Phương trình vô tỷ

CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈI.. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG 1.. Ta có thể giải như sau :... PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẦN PHỤ1.. Phương pháp đặt ẩn phụ thơng thường  Đối

CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

I PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

1 Bình phương 2 vế của phương trình

a) Phương pháp

 Thông thường nếu ta gặp phương trình dạng : A+ B = C + D , ta thường bình phương 2 vế , điều đó đôi khi lại gặp khó khăn hãy giải ví dụ sau

 3 A+ 3 B = 3C ⇒ + +A B 33 A B ( 3 A+3 B) =C

và ta sử dụng phép thế :3 A+ 3 B C= ta được phương trình : A B+ +33 A B C C =

b) Ví dụ

Bài 1. Giải phương trình sau : x+ +3 3x+ =1 2 x+ 2x+2

Giải: Đk x≥0

Bình phương 2 vế không âm của phương trình ta được:1+ (x+3 3) ( x+ = +1) x 2 x x(2 +1) , để giải

phương trình này dĩ nhiên là không khó nhưng hơi phức tạp một chút

Phương trình giải sẽ rất đơn giản nếu ta chuyển vế phương trình : 3x+ −1 2x+ =2 4x− x+3

Bình phương hai vế ta có : 2 2

6x +8x+ =2 4x +12x ⇔ =x 1

Thử lại x = 1 thỏa

 Nhận xét : Nếu phương trình : f x( ) + g x( ) = h x( ) + k x( )

Mà có : f x( ) ( )+h x =g x( ) ( )+k x , thì ta biến đổi phương trình về dạng :

f x − h x = k x − g x sau đó bình phương ,giải phương trình hệ quả

Bài 2 Giải phương trình sau :

3

2

1

3

x

+

Giải:

Điều kiện : x≥ −1

Bình phương 2 vế phương trình ?

Nếu chuyển vế thì chuyển như thế nào?

Ta có nhận xét :

3

2

1

3

x

x

+ , từ nhận xét này ta có lời giải như sau : 3

2

1

3

x

x

+

+

Bình phương 2 vế ta được:

3

1

x x

 = − + = − − ⇔ − − = ⇔ 

Thử lại :x= −1 3,x= +1 3 l nghiệm

Qua lời giải trên ta có nhận xét : Nếu phương trình : f x( ) + g x( ) = h x( ) + k x( )

Mà có : f x h x( ) ( ) =k x g x( ) ( ) thì ta biến đổi f x( ) − h x( ) = k x( ) − g x( )

2 Trục căn thức

2.1 Trục căn thức để xuất hiện nhân tử chung

a) Phương pháp

Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm x0 như vậy phương trình luôn đưa về được dạng tích (x x A x− 0) ( ) =0 ta có thể giải phương trình A x( ) =0 hoặc chứng minh A x( ) =0 vô nghiệm , chú ý

điều kiện của nghiệm của phương trình để ta có thể đánh gía A x( ) =0 vô nghiệm

b) Ví dụ

Bài 1 Giải phương trình sau : 3x2−5x+ −1 x2− =2 3(x2− − −x 1) x2−3x+4

Giải:

Ta nhận thấy : (3x2−5x+ −1) (3x2−3x− = −3) 2(x−2) v (x2− −2) (x2−3x+4) =3(x−2)

Ta có thể trục căn thức 2 vế : 2 ( 2 ) 2 2

Dể dàng nhận thấy x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài 2 Giải phương trình sau (OLYMPIC 30/4 đề nghị) : x2+12 5 3+ = x+ x2+5

3

x + − x + = x− ≥ ⇔ ≥x

Ta nhận thấy : x=2 là nghiệm của phương trình , như vậy phương trình có thể phân tích về dạng

(x−2) ( )A x =0, để thực hiện được điều đó ta phải nhóm , tách như sau :

Dễ dàng chứng minh được : 2 2 2 2 5

3 0,

3

x

+ − + − < ∀ >

Bài 3 Giải phương trình :3 x2− + =1 x x3−1

Giải :Đk x≥ 3 2

Nhận thấy x=3 là nghiệm của phương trình , nên ta biến đổi phương trình

3

3

3

2 5

x

x

+

− +

3

2 3

2 5

x

+ +

<

− + Vậy pt có nghiệm duy nhất x=3

2.2 Đưa về “hệ tạm “

a) Phương pháp

 Nếu phương trình vô tỉ có dạng A+ B C= , mà : A B− =αC

ở dây C có thể là hàng số ,có thể là biểu thức của x Ta có thể giải như sau :

A B

A C

α





b) Ví dụ

Bài 4 Giải phương trình sau : 2x2+ + +x 9 2x2− + = +x 1 x 4

Giải:

Ta thấy : (2x2+ + −x 9) (2x2− + =x 1) 2(x+4)

4

x= − không phải là nghiệm

Xét x≠ −4

x

Vậy ta có hệ:

2

0

x

x

=



Thử lại thỏa; vậy phương trình có 2 nghiệm : x=0 v x=8

7

Bài 5 Giải phương trình : 2 2

2x + + +x 1 x − + =x 1 3x

Ta thấy : (2x2+ + −x 1) (x2− + =x 1) x2+2x, như vậy không thỏa mãn điều kiện trên

Ta có thể chia cả hai vế cho x và đặt 1

t x

= thì bài toán trở nên đơn giản hơn

Bài tập đề nghị

Giải các phương trình sau :

x + x+ = x+ x +

4 3 10 3− − x = −x 2 (HSG Toàn Quốc

2002)

2 2−x 5−x = +x 2−x 10−x

2

3

x + = x− + x−

3 x − +1 3x − =2 3x−2

2x −11x+ −21 3 4x− =4 0 (OLYMPIC 30/4-2007)

2x − +1 x −3x− =2 2x +2x+ +3 x − +x 2

2x +16x+18+ x − =1 2x+4

x + = x− + x +

3 Phương trình biến đổi về tích

 Sử dụng đẳng thức

u v+ = +uv⇔ u− v− =

au bv ab vu+ = + ⇔ u b v a− − =

A =B

Bài 1 Giải phương trình : 3 x+ +1 3 x+ = +2 1 3 x2+3x+2

1

x

x

=



⇔ + − + − = ⇔  = −

Bài 2 Giải phương trình : 3 x+ +1 3 x2 = 3 x+3 x2+x

Giải:

+ x=0, không phải là nghiệm

+ x≠0, ta chia hai vế cho x: 3 1 3 3 3 1 ( 3 )

Bài 3 Giải phương trình: 2

x+ + x x+ = x+ x + x+ Giải: dk x: ≥ −1

0

x

x

=



Bài 4 Giải phương trình : 4

3

x

x

+

Giải:

Đk: x≥0

Chia cả hai vế cho x+3:

2

x

 Dùng hằng đẳng thức

Biến đổi phương trình về dạng :A k =B k

Bài 1 Giải phương trình : 3− =x x 3+x

Giải:

Đk: 0≤ ≤x 3 khi đó pt đ cho tương đương :x3+ 3x2+ −x 3 0=

Bài 2 Giải phương trình sau :2 x+ =3 9x2− −x 4

Giải:

Đk:x≥ −3 phương trình tương đương : ( )2

2

1

3 1 3

18

x

x

=



 = + + = −

Bài 3 Giải phương trình sau : 2( ) 3 ( )2

3

2 3 9+ x x+2 =2x+3 3x x+2

Giải : pt ( )3

II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẦN PHỤ

1 Phương pháp đặt ẩn phụ thơng thường

 Đối với nhiều phương trình vơ tỉ , để giải chúng ta cĩ thể đặt t = f x( ) và chú ý điều kiện của tnếu phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa một biến tquan trọng hơn ta cĩ thể giải được phương trình

đĩ theo t thì việc đặt phụ xem như “hồn tồn ” Nĩi chung những phương trình mà cĩ thể đặt hồn tồn ( )

t = f x thường là những phương trình dễ

-Nếu bài tốn cĩ chứa f x( ), g x( ) và f x( ) g x( ) =k (với k là hằng số) khi đĩ cĩ thể đặt : t = f x( )

, khi đĩ g x( ) k

t

= -Nếu bài tốn cĩ chứa f x( )± g x( ) ; f x g x( ) ( ) và f x( )+g x( )=k khi đĩ cĩ thể đặt:

t = f x ± g x suy ra

2

( ) ( )

2

f x g x = − -Nếu bài tốn cĩ chứa 2 2

a −x thì đặt x= asint với

− ≤ ≤ hoặc x= a cost với 0 t≤ ≤π

-Nếu bài tốn cĩ chứa x2−a2 thì đặt

sin

a x

t

= với ; \ 0{ }

2 2

t∈ − π π

  hoặc cos

a x

t

= với [ ]0; \

2

t∈ π  π

 

 

-Nếu bài tốn cĩ chứa x2 +a2 ta cĩ thể đặt x= a.tant với ;

2 2

t∈ − π π 

Bài 1 Giải phương trình: x− x2− +1 x+ x2− =1 2

Điều kiện: x≥1

Nhận xét x− x2−1 x+ x2− =1 1

Đặt t = x− x2−1 thì phương trình cĩ dạng: 1

t

+ = ⇔ = Thay vào tìm được x=1

Bài 2 Giải phương trình: 2x2−6x− =1 4x+5

Giải

Điều kiện: 4

5

x≥ −

Đặt t = 4x+5(t ≥0) thì

4

t

x= − Thay vào ta cĩ phương trình sau:

(t 2t 7)(t 2t 11) 0

Ta tìm được bốn nghiệm là: t1,2 = − ±1 2 2; t3,4 = ±1 2 3

Do t ≥0 nên chỉ nhận các gái trị t1= − +1 2 2,t3= +1 2 3

Từ đĩ tìm được các nghiệm của phương trình l: x= −1 2 và x= +2 3

Cách khác: Ta cĩ thể bình phương hai vế của phương trình với điều kiện 2x2−6x− ≥1 0

Ta được: x x2( −3)2− −(x 1)2 =0, từ đó ta tìm được nghiệm tương ứng.

Đơn giản nhất là ta đặt : 2y− =3 4x+5 và đưa về hệ đối xứng (Xem phần dặt ẩn phụ đưa về hệ)

Bài 3 Giải phương trình sau: x+ 5+ x− =1 6

Điều kiện: 1≤ ≤x 6

Đặt y= x−1(y≥0) thì phương trình trở thnh: y2+ y+ = ⇔5 5 y4−10y2− +y 20 0= ( với y≤ 5)

Từ đó ta tìm được các giá trị của 11 17

2

x= −

Bài 4 (THTT 3-2005) Giải phương trình sau : ( ) ( )2

Giải: đk 0≤ ≤x 1

Đặt y= 1− x pttt ( )2( 2 )

Bài 5 Giải phương trình sau : 2 1

x

Giải:

Điều kiện: − ≤ <1 x 0

Chia cả hai vế cho x ta nhận được: 1 1

Đặt 1

t x

x

= − , ta giải được

Bài 6 Giải phương trình : x2+3 x4−x2 =2x+1

Giải: x=0 không phải là nghiệm , Chia cả hai vế cho x ta được: 1 3 1

2

 − + − =

Đặt t=3 1

x

x

− , Ta có : t3+ − = ⇔t 2 0 1 1 5

2

t = ⇔ =x ±

Bài tập đề nghị

Giải các phương trình sau

15x−2x − =5 2x −15x+11

2

(x+5)(2− =x) 3 x +3x

2

(1+x)(2−x) 1 2= + x−2x

2

3x− +2 x− =1 4x− +9 2 3x −5x+2

2 (1n +x) +3 1n −x +n(1−x) =0

2

(x+3 x+2)(x+9 x+18) 168= x

3

1−x +2 1−x =3

Nhận xét : Đối với cách đặt ẩn phụ như trên chúng ta chỉ giải quyết được một lớp bài đơn giản, đôi khi

phương trình đối với t lại quá khó giải

2 Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến :

 Chúng ta đã biết cách giải phương trình: u2+αuv+βv2 =0 (1) bằng cách

Xét v≠0 phương trình trở thành :

2

0

  +  + =

   

0

v= thử trực tiếp

Các trường hợp sau cũng đưa về được (1)

 a A x ( ) +bB x( ) =c A x B x( ) ( )

 αu+βv= mu2+nv2

Chúng ta hãy thay các biểu thức A(x) , B(x) bởi các biểu thức vô tỉ thì sẽ nhận được phương trình vô tỉ theo dạng này

a) Phương trình dạng : a A x ( ) +bB x( ) =c A x B x( ) ( )

Như vậy phương trình Q x( ) =α P x( ) có thể giải bằng phương pháp trên nếu ( ) ( ) ( )





Xuất phát từ đẳng thức :

x + = x+ x − +x

x + + =x x + x + −x = x + +x x − +x

4x + =1 2x −2x+1 2x +2x+1

Hãy tạo ra những phương trình vô tỉ dạng trên ví dụ như:4x2−2 2x+ =4 x4+1

Để có một phương trình đẹp , chúng ta phải chọn hệ số a,b,c sao cho phương trình bậc hai at2+ − =bt c 0 giải

“ nghiệm đẹp”

Bài 1 Giải phương trình : 2(x2 +2) =5 x3+1

Giải: Đặt u= x+1,v= x2− +x 1

Phương trình trở thành : ( 2 2)

2

2

=





 =



Tìm được: 5 37

2

x= ±

Bài 2 Giải phương trình : 2 3 4 2

3

x − x+ = − x +x +

Bài 3: giải phương trình sau : 2 3

2x +5x− =1 7 x −1

Giải:

Đk: x≥1

Nhận xt : Ta viết α (x− +1) β (x2+ + =x 1) 7 (x−1) (x2+ +x 1)

Đồng nhất thức ta được: 3(x− +1) 2(x2+ + =x 1) 7 (x−1) (x2+ +x 1)

Đặt u= − ≥x 1 0 ,v x= 2+ + >x 1 0, ta được:

9

4

=





 =



Ta được :x= ±4 6

Bài 4 Giải phương trình : 3 2 ( )3

Giải:

Nhận xét : Đặt y= x+2 ta hãy biến pt trên về phương trình thuần nhất bậc 3 đối với x và y :

2

=



Pt có nghiệm :x=2, x= −2 2 3

b).Phương trình dạng : αu+βv= mu2+nv2

Phương trình cho ở dạng này thường khó “phát hiện “ hơn dạng trên , nhưg nếu ta bình phương hai vế thì đưa về được dạng trên

Bài 1 giải phương trình : 2 2 4 2

x + x − = x − +x

Giải:

Ta đặt :

2

2 1

 =





 khi đó phương trình trở thành :

3

u+ v= u −v

Bài 2.Giải phương trình sau : x2+2x+ 2x− =1 3x2+4x+1

Giải

Đk 1

2

x≥ Bình phương 2 vế ta có :

Ta có thể đặt :

2

2

 = +

 = −

 khi đó ta có hệ :

2

2

=





=



Do u v, ≥0 1 5 2 1 5( )

Bài 3 giải phương trình : 5x2−14x+ −9 x2− −x 20 5= x+1

Giải:

Đk x≥5 Chuyển vế bình phương ta được: 2x2−5x+ =2 5 (x2− −x 20) (x+1)

Nhận xét : không tồn tại số α β, để : 2x2 −5x+ =2 α (x2− −x 20)+β (x+1) vậy ta không thể đặt

2

20 1

v x

 = − −

 = +

Nhưng may mắn ta có : (x2− −x 20) (x+ =1) (x+4) (x−5) (x+ =1) (x+4) (x2−4x−5)

Ta viết lại phương trình: 2(x2−4x− +5) 3(x+4) =5 (x2−4x−5)(x+4) Đến đây bài toán được giải quyết

Các em hãy tự sáng tạo cho mình những phương trình vô tỉ “đẹp “ theo cách trên

3 Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn

 Từ những phương trình tích ( x+ −1 1)( x+ − + =1 x 2) 0,( 2x+ −3 x)( 2x+ − + =3 x 2) 0

Khai triển và rút gọn ta sẽ được những phương trình vô tỉ không tầm thường chút nào, độ khó của phương trình dạng này phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát

Từ đó chúng ta mới đi tìm cách giải phương trình dạng này Phương pháp giải được thể hiện qua các ví dụ sau

Bài 1 Giải phương trình :x2+ −(3 x2+2)x= +1 2 x2+2

Giải:

2 2

t = x + , ta có : 2 ( ) 3

1

t

t x

=



− + − + = ⇔  = −

Bài 2 Giải phương trình : (x+1) x2−2x+ =3 x2+1

Giải:

Đặt : 2

t = x − x+ t ≥ Khi đó phương trình trở thnh : ( ) 2

Bây giờ ta thêm bớt , để được phương trình bậc 2 theo t có ∆ chẵn :

1

t

t x

=



Từ một phương trình đơn giản : ( 1− −x 2 1+x)( 1− − +x 2 1+x) =0, khai triển ra ta sẽ được pt sau

Bài 3 Giải phương trình sau : 2

4 x+ − =1 1 3x+2 1− +x 1−x

Giải:

Nhận xét : đặt t = 1−x, pttt: 4 1+ =x 3x+ +2t t 1+x (1)

Ta rút 2

1

x= −t thay vào thì được pt: 2 ( ) ( )

3t − +2 1+x t+4 1+ − =x 1 0

Nhưng không có sự may mắn để giải được phương trình theo t ( )2 ( )

∆ = + + − + − không có dạng bình phương

Muốn đạt được mục đích trên thì ta phải tách 3x theo ( ) (2 )2

1−x , 1+x

Cụ thể như sau : 3x= − − +(1 x) (2 1+x) thay vào pt (1) ta được:

Bài 4 Giải phương trình: 2 2x+ +4 4 2− =x 9x2+16

Giải

Bình phương 2 vế phương trình: ( ) ( 2) ( ) 2

4 2x+ +4 16 2 4−x +16 2−x =9x +16

Ta đặt : ( 2)

t = −x ≥ Ta được: 9x2 −16t−32 8+ x=0

Ta phải tách 9x2 =α2 4( −x2) + +(9 2α )x2−8α làm sao cho ∆t có dạng chính phương

Nhận xét : Thông thường ta chỉ cần nhóm sao cho hết hệ số tự do thì sẽ đạt được mục đích

4 Đặt nhiều ẩn phụ đưa về tích

 Xuất phát từ một số hệ “đại số “ đẹp chúng ta có thể tạo ra được những phương trình vô tỉ mà khi giải nó chúng ta lại đặt nhiều ẩn phụ và tìm mối quan hệ giữa các ẩn phụ để đưa về hệ

Xuất phát từ đẳng thức ( )3 3 3 3 ( ) ( ) ( )

3

a b c+ + =a + + +b c a b b c c a+ + + , Ta có

a + + =b c a b c+ + ⇔ a b a c b c+ + + =

Từ nhận xét này ta có thể tạo ra những phương trình vô tỉ có chứa căn bậc ba

2 2

3 7x+ −1 x − − +x 8 x −8x+ =1 2

33x+ +1 35− +x 3 2x− −9 3 4x− =3 0

Bài 1 Giải phương trình :x= 2−x 3− +x 3−x 5− +x 5−x 2−x

Giải :

2 3

5

 = −

 = −



 = −



, ta có :

2 2 2

2 2

u v u w





, giải hệ ta được:

Bài 2 Giải phương trình sau : 2 2 2 2

2x − +1 x −3x− =2 2x +2x+ +3 x − +x 2

Giải Ta đặt :

2 2 2 2

2













, khi đó ta có : a b c d2 2 2 2 x 2

+ = +



⇔ = −



Bài 3 Giải các phương trình sau

1) 4x2+5x+ −1 2 x2− + =x 1 9x−3

4

5 Đặt ẩn phụ đưa về hệ:

5.1 Đặt ẩn phụ đưa về hệ thông thường

Đặt u=α ( )x v, =β ( )x và tìm mối quan hệ giữa α ( )x và β ( )x từ đó tìm được hệ theo u,v Chẳng hạn đối với phương trình: m a − f x ( ) +mb + f x ( ) = c ta có thể đặt: ( )

( )

m

m





 từ đó suy ra

u +v = +a b Khi đó ta có hệ

u v c

 + =



Bài tập: Giải các phương trình sau:



Bài 1 Giải phương trình: x325−x x3( +325−x3) =30

Đặt y= 335−x3 ⇒ x3+y3=35

Khi đó phương trình chuyển về hệ phương trình sau: 3( 3 ) 30

35

xy x y

+ =





 , giải hệ này ta tìm được

( ; ) (2;3) (3;2)x y = = Tức là nghiệm của phương trình là x∈{2;3}

Bài 2 Giải phương trình: 4 41

2 1

2

Điều kiện: 0≤ ≤x 2 1−

Đặt 4

4

2 1

x u

x v



=



Ta đưa về hệ phương trình sau:

4 4

2

4

1 1

2 2

1

2

u v

 = −

Giải phương trình thứ 2:

2

4

1

2

v + − +v  =

  , từ đó tìm ra v rồi thay vào tìm nghiệm của phương trình.

Bài 3 Giải phương trình sau: x+ 5+ x− =1 6

Điều kiện: x≥1

Đặt a= x−1,b= 5+ x−1(a≥0,b≥0) thì ta đưa về hệ phương trình sau:

2

2

5

5

 + =



− =



2

x− + = + x− ⇔ x− = − ⇒ =x x −

Bài 4 Giải phương trình: 6 2 6 2 8

3

Giải

Điều kiện: − < <5 x 5

Đặt u= 5−x v, = 5−y (0<u v, < 10)

Khi đó ta được hệ phương trình:

2

3 3

u v

u z

uv



b) Dạng phương trình chứa căn bậc hai và lũy thừa bậc hai:

2

ax b c dx e+ = + +αx+β với d ac

e bc

α β

= +



 = +



Cách giải: Đặt: dy e+ = ax b+ khi đó phương trình được chuyển thành hệ:

2 2 2

Nhận xét: Dể sử dụng được phương pháp trên cần phải khéo léo biến đổi phương trình ban đầu về dạng thỏa

mãn điều kiện trên để đặt ẩn phụ.Việc chọn α β; thông thường chúng ta chỉ cần viết dưới dạng :

( αx+β )n = p a x b n ' + +' γ là chọn được

c) Dạng phương trình chứa căn bậc ba và lũy thừa bậc ba.

3 ax b c dx e+ = + +αx+β với d ac

e bc

α β



 = +



Cách giải: Đặt dy e+ = 3 ax b+ khi đó phương trình được chuyển thành hệ:

( )

3



Bài tập: Giải các phương trình sau:

1) x+ =1 x2+4x+5

3x+ = −1 4x +13x−5

3) x3+ =2 3 33 x−2

28

x

5) x3+ =1 2 23 x−1 6) x335−x x3( +335−x3) =30 7) 4x2 −13x+ +5 3x+ =1 0 8) 2

4x −13x+ +5 3x+ =1 0

15

33x− =5 8x −36x +53 25−

3

x− = −x x + x−

10) 36x+ =1 8x3−4x−1

5.2 Xây dựng phương trình vô tỉ từ hệ đối xứng loại II

 Ta hãy đi tìm nguồn gốc của những bài toán giải phương trình bằng cách đưa về hệ đối xứng loại II

 Ta xét một hệ phương trình đối xứng loại II sau : ( )

2 2





 việc giải hệ này thì đơn giản Bây giời ta sẽ biến hệ thành phương trình bằng cách đặt y= f x( ) sao cho (2) luôn đúng , y= x+ −2 1, khi đó ta có phương trình : ( )2 2

x+ = x+ − + ⇔ x + x= x+ Vậy để giải phương trình : 2

x + x= x+ ta đặt lại như trên và đưa về hệ Bằng cách tương tự xét hệ tổng quát dạng bậc 2 : ( )

2 2





 , ta sẽ xây dựng được phương trình dạng sau : đặt αy+ =β ax b+ , khi đó ta có phương trình : ( )2 a

Tương tự cho bậc cao hơn : ( )n a n

Tóm lại phương trình thường cho dưới dạng khai triển ta phải viết về dạng : ( αx+β )n = p a x b n ' + +' γ v đặt αy+ =β n ax b+ để đưa về hệ , chú ý về dấu của α ???

Việc chọn α β; thông thường chúng ta chỉ cần viết dưới dạng :( αx+β )n = p a x b n ' + +' γ là chọn được

Bài 1 Giải phương trình: x2−2x=2 2x−1

Điều kiện: 1

2

x≥

Ta có phương trình được viết lại là: (x−1)2− =1 2 2x−1

Đặt y− =1 2x−1 thì ta đưa về hệ sau:

2 2





