đê va đap an hsg toan 8 2011-2012 rat hay

c Chu vi tam giác ADE không đổi... Suy ra AI, AH không đổi.

Phòng GD-ĐT việt yên ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

nĂM học 2011-2012

Mụn: TOÁN 8

(Thời gian làm bài : 120 phút)

Bài 1 (4 điểm)

Cho biểu thức: A =

) 1 )(

( 1

) 3

1 ( 4

3 )

4

1 )(

(

2 2

2

2 2 2

y y x y

x

y y

x y

y x



















a) Chứng minh rằng giỏ trị của A khụng phụ thuộc vào x.

b) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của A?

Bài 2 (4 điểm)

a) Phõn tớch đa thức thành nhõn tử

x1 x2 x3 x4 24

b) Tỡm a và b để đa thức x4 + x3 + ax2 + 4x + b chia hết cho x2 - 2x + 2

Bài 3 (6 điểm) Cho tam giác đều ABC, gọi M là trung điểm của BC Một góc xMy

bằng 600 quay quanh điểm M sao cho 2 cạnh Mx, My luôn cắt cạnh AB và AC lần

l-ợt tại D và E Chứng minh:

a) BD.CE=

4

2

b) DM, EM lần lợt là tia phân giác của các góc BDE và CED.

c) Chu vi tam giác ADE không đổi.

Bài 4 (4điểm)

1 Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh xy +y = x3 + x2 + 7

2 Giải phương trỡnh

 



Bài 5 (2 điểm)

Cho

4 4 1

x y

a  b a b và x2+y2=1

Chứng minh rằng:

2012 2012

1006 1006 1006

2

a b  a b

Phòng GD-ĐT việt yên HƯỚNG DẪN CHẤM HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

Năm học 2011-2012 Mụn: TOÁN 8 Bài 1 (4 điểm)

a x2y2 + 1 + (x2 – y)(1 – y) = x2y2 + 1 + x2 – x2y – y + y2

= x2(y2 – y + 1) +(y2 – y + 1) = (x2 + 1)(y2 – y + 1)

(x2 + 1)[ 1 2 3

y   ] > 0 với mọi x,y

x y y x y  y = x2y +

2

4

x

+ y2 +

4

y

+ x2y2 +3

4

y

+14

= x2(y2 + y +

4

1

) + (y2 + y +

4

1

) = (x2 + 1)(y2 + y +

4

1

)

Rút gọn được A =

1 4 1

2 2









y y

y y

Chứng tỏ A không phụ thuộc và x

4

3 ) 2

1

(

) 2

1 (

2

2









y

y

, với mọi y

Dấu “ =” xảy ra  y = -1/2

Vây GTNN của A bằng 0 khi y = -1/2

Bài 2 (4 điểm)

a) Phân tích đa thức thành nhân tử

x1 x2 x3 x4 24

x2 5x 4 x2 5x 6 24

=x25x 5 1 x25x 5 1 24

x2 5x 52 52

=x25x x  25x10

b Bài 2 phần 1 đề Hiền HN (2011-2012)

1 x4 + x3 + ax2 + 4x + b

§Ó x4 + x3 + ax2 + 4x + b chia hÕt cho x2– 2x+ 2 th×

(2a +6)x + b - 2(a +4) = 0 khi

b 2(a 4) 0 b 2( 3 4) 0 b 2

VËy a = -3; b = 2 lµ gi¸ trÞ cÇn t×m

Bµi 3 (6 ®iÓm)

a Trong tam gi¸c BDM ta cã : 0 1

1 120 ˆ

V× Mˆ 2=600 nªn ta cã : 0 1

3 120 ˆ

H

K I

E D

M

A

3 2 1

2 1

x

y

E D

B

A

x2–2x+ 2

x2+ 3x + a + 4

x4–2x3+

2x2

3x3+( a – 2)x2

+4x+b

3x3 – 6x2 + 6x

( a +4)x2 – 2x + b

–

–

( a +4)x – 2 – 2( a +4)x + 2( a +4)

(2a +6)x + b - 2( a +4)

Suy ra D ˆ1 Mˆ3

Chứng minh BMD CEM (1)

Suy ra

CE

CM BM

BD

 , từ đó BD.CE=BM.CM

Vì BM=CM=

2

BC

, nên ta có BD.CE=

4

2

BC

b Từ (1) suy ra

EM

MD CM

BD

 mà BM=CM nên ta có

EM

MD BM

BD

 Chứng minh BMD MED (c.g.c)

Từ đó suy ra D ˆ1 Dˆ2 , do đó DM là tia phân giác của góc BDE

Chứng minh tơng tự ta có EM là tia phân giác của góc CED

c Kẻ MI, MK, MH theo thứ tự vuông góc với AB, DE, AC Suy ra AI, AH không đổi Chứng minh DI = DK, EK = EH

Chứng minh chu vi tam giác ADE bằng AI + AH không đổi

Bài 4 (4điểm)

a) xy +y = x3 + x2 + 7

 y(x+1) = x2(x+1) +7

(x+1)(y - x2) =7

Do x, y nguyờn nờn x+1 và y- x2 là ước của 7 Hay x+1 và y-x2 Ư(7) ={ 1;-1;7;-7}

Ta cú bảng cỏc giỏ trị tương ứng của x+1,y-x2

v i x , y nh sau: ới x , y như sau: ư sau:

Vậy cỏc cặp số (x;y) thỏa món pt là (0;7); (6;37); (-2;-3); (-8;63)

b Ta cú:

 

 

2

1

x

x x



 

Vậy:

 



 

2

1.3 2.4 3.5 2 2012

x

x x







 

2 1 2.2011

2 2012

x

x





 

1 2011

2 2012

x x





Bài 5: (2điểm)

Ta có:

4 4 1

x y

a  b a b



4 4 2 2 2

x y x y

a b a b



 ( vì x2+y2=1)

 (a+b)(bx4 + ay4)=ab(x2 +y2)2 Nhân hai vế và thu gọn ta đợc

 (ay2 - bx2)2 = 0

 ay2 = bx2 

2 2

x y

a b

áp dụng tính chất tỉ lệ thức ta có



x y x y

a b a b a b





2 2

1

x y

a  b a b



2012

1006 1006

1

x

a  a b và

2012

1006 1006

1

y

b  a b Vậy:

2012 2012

1006 1006 1006

2

a b  a b