dùng hàm D-Gap giải bài toán cân bằng 4_2_2

luận văn trình bày các kiến thức cơ bản và các bài toán cân bằng, với trọng tâm là dẫn đến khái niệm và các kiểu hàm Gap khác nhau, nghiên cứu về hàm D-gap và giải bài toán bổ trợ. và chỉ ra được cách đánh giá tốc độ của thuật toán

Chuong 2 BAI TOAN CAN BANG

2.1 Phát biểu bài toán

Giả sử K là tập lỗi đóng của X © 9i" và f: X x X — 9 là hàm cân bằng trên K (có nghĩa la f(x, x) = 0 ,V x € K)

Tim x* € K sao cho f(x*,y) 20, V yeK (1) Bài toán này gọi là bai todn cdn bang (Equilibrium Problem) ,duge ki hiéu

la (EP)

2.2 Một số dạng riêng của bài toán cân bằng

2.2.1 Bài toán tối ưu

Bài toán tối ưu phát biểu như sau Giả sử K 9†" và ọ : K — 9† Tìm X e

K sao cho

@()> @(X), V y eK

Nhận xét rằng x là nghiệm của bài toán tối ưu khi và chỉ khi X là nghiệm của bài toán cân băng (EP) với

Í(x, y) := 0(y) — @()

2.2.2 Bài toán điểm yên ngựa

Định nghĩa 2.2.2.1 (điểm yên ngựa)

Giả sử Kị c 9È, Kạ c 9t? và ọ: KixK; —> 9ï Khi đó (X,,X;) e K¡xKa được gọi là điểm yên ngựa nếu, V (y¡, y2) € KixK¿,

OX, »Y2) s oy, X, )

@(X,,y,) <0(X¡,X,) <0(y,,X;)

Nhận xét rằng bài toán tìm điểm yên ngựa tương đương với bài toán cân

băng (EP) với K := KixK¿ và f((x1, x2), (yi, Y2)) = O(Y15 Xa) - (KL, 2)

2.2.3 Bài toán cân bằng Nash

Giả sử L là tập chỉ số gồm n phần tử

Kí hiệu K, là tập hợp, ¡ e L Ta đặt K := IK,

VieL,chofi:K>R

Cho x = (Xj, ., Xn) € K ,ta định nghĩa

36 IS (XÍ seajXisXiazaaztih

Định nghĩa 2.2.3.1 (điểm cân bằng Nash)

Điêm x e K được gọi là điểm cân bang Nash néu, Vi € L, Vy; e K¿,

ñ(x) <f(X',y,)

Nhận xét rằng X là điểm cân bằng Nash khi và chỉ khi X là nghiệm của bài toán cân bằng (EP) với f(x, y):= );Œ(x',y,)—f.(#))

ieL 2.2.4 Bài toán điểm bất động

Cho Kc ®"vaT:K—>K x e K được gọi là điểm bất động của T nêu

xX=1x

Dat f(x, y) = (x — Tx, y— x)

Khi đó, x là điêm bât động của T khi và chỉ khi x là nghiệm của (EP)

Chú ý 2.2.4.1

Ham số f{x, y) = x — Tx, y — x là đơn điệu khi và chỉ khi

(Tx- Ty, x- y) < ||x - v|Ÿ, V x, y e K

Điều này cũng có nghĩa là f đơn điệu khi và chỉ khi T ánh xạ không dãn (nonexpansive)

2.2.5 Bất đẳng thức biến phân

Xét bài toán bất đẳng thức biến phân :

Cho Kc 9 và T:K ->9†" Tìm X e K sao cho

Đặt f(x,y) : = (Tx, y - x), rõ ràng bất đăng thức biến phân là tương đương với bài toán cân bằng (EP)

2.2.6 Bài toán tối ưu lồi khả vi

Xét bài toán tối ưu sau :

min (x), với @: 9Ÿ" —> 9 là lồi , khả vi và K œ 9i" là tập lồi

Khi đó, x là nghiệm của bài toán trên khi và chỉ khi x là nghiệm của bài toán bắt đăng thức biến phân :

Tìm x e K sao cho (@°(X), y- x)>0, VyeK

Đặt fx, y) := (@'(x), y - x) ), Vx, y e K, ta thấy bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán cân bằng (EP) có cùng tập nghiệm

Chú ý 2.2.6.1

Nếu ọ lồi, khả vi và @° là ánh xạ đơn điệu có nghĩa là

, (9’(x) - 9’(y),X-y) 2 0, Vx,y EK,

thi

f(x, y) + fly, x) = (p’(%), y - x) + (9’(y), XY)

=- ‹@*@&) - 0 '(y), x- y) <0,

có nghĩa là f đơn điệu

2.2.7 Bai toan bu

Cho K là nón lỗi đóng và K* được gọi là nón đối cực (polar cone), tức là

K*={x*:(x*,y)>0 ,VyeK}

Cho T: K — 9” = (R")* Bai toán bù (T, K) được định nghĩa như sau: Tìm xeK sao cho TX eK* và (TX, x)=0

Khi K là nón thì bài toán bù và bài toán bất đẳng thức biến phân có cùng nghiệm Điều đó cũng có nghĩa là bài toán bù là một bài toán cân bằng

2.2.8 Bất đẳng thức biến phân đa trị

Gia st T :K ~AR" sao cho, VxeK, Tx khac rong , 16i và compact trong R" Bai toan bat đăng thức biến phân đa trị là :

Tìm x eK và 8 e TX sao cho (£, y - X)> 0, VyeK

Đặt f(x,y) = max (€,y- X)

Dễ dàng thấy rằng nếu X, £ là nghiệm của bất đẳng thức biến phân thì

f{x,y)> (£,y-x)>0, VyeK, tức là X là nghiệm của bài toán cân bằng

2.3 Bài toán đối ngẫu của bài toán cân bằng

Xét bài toán cân bằng:

(EP) Tim x* e K sao cho f(x*,y) > 0, VyeK

Khi đó ,bài toán đối ngẫu của (EP) được định nghĩa là

(DEP) Tìm y*eK sao cho f{x,y*) < 0, VxeK

Ta tìm hiểu mối quan hệ giữa tập nghiệm của bài toán cân bằng với tập nghiệm của bài toán đối ngẫu Gọi

U? la tap hop nghiém cua (EP),

U' là tập hợp nghiệm của (DEP)

Định nghĩa 2.3.1(hemi liên tục trên )

Giả sử K c 9 Hàm ọ: K — 9† được gọi là hemi liên tục trên nếu ,VxeK, VyeK, Vœe[0,l],

1(œ):= 0(œx +(I-œ)y),

là nửa trên liên tục trên (usc) tai 0°

Ménh dé 2.31 —

Cho hàm f: Kx K -> 9 là hàm cân bằng, thế thì

(i) néu f(x,.) là tựa lồi và Isc với mỗi xeK thì U° là tập lồi đóng;

(ii) néu ,V yeK, f( y) là use và ,V xeK, f(x,.) là tựa lỗi hiện, thì U*C U?;

(ii) nếu , VyeK, f( y) là hemi liên tục trên và, V xeK ,f(x,.) là tựa lồi hiện thì

U d c=Ữ P :

(iv) Néu f giả đơn diéu thi U'c Us

Hệ quả 2.3.1

Nếu f và -f giả đơn điệu thì U"= Us

Giả sử f là tựa lõm hiện và tựa lỗi.Giả sử f( y) và -f{x,.) là hemi liên tục

trên, Vx,yeK, thì U?= U'

2.4 Nghiệm của bài toán cân bằng

Mệnh đề 2.4.1 (điều kiện để bài toán cân bằng có nghiệm)

Gia st K CR" va f: Kx K —>9† thoả f(x,x) =0, VxeK, sao cho,VyeK, f(.,y) là usc và ,VxeK, f(x,.) là tựa lồi Giả sử một trong hai điều kiện sau thoả

(a) K giới nội

(b) Tén tại tập con khác rồng bị chặn W của K sao cho, VxeK\W, có yeK thoa f(x,y) < 0

Khi dé , (EP) co nghiém

Mệnh đề 2.4.2 (điều kiện để bài toán cân bằng có nghiệm duy nhất)

Giả sử K c 9° và f: Kx K — 9† thỏa f(x,x) = 0, VxeK

(i) nếu flà đơn điệu chặt thì (EP) có nhiều nhất một nghiệm;

(ii) néu,VyeK ,f(.y) use ; VxeK , f(x,.) là lồi, Ise và f là đơn điệu mạnh

thì (EP) có nghiệm duy nhât

Chứng minh

(i) Gia sử u,v là nghiệm của EP và u # v, thế thì

Thay y = v ở (2) và y =uở 3), ta được

f(u,v) > 0, f(v,u) = 0

Cong về theo về , ta được

f(u,v) + f(v,u) = 0

Điều này trái với giả thiết là f đơn điệu chặt

(ii) Ap dung (i) ta chi việc chứng minh (EP) có nghiệm là đủ VzeK, vì f(z ) lsc nên sẽ có L>-œ© sao cho f{z„y) > H, VyeB(z,1)¬K

1

mm

thế thì y= Ax+(1-2)z e B(„1) ^K

Chọn xeK\B(z,1) tùy ý và À=

Mặt khác „vì f lỗi và f(z,z)=0 nên

f(z,y) < Af(z,x) + (1-A)f(z,z) = Af(z,x)

Trdé p< fizy)< 12,

|z-x|l

tức là

Vi f don điệu mạnh với hằng sé 5>0 nén

f(x,z) + f(z,x) < -ð||z-x||?

Do đó

f(x,z) < - f(z,x) - ð||z-x||? (5)

Tu (4) va (5), taco

f{x,z) < -Hlz-x|| - 8]|2z-x||? = -llz-x||qvrð|lz-x||) < 0,

nếu ||z-x|| > - Vì vậy, tất cả các giả thiết của Mệnh đề 2.4.1 thỏa với

W=KOB(z, 1’), o day pw’ > max{1, “gh

2.5 Ham gap của bài toán cân bằng

Định nghĩa 2.5.1

Hàm p: X — 9† được gọi là hàm gap của (EP) nếu thỏa mãn hai điều sau

() p(x)>0, VxeK;

(ii) p(x)=0 và xeK khi và chỉ khi x là nghiệm của (EP)

Bồ đề 2.5.1

Giả sử f(x,x) = 0, VxeK Khi đó , ba khẳng định sau tương đương:

(i) x*eK thỏa f(x*,y)>0, VyeK;

(ii) min sup[-f(x,y)] =0 va

xeK yeK

x*=arg min sup [-f(x,y)];

xeK — yeK

(ii) f{x*,.) đạt cực tiểu trên K tại x*

Chứng minh

()>().Vì f(x,x) = 0, VxeK, nên

sup [-f,y)] > -f{x,x) = 0

yeK

Do đó

min sup [-f(x,y)] = 0

Ta lại có f{(x*,y)> 0, VyeK va f(x*,x*) =0 Do đó

sup [-fx*,y)] = -Ñx*.,x*) = 0

yeK

Vậy

x* = argmin sup[-f(x,y)]

xeK yeK

(ii)=> (i) Tur (ii) ta c6

sup [-f(x*,y)] = 0

yeK

Do đó

fx*,y)>0, VyeK

()<S(đñ) Vì fx*,x*) = 0 nên

f{x*,y) >0, VyeK Có nghĩa là

f(x*,y) > x*,x*) =0, VyeK

Điều này tương đương với f(x*,.) đạt cực tiêu trên K tại x* a

Tir B6 dé 2.5.1 ta thay ham g(x) sau day là ham gap cia (EP)

yeK

Ménh dé 2.5.1 (xem [20])

Giả sử các điều kiện sau thỏa:

(i) f(x,y) 1a ham lồi chặt theo yứng với mỗi xeK;

(ii) f khả vi theo x ứng với mỗi yeK và f', liên tục trên KxK;

(ii) supremum ở (6) tồn tại với mỗi xeK

Khi đó

g(x):= sup[-f%y)] ,

yeK

là hàm gap khả vi liên tục của (EP) và gradient của nó là

g'@)= -Ÿ”,, y@&)),

với

yeK

Trong Mệnh đê 2.5.1 ,điều kign (iii) thoa man néu f(x,y) Isc theo y và K là compact hoac néu f(x,.) loi manh Ménh dé 2.5.1 cũng đúng nêu f(x,.) la tua lôi chat

Ta có thể xây dựng một bai toán bổ trợ cho (EP) bằng cách cộng thêm cho f(.,.) một hàm số H(.,.) như sau.Giả sử H: 9" x9†" —› 9† thỏa các điều kiện sau: (C1) H khả vi liên tục trên 9†" x 9‡";

(C2) H(x,y) > 0, V(x,y)c 9” x 9”;

(C3) Vx e 9†" ,H(x,.) lồi mạnh, nghia 1a 32> 0 sao cho, Vx € 8" ,Vy,,y, c9,

H(xy,) 7 H(x,y,) 2 (H’y(x, Yo)» Yi-Y>) af Al vị Valls

(C4) H(x,y) = 0 khi và chỉ khi x=y

Một số hàm thỏa (C1) — (C4) là:

H, (x,y) = @-y, B(x)(x-y) ) với điều kiện B(x) là ma trận hàm nxn kha vi liên tục, đối xứng và xác định dương

Bồ đề 2.5.2

Giả sử H thoả (C1)-C(4) Khi đó ,H?y(x,y) = 0 khi và chỉ khi x=y

Chứng minh

(=) Theo (C3) ta cd, Vx,y € R",

Hx) - H(x,y) 2 A’ yGy) xy + Al] x yl’

Vi (C4) nén H(x,x) = 0 Theo gia thiét H’\(x,y) = 0 Do do

Mat khác vì (C2) nên

Từ (7) và (8) dẫn đến H(x,y) = 0 Theo (C4) thì x = y

(©) Ngược lại, nếu x =y thì theo (C2) ta có H(x,y) >0, Vy e 9†” Do đó

H(x,.) dat cực tiểu tại y =x Vì H(x,.) lỗi mạnh nên H(x,.) đạt cực tiểu tại y=x tương đương với

(H’\(X,x),Z-x)>0 Vz em"

Ứng với mỗi ze9*, ta chọn t=2x-z thi

(H’s(x,x),t-x) 20, tức là

(H°y(x,x),(2x-2)-x) > 0,

hay

(H;Œ&,x),x-2 >0;

do đó

4H} (x,x),z-x) =0, Vz e %”, hay H”y(x,x)= 0 a

Bây giờ xét bài toán bổ trợ :

(AEP) Với œ > 0 cho trước

Tìm x* e K sao cho, VyeK,

f{x*,y) + œH(x*,y) > 0

Ménh dé 2.5.2

Gia sir f(x,y) là hàm lồi khả vi theo y ứng với mỗi x eK Thế thi ,x* là nghiệm của (EP) khi và chỉ khi x* là nghiệm của (AEP)

Hiên nhiên răng nêu x* là nghiệm của (EP) thì x* là nghiệm của (AEP) do

H(x*,y) > 0, VyeK theo (C2)

Ngược lại ,giả sử x* là nghiệm của (AEP) Áp dụng Bổ đề 2.5.1 cho

{x,y) + œH(x,y), ta có x* là nghiệm của bài toán tôi ưu :

Vì K lồi và x* là nghiệm của (9) nên ,VyeK,

Œ?y(x*,x*) + œ H)y(x*,x*), y-x*) > 0

Áp dụng Bồ đề 2.5.2, ta có H'y(x*,x*) =0 Do đó ,VyeK,

Ñ?(x*, x*),y-x*) >0,

tức là x* là nghiệm của min f(x*,y) Theo Bồ đề 2.5.1 ,x* là nghiệm của (EP) ye

a

Gia str K 1a tap dong trong X, ham f(x,y) la kha vi, Isc, 16i theo y ứng với mỗi xeK và khả vi theo x với f„ liên tục trên Kx K Gia sử hàm H thỏa (C1l)— (C4) Khi đó

hu(x):= max [-f(x,y) - œHQy)},

là hàm gap khả vi liên tục của (EP) và gradient của nó được xác định là

h2) =- £”@, y„(X)) - OH? x (% yx), với

yeK

Từ Bồ đề 2.5.1, ta thấy x* là nghiệm của (AEP) khi và chỉ khi

min h„(x) = hạ (X*) =0

Bé dé 2.5.3

Gia str H thoa (C1)-(C4) Khi d6, Va > 0, ya (x*) = x* khi va chi khi x* 1a nghiém cua (EP)

Chứng minh

Theo Mệnh đê 2.5.2, x* là nghiệm của (EP) khi và chỉ khi x* là nghiệm của (AEP).Áp dụng Bồ đề 2.5.1 cho f(x,y) + @H(x,y) , ta thay x* 1a nghiém

của (AEP) khi và chỉ khi x* là nghiệm của

min [f(x*,y) + œH(xŠ, y)],

Nhận xét 2.5.1

Theo định nghĩa của hạ (x) thì, VxeK,

he (x) > -fx,x) - œH(x,x) = 0

Vậy hàm hạ (.): K —> 9‡ là hàm không âm

Mệnh đề 2.5.3

Giả sử các giả thiết ở Mệnh đề 2.5.1 đều thỏa và thêm giả thiết rằng

,V(x,y)eKxK : x#y

Khi đó , y(x)-x là hướng giảm của hàm g (xác định tại Mệnh đề 2.5.1) tại xeK nêu y(x)zx

Chứng minh

Vì y(x)= argminf{x,y) và f{x,.) lồi chặt nên ,VzeK,

yeK

Œ}” ,(x,yœ)), Z-y(x) ) 2 0

Thay z= x, ta được

Œ”,@y()), y(x) - x} <0

Mặt khác, thay y = y(x) ở (10) , ta được

Œ”,@œ,y(@&)) + Ê” ,(x,y(x)), x-y(œ) }) <0

Do đó

Œ”,@œ¿y@)), x-yŒœ) ) <Œ”, &y@)), y@)-x) < 0,

hay

Hé qua 2.5.1

Giả sử các giả thiết ở Định lý 2.5.1 thỏa và giả thiết thêm rằng,V(x,y)eKx

Korey,

(f° (uy) +f" Quy) + OH? Ky) + OH’ Oy), X-y) <0

Khi do, y„ (x) — x là hướng giảm của h„ (.) tại xeK nếu y„ (X) # x