Chương IV: GIỚI HẠN GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ - GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ - HÀM SỐ LIÊN TỤC A.. Định nghĩa: CSN lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn có công bội q thỏa mãn.. Bài 4: Áp dụng định nghĩa g
Trang 1Chương IV: GIỚI HẠN (GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ - GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ - HÀM SỐ LIÊN TỤC)
A GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
I Tóm tắt lý thuyết:
1 Giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực:
a) Giới hạn hữu hạn
un = a(u n – a) = 0
b) Giới hạn vô cực:
un = +
un = –(–u n ) = +
( Chú ý: Thay vì viết: un = a;
u n = , ta viết tắt: u n = a;
u n =
2 Các giới hạn đặc biệt:
a) lim; lim; limn k = +
b)
c) limc = c ( với c là hằng số )
3 Định lí về giới hạn hữu hạn:
a) Nếu limu n = a và limv n = b, thì:
lim(un + v n ) = a + b
lim(un – v n ) = a – b
lim(un v n ) = a.b
( nếu )
b) Nếu , và limu n = a, thì
4 Định lí liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực:
a) Nếu u n = a và v n = thì
b) Nếu lim u n = a > 0, lim v n = 0 và v n > 0 n
thì
c) Nếu limu n = + và limv n = a > 0 thì lim(u n v n ) = +.
5 Cấp số nhân lùi vô hạn:
a) Định nghĩa: CSN lùi vô hạn là cấp số nhân
vô hạn có công bội q thỏa mãn
b) Công thức tính tổng của CSNLVH:
II Các dạng bài tập áp dụng:
Bài 1: Tìm giới hạn sau:
a) lim(2n 2 + 3n – 1) b) lim(– n 2 – n + 3) c) lim(3n3 – n 2 + n + 5)
Bài 2 Tìm giới hạn sau:
a) b) c) d) e) f)
g) h) i) j)
k) l) m) n)
o)
Bài 3:
Tìm các giới hạn sau:
a) b) c) d) e)
f) g) h) i) j)
Bài 4: Tìm các giới hạn sau:
a) b) c)
d) e) f) g)
h) i) j)
Trêng THPT Nam Giang
+∞
→
nlim⇔
+∞
→
nlim
+∞
→
nlim∞
+∞
→
nlim⇔∞
+∞
→
nlim∞
+∞
→
nlim
+∞
→
n±limlim∞
lim∞
±
0
1 =
n 0
1k =
n
∞
>
∞ +
<
=
1 :
;
1 :
;
0 lim
q neu
q neu
q n
b
a v
u n
n =
limb≠0
*
;
ulimn ≥ u∀n =∈ a
lim∞
±
0
n
n v
u
∀ +∞
=
n
n v
u
lim
∞
1
<
q
q
u u
u u
−
= + + + +
=
1
2 1
3 2
2 3 lim
+
+
n
n
3 2
2 3 lim
+
−
n
n n
n
6 3
7 5 lim
−
−
n n
n
3 2
5 4 lim 2
2
+
−
n n
n n
−
+ +
2
2
2
1 lim
3 6 7
1 3 5 lim 2
2
− +
+ +
n n
n n
1 3 2
) 2 )(
1 2 (
+
−
+
−
n n
n n
) 1 )(
2 25 (
1 3 5 lim
2
− +
+
−
n n
n n
1 3
) 1 2 )(
(
2
− +
− +
n n
n n n
3
1 2
lim 2
+ +
+
n n
n n
9 6 7
5 3 2
lim 23
+ +
+ +
n n
n n
3 2
1 1
+
− + +
n
n n
1
2 3
lim 2 2
+
−
+
−
n n
n n n
3 27
1 4 3 lim
2 2
+
−
+
− +
n n
n n
2 3 3
1 3 2
3 2
+
−
− + +
n n
n n n
n n
n n
2 5 3 2
3 2 lim
+
+
n n
n n
3 5 5
3 2 5 3 lim
+
−
n n
n n
7 5 5
7 2 5 7 lim
−
−
n n
n n
6 5 3 5
6 2 3 7 lim
−
+
1
1 5 3
5 ) 2 (
+
−
−
n n
n n
n n n
n n
− +
+
−
2
3 2 3
lim(38 n33−n2 1− −1 n2 ) lim(lim3n n32+n2n32n2− +22n n− 1n
2
− +
+ +
−
−
n n
n n n
− +
+
−
1
lim
2
2
n n
n n n
− +
+
− +
1
3 lim
2
2
n n n
n n n
− +
−
− +
2
lim
) 1 1 2 lim(lim(lim(n32n n+++2n5−−− n−n+n−1+1))
n n
n
n n
2 3 7 3
1 7 5 lim 1 1 1 1
+ +
+
+
+ +
+ +
1 1
2 1
5 3
5 ) 3 ( lim ++ ++
+
+
−
n n
n n
1 1
2
4 3 2
4 3 2
+ +
− +
n n n
n n
1 5 ) 3 (
5 ) 3 (
+ +
−
−
−
n
n n n n
n n
7 5 2
7 3 4
+ + +
1
Trang 2k)
Bài 5: Tìm các giới hạn sau:
a) b)
c)
Bài 6: Tính tổng của cấp số nhân lùi
vô hạn:
a)
b)
c)
Bài
7: Tìm các giới hạn sau:
a) b) ; c)
d)
Bài 8*: Tìm các giới hạn sau:
a) ; b) ; c) d)
e) f)
B GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
I Tóm tắt lý thuyết:
1) Giới hạn hữu hạn:
2) Giới hạn vô cực:
3) Các giới hạn đặc biệt:
):Định lí 1:
a) b) c)
d) e) với k
nguyên dương
f)
4) Định lí về giới hạn hữu hạn:
a) Nếu và ,
thì:
;
b) Nếu và ,
thì:
( Chú ý:
Định lí 1 vẫn đúng khi hoặc )
):Định lí 2:
5) Quy tắc về giới hạn vô cực:
; a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x):
L > 0
L < 0
b) Quy tắc tìm giới hạn của thương :
;
1 1
3
1 1 2
1 1
−
−
−
n
; 2
1 2
6
5 4
3 2
1
n
n )0
(
;
log
n
n
a ;
!
2 lim
n
n 0) (
; lim2n.a2.a2> 2) lim( 4 8 2n
);
1 , 1 ( ,
1
1
2
<
<
+ + + +
+ + + +
b a b b
b
a a
a
n
1 2
2 ) 1 2 (
4 3 2 1 lim
+
−
− + +
− +
−
n
n n
2
3 2 1 lim
n
n
+ + +
) 4 )(
2 (
) 3 )(
1 ( lim
+ +
+ +
n n
n n
;
2
1 2 2
1 1 2
1
−
+
−
+
=
S
;
2
1 2
1 1
=
S
;
32
1 16
1 8
1 4
1 2
1
=
S
) 2
1 :
(ĐS ) (1 1 )
3
1 1 )(
2
1 1
n
−
−
− (2 1)(2 1))
1
5 3
1 3 1
1 lim(
+
− + + +
n
n ( 2))
1
4 2
1 3 1
1 lim(
+ + + +
n n
n n
n n n
−
−
+
− +
1
1 3
2 lim
2
0 0
limx x x
→ c c x
→ 0
lim c c
± ∞
→
lim
0
± ∞
→ x
c x
+∞
=
+∞
→
k
xlim x
∞
−
∞ +
=
−∞
chan k neu
x k
; lim
L x f x
→ ( )
lim
0
M x g x
→ ( )
lim
0
; )]
( ) ( [ lim
0
M L x g x f x
→
; )]
( ) ( [ lim
0
M L x g x f x
→
; )]
( )
( [ lim
0
M L x g x f x
→
) 0 (
; ) (
) ( lim
0
≠
=
M
L x g
x f x x
0 ) (x ≥
f f x L x
→ ( ) limL≥0
) ( lim
0
L x f x
→ x x→→+∞−∞
L x f x
f L
x f
x x x
x x
→
→
lim
0 0
0
L x f x
→ ( )
lim
0
± ∞
=
→ ( )
lim
0
x g x x
) ( lim
0
x f x
x→ lim ( )
0
x g x
x→ lim ( ) ( )
0
x g x f x
x→
∞
∞
∞
∞
) (x f Xem SGK
Trang 3Dấu của
f(x)
L > 0
0
+ –
–
Trêng THPT Nam Giang
)
(
lim
0
x
f
x
x→ lim ( )
0
x g x
x→
) (
) ( lim
0 g x
x f x
x→
∞
±
∞
−
∞ +
3
Trang 4II Các dạng bài tập áp dụng:
Bài
1 : Tính giới hạn :
a) b) c) d) e)
Bài 2 : Tính các gới hạn sau :
a).b) c).d) e)
Bài 3: Tìm các giới hạn sau ( khi ):
a) b) ; c) ; d)
e) f) ; g)
h) ; i) j)
k) l) ; m)
Bài 4: Áp dụng định nghĩa giới hạn bên
phải và giới hạn bên trái của hàm số,tìm
các giới hạn sau:
a) ;b).; c) ; d) e)
f) ; g) ; h) i) ; j) ;
k) l) ; m) ; n)
o) ; p) ; q) ; r)
Bài 5: Tìm các giới hạn sau:
a) b) c) d)
e) f) g)
Bài 6 : a) Cho hàm số:
Tìm ; và (nếu có)
b) Cho hàm số :
Tìm ; ; ( nếu có )
C HÀM SỐ LIÊN TỤC
I Tóm tắt lý thuyết:
1) Hàm số liên tục:
2 1
lim x
x(→ 1)
lim 2
→ x
x( 2 1)
lim 2
−
x ( 2 1)
lim
x
1 2
1 lim
+
→ x
x x
2
lim
x 1
→−
+
2
lim
x 2
→−
+
2
lim
x 2
→−
+
2
x 2
lim 4x 4
→
+ −
−
2
x 1 lim
→−
−
→
x
) 5 3 2 (
+∞
x
2 2 x
lim
→−∞
+
2
) 3 (
−∞
+∞
(
−∞
x
) (
lim 3 x3 x2 x
+∞
( lim 3 3 + 2 − 2 +
−∞
17 3
12 7 2 lim
2
−
+
−
−∞
x x
xlim( 2) 3 1 ;
x x
x x
− +
+∞
2
+
+ +
−∞
x x x x
)
1 (
+∞
→
x 1
x 3
1 lim
x 3
+
x 3
1 lim
x 3
−
x 3
1 lim
x 3
−
x 2
x 2 lim
x 2
+
→
−
−
x 2
x 2 lim
x 2
−
→
−
−
x 0
x 2 x lim
+
→
+
−
2
x 2
4 x lim
2 x
−
→
−
−
2
x ( 1)
lim
−
→ −
+
2 2
x 3
lim
9 x
−
→
x 2
x lim (x 2)
+
−
2 2
x ( 3)
lim
(x 3)
−
→ −
+
2 2
x ( 3)
lim
(x 3)
+
→ −
+
2 2
x 0
lim
x
+
→
+ −
x 1
1 x lim x
2 1 x 1 x
−
→
−
x 3
3 x lim
27 x
−
→
−
−
3 2
x 2
lim
+
→
−
−
x 1
x 3 2 lim
x 1
→
+ −
−
2
x 7
lim
→
x 3
x 3 lim
−
→
−
x 2
x 2 2 lim
x 7 3
→
+ − + −
2
x 3
lim
→
2
x 7
lim
→
2
x 2
3x 2 2 lim
→
− −
2
f (x)
=
x ( 2)lim f (x)−
→ −
x ( 2)lim f (x)+
→ − xlim f (x)2
→−
2
f (x)
x 2lim f (x)−
→
x 2lim f (x)+
→
x 2
lim f (x)
→
Trang 5 Cho hàm số xác
định trên khoảng K và
liên tục tại
liên tục
trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm
thuộc khoảng đó
liên tục trên
đoạn [a;b] nếu
nó liên tục trên khoảng (a;b) và: ;
) Nhận xét: Đồ thị của hàm số liên tục trên
một đoạn được biểu diễn thị bởi một “ đường
liền nét” trên khoảng đó
2) Các định lí:
) Định lí 1:
a Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số
thực
b Hàm phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác
liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng
) Định lí 2:
Giả sử và là hai hàm số liên tục tại điểm x 0 khi đó:
a) Các hàm số ; và cũng liên tục tại x 0
b) Hàm số liên tục tại điểm x 0 nếu
) Định lí 3: Nếu hàm số liên tục trên đoạn [a;b] và thì tồn tại ít nhất một sao cho
Suy ra: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b]
và thì phương trình có ít nhất một nghiệm nằm
trong khoảng (a;b)
II Các dạng bài tập áp dụng:
Bài 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại một điểm ( đoạn ) cho trước.
a) tại điểm x = –1 b) tại điểm x
= 1
c) tại điểm x = 2 d) tại điểm x
= 1
e) tại điểm x = –2 f) tại
điểm x = 2
g)
tại điểm
x = 0 h) tại điểm x = –1
i).tại điểm x = 3
Bài 2: Chứng minh rằng:
a) Hàm số liên tục trên đoạn [-1;1]
b) Hàm số liên tục trên nữa khoảng c) Hàm số liên tục trên khoảng (-1;1) d) Hàm số liên tục trên nữa khoảng
e) Hàm số liên tục trên nữa khoảng f) Hàm số gián đoạn tại điểm x = 0
Bài 3: Tìm số thực a sao cho hàm số:
a) liên tục trên R
b) liên tục trên R.
c) liên tục trên R
Bài 4: Chứng minh rằng phương
trình:
a) có ít nhất một nghiệm trên khoảng
b) có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn
Trêng THPT Nam Giang
0 ) (x =
f) ( ) 0 (a f b <
f
0 ) (c =
f ( b a; )
c∈) ( ) 0 (a f b <
f y = f (x)
0 ) (x0 ≠
g
) (
) (
x g
x f
) ( )
(x g x
f(x) g(x)
f(x)−g(x)
f +
)
(x g
y = f (x)
y =
) ( ) ( lim f x f b b
lim f x f a a
→ y = f (x)
)
(x f
y = ( ) ( )
0
0
x f x f x
x
⇔
→y = f (x)
K
x0∈f (x)
y =
2
x 1 khi x 0
2
2
f (x)
x 1 khi x 1
2
khi x 2
3
khi x 1
2
2
f (x)
2x 1 khi x 2
f (x)
=
2 3
f (x)
2
khi x 3
= −
f (x)= 1 x−
f (x)[−=1;+∞x 1)+
2
1
f (x)
1 x
=
−
2
f (x)=[−2;8 2x2−]
f (x)=; 2x 1) +
2
1 [ +∞
2 2
(x 1) khi x 0
f (x)
x2 khi x 1
f (x)
2ax 3 khi x 0
f (x)
(1 a)x khi x 2
x
f (x)
2
x cos x x sin x 1 0+(0; )π + =
3
5
x y
a
Trang 6-1.