Một phương pháp dưới đạo hàm giải bài toán cân bằng trên tập điểm bất động

20 Chương 3: Một phương pháp giải bài toán cân bằng trên tập điểm bất động .... Bài toán cân bằng mô tả dưới dạng bất đẳng thức Ky - Fan là bài toán bao hàm được nhiều lớp quan trọng của

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học :

GS TSKH Lê Dũng Mưu

Thái Nguyên - Năm 2013

Trang Trang phụ bìa

Mục lục

Danh mục các ký hiệu

Mở đầu i

Chương 1 : Kiến thức chuẩn bị 1

1.1 Không gian Hilbert ……… 1

1.2 Ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert 2

Chương 2: Bài toán cân bằng 15

2.1 Bài toán cân bằng và các ví dụ 15

2.2 Các tính chất cơ bản 20

Chương 3: Một phương pháp giải bài toán cân bằng trên tập điểm bất động 43

3.1 Giới thiệu bài toán và thuật toán 43

3.2 Sự hội tụ 56

Kết luận 63

Tài liệu tham khảo 64

Ký hiệu Ý nghĩa

Rn Không gian Euclide n – chiều trên trường số thực ;

xT Véc tơ hàng (chuyển vị của x) ;

<x,y>=xTy Tích vô hướng cả hai véc- tơ x và y;

MỞ ĐẦU

Cân bằng và điểm bất động là một đề tài quan trọng và có tính thời sự cao của toán học ứng dụng Bài toán cân bằng mô tả dưới dạng bất đẳng thức Ky - Fan là bài toán bao hàm được nhiều lớp quan trọng của toán học ứng dụng như tối ưu, bất đẳng thức biến phân, điểm bất động, mô hình cân bằng Nash v v…

1 Lý do chọn đề tài

Bài toán cân bằng trên tập điểm bất động có ứng dụng rất rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau Vấn đề nghiên cứu bài toán này đang là một đề tài

được quan tâm, nghiên cứu

Từ cơ sở khoa học và tính thực tiễn của bài toán nên tôi đã lựa chọn đề tài

“ Một phương pháp dưới đạo hàm giải bài toán cân bằng trên tập điểm bất động” tên tiếng Anh:“ A subgradient method for solving equilibrium problems over the set of fixed points ” làm đề tài nghiên cứu

2.Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của đề tài là nắm và trình bày được một cách hệ thống các kiến thức cơ bản về bài toán cân bằng, bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn, trên cơ sở đó giới thiệu một phương pháp dưới đạo hàm giải bài toán cân bằng trên tập điểm bất động của một ánh xạ không giãn Đây là một lớp bài toán cân bằng hai cấp đang được quan tâm nghiên cứu

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Các kiến thức cơ bản về bài toán cân bằng và bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn

- Nội dung và tính hội tụ của một thuật toán dưới đạo hàm giải một lớp bài toán cân bằng trên tập điểm bất động

Qua việc thực hiện và hoàn thành luận văn cùng với sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo GS TSKH Lê Dũng Mưu đã giúp tôi nắm chắc và hiểu sâu hơn về phương pháp dưới đạo hàm giải bài toán cân bằng trên tập điểm bất động Tuy nhiên với vốn kiến thức còn hạn hẹp, luận văn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy em rất mong sự giúp đỡ chỉ dẫn của các thầy cô và thầy giáo hướng dẫn

Ngoài phần mở đầu, danh mục các ký hiệu, danh mục tài liệu tham khảo, luận văn được chia làm 3 chương:

Chương 1 : Kiến thức chuẩn bị

Chương 2:Bài toán cân bằng

Chương 3: Một phương pháp giải bài toán cân bằng trên tập điểm bất

độ ng

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương 1 ta sẽ xét các kiến thức chuẩn bị cho bài luận văn Luận văn có liên quan đến không gian Hilbert và các khái niệm, các kết quả liên quan

đến không gian Hilbert, ánh xạ không giãn, tập điểm bất động Do đó ta sẽ giới

thiệu những khái niệm cơ bản nhất của không gian Hilbert và các tính chất đặc trưng nhất của nó Nội dung của chương này được tham khảo từ các tài liệu [2],[3]

1.1 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.1

Cho X là không gian Hilbert thực, tức là:

1 X là không gian vector trên trường số thực

2 Trên X có tích vô hướng 〈 ⋅ , ⋅ 〉: X × X →R thoả mãn các tiên đề:

i 〈 x , y 〉 = 〈 y , x 〉, ∀ x , y ∈ X;

ii 〈 x+y , z 〉 = 〈 x , z 〉 + 〈 y , z〉 ∀ x , y , z ∈ X;

iii 〈 αx , y 〉 = α 〈 x , y〉 ∀ x , y ∈ X, α∈ R;

iv 〈x , x〉 > 0 với mọi x ≠ 0 và 〈 x , x 〉 = 0 nếu x = 0

3 X trở thành không gian Banach với chuẩn được định nghĩa bởi:

||x|| = 〈 x x, 〉

Định nghĩa 1.1.2

Xét dãy {x n } n≥0 và x thuộc không gian Hilbert thực X Khi đó:

Dãy {x n } được gọi là hội tụ mạnh tới x, kí hiệu x n → x, nếu như:

(i) Nếu {x n } hội tụ mạnh đến x thì cũng hội tụ yếu đến x

(ii) Nếu {x n } hội tụ yếu đến x và

(v) Nếu {x n } n≥0 là một dãy bị chặn trong không gian Hilbert X thì ta trích

ra được một dãy con hội tụ yếu

(vi) Nếu {x n } n≥0 là một dãy bị chặn trong không gian Hilbert hữu hạn chiều X thì ta trích ra được một dãy con hội tụ mạnh

Định nghĩa 1.1.4 Tập C trong không gian Hilbert X được gọi là lồi nếu

như với mọi x, y ∈ C và λ∈ (0,1) ta có:

λx + (1 - λ) y ∈ C

1.2 Ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert

Ánh xạ không giãn là toán tử Lipschitz liên tục với hằng số bằng 1 Nó

đóng vai trò quan trọng trong toán ứng dụng vì rất nhiều vấn đề trong toán học đều có thể mô tả dưới bài toán tính điểm bất động của một ánh xạ không giãn

( )

2

y x y T Id x T Id Ty

Tx− ≤ −

iii) T là tựa không giãn nếu ta có:

.

y x y x

T − ≤ − ∀x∈C, ∀y∈FixT ; iv)T là tựa không giãn chặt nếu ta có:

Hàm ƒ được gọi là lồi mạnh trên C, với hệ số η > 0 nếu:

ƒ(λx+(1- λ)y) ≤λƒ(x)+(1-λ)ƒ(y)-η

2

) 1

) 1 ( 2

2 2

2

y x

y

−

− +

=λ x + − y − x − − y − ( 1 − ) 〈x,y〉

2 ) 1 ( 2 2

) 1 ( 2

2 2 2

2 2 2

λ λ λ

λ λ

2

) 1

〉

〈

− +

−

y x y x

λ λ

2

) 1 (

y

x−

− λ λ

)(limk→∞ x− x k = d C x và limk→∞ y− y k = d C(y)

Do C lồi nên z k := λx k + (1-λ) y k ∈ C Ta có:

d C ( z ) ≤|| z - z k || = ||λ(x-x k ) + (1-λ)(y-y k ) ||

≤λ|| x -x k ||+(1-λ)|| y-yk || Cho k → ∞ ta có: d C (z) ≤λd C (x) + (1-λ)d C (y)

Nếu tồn tại π ∈ C sao cho || x-π || = d C ( x ) thì π được gọi là hình chiếu

của x lên C Khi đó π là nghiệm của bài toán tối ưu:

2min

2

y x C y

.0,

+

Cho λ tiến tới 0 ta thu được bất đẳng thức :

0 , − ≤

Từ mệnh đề trên ta có nhận xét, khi C lồi thì hình chiếu của x lên C nếu

tồn tại là duy nhất Thực vậy, giả sử π và π′

đều là hình chiếu của x lên C

Chọn y = π′

trong mệnh đề trên ta có:

0 , ' − ≤

x

Cộng hai bất đẳng thức trên suy ra ||π - π′||2≤ 0

Điều này chỉ xảy ra khi π = π’

Vậy khi C lồi thì hình chiếu của x lên C nếu tồn tại là duy nhất □

Trong trường hợp C là tập con lồi, đóng khác rỗng của không gian Hilbert

thì với mọi x luôn tồn tại hình chiếu của x trên C

Thật vậy, theo định nghĩa tồn tại dãy {x k} trong C thoả mãn:

) (

C d x k k

=

− +∞

Suy ra dãy {x k} bị chặn, do đó trích ra được một dãy con {x n k} hội tụ yếu

Mặt khác, do C lồi, đóng nên giới hạn này phải là một điểm thuộc C, ký hiệu là

Vậy π là hình chiếu của x trên C.□

Mệnh đề 1.2.6 Cho C là một tập con lồi khác rỗng của X Khi đó phép

chiếu P C là không giãn ổn định

Chứng minh

Lấy cố định x và y ∈X Ta có:

0)(),

()(y −P x x−P x ≤

P C C C ⇔ P x C( )−P y P x C( ), C( )− ≤x 0 (1.1)

và P C(x)−P C(y),y−P C(y) ≤0 (1.2) Cộng hai vế của (1.1) và (1.2) ta có:

.0)()()(),()(x −P y P x −P y − x−y ≤

⇔ P C(x)−P C(y) 2 ≤ x− y,P C(x)−P C(y)

Do đó PC là không giãn ổn định

Phép tương ứng mỗi điểm x với hình chiếu của nó trên C kí hiệu là P C và

được gọi là phép chiếu khoảng cách Theo chứng minh mệnh đề trên, ta có tính

chất sau đây của hình chiếu :

.,

,)()

2

X y x x

P y x

P x y

( ) ( ) ( lim

x

Phần tử G'(x) được gọi là đạo hàm Fréchet của G tại điểm x

Hàm G được gọi là khả vi trên K nếu nó khả vi tại mọi điểm thuộc K

Ta có mệnh đề sau:

Mệnh đề 1.2.8 Xét hàm G: X→ R Khi đó:

i) Nếu G liên tục thì G nửa liên tục dưới

ii) Nếu G khả vi thì G liên tục và

, ), ( )

( ) ( 0

x G ty x G

Chứng minh i) Hiển nhiên

ii) Giả sử G khả vi Xét x≠ y bất kì thuộc X Ta có:

G(y) - G(x) =

= ( ) ( ) '( ), G'(x),y x

x y

x y x G x G y G x

Do 0

),(')()(

x y x G x G y G

x y

Và lim y−x→0 G'(x),y−x =0

nên suy ra: limy−x→0(G(y)−G(x))= 0

Vậy G liên tục Đặt x t = x + ty Với mọi t > 0, ta có:

t

ty x G x G ty x G y x G t

x G ty x

), ( ' ) ( )

=

−

− +

t

x x x G x G x

x t x x G x G t x G

Từ (1.3) và (1.4) suy ra điều phải chứng minh.□

Mệnh đề 1.2.9 Xét hàm ƒ: X→ R∪{+∞} khả vi và η > 0 Khi đó ba điều kiện sau tương đương:

(i) ƒ lồi mạnh với hệ số η

(ii) Với mọi x, y ∈ X, ta có:

.2

),()()(y f x f' x y x x y 2

Giả sử ƒ lồi mạnh với hệ số η Với mọi x, y và t ∈ (0,1), ta có:

Nhân hai vế của (1.5) với (1- t) > 0 và nhân hai vế của (1.6) với t > 0, sau

đó cộng lại ta thu được :

(1-t) ƒ(x) + tƒ(y) ≥ƒ((1-t)x+ty) +

2

η

t(1-t) || x -y || 2 Điều này đúng với mọi x, y nên ta suy ra ƒ lồi mạnh với hệ số η

(ii) → (iii)

Giả sử có (ii) Với mọi x,y ∈ C ta có:

ƒ(y) - ƒ(x) ≥ f '(x),y−x +

2 η

|| x - y ||2

ƒ(x) - ƒ(y) ≥ f'(y),x−y +

2

η

||x - y|| 2 Cộng vế hai bất đẳng thức trên ta thu được:

t t t

=

∆

−

∆ +

'

h th x

=

Mặt khác, theo tính chất (iii) ta có:

th x f th x

f'( + ) − '( ), ≥η || th ||2 = t2 ||x - y || 2

h x f th x

), ( )

Hệ quả 1.2.10 Với hàm ƒ khả vi các mệnh đề sau tương đương:

(i) ƒ là hàm lồi

(ii) Với mọi x, y ta có bất đẳng thức:

ƒ(y) - ƒ(x) ≥ f'(x),y−x (iii) Với mọi x, y ta có bất đẳng thức:

0),

(')(

' y − f x y−x ≥

Kết quả tiếp theo cho ta điều kiện cho lời giải bài toán tối ưu hàm lồi:

Mệnh đề 1.2.11 Xét hàm F: X →R là hàm khả vi trên K với K là tập con lồi của X Khi đó ta có:

Nếu x * là nghiệm của bài toán cực tiểu F trên K thì:

,0

*

*),(

' x y−x ≥

Hơn nữa nếu F lồi thì điều kiện trên cũng là điều kiện đủ

Chứng minh Giả sử F(x*) là cực tiểu của F trên K Xét y ∈ K bất kỳ, do

K lồi nên (1-t)x* +ty ∈ K,∀t ∈ (0,1) Do đó:

F((1-t)x* +ty) = F (x * + t(y-x * )) ≥ F(x * )

Suy ra:

, 0 ) ( )) (

≥

−

− +

t

x F x y t x F

∀t ∈ (0,1)

Cho t tiến tới 0+ ta có điều kiện cần

Bây giờ giả sử F lồi và x * thoả mãn điều kiện đã nêu Ta có:

F(x * + t ( y - x * ) ) = F ((1 – t )x * +ty) ≤ (1- t ) F(x * ) + t F(y), ∀t ∈(0,1)

Suy ra:

*),x(F)y(Ft

*)x(F

*))xy(t

*x(F

Có t tiến tới 0+ ta được: F'(x*),y - x* ≤ F(y) - F(x*)

Từ đó suy ra F(x*) ≤ F(y) với mọi y ∈ K hay x* là nghiệm của bài toán cực trị .□

Nhận xét 1.2.12 Trong trường hợp F lồi chặt,lời giải bài toán cực tiểu F

nếu tồn tại sẽ là duy nhất Thực vậy, giả sử x, x' là hai kết quả của bài toán cực

tiểu F, ta có:

)x(F)2

'xx(

2

'xx(

Cộng từng vế với vế ta có:

2

)'x(F)x(F2

)'xx(

Mặt khác, do tính lồi chặt ta có:

2

)'x(F)x(F)'x(F2

1)x(F2

1)'x2

1x2

1(F)2

'xx(

Điều này dẫn tới mâu thuẫn, suy ra điều giả sử là sai □

Khái niệm sau là mở rộng của các khái niệm đạo hàm và khả vi

Định nghĩa 1.2.13 Xét f: X→ R ∪ {+∞} và x ∈ X Phần tử w ∈ X * (=X)

được gọi là dưới đạo hàm của f tại điểm x nếu như:

x y

w, − ≤ f(y) - f(x), ∀ y ∈ X

Tập tất cả các dưới đạo hàm của f tại điểm x kí hiệu là ∂ (x)

Nếu ∂f(x) ≠ 0 thì f được gọi là khả dưới vi phân tại điểm x

f được gọi là khả dưới vi phân nếu f khả dưới vi phân tại mọi điểm

Ta có mệnh đề nói lên tính khả dưới vi phân của hàm lồi :

Mệnh đề 1.2.14 Nếu f : X → R là hàm lồi thì ∂ (x)≠ 0 với mọi x∈ X hay

là f khả dưới vi phân

Chương 2 BÀI TOÁN CÂN BẰNG

Bài toán cân bằng là bài toán xuất phát từ nhu cầu thực tế Ta xét mô hình kinh tế có nhiều đối thủ; trong mỗi đối thủ (đối tác) đều có một hàm lợi ích riêng Mỗi quyết định của đối thủ này lại ảnh hưởng đến lợi ích của đối tác kia Thông thường lợi ích của các đối thủ thường mâu thuẫn với nhau Như vậy phương án tối ưu cho tất cả các đối tác thường là không tồn tại và người ta đã nghĩ đến một phương án mang tính cân bằng, theo nghĩa là mọi đối tác đều có lý

do để chấp nhận và bài toán cân bằng đã ra đời từ nhu cầu thực tiễn đó Các khái niệm và kết quả trong chương này được tham khảo từ các tài liệu [1], [4], [5], [6]

2.1 Bài toán cân bằng và ví dụ

Một trong các lý do khiến bài toán cân bằng được nghiên cứu rộng rãi là

vì khi ta cho φnhận các dạng biểu thực đặc biệt, bài toán (EP) sẽ trở thành các bài toán cơ bản khác Dưới đây là một vài trường hợp quan trọng

Hiển nhiên ϕ( ) ( )x ≤ϕ y ∀ ∈ ⇔y C φ( )x y, ≥ ∀ ∈0 y C;

Vậy bài toán tối ưu trên là một trường hợp riêng của bài toán (EP)

2.1.2.2 Cân bằng Nash trong trò chơi không hợp tác

Bài toán cân bằng (EP) cũng liên quan đến bài toán cân bằng Nash trong

j : →

ϕ là hàm lợi ích của đấu thủ j

Giả sử ϕj(x1, ,x j, ,x p) là lợi ích của đấu thủ j khi đấu thủ này chọn

phương án chơi x j∈C j , còn các đấu thủ thứ k khác chọn phương án chơi là

Định nghĩa này cho thấy rằng nếu một đối thủ j nào đó rời khỏi phương án

cân bằng, trong khi các đối thủ khác vẫn giữ phương án cân bằng, thì đối thủ j sẽ

bị thua thiệt Đây chính là lý do mà khái niệm cân bằng này được chấp nhận trong thực tế Điểm cân bằng này được gọi là điểm cân bằng Nash vì khái niệm này do nhà kinh tế học F Nash đưa ra đầu tiên

Dưới đây bài toán cân bằng Nash sẽ được hiểu là bài toán tìm một điểm cân bằng ( Nash) của ϕ trên C Ta sẽ kí hiệu bài toán này là N(ϕ,C)

Bài toán cân bằng Nash có thể mô tả dưới dạng bài toán cân bằng (EP) Thật vậy, ta xây dựng hàm φ:C×C →R bằng cách đặt:

j j j

y x

1

1 1

1, , , , , , )(

)(:

),

Hiển nhiên nếu *x là một điểm cân bằng Nash, thì φ(x*,y)≥ ∀ ∈0 y C

Ngược lại, giả sử x*∈C là nghiệm của bài toán (EP), tức là:

x = x x với x*j∈C j là một điểm cân bằng Nash

Thật vậy, nếu trái lại, sẽ tồn tại j và một điểm y j∈C j sao cho

)

, ,,

,,

(), ,,

,, ,( 1* *j 1 *j *j 1 *p j 1* *j 1 j *j 1 *p

φ ϕj(x*)−ϕj(x1*, ,x*j−1,y j,x*j+1, ,x*p)<0 Mâu thuẫn với việc *x là nghiệm của (EP).□

Vậy x* là một điểm cân bằng Nash khi và chỉ khi x* là nghiệm bài toán

cân bằng (EP)

2.1.2.3 Bất đẳng thức biến phân

Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong Rn và F: C→2R n là một ánh

xạ đa trị ( tức là với mỗi x∈C, giá trị F x là một tập khác rỗng trong R( ) n) Xét bài toán:

Tìm x*∈C v, *∈F x( )* sao cho (v*,y−x*)≥ ∀ ∈0 y C (2.1)

Ta có thể minh họa bất đẳng thức biến phân (2.1) dưới góc độ một mô

hình kinh tế như sau Giả sử C là tập hợp các chiến lược ( ràng buộc) các phương

án sản xuất có thể lựa chọn Với mỗi phương án x∈C, tập (ánh xạ giá) F x là ( )

tập hợp các giá thành chi phí có thể, ứng với phương án x Khi đó bài toán (2.1),

chính là bài toán tìm phương án sản xuất *x trong tập chiến lược C và giá * v

ứng với *x sao cho chi phí là thấp nhất Trong trường hợp, ánh xạ giá không

phụ thuộc vào phương án sản xuất, tức là F(x) =c với mọi x, bất đẳng thức biến

phân (2.1) trở thành bài toán quy hoạch quen thuộc:

x ∈C sao cho trong tập F x( )* có một phần tử là véc-tơ pháp tuyến ( ngoài )

của tập C tại điểm x *

Giả sử với mỗi x∈C, tập F x lồi, compact khác rỗng Với mỗi ( )

Một trường hợp riêng quan trọng của bài toán (2.1) là khi C = Rn+ và F

đơn trị Khi đó bài toán (1) tương đương với bài toán sau, được gọi là bài toán

Sự tương đương ở đây được hiểu theo nghĩa là tập nghiệm của hai bài toán

này trùng nhau Thật vây, nếu x là nghiệm của bất đẳng thức biến phân thì

( ), 0, 0

F x y− ≥ ∀ ≥x y Lần lượt chọn y= +x e i ( véc- tơ đơn vị thứ i) ta có:

.0),

(),

()

i x F x x e x F x e F

Vậy F x i( )≥0 với mọi i Ngoài ra nếu chọn y=0 ta có:

( )

0≤ − F x x, ≤0 Suy ra x F x T ( )=0

Điều ngược lại mọi nghiệm của bài toán bù đều là nghiệm của bất đẳng

thức biến phân là hiển nhiên

Bài toán quy hoạch lồi min{f x( ):x∈C} (CO) Trong đó f là một hàm lồi khả dưới vi phân trên tập lồi C, có thể mô tả dưới dạng bất đẳng thức biến phân (2.1), với F = ∂f

Thật vậy, khi F = ∂f , bài toán (2.1) được viết là:

Tìm x*∈C v, *∈∂f x( )* sao cho v y x*, - * ≥ ∀ ∈0 y C Nếu *x là nghiệm của bất đẳng thức biến phân này, thì do v*∈∂f x( )*nên theo định nghĩa dưới vi phân, ta có:

ưu của quy hoạch lồi, ta có 0∈∂f x( )* +N C( )x*

Từ đây theo định nghĩa của nón pháp tuyến của C tại x , ta suy ra ** x là nghiệm của bất đẳng thức biến phân (VI) với F = ∂f

2.1.2.4 Bài toán điểm bất động Kakutani

Cho F C: →2C Điểm x được gọi là điểm bất động của F nếu x∈F x( ) Giả sử với mọi x∈C F x, ( ) lồi, compact, khác rỗng Khi đó bài toán tìm một

điểm bất động của F có thể mô tả dưới dạng bài toán cân bằng (EP)

Để chứng tỏ điều này, với mỗi ,x y∈C, ta đặt:

,

max , y x ( ) x v v x y

Do x là nghiệm của (EP), nên:

0≤φ x y, := −x y y, − = − −x x y Suy ra x= ∈y F x( ) Vậy x là điểm bất động của F

Trong bài toán trên, hàm cân bằng φcó tính chất φ(x,x) = 0, với mọi x thuộc C

2.2 Các tính chất cơ bản

Trong mục này, trước tiên ta sẽ xét tới sự tồn tại , tính duy nhất nghiệm của bài toán cân bằng Sau đó ta xét đến một số tính chất cơ bản của bài toán này Dưới đây ta sẽ chứng minh một kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng (EP) dựa trên Định lý minimax Các khái niệm sau liên quan đến song hàm trên X

Định nghĩa 2.2.1 Xét song hàm F : X× X → R và K ⊆ X Khi đó :

Hàm F được gọi là đơn điệu trên K nếu:

Ví dụ:

Xét hàm h : X → R bất kỳ X là không gian vector thực Khi đó:

F(x, y) : = h(x) - h (y) là đơn điệu nhưng không đơn điệu chặt

F(x, y) : = h(x) - h (y) - 1 là đơn điệu chặt nhưng không đơn điệu mạnh Thực vậy, do F(x, y) + F(y, x) = - 2 < 0 với mọi x, y nên F đơn điệu chặt

Giả sử tồn tại hệ số τ > 0 thoả mãn điều kiện đơn điệu mạnh, suy ra:

2

2

≤

−y x

Chọn x = 0 và y = tv với v là một vector khác 0 trong X, ta được:

'

2

v t

≤

τ ;∀t ∈ R

Cho t → ∞ thì điều kiện trên chỉ xảy ra khi τ≤ 0 (mâu thuẫn)

2.2.2 Định lý minimax

Cho một song hàm f :C×D→R Nhiều vấn đề trong tối ưu hóa, lý thuyết trò chơi và các lĩnh vực khác đưa đến câu hỏi khi nào có đẳng thức:

x D

Đẳng thức này nói lên việc lấy cận trên đúng và cận dưới đúng có thể

hoán vị cho nhau Chú ý rằng, từ định nghĩa của cận trên đúng và cận dưới đúng

ta có ngay:

),(supinf),(inf

D y C x C

x D

y∈ ∈ ≤ ∈ ∈ (2.3)

Tuy nhiên bất đẳng thức ngược lại chỉ đúng với những điều kiện nhất định

cho song hàm f và các tập C,D Các định lý minimax là các định lý nghiên cứu

các điều kiện để có đẳng thức (2.2) Trước hết ta xét bổ đề quan trọng sau, là cơ

sở chứng minh các định lý minimax

Bổ đề 2.2.2.1 Cho n m

R D R

C⊆ , ⊆ là các tập lồi, đóng khác rỗng và

R

D

C

f : × → Giả sử với mọi y∈D , hàm f ( ).,y tựa lồi, nửa liên tục dưới trên

C và với mọi x∈C , hàm f x( ), tựa lõm, nửa liên tục trên trên D Khi đó ta có:

(i) Với mọi γ γ′ > =: supy D∈ infx C∈ f x y( ), và mọi tập hữu hạn N ⊂D , tập

Do C lồi, f ( ).,y là tựa lồi và nửa liên tục dưới, nên Cγ′( )y lồi đóng Để

ý rằng khẳng định (i) có nghĩa là ∩y N∈ Cγ′( )y ≠ ∅ Ta chứng minh (i) bằng quy

nạp theo số phần tử của N Khi N chỉ có duy nhất một phần tử y, tập

( ) ( ) { ( ), }

Cγ′ N =Cγ′ y = ∈x C f x y ≤γ′

Do γ γ′ > ≥infx C∈ f x y( ), , nên theo định nghĩa của cận dưới đúng, tồn tại

x∈C thỏa mãn f x y( ), ≤γ′ Suy ra Cγ′ ≠ ∅′ Vậy (i) đúng khi N chỉ có một

Để đơn giản, sau đây với mọi y, ta viết C y thay cho ( ) Cα( )y

Lấy y t := + −ta ( )1 t b với 0≤ ≤t 1 Do D lồi nên y t∈D Với mọi

( )t

x∈C y ta có f x y( , t)≤α Do f tựa lõm theo biến thứ 2 nên

( , t) min{ ( ) ( ), , , }

Vậy min{f x a( ) ( ), ,f x b, }≤α Do đó hoặc f x a( ), ≤α hoặc f x b( ), ≤α

.Vì điều này đúng với mọi x∈C y( )t nên

) ( ) ( ) ( y C a C b

C t ⊂ ∩ (3)

Do C y( ) ( ) ( )t ,C a C b lồi và hai tập , C a C b rời nhau nên từ (2.4) suy ( ) ( ),

ra

) ( ) ( y C a

Nói cách khác x∈C y( )t với mọi t>s và đủ gần s Khi đó C y( )t ⊂C a( ) Từ

đây theo định nghĩa của M , ta có a t∈M a Nhưng t> =s supM a ⇒ mâu thuẫn

C ⊆ , ⊆ là các tập lồi, đóng khác rỗng và

R D

C

f : × → Giả sử với mọi y∈D , hàm f( ).,y tựa lồi, nửa liên tục dưới

trên C và với mọi x∈C , hàm f x( ), tựa lõm, nửa liên tục trên trên D Khi đó nếu có một trong hai điều kiện sau:

(a) Có một tập hữu hạn N*⊂D và một số η γ* > sao cho tập

Chứng minh Ta giả sử có (a) ( trường hợp có (b) chứng minh hoàn toàn

tương tự) Khi đó γ < +∞ Do (2.3) nên chỉ cần chứng minh inf sup ( ),

Nhận xét 1 Điều kiện (a) sẽ thỏa mãn nếu có điều kiện sau:

(AC) có một tập hữu hạn N*∈D sao cho:

Điều kiện (b) thỏa mãn nếu ta có điều kiện bức sau:

(BC) có một tập hữu hạn M*∈C sao cho:

∈ → +∞ Vậy (AC) kéo theo (a)

Tương tự ta chứng minh (BC) kéo theo (b)

Nhận xét 2 Hiển nhiên, nếu C là tập compact thì (a) thỏa mãn và D là tập

Và xét bài toán d*: sup= {d y( ):y≥0} (OD)

Ta nói (OD) là bài toán đối ngẫu của (OP), còn (OP) là bài toán gốc Từ

định nghĩa, suy ra ngay rằng:

Mệnh đề 2.2.2.3 Giả sử X ≠ ∅ là một tập lồi, đóng trong R n và

Vậy (OP) và (OD) là cặp đối ngẫu chính xác

Mệnh đề 2.2.2.4 Giả sử X lồi, đóng, khác rỗng, f g, j ( j=1, ,m)lồi, nửa liên tục dưới trên X và điều kiện Slater được thỏa mãn Khi đó x là *

nghiệm tối ưu của (OP) khi và chỉ khi tồn tại * y sao cho (x y*, *) là điểm yên ngựa của hàm Lagrange L trên X× m

R+ .Trong trường hợp này, * y sẽ là nghiệm

tối ưu của bài toán đối ngẫu (OD) thỏa mãn điều kiện độ lệch bù * ( )

Giả sử *x là nghiệm tối ưu của (OP) Theo mệnh đề trên, hai bài toán

(OP) và (OQ) là cặp đối ngẫu chính xác Khi đó tồn tại * 0y ≥ sao cho

(x y*, *) là điểm yên ngựa của L trên X×R+m

Bây giờ giả sử (x y*, *) là là điểm yên ngựa của L trên X×R+m Trước hết

ta có g j( )x* ≤ ∀0 j

Thật vậy, vì nếu tồn tại i sao cho g x i( )* >0, thì lấy y=ξe i trong đó 0

ξ ≥ và e là véc-tơ đơn vị thứ i rồi cho i ξ → +∞ sẽ được L x( *,ξe i)→ ∞ khi

ξ → +∞ Điều này mâu thuẫn với L x y( *, ) (≤L x*, *y )

Chứng tỏ *x là nghiệm tối ưu của (OP)

Để chứng tỏ *y là nghiệm tối ưu của bài toán đối ngẫu (OD) ta chú ý

Vậy d y( ) ( )* ≥d y ∀ ≥y 0 Chứng tỏ y là nghiệm tối ưu của bài toán *

đối ngẫu (OD)

□

Mệnh đề 2.2.3 Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng và song hàm cân

bằng φ có các tính chất φ( )x, là hàm tựa lồi, nửa liên tục dưới trên C, φ( )., y

là hàm tựa lõm, nửa liên tục trên trên C Giả sử: