TP2: TÍCH PHÂN HÀM SỐ VÔ TỈ Dạng 1: Đổi biến số dạng 1
x x2
3 9 1
I x dx x x x dx x dx x x dx
3 9 1
+ I13x dx x2 3C1 + I2 x 9x21dx x d x x C
3
2
1 9 1 (9 1) 1 (9 1)
I x x C
3
2 2 3
1 (9 1)
27
x x
2
1
x x dx
x x
2
1
2
x x
2 1
1
Đặt t= 1x x t21x x x3(t21)2 x dx2 4 ( 1)t t2 dt
3
4(t2 1)dt 4t3 4t C
3 9 3
x x
2
1
x x
2 (1 )
3 1
3
Vậy: I 4 1 x x3 C
9
x
4
0
2 1
1 2 1
Đặt t 2x I = 1 t dt
t
3 2 1
2 ln2
1
6
22 1 4 1
Đặt t 4x I1 ln3 1
2 12
Câu 5. I 1x3 x dx2
0
1
Đặt: t 1 x2 I 1t2 t dt4
0
2 15
.
x
1
0
1 1
Đặt t x dx 2 t dt I = t tdt
t
1 3 0
2 1
t
1 2 0
2
1
= 11 4ln2
3 .
Trang 2 Đặt t x 1 2tdu dx I t t dt t dt dt
t
2
2 8 (2 6) 6 1
1
3 2
2
Câu 8. I 0 x x3 dx
1
1
Đặt t 3x t3 x dx t dt2 I 1 t3 dt t7 t4 1
0 0
9
7 4 28
x x
5 2
1
1
3 1
Đặt t 3x 1 dx 2 tdt
3
t
tdt I
2 2 4 2 2
1 1
3 1
3
dt
t
2
2
2 ( 1) 2
t
t t
t
2 1 ln 1 100 ln 9
9 3 2 1 2 27 5
x
3 2
0
1
Đặt x 1 t x t 21 dx2tdt
t
2
1
2( 1) ( 1) 12 2 (2 3 ) 4 2 54
1 2 0
2
( 1) 1
Đặt t x 1 t2 x 1 2tdt dx
t
2 2
( 1) .2 2 1 2 2 1 16 11 2
Câu 12.
x
x
4
2 0
1
1 1 2
Đặt t x dt dx dx t dt
x
1 2
và x t2 2t
2
t
1 ( 2 2)( 1) 1 3 4 2 1 3 4 2
t
2
1 3 4ln 2
2 2
= 2ln2 1
4
x
8 2 3
1 1
Trang 3 I x dx
8
3
1
8
3
= 1 ln 3 2 ln 8 3
Câu 14. I 1 x 3 x x dx2
0
( 1) 2
I 1 x 3 x x dx2 1 x2 x x x x2 dx
( 1) 2 ( 2 1) 2 ( 1)
15
.
2 3 2
2 0
2 3
1
I x x x dx
2 2
2 0
( )(2 1)
1
Đặt t x2 x1 I 3 t2 dt
1
4
2 ( 1)
3
.
Câu 16. I x dx
x
2 3
3 2
0 4
Đặt t34x2 x2 t3 4 2xdx3t dt2 I t t dt
3
2
4
3 ( 4 ) 3 8 4 2
1
2
11 1
Ta có: I x x dx x x dx
x
2 (1 ) (1 )
x
1
1
1
1 1 1 1 ln | 1
x
1 2
2
1
1 2
Đặt t 1x2 t2 1 x2 2tdt2xdx I 2 = t dt
t
2 2 2 2
0 2( 1)
Vậy: I 1 .
Cách 2: Đặt t x x2 1
Câu 18. x x
x
1
3 3 1
4 1
3
1
1 3
1 1 1
x1 12
I 6 .
x
2 2
1
4
Ta có: I x xdx
x
2 2 2 1
4
Đặt t = 4 x2 t2 4 x2 tdtxdx
I = t tdt t dt dt t t
t
0
3
2
2 3
Trang 4Câu 20. I x dx
2 5
2 2
2 ( 1) 5
Đặt t x2 5 I dt
t
5 2 3
1 15ln
4 7 4
27
3 2 1
2
Đặt t6x I t dt t dt
t
3 12
1
2 0
1 1
Đặt t x x2 x 1 I dt t
t
1 1
2 ln(2 1) ln3 2 3
0(1 1 ) (2 1 )
Đặt 2 1x t I t dt
t t
4
2 3
3
02( 1) 2 1 1
Đặt t x 1 I t t dt t dt
t t
2 2 2 2
2 2
2 ( 1) 2 ( 1) ( 1)
1
2( 1) 2
x
3
2 2 3
4 1
2011
Ta có: I x dx dx M N
3
2 2 2 2 2
1 1
2011
x
x
3
2 2 2
3 1
1 1
Đặt t3 x1 12 M t dt
3 7
3 2
3 0
2 2
2 2 2 2
3
2011 2011 2011 14077
16 2
I 14077 21 73
16 128
1
3
0(1 ) 1
Đặt t31x3
1 4.(3 1)3 1 2.( 3 1)3
Trang 5dt dt t dt
t t
t t
t t
2 3
4
2 3
3 3
1 1 1
1
1
I u du u du u u
1 1
3
0
1
3
Câu 27.
x
x
2 2 4
2
Đặt t x2 1
I t dt
t
3 2 2
2
2
( 1)
2
3 4 2 3 3
2
3 4 4 2
Dạng 2: Đổi biến số dạng 2
x
1
0
1 2 ln 1 1
Tính H x dx
x
1 0
1 1
Đặt x cos ;t t 0;
2
H 2
2
Tính K 1 x x dx
0
2 ln(1 )
dv xdx
ln(1 ) 2
K 1
2
Câu 29. I 2 x5 x2 x dx2
2
( ) 4
I = 2 x5 x2 x dx2
2
( ) 4
2
4
2
4
+ Tính A = 2 x5 x dx2
2
4
Đặt tx Tính được: A = 0.
+ Tính B = 2 x2 x dx2
2
4
Đặt x2sint Tính được: B = 2 Vậy: I 2 .
Trang 6Câu 30. x dx
I
x
4 1
3 4 2
Ta có:
x
+ Tính I1
x
2 4 1
3 2
= 2x dx4
1
2 16.
+ Tính
x
x
2 2
1
4 2
Đặt x2sint dx2costdt
.
tdt
2
1 cos 1 cot 1 1 cot (cot ) 3
Vậy: I 1 7 2 3
16
Câu 31. I x dx
x
1 2
6
0 4
Đặt t x 3 dt3x dx2 I dt
t
1
2 0
1
3 4
Đặt t 2sin ,u u 0; dt 2cosudu
2
I 6dt
0
1
3 18
.
x
2
0
2 2
Đặt x2 cost dx2sintdt I 2 2 t dt
0
4 sin 2
2
.
Câu 33. I x dx
x x
1 2
2
0 3 2
Ta có: I x dx
x
1 2
0 2 ( 1)
Đặt x1 2 cos t
I t t dt
t
2 2
2 2
3
(1 2cos ) 2sin
4 (2cos )
2 3
2
3 4cos 2cos2
2 2
1
0
1 2 1
Đặt xsint I 6 t t tdt
0
3 1 (cos sin )cos
12 8 8
Trang 7Dạng 3: Tích phân từng phần
Câu 35. I 3 x2 dx
2
1
Đặt
x
x
2
2
1
1
x
dx
x
2
2
1
5 2 I ln x x2 1 32
I 5 2 ln 2 1 1ln2
Chú ý: Không được dùng phép đổi biến x
t
1 cos
vì 2;3 1;1