Chương IV: GIỚI HẠNGIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ - GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ - HÀM SỐ LIÊN TỤC A.. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ I.. Định lí về giới hạn hữu hạn: a.. Định lí liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới
Trang 1Chương IV: GIỚI HẠN
(GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ - GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ - HÀM SỐ LIÊN TỤC)
A GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
I Tóm tắt lý thuyết:
1 Giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực:
a) Giới hạn hữu hạn
n lim u n = a
n lim (u n – a) = 0 b) Giới hạn vô cực:
n lim u n = +
n lim u n= –
n lim (–u n ) = +
Chú ý: Thay vì viết:
n lim u n = a;
n lim u n= , ta viết tắt: lim u n = a;
lim u n=
2 Các giới hạn đặc biệt:
a) lim1 0
n ; lim 1 k 0
n ; limn
k = + ( với k nguyên dương)
b)
1 :
;
1 :
;
0 lim
q neu
q neu
q n
c) limc = c ( với c là hằng số )
3 Định lí về giới hạn hữu hạn:
a) Nếu limu n = a và limv n = b, thì:
lim(u n + v n ) = a + b
lim(u n – v n ) = a – b
lim(u n v n ) = a.b
b
a v
u n
n lim ( nếu b0) b) Nếu u n 0;nN*, và limu n = a, thì
a
u n
4 Định lí liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực:
a) Nếu lim u n = a và lim v n=
thì lim 0
n
n v
u
b) Nếu lim u n = a > 0, lim v n = 0 và v n > 0
n
n v
u
lim
c) Nếu limu n= + và limv n = a > 0 thì lim(u n v n ) = +
5 Cấp số nhân lùi vô hạn:
a) Định nghĩa: CSN lùi vô hạn là cấp số nhân
vô hạn có công bội q thỏa mãn q 1
b) Công thức tính tổng của CSNLVH:
q
u u
u u
1
2 1
II Các dạng bài tập áp dụng:
Bài 1: Tìm giới hạn sau:
a) lim(2n 2 + 3n – 1) b) lim(– n 2 – n + 3) c) lim(3n3– n 2 + n + 5)
Bài 2 Tìm giới hạn sau:
a)
3
2
2
3
lim
n
n
b)
3 2
2 3 lim
n
n
c)
n
n
6 3
7 5 lim
d)
n n
n
3 2
5 4 lim 22
e)
n n
n n
2
2
2
1
3 6 7
1 3 5 lim 22
n n
n n
g)
1 3 2
) 2 )(
1
2
(
n n
n n
h)
) 1 )(
2 25 (
1 3 5
n n
n n
i)
1 3
) 1 2 )(
( lim 2 3
n n
n n n
j)
3
1 2
lim 2
n n
n n
k)
9 6 7
5 3 2
lim 2
3
n n
n n
l)
3 2
1 1
lim
3 3 2
n
n n
m)
1
2 3
2
n n
n n n
n)
3 27
1 4 3 lim
3 3
2 2
n n n n
Trang 22 3 3
1 3 2
lim 2 2 3
n n
n n n
Bài 3: Tìm các giới hạn sau:
2 5 3
2
3 2
lim
3 5 5
3 2 5 3 lim
7 5 5
7 2 5 7 lim
6 5 3 5
6 2 3 7 lim
5 3
5 ) 2 (
n n
n n
n n
7 5
2
7
3
4
lim
1
g)
1 5 ) 3 (
5 ) 3 (
n n
n n
2
4 3 2
4 3 2
n n n
n n
2 1
5 3
5 ) 3 (
n n
n n
j)
n n
n
n
n
2 3 7
3
1 7
5
1 1
Bài 4: Tìm các giới hạn sau:
a) lim( n2 n1) b) lim( 3n5 n1) c) lim( n2 2n1n1)
d)
n n n
n n n
2
n n
n n n
1
3 lim
2
2
f)
n n
n n n
1
lim
2
2
g)
n n
n n n
2 2
1 2 3 2 lim
2
2
h) lim(3 8n3 3n2 112n) i) lim(3 27n3 n2 12n) j)
n n n
n n
2
3 2 3
lim
k)
n n
n n n
1
1 3
2
lim
2
Bài 5: Tìm các giới hạn sau:
) 2 (
1
4 2
1 3
1
1
lim(
n
1
5 3
1 3 1
1 lim(
n n
3
1 1 )(
2
1
1
n
2
1 :
(ĐS
Bài 6: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:
32
1 16
1 8
1 4
1 2
1
S
2
1 2
1 1
S
2
1 2 2
1 1
2
1
2
S
Bài 7: Tìm các giới hạn sau:
) 4 )(
2
(
) 3 )(
1
(
lim
n n
n n
b) lim1 2 32
n
n
1 2
2 ) 1 2 (
4 3 2 1 lim
n
n n
1
1
b a b b
b
a a
a
n n
Bài 8*: Tìm các giới hạn sau:
a) lim( 2.4 2.8 2 2n2)
; b) limn a;(a0); c) ;
!
2 lim
n
n
d) limlog ;(a0)
n
n
a
2
1 2
6
5
4
3
2
1
n
n
3
1 1 2
1 1
n
Trang 3B GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
I Tóm tắt lý thuyết:
1) Giới hạn hữu hạn:
2) Giới hạn vô cực:
3) Các giới hạn đặc biệt:
):Định lí 1:
0
limx x
x
x
0
lim
d) lim 0
x
c
k
xlim x với k nguyên
dương
f)
neu k le
chan k neu
x k
; lim
4) Định lí về giới hạn hữu hạn:
a) Nếu f x L
x
( )
lim
0
x
( )
lim 0
, thì:
lim[ ( ) ( )] ;
0
M L x g x
f
x
lim[ ( ) ( )] ;
0
M L x g x
f
x
lim[ ( ) ( )] ;
0
M L x g x
f
x
)
(
)
(
lim
0
M
L x
g
x
f
x
b) Nếu f(x)0 và f x L
x
( )
lim 0
, L0 thì:
)
(
lim
0
L x
f
x
( Chú ý: Định lí 1 vẫn đúng khi x hoặc
):Định lí 2:
L x f x
f L
x f
x x x
x x
( ) lim ( ) lim ( )
lim
0 0
0
5) Quy tắc về giới hạn vô cực:
L x f x
( )
lim 0
( )
lim 0
x g x x a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x):
) ( lim 0
x f x
x lim ( )
0
x g x
x lim ( ) ( )
0
x g x f x
x
L > 0
b) Quy tắc tìm giới hạn của thương
) (
) (
x g
x f
: )
( lim 0
x f x
x lim ( )
0
x g x
) ( lim
0 g x
x f x
x
II Các dạng bài tập áp dụng:
Bài 1 : Tính giới hạn :
1
lim x
x b) lim( 2 1)
2
x
x c) lim( 2 2 1)
1
x x
1
x x
1 2
1 lim
1
x
x x
Bài 2 : Tính các gới hạn sau :
a)
2
x 1
x 3x 2
lim
x 1
b).
2
x 2
x 3x 2 lim
x 2
c).
2
x 2
3x 3x 6 lim
x 2
2
x 2
x x 6 lim
4x 4
e). x 2 2
x 1 lim
x 3x 2
Bài 3: Tìm các giới hạn sau ( khi x):
a) lim(2 2 3 5)
2
2 x
2x 5x 1 lim
3x 1
; c).
2
xlim (x x 1)
xlim (x x 1)
e) lim( x2 x 3 x)
f) lim( x2 5x 6 x)
x
h) lim(3 x3 x2 x)
; i) lim(3 3 2 2 1);
17 3
12 7 2 lim
2
x x x
Xem SGK
Trang 4k) lim( 2) 3 1 ;
x x
x x
10 lim
2
x x x
Bài 4: Áp dụng định nghĩa giới hạn bên phải và giới hạn bên trái của hàm số,tìm các giới hạn sau:
a)
x 1lim x 1
;b).x 5lim 5 x 2x
x 3
1 lim
x 3
; d) x 3
1 lim
x 3
e).x 3
1 lim
x 3
f)
x 2
x 2
lim
x 2
; g). x 2
x 2 lim
x 2
; h).x 0
x 2 x lim
2
x 2
4 x lim
2 x
; j).
2
5 4
x ( 1)
x 3x 2 lim
x x
k)
2
2
x 3
x 7x 12
lim
9 x
x lim (x 2)
x 4
; m).
2 2
x ( 3)
2x 5x 3 lim
(x 3)
; n)
2 2
x ( 3)
2x 5x 3 lim
(x 3)
o)
2
2
x 0
lim
x
; p)
x 1
1 x lim x
2 1 x 1 x
; q). x 3 3
3 x lim
27 x
; r).
3 2
x 2
x 8 lim
x 2x
Bài 5: Tìm các giới hạn sau:
a)
x 1
x 3 2
lim
x 1
b). x 7 2
2 x 3 lim
x 49
x 3 lim
3 6x x
x 2 2 lim
x 7 3
e)
2
x 3
x 2x 6 x 2x 6
lim
x 4x 3
3 x 2 lim
x 2x 35
g). x 2 2
3x 2 2 lim
x 7x 18
Bài 6: a) Cho hàm số:
2
2 x 1 neu x 2
f (x)
2x 1 neu x 2
Tìm
x ( 2)lim f (x)
;
x ( 2)lim f (x)
và
xlim f (x)2
(nếu có)
b) Cho hàm số :
2
x 2x 3 neu x 2
f (x)
4x 3 neu x 2
Tìm
x 2lim f (x)
x 2lim f (x)
x 2 lim f (x)
( nếu có )
Trang 5C HÀM SỐ LIÊN TỤC
I Tóm tắt lý thuyết:
1) Hàm số liên tục:
Cho hàm số y f (x) xác định trên khoảng K
và x0 K
)
(x
f
y liên tục tại 0 lim ( ) ( 0)
0
x f x f x
x
y f (x) liên tục trên một khoảng nếu nó liên
tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó
y f (x) liên tục trên đoạn [a;b] nếu nó liên
tục trên khoảng (a;b) và:
) ( )
(
lim f x f a
a
x
;lim f(x) f(b)
b
x
) Nhận xét: Đồ thị của hàm số liên tục trên
một đoạn được biểu diễn thị bởi một “ đường
liền nét” trên khoảng đó
2) Các định lí:
) Định lí 1:
a Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số
thực
b Hàm phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác
liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng
) Định lí 2:
Giả sử y f (x) và y g (x) là hai hàm số liên
tục tại điểm x 0 khi đó:
a) Các hàm số f(x)g(x); f(x)g(x)
và f(x).g(x) cũng liên tục tại x 0 b) Hàm số
) (
) (
x g
x f liên tục tại điểm x 0 nếu
0 ) (x0
g
) Định lí 3: Nếu hàm số y f (x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)0 thì tồn tại ít nhất một c( b a; ) sao cho f(c)0
Suy ra: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b]
và f(a).f(b)0 thì phương trình f(x)0 có
ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (a;b)
II Các dạng bài tập áp dụng:
Bài 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại một điểm ( đoạn ) cho trước.
a)
2
x 1 khi x 0
f (x) 1
khi x 1 2
2
x 1 khi x 1
f (x)
x 1 khi x 1
c)
2
x 3x 2
khi x 2
f (x) x 2
tại điểm x = 2 d)
3
x 1
khi x 1
f (x) x 1
2 khi x 1
tại điểm x = 1
e)
2
x 4
khi x 2
f (x) x 2
4 khi x 2
tại điểm x = –2 f)
2
x 4 khi x 2
f (x)
2x 1 khi x 2
g)
2
x khi x 0
f (x)
1 x khi x 0
2
3
4 3x khi x 2
f (x)
x khi x 2
= –1
i)
2
khi x 3
tại điểm x = 3
Bài 2: Chứng minh rằng:
x y
a
Trang 6a) Hàm số f (x) 1 x 2 liên tục trên đoạn [-1;1].
b) Hàm số f (x) x 1 liên tục trên nữa khoảng[1;)
c) Hàm số
2
1
f (x)
1 x
liên tục trên khoảng (-1;1) d) Hàm số f (x) 8 2x 2 liên tục trên nữa khoảng[2;2]
e) Hàm số f (x) 2x 1 liên tục trên nữa khoảng ; )
2
1 [
f) Hàm số
2
2
(x 1) khi x 0
f (x)
x 2 khi x 0
Bài 3: Tìm số thực a sao cho hàm số:
a)
2
f (x)
2ax 3 khi x 0
b)
2 2
a x khi x 2
f (x)
(1 a)x khi x 2
c)
2
x
x a khi x 0
f (x)
2 khi x 0
Bài 4: Chứng minh rằng phương trình:
a) x cos x x sin x 1 02 có ít nhất một nghiệm trên khoảng (0; )
b) x3 x 1 0 có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn -1