CHỌN LỌC 400 BÀI TOÁN TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC CÓ LỜI GIẢI

Nội dung gồm 3 phần:Phần 1: giới thiệu về các công thức và kiến thức của lượng giác và tích phân Phần 2: 400 bài toán tích phân hàm lượng giác (193 bài toán tự luyện, 207 đề thi) Phần 3: Lời giải chi tiết của 400 bài toán.

_VŨQUỐCANH

ss

THỊ VÀO ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG

TỪ 1977 ĐẾN 2000 TRONG TOÀN QUỐC

LỜI NÓI ĐẦU

Học sinh thường lúng túng khi làm những bài toán "tích phân hàm Số

lượng giác" khi thi vào các trường Đại học và Cao đẳng, phần vì

giác” thuộc chương trình lớp 11, và "tích phân” học ở cuối học kỳ II lớp 12

Để giúp đỡ học sinh tự luyện tập, chúng tôi giới thiệu “Tuyển tập 400 bãi ˆ

Phần một : Giới thiệu các công thức và kiến thức về lượng giác, tích phân <

Phần hai : 400 đề bài toản (193 bài tự luyện tập, 207 dé thi)

Phần đề thi được tuyển chọn gồm những bài toán thi đại học đã ra từ ˆ

năm 1977 đến năm 2000 của 60 trường Đại học và Cao đẳng trong toàn

quốc từ Thái Nguyên, thủ đô Hà Nội, Hải Phòng, Đà Nẵng, Quy Nhơn,

Thành phố Hồ Chí Minh đến Cần Thơ, Nha Trang, Đà Lạt §

Hy vọng cuốn sách sẽ giúp ích nhiều cho các em học sinh trong việc

rèn luyện toán để đạt kết quả tốt

Cuốn sách có thể có những thiếu sót, mong các độc giả góp ý

Tác giả

VŨ QUỐC ANH

CHƯƠNG fe

NHUNG DIEU CAN NHO VA CAC CONG THUC LƯỢNG:

1 ĐƠN VỊ ĐO GÓC VÀ CUNG

Radian là số đo một cung có độ dài bằng bán kính

2 TÊN GỌI CÁC TRỤC SIN, COSIN, T6 VÀ COTG

©tgevà146/gØTDM ngấn bh

cos(a+b) = cosacosb — sinasinb COS2a = cos”a ~

cos(a—b) = cosacosb + sinasinb =

Sin(a+b) = sinacosb + sinbcosa =

sin(a—b) = sinacosb — sinbcosa

cosa + cosb cosa — cosb sina + sinb sina — sinb

tga + tgb tga —tgb

hú ý: Free Ỉ f(tdt = j f(u)du = F(b) — F(a)

B Cac tinh chat:

HỆ [te =0 2: [rood = -[teoax

GIGI HAN CUA TICH PHAN

128 Cho = Jer sin xxdx Chứng minh lim l„ =0 ) Aa

129 Cho I= là _XSI"X 1+ cos x 4x Chứng minh:

184 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường

y = sinx va y = cosx với x e [O.z/2]

185 Tinh diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

y =a rcsinx, y = arccosx va y = 0

186 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :

y = arctg x, y=arccotgx và y=0;

187 Tinh diện tích hình phẳng giới hạn bởi

: 0<x<x, 0<y<sin%

188 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

a eae a ÿ*Ù xen

2! Y =cosx Y=0,x=0,x=x

190 Tính thể tích hình tròn XoAYy giới hạn bởi các

duéng y = Vcos® x + sin®x , Y=0,x=0,x=z/2 quay

quanh trục Ox

191 Cho D là miền giới hạn bởi các đường

= VCOS” X + sin' x y=0 X=z/2 X=

‘€ tich khGi tròn xoay tạo nên do ta quay miền D

tròn xoay được tạo nên do ta quay

an bởi các đường: y =lnx,y=0 và x=2

› đường cong y = tg°x, y = 0,

Tính diện tích miền D và thể tích vật thể

Đại học Kinh tế TP.Hồ Chí Minh 1986

197 Chứng minh : arcsinsinx| + arcsincosx = 5 (vxeR)

Hãy chứng tỏ rằng hàm Ủ„(x) = cosmx trực giao với các ham

U(x) = Coskx (k # m) và V„(x) = sinnx (m N;neN;keN)

Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP HCM (1993)

¥ 204 Tinh thể tích khối tròn xoay tạo nên khi ta quay quanh trục Ox

hình phẳng S giới hạn bởi các đường :

„ 219 Tính tích phân : Học viện Quan hệ Quốc

Đại học Bách kh

x222 Tính tích phân: [ *Š aes ä9+cos“x Đại hoc Y dược TP HGM :

223 Tính tích phân : ji —sin xdx Đại học Kiến trúc Hà Nội

229 Tinh tich phan j sin" xdx trong đó n là số tự nhiên cho trước A h

Học viện Quan hệ Quốc tế

2

rk

4

235.Cho In= Ítg"xdx gre minh rang I, + Ineo = 7" ‘

Yorn la 86 ty nhign, m= 2 _Đại học Nông

238 Với mỗi n cN Đặt

Sa ca ông VN

n 1+sin — in Bi 1+sin 5ã 2n =o

Tim lim s, nox Dai hoc Quéc gla Ha Nél

x 239 Tính tích phân : 1 cos* xdx J ai hoc Dan lap PI ai ho n lập Phương Đông

x 240 Tính tích phân : _ [cos”3xdx 3 Viện Đại học Mở Hà Nội -

DE THI NĂM 1996

241 Tinh tich phan : si 1+ sin2x

Đại Học Quốc Gia T.P Hồ Chí Minh

248 Tinh tich phan h ae x

Đại học Kỹ thuật Quân sự

41 1 Tran cus 2 |= 1e 1o Te-x

Đại học Công Đoàn

2

253 Tính tích phân : je cos? xdx ì Đại học Thị s

Tim họ nguyên hàm của hàm số: f(x) = e*cos3x

2 jor dx > >is Đại học Xây dựng

261 Tìm nguyên hàm của hàm số: f(x) = six Zoe sin2x) -

Đại học Quốc gia Hà Nội

262 Tính đạo hàm f'(x) của hàm số f(x) = x

+ 278 Tìm họ nguyên hàm của hàm số: _ f(x)~ Sin3xsin4x

Toa “Bai hoc Thuy Ici

Đại học Nông nghiệp

283 Tính tích phân :

284 Tính tích phân :

285 Tính tích phân :

š Học viện Công nghệ Bưu chính 'Viễn thông

y 302 Tim các giá trị của x thoả mãn phương trình:

{oostt —x?)dt= sinx Viện Đại học Mở Hà Nội

0

T 2

X 303 Tinh tích phân : fxs cos x0

V311-312 1/Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = cos3x.cos3x

2/ Tim họ nguyên hàm của hàm số f(x) = cos?x.cos2x

Đại học Ngoại thương

313 Cho hàm số Í(x) liên tục trên tập số thực R và với mọi x e R

đều có: f(x) + fs 2~2cos2x

315 Tính tích phân : iat

o11- Tae cos? x

-_ Cao đẳng Hải quan -

316 Cho hai tích phân sau;

Hoc vién Ngan hang

X 317 Tinh tích phân: |= fx sinx cos* xdx Học viện Ngân hang ~¥

4 7

2/ Tính tích phân : ha Đại học Xây dựng

A 321 Tính tích phân : _

: inh bất đẳng n thức : I —: sin x cos xdx ae

parca nani b 6 (1+cos* x)(1+ sin* x) 4

Đại học Quốc gia TP.HCM

325 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong có phươ

trình:

= (2 + cosx)sinx va ba đường thẳng y=0;x= Si ;x= =

Dai hoc Công đ

Tìm họ nguyên hàm Q(x) = sinxsin2xcos5x Đại học Kinh tế Quốc

cla ham 86 a(x)

331 Tính tích phân: Tinh tic! pl ree al 1= [—_X t Sax ` 7 Jxarctaxde

Đại học Giao thông

Dai hoc Tai chinh Ké toan

335 Tinh [22+ cos? x dx (ala hang s6) Đại học Xây dựng

x

2

336 Tính tích phân : fsin2x(1 + sin? x)dx

0

349 Tính tích phân: j= ( °0SX _ pl J Tran Cao đẳng Hải quan ẳng Hải

350 Tính: 1=/[Vx” xác Đại học Sư phạm Vinh

357 Tinh tich phan: I= la se

Đại học Giao thông Vận tải -

358 Tìm họ nguyên hàm của hàm số: f(x) = sin*2x

Đại học Kinh tế Quốc dân -

359 Tính tích phân: I= fe* cos xdx

360 Tinh: j _ Đại học Lam

Hoc vién Ngan hang (D)

Đại học Quốc gia Hà Nội

sinx

368 Tìm họ nguyên hàm của hàm số: TU Sứ TH

Học viên Ngân hàng (A)

Đại học Quốc gia Hà Nội (A

cos3x

sinx 4

Học viện Quan hệ Quốc

sin3x sinx

Học viện Quan hệ Quốc tế

bởi các đường cong có

?xcos*x, truc Ox va hai đường thẳng x = 0

Dai hoc Bach khoa Ha Nội

384 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

E622 GOST K aay Gis abe

Hoc vién Ky thuat Quan su

386 Tính tich phan: 1= ie sinx +e*x?}ix

=1

Đại học Thái Nguyên

387 Tính tích phân: Joos? x sin? xdx

0

Cao đẳng Sư phạm NT-MG TW1

388 Tính tích phân: a= Joos? Xcos5xdx

=-Inicos : = -{Incos * -incoso” |

Tính: 11 [cos? xdx 2! {sin* xdx

GIAI

1/ Ta có: |= Jcos® xdx = [cos x cos xdx

= [ÍI- sin” x}†sinx

= [dsinx~ [sin” xdsinx

> I= sinx—7 sin? x+C erat 1~cos2x \Ÿ

= ~fia + cotg ?xŸ dcotgx

= -Íú +2cotg?x + cot g*x}d cot gx

> = ~cotgx~ 2 cotg’x~ 1 cotg'x+c

sinŸ x sin” x(sin xdx)

= (Sin X.ay (Sn: XIN

Tinh: Thả: 1/ 2! ƒ

pee sin? *xcos? x sin* xcos

GIẢI 1/ Ta có: | = ax = {ox

sin? x cos* x cos* x

= Jeotgx(1+ cotg Px)(1 + tg*x)d(tax)

= [(cotax +cotg’x)(1+ ta°x)d(tax)

= [(cotgx + tox + cotg®x + cot gx)d(tax)

= [(2cotgx + tax ae

2/ Ta có: * J = (Sin xdx _ 4 _'eeto|- “cotg'x vo :

Vents

Biết cosacosb = 2 [cos(a+b) + cos(a-b)]

nên COs2xcos3x = 1 > (cosx + cosx)

Taco: = Ícos xcos 2x COS 3xdx 0

Biét cosacosb = 5 leostarb) + cos(a-b)]

Suy ra: cosxcos2xcos3X = cos2x.cos3Xcosx

= 2cos2x (cos4x + cos2X)

Tĩnh 1/1= [xsi See

>

@Si= Je arctaxdx = zi arctgx Di ie ae

2vx

Từ (1)= I=uv~ [vdu= e* sinx~ ƒe" cosdx = ©” Sinx = JQ

J= Je* cos xdx = [cos xde*

Chú ý: Biết e*dx = Jde* =e*

Suy ra: Je°*d(arctgx) = err Tone

«2

= sinxIn(1 + cosx) + [(i-cosx)dx +C

Sy | = sinxIn(1 + cosx) + x — sinx + C

sa dsinx) _ d(sinx) -

v3~2sin? x

Taicé: =] =SINX COS re tị : d(sin bội a

sin* x + cos‘ x 2 “sin” x + (1~ sin? x)?

GIẢI 1/ Ta có: |= [cos xvSin xdx = Ícos* xvsin xd(sin x) 7

J=uv— [vdu = — x*e** — 5 ]e”x”dx

số 2 4° [x?de”* = đe 3U, @) 2 4

Khi đó:

cos xd(cosx) -¢ d(cos x) ¥

= - [en [oe (1—cos? x) cos x(1— cos? x)

E zal _ feos cos xd(cos › x) +

2sin°x ~ (1—cos? x)? cos x

Ê x ( Zain? + Ilex|+ ( toleot ge) 2n

- -a[©98 xd(eosx) 1+ cos? x

Thôi jot +cos? x)

Dodo: [_—

d(t+1)

¬ Jaa M

“

=——=+C

itt