TP4: TÍCH PHÂN HÀM SỐ MŨ - LOGARIT
Dạng 1: Đổi biến số
Câu 1.
x x
e
e
2
1
Đặt t e x e x t2 e dx x 2tdt
t
t
3
2
1
t2 3 t2 2 2lnt t 1 C
3
Câu 2.
x x
x e
2
x x
x e
2
x
xe
.( 1) 1
Đặt t x e x 1 I xe x 1 ln xe x 1 C
Câu 3. I dx x
Đặt t e2x9 I dt t C
t
t2
1ln 3
9
x x
e
2 2
Câu 4.
x x
2
2 1
ln(1 ) 2011
ln ( )
2
ln( 1) 2011 ( 1) ln( 1) 1
t
1 2010
2
2
= 1ln(x2 1) 1 1005ln(ln(x2 1) 1) C
Câu 5.
x
xe
1
1 ( ln )
x x
e
1
ln
Câu 6.
ln2 3 2
3 2 0
1
ln2 3 2 3 2
3 2 0
1
ln2 3 2
3 2 0
1
= ln(e3x e2x– e x 1)ln 20 x ln 20 = ln11 – ln4 = ln14
4
Câu 7.
dx I
e
3ln2
2 3
x
x x
e dx I
3ln2 3
2
0 3 3
2
t e3 dt 1e dx3
3
Trang 2Câu 8. I ln23e x dx
0
1
Đặt 3e x 1 t dx t dt
t
2 3
3 1
t
1 3 0
1
3 1
1
t
1 3 0
3 3
1
t
1
1 3
0
3 1
1
2 0
3
Vậy: I 3 ln 2
3
I
ln15 2
3ln2
24
Đặt t e x 1 t2 1e x e dx x 2tdt
t
4
2 3ln2 7ln 6 7ln5
Câu 10.
x
e dx I
Đặt t = e x 2 e dx2x 2tdt
I = 2 t tdt
1 2
2 0
( 2)
1
1
2 0
2 1 1
1
0
2 ( 1) + d t t
1 2 2 0
2
1
= t( 2 2 )t 10 + 2ln(t2 t 1)10 = 2 ln3 1 .
Câu 11.
ln3 3 2
0
2
Đặt t 4e3x 3e2x t2 4e3x 3e2x 2tdt(12e3x 6e2x)dx (2e3x e2x)dx tdt
3
tdt
1( lnt t 1)19 8 ln5
3
16 ln
3
8 ln
4
3e dx
Đặt: t 3e x 4 e x t2 4
3
t2
2 4
2 3 2 2 3 2 3
4 3 1 8 I1 , với I dt
t
2 3
1 2
2 4
t
2 3
1 2
2 4
2 2
dt2(1 tan ) 2u du
Trang 3I1 3 du
4
3
Câu 13.
x x
e
e
ln3
3
0 ( 1)
Đặt t e x t e x tdt e dx x dx tdt x
e
t
2 3 2
Câu 14.
x x
e
e
ln5 2
ln2 1
x
e
2
1 1
Câu 15. I ln2 e x dx
0
1
Đặt t e x t e x tdt e dx x dx td x td
2
2
1
t
1 2 1
2
Câu 16.
1
2 2
Đặt t 2 x 2x
4x 4x 2 (2x 2 )x 2 4
4ln 2 25
I
Câu 17.
1
0
6
9 3.6 2.4
x
dx I
Ta có:
x
dx
0
3 2
x
2
3 2 2 1
1 ln3 ln2 3 2
ln15 ln14 ln3 ln 2
Câu 18.
2 1
1 ln
2
1 ln
3
+ 2e3 1
3
= 5 2 2 2e3
3
Câu 19.
x
3 2 1
ln 2 ln
Trang 4 Đặt t 2 ln2x dt x dx
x
2ln
2
1 2
3 33 4 324
8
Câu 20.
e
e
dx I
2
ln ln
I
(ln )
ln (1 ln ) ln (1 ln )
e e
2
ln 1 ln
Câu 21.
x
e
ln6 2
ln 4 6 5
Đặt t e x I 2 9 ln3 4 ln 2
Câu 22.
3 2 2 1
log
1 3ln
x
x
3
2
3
ln
ln 2
x
2 3
1
3
.
Câu 23.
1
( 2)ln (1 ln )
1 1
ln 2
(1 ln )
1
ln
1 2
(1 ln )
Tính J =
1
ln (1 ln )
t
2 1
1 1 ln 2
Vậy: I e 3 2ln 2 .
Câu 24.
e
e
3
2
(1 ln )
1
(1 ln )
3ln2 4 e32e2.
Câu 25.
x
2 2 2
2 1
ln ln 1
Đặt : t x dt dx
x
ln
2
1 2
e
1
1 0 0 0 0 0 1
e
2 1 1 1 1 1 1 1 22
Trang 5e2
2( 1)
Câu 26.
5
2
ln( 1 1)
Đặt tln x1 1 dt dx
2
ln2
2 ln 3 ln 2
Câu 27.
1
ln
1 ln
e
x
x
2
và ln3x (t21)3
2 2 3 2 6 4 2 2
5 3
( 1) 3 3 1 ( 3 3 1)
4
Câu 28.
1
3 2ln
1 2ln
Đặt t 1 2ln x
e
1
(2 )
= 4 23 5
Câu 29.
x
3 2 1
ln 2 ln
Đặt t 2 ln2x I 3 33 4 324
8
Câu 30.
1
1
x
xe
x e x Đặt t e xlnx 1
e e I
Trang 6Dạng 2: Tích phân từng phần
Câu 31. I 2esinx xdx
0
.sin2
I 2esinx x xdx
0
2 sin cos
cos
I xesinx 2 2esinx xdx e esinx 2
0
Câu 32. I 1x x2 x dx
0
Đặt
x
v
2
2 1
2
1 1
2
2
0 0
1 2
x
8
3
ln 1
Đặt
dv
x
ln
1
x
8 8 3 3
1
x
8 3
1
t t t
8 3
1
2 ln 2 ln3 ln 2
1
Từ đó I 20ln 2 6ln3 4 .
Câu 34.
e
x
x
2 1
ln 1
x
ln
( 1)
+Tính
Vậy:
e x e
x
1 2
1
= e e1.
Trang 7Câu 35.
2 1
1 ln
Tính
1
1
ln
1 ln
+ Tính
e
1
ln
Lấy tích phân từng phần 2 lần được I2 e 2
Câu 36.
2 3
2
1
ln(x 1)
x
Đặt
x du
x dx
2
2 3
2
2 ln( 1)
1 1 2
2 2
1
2 ln( 1)
1
x x
2
2 1
ln 2 ln5 1
2 2 2
2
1 1
ln 2 ln5 ln | | 1ln | 1|
8
Câu 37. I = x dx
x
2
2 1
ln( 1)
Đặt
dx
x
2
2
x
1
2
0
1 ln 1
Đặt
x
x
x
2 2
2 1
1
2
1 2
2 0
1
2
x
2
2
x
2
2 1
1 ln
x
dv x dx2
1 ln
I 3ln3 10ln 2 1
Câu 40. I 1 2x .ln(1 x dx2)
0
dv x dx
2 2 ln(1 )
I 1.ln2 4
Trang 8Câu 41. I x dx
x
3
2 1
ln ( 1)
dx dv
ln
( 1)
I 1ln3 ln3
Câu 42.
1
1
x
e
Ta có:
x
e
e
2 2
ln
1
+
e
1
ln
dv dx
2
ln
e
1
+
x
e
e
2
1 1
Đặt t e x 1
e
e
e
e e
1 2 1
1
e
1 –2 ln
1
Câu 43.
1
2
1 ( 1 )
x x
x
Ta có:
1
x + Tính H theo phương pháp từng phần I 1 =
2
2
x
5 2
3
2
Câu 44.
4
2 0
Đặt u x x
dv dx
2
x
4 4 2
2
0 0
9