De,DA HSG toan 8 2011

Trên đường cao BD, CE lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho hai góc AMC và ANB vuông.. Chứng minh rằng: AM = AN.. M, D tương ứng là trung điểm của BC, AM.. Chứng minh rằng E là trực tâm của

3(m + n + p) = mnp b/ Tìm số chính phương có dạng: aabb

Câu 2 ( 4 điểm):

a/ Phân tích các đa thức sau ra thừa số:

 x 2 x    3 x    4 x    5   24

b/ Giải phương trình: x3 2x2 x 2 0 Câu 3 ( 3 điểm):

Cho tam giác ABC (góc A nhỏ hơn 900) Trên đường cao BD, CE lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho hai góc AMC và ANB vuông

Chứng minh rằng: AM = AN

Câu 4 (1 điểm):

Cho tam giác ABC cân tại A M, D tương ứng là trung điểm của BC, AM H

là hình chiếu của M trên CD AH cắt BC tại N; BH cắt AM tại E

Chứng minh rằng E là trực tâm của tam giác ABN

-Câu 1

(2 đ)

Câu 2

(4 đ)

a/ Tìm các số nguyên tố đôi một khác nhau m, n, p thỏa

mãn: 3(m + n + p) = mnp

HD: Không mất tính tổng quát nếu giả sử rằng m n p; Khi

đó ta có: mnp9p mn9

Do m, n là các số nguyên tố và m n  , nên chỉ xét các cặp số

sau: (m; n) = (2; 3),

Thay m = 2, n = 3 ta tìm được p = 5 thỏa mãn.

Đáp số: (m, n, p) = ( 2; 3; 5) và các hoán vị của nó.

b/ Tìm số chính phương có dạng: aabb ?

HD: Đặt aabb = k2, trong đó k là số nguyên dương

Đưa về dạng: k2= 11.aOb

Từ đó, lập luận aOb chia hết cho 11, suy ra a + b chia hết cho

11; kết hợp với các chữ số tận cùng của số chính phương suy

ra a = 7, b = 4 Thử lại aabb = 7744 = 882

a/ Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:

Ta cã: ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24

= (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24

= [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24

= (x2 + 7x + 11)2 - 52

= (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16)

= (x + 1)(x + 6)( x2 + 7x + 16)

b/ Giải phương trình:

x3 2x2  x 2 0

Đưa về dạng: (x21)(x 2) 0

Do x2  1 0;  x x2 1 0; x nên suy ra x = 2

Cho tam giác ABC ( góc A nhỏ hơn 900) Trên đường cao BD, CE lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho hai góc

0,5

0,5 0,5 0,5

0,25 0,25 0,5 0,5 0,5

0,5 0,5

0,5 0,5 1,0 1,0

Câu 3

(3 đ)

Câu 4

(1đ)

AMC và ANB vuông Chứng minh rằng: AM = AN.

HD:

E

D A

N

Xét ba cặp tam giác vuông đồng dạng theo trường hợp (g, g):

1/ AMC và ADM (g, g)

2/ ANB và AEN (g, g)

3/ ADB và AEC (g, g)

Rồi rút ra các tỷ số bằng nhau Suy ra: AM2 AN2

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

E D

A

M

H

N

HD:

Ta thấy hai tam giác vuông MHD và CMD đồng dạng (g,g)

Suy ra: HD HM

MD CM hay HD HM

Mặt khác, ta có:

ADH  90 0 DMH BMH

Suy ra:HDA đồng dạng với HMB(c,g,c)

Do đó: AHD BHM 

0,5 0,5 0,5 1,0 0,5

0,25 0,25

Cho tam giác ABC cân tại A M, D

tương ứng là trung điểm của BC,

AM H là hình chiếu của M trên CD.

AH cắt BC tại N; BH cắt AM tại E.

Chứng minh rằng E là trực tâm của

tam giác ABN.

Từ đó: AHB DHM   90 0 hay BHAN.

Kết hợp với AMBC ta suy ra E là trực tâm của tam giác

ABN (đpcm).

-0,25 0,25