TP3: TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Dạng 1: Biến đổi lượng giác
2
sin cos
2
sin cos
3cos 5sin
x
cot tan 2tan2
sin 4
Câu 3
x
2 cos
8
x
1 cos 2
2 2 1 sin 2
4
dx
cos 2
dx
cos 2
4 2
3
2 3 sin cos
x
3
1
2 1 cos
3
x
2 3
1
4 2sin
2 6
4 3
x
6
0
1
1
Trang 2x x
x
cos
3
Câu 6 I 2 4x 4x 6x 6x dx
0
Ta có: (sin4xcos )(sin4x 6xcos )6x 33 7 cos4x 3 cos8x
128
Câu 7 I 2 x 4x 4x dx
0
Câu 8 I 2 3x 2x dx
0
A = 2 5xdx 2 2x d2 x
15
B = 2 2x dx 2 x dx
1
2
Vậy I = 8
15 – 4
Câu 9
2
2 0
I cos xcos 2xdx
0
Câu 10 I x dx
x
3 2 0
4sin
1 cos
Trang 3 x x x x x x x x
2
4sin 4sin (1 cos ) 4sin 4sin cos 4sin 2sin2
0 (4sin 2sin2 ) 2
Câu 11 I 2 xdx
0
1 sin
2
0
2 sin
2 4
3
2 2
3 0
2
Câu 12 I dx
x
4
6
0 cos
0
28
15
Dạng 2: Đổi biến số dạng 1
Câu 13 I xdx
sin2
3 4sin cos2
2
2sin cos
x
1
ln sin 1
sin 1
Câu 14 I dx
sin cos
x x
dx x
x x
dx
cos 2 sin
8 cos cos sin
2
t2
2 sin2
1
Câu 15 I dx
x 3x
sin cos
x x 2x 2 x 2x
2
; sin2
t
2
2
1 2
2 1
t
Trang 4Câu 16 I x x xdx
x
2011 2011 2009
5
sin
2
1 1
cot
Đặt tcotx I t tdt t t C
2
Câu 17 I x x dx
x
2
0
sin2 cos
1 cos
x
2 2
0
sin cos 2
1 cos
Đặt t 1 cosx I t dt
t
1
( 1)
Câu 18 I 3 2x xdx
0
2
2
sin
u
1
2 2
1
8
2
sin (2 1 cos2 )
2
2
2 sin (sin )
3
Trang 5Câu 20 I dx
3
4
sin cos
3
4
4
sin 2 cos
Đặt ttanx dt dx
x
2
cos
t
3
2
1
Câu 21
2
2 0
sin 2
2 sin
x
x
3
2 3
Câu 22 I x dx
x
6
0
sin cos2
2
Đặt tcosx dt sinxdx
Đổi cận: x 0 t 1; x t 3
t t
2
1
2
2 2 5 2 6
Câu 23 I 2esin2x x 3x dx
0
.sin cos
Đặt tsin2x I = 1e t t dt
0
1 (1 )
2 = e1 1
2
Câu 24 I 2sinx sin2x 1dx
2 6
Đặt tcosx I 3 ( 2)
16
4
0
sin 4 sin cos
Trang 6 I x dx
x
4
2 0
sin 4 3
1 sin 2
4
Đặt t 1 3sin 22 x
4
t
1 4 1
2 1 3
1 1 4
3 3
Câu 26
x
2
3 0
sin sin 3 cos
Ta có: sinx 3 cosx 2cos x
6
;
I =
dx
sin
6
6
x
2 4
2 3
sin 1 cos cos
2
0 3
0 3
12
6
0
1
6
0
1
x
6 0
2 sin
3
x
dx x
6
2 0
sin
2 1 cos
3
Đặt t cos x dt sin x dx
t
1 2 2 0
0
Trang 7 I 2 x x dx
0
0
3
Câu 30 I xdx
2
3 0
sin
2
0
4
2
Câu 31 I x x dx
2
3 0
Xét:
Đặt x t
2
Ta chứng minh được I 1 = I 2
Tính I 1 + I 2 =
1 tan( ) 2 1
4
I1 I2 1
2
I 7 –5I1 I2 1
Câu 32 I x x dx
2
3 0
2
2
Câu 33 I x x dx
x
2 0
sin
1 cos
Trang 8t d t
2
2
Câu 34 I x x dx
4 2
0
cos sin
2
0 2
I 1
4
x
2 0
cos (sin )
2
t
2 0
cos (cos )
x
2 0
cos (cos )
0
cos (sin ) cos (cos )
0
2
I
2
Câu 36 I x x dx
x
4
0
cos sin
3 sin2
Đặt usinxcosx I du
u
2
2
t
2
2cos
12
4 4sin
3
2 0
sin cos 3 sin
Đặt t 3 sin 2x = 4 cos 2x Ta có: cos2x 4 t2và dt x x dx
x
2
sin cos
3 sin
3
2 0
cos 3 sin
3
0
sin cos cos 3 sin
t
15 2
2
3 4
15 2 3
Trang 9= t
t
15 2 3
=
1 ln 15 4 ln 3 2
= 1 ln 15 4 ln 3 2
Câu 38 I x x x x dx
2 3
3
( sin )sin sin sin
x x
2
+ Tính I x dx
x
2 3
3 sin
dx
x
sin
2
2
4 2 3
Vậy: I 4 2 3
3
0
sin2 cos 4sin
x
2 0
2sin cos
3sin 1
du u
2
3
Câu 40
x
x
6
0
tan
4 cos2
2
2
4
x
2 2
1
cos
t t
0
( 1)
3
6
cot sin sin
4
3
2 6
cot 2
sin (1 cot )
x
2
1 sin
t
3 1
3
Trang 10Câu 42 I dx
3
4
sin cos
3
4
4
sin 2 cos
t2
tan
1
t
3
4
2 0
sin
4
0
2
4
sin cos (tan 2 tan 5)
Đặt t x dx dt
t2
tan
1
2
2
2 ln 3 3
Tính I dt
1
1 4
Vậy I 2 ln2 3
Câu 45 I x dx
x
2 2
6
sin sin3
2
Đặt tcosxdt sinxdx I dt dt
3
0 3
2
1
4
Câu 46 I x x dx
x
2 4
sin cos
1 sin2
Trang 11 Ta có: 1 sin2 x sinxcosx sinxcosx (vì x ;
4 2
)
2
4
sin cos sin cos
Đặt tsinxcosxdt(cosxsin )x dx
t
2 2
1 1
2
Câu 47 I 26 3x x 5xdx
1
2 1 cos sin cos
5
2
2
cos sin
t t
1
0 0
12
Câu 48 I xdx
4
2 0
tan cos 1 cos
4
0
tan
cos
x
3 3
2 2
tdt
t
2
3 0
cos2
Đặt tcosxsinx3 I t dt
t
4 3 2
32
4
0
sin 4 cos tan 1
4
0
sin 4 sin cos
Đặt t sin4xcos4x I dt
2 2 1
Câu 51 I x dx
x
4
2 0
sin 4
1 cos
x
2 4
2 0
1 cos
t
1 2 1
Câu 52
x
x
6
0
4 cos2
Trang 12 Ta có: 6 2 2
0
x Đặt ttanx
1 3
2 0
dt
I
Câu 53
3 6
0
tan cos 2
x
Đặt ttanx
3 3
ln
1 0
t
t
Câu 54 I x dx
x
2
0
cos
7 cos2
x
2
0
Câu 55 dx
3
4 sin cos
x
3 3
8 4
1 sin .cos cos
x x
3
2
4
cos tan
Đặt ttanx I t dt
3 3
8 4
1
4 3 1
Câu 56
3
2 0
cos cos sin
1 cos
x
2
+ Tính J x x dx
0 cos
dv cosxdx v sinx
+ Tính K x x dx
x
2 0
.sin
1 cos
Đặt x t dx dt
2
2
Trang 13Đặt tcosx K dt
t
1 2 1
2 1
, đặt ttanudt (1 tan )2u du
u du
u
4 2
4
Vậy I 2 2
4
Câu 57
2
2 6
cos I
sin 3 cos
dx
Ta có: 2
6
sin cos sin 3 cos
Đặt t 3 cos 2x
t
15
2
2 3
1 ln( 15 4) ln( 3 2) 2
4
Dạng 3: Đổi biến số dạng 2
Câu 58 I 2sinx sin2x 1.dx
2 6
Đặt cosx 3sin , 0t t
I = 4 2tdt
0
3 cos 2
2 4 2
Câu 59
2
0
+ Tính
2
0
3sin
3 cos
x Đặt t cosxdt sinxdx 1 1 2
0
3 3
dt
I
t
0
I
u
2
4 cos
Trang 14Vậy: 3 ln 3
6
I
4
2 6
tan cos 1 cos
x
x
2
2
cos
x
2
1 tan
cos
u
1 2 1 3
2
u
2
2
2
2
I 3dt t 3
7
3
Câu 61
x
2
4
sin
4 2sin cos 3
Ta có:
2
2 4
t
1 2 0
u
1 arctan
2 2
2 0
2
Trang 15Dạng 4: Tích phân từng phần
Câu 62 I x x dx
x
3
2 3
sin cos
Sử dụng công thức tích phân từng phần ta có:
3
x
3
3 cos
Để tính J ta đặt tsin x Khi đó J dx dt t
Vậy I 4 ln2 3
Câu 63 I x e dx x
x
2
0
1 cos
Ta có:
1 2sin cos
I e dx x e x x dx
x
2
tan 2 2cos
2
Câu 64
x
4
2 0
cos2
1 sin2
v
x
x 2
1 sin2 (1 sin2 )
2
4
x
4