: d(x) = u1(x) f1(x) + u2(x) f2(x) + + un(x)fn(x) (2)

Bây giờ, chúng ta hãy chứng tỏ d(x) là một ƯCLN của các đa thức f1(x), f2(x), ,

fn(x) Thật vậy: Theo (1) ta có f1(x), f2(x), , fn(x) d(x) .A[x]  fi(x) =d(x).gi(x), i=1 , n  d(x) | fi(x) ,i=1 , n Mặt khác, theo (2) nếu g(x) | fi(x),

i=1 , n thì g(x) | d(x)

Vậy d(x) là ƯCLN của các đa thức f1(x), f2(x), , fn(x)

4.9 Mệnh đề Giả sử f 1 (x), f 2 (x), , f n (x)  A[x] Khi đó BCNN của các đa thức

f 1 (x), f 2 (x), , f n (x) luôn tồn tại.

Chứng minh Theo định lý 2.4, ta có 

n i

i ( x ) f

i ( x ) f

1



.A[x]  m(x) fi( x ).A[x], với i=1 , n19

 m(x) = fi( x ) gi( x ), với i=1 , n, gi( x )A[x]

 m(x) là bội chung của các đa thức f1(x), f2(x), , fn(x).Mặt khác, nếu h(x) là bội chung của các đa thức f1(x), f2(x), , fn(x) thì ta có:h(x) = fi( x ) hi( x ), với i=1 , n, hi( x )A[x]  h(x) fi( x ).A[x], với i=1 , n

 h(x)  

n i

i ( x ) f

đó

Trong số học để tìm ƯCLN của các số nguyên chúng ta thờng sử dụng một định

lí rất quan trọng đó là định lí về phép chia có d Tơng tự nh vậy để tìm ƯCLN củacác đa thức thuộc vành A[x], chúng ta thờng sử dụng định lí sau đây:

4.10 Định lí Giả sử A là một trờng, f(x) và g(x) là hai đa thức thuộc vành A[x] (g(x)

0), thì bao giờ cũng có hai đa thức duy nhất q(x) và r(x) thuộc A[x] sao cho:

f(x) = g(x) q(x) + r(x), với deg r(x) <deg g(x) nếu r(x)  0.

Ví dụ: Tìm ƯCLN của hai đa thức xm - 1 và xn – b 1 trong vành R[x] (m, n 

*

N )

Giải Không mất tính tổng quát ta giả sử m n áp dụng định lí 4.10 cho xm - 1 và

xn – b 1, ta có: xm - 1 = (xn – b 1)q(x) + r(x), trong đó deg r(x) < deg g(x) nếu r(x) 

0 Mặt khác theo định lí về phép chia có d trong vành Z, ta có: m = nq + s,

với 0 s <n Do đó:

xm - 1 = xnq+ s– b 1 = (xnq – b 1)xs + (xs – b 1) = (xn – b 1)q1(x) + (xs – b 1), với 0 s

<n

Từ tính duy nhất của đa thức r(x) ta suy ra: r(x) = (xs – b 1) Từ đó ta có:

(xm - 1 , xn – b 1) = (xn - 1 , xs – b 1) Lập luận một cách tơng tự nh trên sau hữu hạnbớc chúng ta có: