a Tính Cˆ b Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang cân c AC cắt BD tại I, AD cắt BC tại K.. Chứng minh IK ⊥ AB.
Trang 1§Ò thi chän häc sinh giái cÊp huyÖn
N¨m häc: 2010-2011 M«n :To¸n - Líp : 8
(Thêi gian lµm bµi: 120 phót)
Bµi 1 (2®):
T×m nghiÖm nguyªn d¬ng x, y, z sao cho:
x
1+
y
1
+
z
1 =1
Bµi 2 (1®):
So s¸nh 23 100 vµ 32100
Bµi 3 (2®):
T×m sè nguyªn d¬ng nhá nhÊt tho¶ m·n ®iÒu kiÖn:Chia cho 2 d 1,chia cho
3 d 2,chia cho 4 d 3 vµ chia cho 5 d 4
Bµi 4 (2®):
a) Cho tứ giác ABCD có Aˆ=Bˆ=1000; Dˆ =800
a) Tính Cˆ
b) Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang cân
c) AC cắt BD tại I, AD cắt BC tại K Chứng minh IK ⊥ AB.
b) Cho tam giác ABC vuông cân tại A Lấy điểm M bất kì nằm giữa hai
điểm B và C Tìm vị trí điểm M để MB2 + MC2 có giá trị nhỏ nhất
Bµi 5 (1®):
T×m sè tù nhiªn n nhá nhÊt sao cho sè a= 28+211+2n lµ sè chÝnh
ph-¬ng
Bµi 6 (2®):
T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh : x2 + y2 + z2 = x2y2.
§Ò thi chän häc sinh giái cÊp huyÖn
N¨m häc: 2010-2011 M«n :To¸n - Líp : 8
(Thêi gian lµm bµi: 120 phót)
Bµi 1 (2®):
T×m nghiÖm nguyªn d¬ng x, y, z sao cho:
Trang 21+
y
1 +
z
1=1
Bµi 2 (1®):
So s¸nh 23100 vµ 32100
Bµi 3 (2®):
T×m sè nguyªn d¬ng nhá nhÊt tho¶ m·n ®iÒu kiÖn:Chia cho 2 d 1,chia cho 3 d 2,chia
cho 4 d 3 vµ chia cho 5 d 4
Bµi 4 (2®):
Cho tam gi¸c AHM vu«ng t¹i H KÎ ph©n gi¸c MN ( N∈AH).VÏ tia AE ⊥
MN t¹i E AE c¾t MH t¹i B
TÝnh S∆ABM , S∆ABH biÕt AM= p, AN= q
Bµi 5 (1®):
T×m sè tù nhiªn n nhá nhÊt sao cho sè a= 28+211+2n lµ sè chÝnh ph¬ng
Bµi 6 (2®):
T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh : x2 + y2 + z2 = x2y2
híng dÉn chÊm thi Häc kú II
M«n: To¸n 8 N¨m häc:2010- 2011
®iÓm Bµi 1
(2®) Gi¶ sö x≥ y≥ z > 0 ⇒
x
1+
y
1 +
z
1
≤
z
3 ⇔1≤
z
3 ⇔0< z≤3 + Nªu z= 1 ⇒
x
1+
y
1
=0 Kh«ng cã gi¸ trÞ x, y tho¶ m·n + NÕu z = 2 ⇒
x
1+
y
1 = 2 1
Cã x≥ y ⇒
x
1+
y
1
2
1
≤ y2 ⇒ 0< y ≤ 4⇒y= {1,2,3,4}
(0,25®) ( 0.25®)
(0,25®)
Trang 3• y=1 th×
x
1+ 1 =
2
1 Kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña x tho¶ m·n
• y= 2 th×
x
1+ 2
1= 2
1 Kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña x tho¶ m·n
• y= 3 th×
x
1+ 3
1= 2
1 ⇒ x=6 ⇒ (6,3,2) lµ 1 nghiÖm
• y= 4 th×
x
1+ 4
1= 2
1 ⇒ x=4 ⇒ (4,4,2) lµ 1 nghiÖm + NÕu z = 3 ⇒
x
1+
y
1 = 3 2
Cã x≥ y ⇒
x
1+
y
1
3
2
≤ 2y ⇒ 0< y ≤ 3⇒y= {1,2,3 }
• y=1 th×
x
1+ 1 =
3
2 Kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña x tho¶ m·n
• y= 2 th×
x
1+ 2
1= 3
2 ⇒ x=6 ⇒ (6,2,3) lµ 1 nghiÖm
• y= 3 th×
x
1+ 3
1= 3
2 ⇒ x=3 ⇒ (3, 3, 3) lµ 1 nghiÖm VËy (x, y, z) = { (6,3,2) , ( 4, 4, 2), (3, 3, 3)}= (y, x, z) = (z, y,x)
(0,25®)
(0,25®)
(0,25®)
(0,25®) (0,25®)
Bµi 2
(1®) Ta cã (
2
3 )2> 2 ⇒ (
2
⇔ 3100> 2 2100
100 100 100 100
3 2.2 2 2
2 > 2 = 4 > 3
VËy 2 3 100 > 3 2 100
(0,25®) (0,25®) (0,25®) (0,25®)
Bµi 3
(2®) Ta cã: a⇒20a≡≡40(mod 60) 1(mod 2) ; a≡2(mod3) ; a≡3(mod 4) ; a≡4(mod 5)
15a≡45(mod 60)
12a≡48(mod 60)
⇒47a≡133(mod 60)≡13(mod 60)
⇒47a=60t+13
⇒ 60 13 13 13
§Æt 13 13 47 13 3 1 8
2
q
= ⇒ = (víi t,k,u,v,p,q,l∈Z+)
⇒p=2l+l=3l ⇒v=3l+2l=5l ⇒u=5l+3l=8l
⇒k=8l+5l=13l ⇒t=3.13l-1+8l=47l-1 ⇒a=47l-1+13l=60l-1
V× a lµ sè nguyªn d¬ng nhá nhÊt ⇒Chän l=1 ⇒a=59
(0,25®)
(0,25®)
(0,25®)
(0,25®) (0,25®)
(0,25®) (0,25®) (0,25®)
Trang 4Đáp số:a=59.
Bài 4
(2đ) : a) Tớnh được Cˆ= 800 1,0 đ
b) Tớnh được: Aˆ + Dˆ = 180 0; giải thớch AB//CD
ABCD là hỡnh thang
Chứng minh tiếp tứ giỏc ABCD là hỡnh thang cõn
c) Chứng minh tam giỏc IAB cõn tại I; suy ra: IA=IB
Chứng minh tam giỏc KAB cõn tại K; suy ra: KA=KB
KI là đường trung trực của đoạn thẳng AB, suy ra IK ⊥ AB
b : Tỡm vị trớ điểm M để MB2 + MC2 cú giỏ trị nhỏ nhất
Vẽ MH ⊥ AB; MK ⊥ AC
MB2 = 2MH2; MC2 = 2MK2
MK = AH ⇒ MC2 = 2AH2
MB2 + MC2 = AM2
MB2 + MC2 cú GTNN ⇔ AM cú GTNN
⇔ M là trung điểm của BC
Bài 5
(1đ) + Nếu n = 8 ⇒a = 2
8+211+28 = 29 (1+4) = 5 29 (loại) + Nếu n< 8 ⇒a = 28 ( 9 + 2n-8) ⇒ n = { 1,2 7}⇒ a không phải là số chính
phơng
+ Nếu n > 8 ⇒a =28 ( 9 + 2n-8)
a là số chính phơng ⇒( 9 + 2n-8) = p2 ⇒2n-8 = (p-3).(p+3)
Có (p+3)-(p-3) =6 ⇒ 2n-8 là tích của hai số có hiệu bằng 6 và mỗi số phải là
luỹ thừa của 2
p - 3 = 2
p + 3 = 8
p = 5 Với p =5 ⇒2n-8 = 2.8 = 24 ⇔ n - 8 = 4 ⇔ n = 12
KL : n = 12
(0,25đ) (0,25đ)
(0,25đ) (0,25đ) Bài 6
(2đ) Vì x , y có vai trò nh nhau ta có:
VP = x2y2 = (xy)2 ≡
) 4 (mod 1
) 4 (mod 0
TH1:x chẵn ,y lẻ :Suy ra VP ≡ 0 (mod 4)
Từ (*) suy ra z lẻ
Đặt x = 2a, y = 2b+1 , z = 2c +1 (a,b,c thuộc Z)
Khi đó VT có dạng (4d +2) ,d ∈Z
⇒VT ≡ 2 (mod 4)
Vô lý
TH2:x lẻ ,y lẻ :Suy ra VP ≡ 1 (mod 4)
Từ (*) suy ra chẵn
Đặt x = 2a+1, y = 2b+1 , z = 2c (a,b,c thuộc Z)
Khi đó VT có dạng (4d +2) , d ∈Z
⇒VT ≡ 2 (mod 4)
Vô lý
TH3:x chẵn ,y chẵn :⇒VP ≡ 0 (mod 4)
Từ (*) suy ra z chẵn Đặt x = 2a, y = 2b, z = 2c
PT (*) ⇔ 4a2 + 4b2 + 4c2 = 16a2b2
⇔ a2 + b2 + c2 = 4a2b2
Dễ dàng chỉ ra đợc a,b,c chẵn Đặt a = 2A, b = 2B, c= 2C
PT (*) ⇔ 4A2 +4B2 + 4C2 = 64A2B2
(0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ)
(0,25đ)
⇒
⇒
C D
I K
K H
C
A B
C
M
Trang 5⇔ A2 + B2 + C2 = 16A2B2
Lập luận tơng tự nh trên,nếu( x0 , y0 , z0 ) là nghiệm của phơng trình (*) thì
0 ; 0 ; 0
2k 2k 2k
∈ ∈ ∈ ,∀ ∈k N*
Do đó : x0 = y0 = z0 = 0
Ngợc lại :( 0 , 0, 0 ) là nghiệm của phơng trình
KL:PT đã cho có nghiệm là ( 0 , 0 , 0 )
(0,25đ)
(0,25đ) (0,25đ)