Tuyển chọn các bài toán max min trong các đề thi thử 2015 có lời giải

hoctoancapba.com xin giới thiệu Tuyển chọn các bài MAX – MIN CÂU 10 ĐIỂM trong 21 ĐỀ THI THỬ TÂY NINH 2015 Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt hơn chuyên đề MAX – M

hoctoancapba.com xin giới thiệu

Tuyển chọn các bài MAX – MIN (CÂU 10 ĐIỂM)

trong 21 ĐỀ THI THỬ TÂY NINH 2015

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt hơn chuyên đề MAX – MIN trong

kỳ thi THPT QG sắp tới

ĐỀ 1 THPT Quang Trung – Tây Ninh

Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn: xyz = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P log23x 1 log23y 1 log23z 1

Trong mp(Oxy), gọi a(log ;1),3x b(log ;1),3y c(log ;1)3z

và n a b c    n (1;3)

Ta có: a  b  c    a b c log23x  1 log23y  1 log23z  1 12 32

0,5

P 10

  , dấu = xảy ra khi ba vecto a b c, , cùng hướng và kết hợp điều

kiện đề bài ta được x=y=z=33

Vậy MinP= 10 khi x=y=z=33

0,5

ĐỀ 2 THPT Trần Phú – Tây Ninh

Cho ba số thực a, b, c thỏa: a 0;1 ,b 0;2 ,c 0;3

Tìm giá trị lớn nhất của  

P

Ta có: a 0;1 ,b 0;2 ,c 0;3

a b c ab bc ac

a c ab bc

b a c

  



             

1 2 3 1 2

ab ac bc ab ac bc

a b c ab ac bc

0.25

Mặt khác b c a b c     ( vì a 0;1 )

Với mọi số thực x, y, z, ta có

2

3

x y y z y x x y z xy yz xz

x y z x y z

12a 3b 27c 3 2 a b 3c  2a b 3c 2a b 3c 2ab bc ac

=>

ab bc ac

0.25

Suy ra

P

ab bc ac ab bc ac ab bc ac

ab bc ac

P

ab bc ac ab bc ac

Đặt t 2ab bc ac   t 0;13

Xét hàm số   2 8 , 0;13 

1 8

t

t t

 

  2 2  

0.25

 0 1; 6  16; 13  47   16 0;13

f  f  f   f t   t

Do đó: 16

7

P Khi 1; 2; 2

3

a b c thì 16

7

P Vậy giá trị lớn nhất của P là 16

7

0.25

ĐỀ 3 THPT Lê Quí Đôn – Tây Ninh

Cho x là số thực thuộc đoạn [ 1,5]

4

 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

P

  



   

Đặt a 5 4 ,  x b 1 x thì 2 2

a  b  với a b, 0

Do đó đặt [0, ]

2



 với a=3sin ,2b=3cos  Khi đó:

3

2

a b

P



0,25

Xét hàm số ( ) 2 sin cos

2 sin 2 cos 4

f x





  với x [0,2]



Ta có /

2

6 4 sin 8cos

(2 sin 2 cos 4) 2



0,25

Suy ra hàm số f(x) luôn luôn đồng biến trên [0, ]

2



Do đó:

min ( ) (0) ; max ( ) ( )



0,25

P  khi x

1

1 3

Max P khi x 

0,25

ĐỀ 4 THPT Lê Hồng Phong – Tây Ninh

Cho 3 số thực dương a b c, , thoả mãn abc1

b a  c b  a c 

Giải

Ta có

1

a ba

b a  a ba 

 

Tương tự:

1 2

b bc

c b 

 

c ac

a c 

 

Cộng các vế của các BĐT trên ta có:

1 1 1

     

=

1

bc bca babc b cbb bc bac

bc b b cbb bc 

      (điều phải chứng minh)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1

ĐỀ 5 THPT Nguyễn Trung Trực – Tây Ninh

Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a+b+c=3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

   

3

2

abc P

3

3

1a 1b 1  c 1 abc ,a b c, , 0 Thật vậy:

1a1b1c 1 a b c   ab bc caabc

 2  3

1 3 abc 3 abc abc 1 abc

0,25

Khi đó

3 3

2

1 1

3 1

abc

abc abc





Đặt 6

abct Vì a b c, , 0 nên

3

3

a b c

0,25

Xét hàm số

2 2 3

2

, t 0;1 1

3 1

t Q

t t





     

5

Q t

0,25

Do hàm số đồng biến trên0;1 nên      5  

1 2 6

Từ (1) và (2) suy ra 5

6

max

6

ĐỀ 6 THPT Lý Thường Kiệt – Tây Ninh

Cho 3 số thực x y z, , khác 0 thỏa mãn: x   y z 5 và x y z  1 Tìm giá trị lớn nhất của

biểu thức: P 1 1 1

  

5



x

0,25 Xét hàm số:   1     12

f x x x f ' x

Với: x  0 3 2 2     x 4 x 3 2 2

2

f ' x   x   x   x

0,25 Lập bảng biến thiên đúng

Tính được:

0,25 Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 1 4 2

đạt tại: x  y 1 2,z  3 2 2 hay x  z 1 2, y   3 2 2

hoặc x  y 3 2 2,z  1 2 hay x  z 3 2 2, y  1 2

0,25

ĐỀ 7 THPT Tân Châu – Tây Ninh

ĐỀ 8 THPT Lê Duẫn – Tây Ninh

Cho x, ,y, z là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3

P

2 8 2 8 32

x xy xyz  x x y x y z

x y x y z

0.25

; 0

2 3

t x y z t P f t

t t

  33 12  

t t

Lập bảng biến thiên của hàm f(t) ta được min 3

2

P   tại t=1

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

16 21 1

4

21

1 21

x

x y z

z

 



  

   

  

0.25

ĐỀ 9 THPT Hoàng Văn Thụ - Tây Ninh

Cho a, b, c không âm và 2 2 2

3

a b c  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Pab bc ca    b c

Cho a, b, c không âm và 2 2 2

3

a b c  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Ta có  2  2 2 2

3  a b c   3 a b c

    

 3    a b c 3

0,25đ

Đặt t  a b c với t 3; 3

2

3

0,25đ

5

P t  t  t

 

P t   t  t  

0,25đ

BBT

t 3 3

P’(t) +

P(t)

22

4 5 3 

Vậy P max  22 với t     3 a b c 1

0,25đ

ĐỀ 10 THPT Trảng Bàng – Tây Ninh

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn abc và a2 b2 c2  5

Chứng minh rằng: (ab)(bc)(ca)(abbcca)   4

Ta có: (ab)(bc)(ca)(abbcca)   4

P (ab)(bc)(ac)(abbcca)  4

Do abc nên

0,25

Nếu ab+bc+ca<0 thì P04(đúng)

Nếu ab+bc+ca0thì đặt ab+bc+ca = x 0

Áp dụng BĐT Côsi :

4

) ( ) )(

(

2

c a c b b

a   

) 1 ( 4

) ( ) )(

)(

(

3

c a c a c b

b

a    



) ( ) ( ) (

2 ab  bc  ac

) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) (

4 a b c abbcca  ab  bc  ac

) 2 ( 3

5 2 5

0 ) ( 3 )

5

(

4

) ( 2 ) ( ) (

4

2

2 2

2 2

2

x c

a

va

x

c a x

c a c

a ca bc ab c b

a











































Từ (1) và (2) ta có:

3 3

) 5 ( 9

3 2

4

)

(

x x

x

c

a

0,25

Xét hàm số f(x)x (5x)3 ; x 0;5





















5

2 0

) ( '

; ) 2

5 5 ( 5

)

(

'

x

x x

f x x

x

f

Ta có: f(0)0 ; f(2)6 3 ; f(5)0

  ( ) 6 3 ( ) (5 )3 6 3;  0;5

5

;

Max

0,25

4 3

6

9

3

2







Dấu "=" xảy ra

























































































0 1 2

5 2

1

2

5 2

2

2 2 2 2

2

b a

c b a

a c

a b

ca bc ab

c b a

c a

c b b a x

0,25

ĐỀ 11 THPT chuyên Hoàng Lê Kha – Tây Ninh

Cho các số thực dương x, y, z Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có

2

 

0.25

Tương tự ta có

2

 

2

 

0.25 Cộng 3 bất đẳng thức cùng chiều (1), (2), (3) ta được

Dấu bằng xảy ra khi x = y = z

ĐỀ 12 THPT Nguyễn Đình Chiểu – Tây Ninh

Cho bốn số dương a, b, c, d thoả mãn a + b + c + d = 4

Chứng minh rằng: a b c d

b c2 c d2 d a2 a b2 2

1  1  1  1  

Sử dụng bất đẳng thức Cô–si:

2

a a ab c a ab c a ab c a ab c a ab abc

b c

2

2 1





 

2

bc d

c d

2

1

(2)

2 1





 

2

cd a

d a

2

1

(3)

2 1





 

2

da b

a b

2

1

(4)

2 1





Từ (1), (2), (3), (4) suy ra:

0,25

Mặt khác:

 ab bc cd da a c b d  a c b d

2

4 2

    

Dấu "=" xảy ra  a+c = b+d

 abc bcd cda dab ab c d  cd b a  a b c d c d b a

 abc bcd cda dab a b c d  a b c d a b c d 

4 4

   

a b c d abc bcd cda dab

2

4 2

    

  Dấu "=" xảy ra  a = b = c = d = 1

Vậy ta có: a b c d

b c2 c d2 d a2 a b2

4 4 4

4 4

1  1  1  1    

0,25

ĐỀ 13 THPT Nguyễn Trãi – Tây Ninh

Cho a,b là hai số thực dương thỏa 2 5

4

a b

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 1

4

F

a b

 

4

Bất đẳng thức Côsi cho :

8a 8

a 

4 2

4b b

Suy ra F5

0.25

5

MinF  đạt khi

2 8

1 1

4

1 5

4

a a

a b

b

b

a b

a b

 



    



 



0.25

ĐỀ 14 THPT Nguyễn Huệ - Tây Ninh

Cho x,y  R và x, y > 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của  3 3  2 2

( 1)( 1)

x y x y P

x y



Đặt t = x + y ; t > 2 Áp dụng BĐT 4xy  (x + y)2 ta có

2

4

t

3 2

1

t t xy t

P

xy t



  Do 3t - 2 > 0 và

2

4

t xy

b c2 c d2 d a2 a b2 2

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d = 1

0,25

3 2

2 2

4

2 1

4

t t

t t

t P

t



 



 

Xét hàm số

2

4



  f’(t) = 0  t = 0 v t = 4

t 2 4 + 

f’(t) - 0 +

f(t)

8

0,25

Do đó min P =

( 2; min ) f t( )

 = f(4) = 8 đạt được khi 4 2

ĐỀ 15 THPT Huỳnh Thúc Kháng – Tây Ninh

Cho các số thực dương a,b,c đôi một khác nhau thỏa mãn 2ac và 2

2

ab bc  c Tìm giá

trị lớn nhất của biểu thức P a b c

a b b c c a

Theo giả thiết: 2 ên 1

2

a

a c n

c

2 a b. b 2 a c 1

ab bc c

c c c c b

2

a

c  nên 4

3

b

c

Đặt t c

b

4

t

 

2 2

1

1 1

t t

P



Xét hàm số ( ) 1 2 7 , 0;3

 

       Ta có:

4

   , do đó f t( )đồng biến trên 0;3

4

 

 

 

Do đó GTLN của hàm số đạt tại 3

4

t , suy ra max 27

5

P

Đẳng thức xảy ra khi

2

2

8 3 4 2

ab bc c

a b c

a c

ĐỀ 16 THPT Trần Quốc Đại – Tây Ninh

Cho a b c, , là các số dương và a b c  3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

a bc b ca c ab



Vì a + b + c = 3 ta có

a bc  a a b c bc  a b a c

2

bc

a b a c

a ba c  a b a c

    , dấu đẳng thức xảy rab = c

0,25

2 3

b a b c

b ca

2 3

c a c b

c ab

2( ) 2( ) 2( ) 2 2

bc ca ab bc ab ca a b c

a b c a b c

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 Vậy max P = 3

2 khi a = b = c = 1 0,25

ĐỀ 17 THPT Nguyễn Chí Thanh – Tây Ninh

Cho hai số dương x, y thoả mãn điều kiện x + y = 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3 3

       

Theo bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có:

            

 x x      x x

ĐỀ 18 THPT Bình Thạnh – Tây Ninh

Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

x (y z) y (z x) z (x y) P

Ta có :

x x y y z z P

y z z x x y

Nhận thấy : x2 + y2 – xy  xy x, y  R

Do đó : x3 + y3  xy(x + y) x, y > 0 hay

x y

x y

y  x   x, y > 0

0,25

         

Cộng từng vế của (1), (2) ta có

3

              

 x x  y y    x y x y

0,25



3

             

 x x  y y    x y x y

0,25

Theo giả thiết x = y = 4 nên

2 3

 

 

0,25

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

1

2

2 4

   





      









  



x x

y

min

4



S

0,25

Tương tự, ta có : y2 z2 y z

z  y   y, z > 0

z x

z x

x  z   x, z > 0

0,25

Cộng từng vế ba bất đẳng thức vừa nhận được ở trên, kết hợp với (*), ta được:

P  2(x + y + z) = 2 x, y, z > 0 và x + y + z = 1

0,25

Hơn nữa, ta lại có P = 2 khi x = y = z = 1

3 Vì vậy, minP = 2 0,25

ĐỀ 19 THPT Lộc Hưng – Tây Ninh

Cho x0,y0 thỏa mãn x y2 xy2   x y 3xy Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2

2

xy

xy

+ Ta có

3

2





t

+ Ta có

3



      Nên f(t) đồng biến trên

4

0.25 điểm

0.25 điểm

ĐỀ 20 THPT Châu Thành – Tây Ninh

Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn 2x3y7 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P xy y x y  x y x y 

Ta cĩ

2

2

x y  x y         x y xy

5(x y )  2xy  5(x y )  2xy và

        

Suy ra P2(xy  x y) 24 2(3 x  y xy 3)

0,25

Đặt t   x y xy t, 0;5 , 3

P f t  t t

/

24.2

t

 

Vậy hàm số f(t) nghịch biến trên nữa khoảng 0;5

min ( )f t  f(5) 10 48 2 

1

x

y





   

0,25

ĐỀ 21 THPT Trần Đại Nghĩa – Tây Ninh

Xét các số thực khơng âm x, y, z thoả mãn điều kiện: x2 y2  z2 3 Tìm giá trị lớn

nhất của biểu thức P=xy+yz+zx+ 4

x y z

2

2

1 2

3 2

2



 

Ta có: xy + yz + zx =

=

Do đó P=

0.25

Hay giá trị nhỏ nhất của P bằng 71

4 khi x = y = 2

0.5 điểm

 

2

2

2

3 3

3 2

   

Vì 0 xy + yz + zx

Nên 0

Suy ra

0.25

 

2

2

3

3 4

2

3 4

2

t t

t

t

t t

t

 





    

Đặt t =x+y+z,

P=

Xét f(t)= với

f'(t)=

(loại)

0.25

 

 

 

4 3

3

3

13

3

3

13

3 13

3

13 3

13 3

f

f







Nên f khi

Do đó P

Khi x=y=z=1 thì P=

Do đó giá trị lớn nhất của P là

0.25