luận văn trình bày các kiến thức cơ bản và các bài toán cân bằng, với trọng tâm là dẫn đến khái niệm và các kiểu hàm Gap khác nhau, nghiên cứu về hàm D-gap và giải bài toán bổ trợ. và chỉ ra được cách đánh giá tốc độ của thuật toán
Trang 1LỜI MỞ ĐẦU
Lý thuyết bài toán cân bằng được ứng dụng giải quyết nhiều bài toán và vấn đề thực tế trong các lĩnh vực: tài chính, kinh tế, phân tích hệ thống, giao thông, tối ưu hoá, v.v Không những thế, bài toán này còn liên quan mật thiết
đến nhiều bài toán trong giải tích phi tuyến như: bài toán điểm bất động, bài
toán bất đẳng thức biến phân, bài toán cân bang Nash, bài toán minimax, v.v Chính vì vậy, bài toán cân bằng đã và đang được các nhà toán học nghiên cứu một cách sâu sắc Có thể nêu một số kết quả mới nhất như: sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng (xem [12] tính ô ồn định nghiệm của bài toán cân bằng
(xem [1],[7], [31]), tính duy nhất của nghiệm bài toán cân bằng(xem [2], [13]
,bài toán đối ngẫu của bài toán cân bằng (xem [22]), thuật giải bài toán cân bang (xem [6],[10],[26],[27]), v.v
Điểm thú vị của bài toán cân bằng là nó có thể chuyền thành các bài toán
giải tích phi tuyến đã nêu ở trên với một số điều kiện nhất định Vì vậy, các
phương pháp giải những bài toán đó có thể mở rộng sao cho phù hợp để giải bài toán cân bằng
Bài toán cân bằng được định nghĩa như sau:
Tìm x* e K sao cho fx*,y)>0,VyeK, (EP)
với điều kiện K là tập lồi đóng của X G 9" và f: X x X — 9ï với f(x, x) = 0,
VxeK
Giải trực tiếp bài toán cân bằng gặp nhiều khó khăn, vì vậy, người ta chuyển sang giải bài toán bổ trợ Phương pháp bài toán bổ trợ được đề xuất bởi
Cohen năm 1980 (xem [8J), dùng để giải bài toán tối ưu và được mở rộng cho
bài toán bất đăng thức biến phân trong [9] năm 1988 Dựa vào đó, năm 2000, Mastroeni dua ra bài toán bổ trợ cho bài toán cân bằng với điều kiện kiểu
Lipschitz
Dạng tổng quát của bài toán bổ trợ như sau:
Tìm x* e K sao cho f(x*, y) + H(x*, y) > 0, V y e K, (AEP)
với điêu kiện H(x, y) >0, V x, y e K
Trang 2Để giải bài toán bỏ trợ của bài toán cân bằng, các nhà toán học đã đưa ra nhiều phương pháp khác nhau Một trong đó là phương pháp tìm điểm xấp xỉ
Phương pháp này đã được đưa ra bởi Martinet (xem [23]) để giải bài toán bất đăng thức biến phân và được Moudafi (xem [25]) tiếp tục mở rộng ra cho bài toán cân bằng đơn điệu vào năm 1999, Đến năm 2006, Muu L.D, Nguyen V.H
và Strodiot J ‘ giải bài toán bổ trợ bằng phương pháp xấp xỉ với truờng hợp cụ
thé H(x, y)== 2l x—y |(xem[26])
Một cách khác dùng để giải bài toán bổ trợ của bài toán cân bằng là phương pháp extragradient với điều kiện cocoercivity Phương pháp này được giới thiệu đầu tiên bởi Korpelevich (xem [18]) , ding để giải bài toán điểm bất động Sau đó, phương pháp extragradient được dùng để giải bài toán bất đăng
thức biến phân (xem [5],[28]) Đến năm 2006, Muu L.D, Tran D.Q và Hien
N.V đã dùng phương pháp này giải bài toán bổ trợ cân bằng với điều kiện kiểu Lipschitz trong trường hợp riêng H@, y) = G(y) — G(x) - (VG(x), y - x) (xem [10]) Ngoài ra, thuật toán điểm trong , thuật toán sử dụng trong Qui Hoạch
Tuyến Tính , cũng được áp dụng giải bài toán cân bằng (xem [6])
Những phương pháp được đề cập ở trên ,giải trực tiếp bài toán bỗ trợ của bài toán cân bằng Bên cạnh đó, trong giải tích phi tuyến, còn có cách giải gián tiếp , bằng cách sử dụng một định nghĩa khái niệm nào đó nhằm chuyền bài toán bồ trợ sang bài toán tối ưu khác tương đương dễ giải hơn Một trong những công cụ dùng để chuyên bài toán bổ trợ (AEP) sang bài toán tối ưu tương đương là sử dụng hàm Gap
Hàm Gap dạng chính tắc và đối ngẫu của nó được đưa ra đầu tiên bởi Zuhovickiietal (1969a, 1969b) va sau d6, Fukushima, Auchumuty, Patriksson
đã đưa ra các ham dang Gap cho bất đẳng thức bién phan (xem [4], [11], [19]) Sau đó , năm 1996, Marcott và Dzhu đã sử dụng hàm Gap giải bài toán bất
đăng thức biến phân (xem [24]) Cho đến năm 2003, Mastroeni đã sử dụng hàm
Gap g(x) = sup|- f(x, y)] dé chuyển bài toán bổ trợ cân bằng thành bài toán tối
ưu địa gương tương ứng : min g(x) va giai bai toan nay trong [20]
Tuy nhiên , những thuật toán đã trình bay ¢ ở trên dù trực tiếp hay gián tiếp chỉ giải bài toán bổ trợ (AEP) thông qua giải bài toán tối ưu địa phương tương đương Việc giải bài toán tối ưu địa phương cũng là một vấn đề khó khăn vì ta phải tìm nghiệm mang tính địa phương Muốn khắc phục, Peng và Fukushima
đã đưa ra định nghĩa hàm D-gap cho bất đẳng thức biến phân vào năm 1997
(xem [30], [32]) Sau đó, đến năm 2003, Konnov và Pinyagina đã sử dụng hàm
Trang 3D-gap gup(x) để chuyền bài toán bổ trợ (AEP) thành bài toán tối ưu toàn cục :
Min g(x) Tuy nhiên, bài báo [14] chỉ đưa ra trường hợp cụ thê H(x, y) =
* Ix— y |lˆ và chưa chỉ ra được cách đánh giá tốc độ của thuật toán
Trong luận văn này, sau khi trình bày các kiến thức cơ bản và bài toán cân bằng, với trọng tâm là dẫn đến khái niệm và các kiểu hàm Gap khác nhau, chúng tôi nghiên cứu hàm D-gap và giải tổng quát bài toán bổ trợ Chúng tôi cũng chỉ ra được cách đánh giá tốc độ của thuật toán