phương pháp hàm phạt điểm trong giải bài toán cân bằng giả đơn điệu

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCDƯƠNG HỒNG PHÚC PHƯƠNG PHÁP HÀM PHẠT ĐIỂM TRONG GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2010... TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCDƯƠN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

DƯƠNG HỒNG PHÚC

PHƯƠNG PHÁP HÀM PHẠT ĐIỂM TRONG GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - NĂM 2010

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

DƯƠNG HỒNG PHÚC

PHƯƠNG PHÁP HÀM PHẠT ĐIỂM TRONG GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU

Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG

Mã số: 60.46.36

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS PHẠM NGỌC ANH

Thái Nguyên - Năm 2010

Mục lục

1.1 Các kiến thức cơ bản 2

1.1.1 Tập lồi và các phép toán về tập lồi 2

1.1.2 Hàm lồi và dưới vi phân 5

1.2 Bài toán cân bằng 10

1.2.1 Phát biểu bài toán 10

1.2.2 Sự tồn tại nghiệm 13

2 Phương pháp hàm phạt điểm trong 15 2.1 Phương pháp hàm phạt điểm trong ([2]) 15

2.1.1 Ý tưởng chính 15

2.1.2 Phương pháp hàm phạt điểm trong 16

2.2 Hàm toàn phương logarit ([3]) 19

2.3 Mô tả thuật toán và sự hội tụ ([3]) 23

2.4 Thuật toán bỏ qua điều kiện Lipschitz ([3]) 30

3 Một số ứng dụng 36 3.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân ([3]) 36

3.2 Thuật toán điểm gần kề giải bài toán (M V I) 39

3.2.1 Sơ bộ về phương pháp kiểu điểm gần kề 40

3.2.2 Đề xuất thuật toán 44

3.2.3 Sự hội tụ của phương pháp 46

3.2.4 Áp dụng thuật toán ánh xạ co Banach cho (M V I) 50

Danh mục các công trình có liên quan đến luận văn 54

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học TháiNguyên Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới thầy TS.Phạm Ngọc Anh (Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông), thầy đã trực tiếphướng dẫn tận tình và động viên tác giả trong suốt thời gian nghiên cứu và viếtluận văn vừa qua

Xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong Bộ môn Toán-Tin, PhòngĐào tạo khoa học và Quan hệ quốc tế, các bạn học viên lớp Cao học Toán K2trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên và các bạn đồng nghiệp đã tạođiều kiện thuận lợi, động viên tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu tạitrường

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và người thân đãluôn khuyến khích và động viên tác giả trong suốt quá trình học cao học và viếtluận văn này

Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu xót vàhạn chế Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô và cácbạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn Xin chân thành cảm ơn

Thái Nguyên, tháng 11 - 2010

Tác giả

Dương Hồng Phúc

Một số kí hiệu và chữ viết tắt

Rn không gian Euclide n-chiều

|β| trị tuyệt đối của số thực β

x := y x được định nghĩa bằng y

k x k chuẩn của véc tơ x

hx, yi tích vô hướng của hai véc tơ x, y

xk → x dãy {x k } hội tụ mạnh tới x

V IP bài toán bất đẳng thức biến phân đơn trị

M V I bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị

EP bài toán cân bằng

t.ư tương ứng

Lời nói đầu

Bài toán cân bằng, viết tắt là (EP), là bài toán tổng quát hóa của nhiều bàitoán khác nhau như: Bài toán tối ưu, bài toán bất đẳng thức biến phân, bàitoán bù phi tuyến, bài toán Nash trong trò chơi hợp tác, · · · Bài toán này córất nhiều ứng dụng trong khoa học, kỹ thuật, kinh tế, viễn thông, vật lý, · · ·

Do vậy, bài toán cân bằng đang được rất nhiều tác giả quan tâm, nghiên cứu về

lý thuyết tồn tại nghiệm cũng như các thuật toán để giải nó

Luận văn này nhằm giới thiệu về bài toán cân bằng và trình bày phươngpháp hàm phạt điểm trong để giải bài toán (EP) với giả thiết hàm f giả đơnđiệu trên tập lồi đa diện C và một ứng dụng với bài toán bất đẳng thức biếnphân đa trị Luận văn gồm mục lục, ba chương, phần kết luận và tài liệu thamkhảo

Chương 1 có tiêu đề là "Bài toán cân bằng" Chương này sẽ nhắc lại các kiếnthức cơ bản nhất của tập lồi và hàm lồi, mà các kết quả này sẽ được sử dụng ởcác chương sau Phần cuối của chương sẽ giới thiệu về bài toán cân bằng, một

số ví dụ và sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng

Chương 2 gồm hai phần chính: Phần đầu trình bày phương pháp hàm phạtđiểm trong giải bài toán cân bằng bằng cách sử dụng hàm toàn phương logaritkết hợp với điều kiện Lipschitz đã biết Để tránh điều kiện Lipschitz, phần haitrình bày phương pháp hàm phạt điểm trong giải bài toán cân bằng bằng cáchkết hợp hàm toàn phương logarit với kỹ thuật tìm kiếm theo tia

Chương 3 là phần ứng dụng Phần này trình bày một kết quả nghiên cứumới về bài toán bất đẳng thức biến phân và một số kết quả tính toán

Cho x = (x1, x2, · · · , xn)T và y = (y1, y2, · · · , yn)T là hai véc tơ trong Rn, tích

vô hướng của x và y được xác định bởi

và kí hiệu ||x|| là chuẩn Euclide của x, nghĩa là ||x|| = phx, xi

Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng trong Rn, khoảng cách từ x tớitập C ⊆ Rn, kí hiệu d(x, C), được xác định bởi

d(x, C) :=inf{||y − x|| : y ∈ C}.

1.1.1 Tập lồi và các phép toán về tập lồi

Phần này nhắc lại một số kiến thức cơ bản về giải tích lồi sẽ được sử dụngtrong các chương tiếp theo

Định nghĩa 1.1 ([8]) Cho a, b ∈ Rn

(i) Tập hợp điểm {x := λa + (1 − λ)b : 0 ≤ λ ≤ 1} được gọi là đoạn nối haiđiểm a và b, kí hiệu là [a, b]

(ii) Tập con C ⊆ Rn được gọi là tập lồi nếu nó chứa mọi đoạn thẳng nối haiđiểm bất kỳ của nó; nghĩa là, nếu λa + (1 − λ)b ∈ C ∀a, b ∈ C, λ ∈ [0, 1].

Tập lồi đóng với phép giao, phép cộng, phép nhân với một số và phép lấy tổhợp tuyến tính (xem, [2]) Tức là, nếu A và B là hai tập lồi trong Rn thì các tậpsau cũng là tập lồi:

(i) A ∩ B := {x : x ∈ A, x ∈ B},

(ii) αA + βB := {x = αa + βb : a ∈ A, b ∈ B}

Một tập C ⊂ Rn được gọi là một tập lồi đa diện (xem, [8]) nếu nó là giaocủa một họ hữu hạn các nửa không gian đóng Nói cụ thể hơn, tập lồi đa diện

là tập nghiệm của một họ hữu hạn các bất phương trình tuyến tính dạng

hai, xi ≤ bi, i = 1, · · · , m (1.1)hoặc dưới dạng ma trận

Ax ≤ b, (1.2)trong đó A là ma trận cỡ m × n có các hàng ai và b ∈ Rm

Vì một phương trình tuyến tính có thể biểu diễn thành hai bất phương trìnhtuyến tính nên một tập lồi đa diện cũng là tập nghiệm của một hệ phương trình

và bất phương trình tuyến tính dạng

ha i , xi = bi, i = 1, · · · , m1

haj, xi ≤ bj, j = m1+ 1, · · · , m. (1.3)Hạng của hệ bất phương trình tuyến tính (1.2) được định nghĩa là hạng của

ma trận A

Định nghĩa 1.2 ([3]) Cho C là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong Rn, và cho

f : C × C → R ∪ {+∞} Song hàm f được gọi là

(i) đơn điệu mạnh trên C với hằng số τ > 0 nếu với mỗi x, y ∈ C, ta có

f (x, y) + f (y, x) ≤ −τ ||x − y||2.

(ii) đơn điệu chặt trên C nếu với mỗi x, y ∈ C, x 6= y, ta có

f (x, y) + f (y, x) < 0.

(iii) đơn điệu trên C nếu với mỗi x, y ∈ C, ta có

f (x, y) + f (y, x) ≤ 0.

(iv) giả đơn điệu trên C nếu với mỗi x, y ∈ C, nếu

f (x, y) ≥ 0 kéo theo f (y, x) ≤ 0.

Từ định nghĩa trên ta có mối quan hệ sau: Nếu hàm f đơn điệu mạnh ⇒

f đơn điệu chặt ⇒ f đơn điệu ⇒ f giả đơn điệu Trong trường hợp tổng quát,chiều ngược lại có thể không đúng

Ví dụ 1.1 Trong không gian R2 xét hàm số

f : R + × R + −→ R (x, y) 7−→ f (x, y) = −x2+ xy.

Khi đó f là hàm đơn điệu mạnh với hằng số 0 < τ ≤ 1

Thật vậy, vì f (y, x) = −y2+ xy, nên ta có

f (x, y) + f (y, x) = −(x − y)2 ≤ −τ (x − y)2,

do đó f là hàm đơn điệu mạnh với hằng số0 < τ ≤ 1

Tính đơn điệu chặt, đơn điệu, giả đơn điệu dễ dàng kiểm tra bằng định nghĩa

Định nghĩa 1.3 Tập con C ⊆ Rn gọi là nón, nếu

NC(x0) := {p ∈ Rn : hp, x − x0i ≤ 0 ∀x ∈ C}.

1.1.2 Hàm lồi và dưới vi phân

Định nghĩa 1.5 ([8]) (i) Cho C ⊆ Rn và f : C → [−∞, +∞] Khi đó các tập

domf := {x ∈ C : f (x) < +∞}

epif := {(x, α) ∈ C × R : f (x) ≤ α}

được gọi là miền xác định và tập trên đồ thị của f (x)

Hàm f được gọi là chính thường trên C, nếu

∀x1, x2 ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] Số β > 0 được gọi là hằng số lồi mạnh của f

Như thường lệ hàm λf, f + g và hàm max(f, g) được định nghĩa như sau:

(λf )(x) := λf (x), (f + g)(x) := f (x) + g(x), max(f, g)(x) := max{f (x), g(x)}.

Khi đó ta có định lí sau:

Định lí 1.1 ([2]) Cho f là hàm lồi trên tập lồi A và g là hàm lồi trên tập lồi

B Khi đó, các hàm sau là hàm lồi trên tập lồi A ∩ B:

(i) λf + βg ∀λ, β ≥ 0,

(ii) max(f, g).

Kí hiệu f0(x0) hoặc ∇f (x 0 ) là đạo hàm của f tại x0

Định lí 1.2 ([2]) Cho f : C → R là một hàm khả vi trên một tập lồi, mở C.Điều kiện cần và đủ để hàm f lồi trên C là

Định nghĩa 1.6 ([8]) Cho f là một hàm chính thường trên Rn Một véc tơ

p ∈ Rn được gọi là dưới gradient của f tại x0 ∈ C nếu

hp, x − x0i + f (x0) ≤ f (x) ∀x ∈ C.

Tập tất cả các dưới gradient của f tại x0 được gọi là dưới vi phân của f tại x0

và được kí hiệu là ∂f (x0), hay

∂f (x0) = {p ∈ Rn : f (x) − f (x0) ≥ hp, x − x0i ∀x ∈ C}.

Hàm f được gọi là khả dưới vi phân trên C nếu ∂f (x) 6= ∅ với mọi x ∈ C

Ví dụ 1.3 ([8]) Cho C là một tập lồi khác rỗng của không gian Rn Xét hàmchỉ trên C

δC(x0) =

(

0 nếu x0 ∈ C, +∞ nếu x0 6∈ C. (1.4)

Khi đó

∂δC(x0) = NC(x0) ∀x0 ∈ C.

Thật vậy, nếu x0 ∈ C thì δC(x0) = 0 và

∂δC(x0) = {p ∈ Rn : δC(x) ≥ hp, x − x0i ∀x ∈ C}.

¯ B(0, 1) nếu x0 = 0,

trong đó B(0, 1)¯ là hình cầu đóng, tâm tại 0 và bán kính là 1

Thật vậy, ta xét các trường hợp sau:

Trường hợp 1 Với x0 6= 0, ta chứng minh

||λy + x0|| − ||x0|| ≥ hp, λy + x0− x0i = hp, λyi ∀λ > 0, y ∈ Rn.

Định lí 1.3 ([8]) Cho C là một tập lồi khác rỗng trong Rn và f : Rn → R làmột hàm lồi Khi đó, mọi cực tiểu địa phương của f trên C cũng là cực tiểutoàn cục Tập argmin{f (x) : x ∈ C} là một tập con lồi của C.

Nếu hàm f là hàm lồi chặt thì tập argmin{f (x) : x ∈ C} có duy nhất một giátrị với điều kiện bài toán min{f (x) : x ∈ C} có nghiệm

Định lí 1.4 ([8]) Cho C là một tập lồi trên Rn và f : Rn → R là một hàm lồi.Điều kiện cần và đủ để điểm x0 ∈ C là cực tiểu của f trên C là

0 ∈ ∂f (x0) + NC(x0),

trong đó NC(x0) là kí hiệu nón pháp tuyến ngoài của C tại x0

Hệ quả 1.4.1 Với các giả thiết được nêu trong định lí trên, điểm x0 ∈intC làcực tiểu của f trên C nếu và chỉ nếu 0 ∈ ∂f (x0)

Định lí 1.5 ([2]) Cho f là hàm lồi, khả vi trên tập lồi đóng C Một điểmx∗ ∈ C

là nghiệm tối ưu của bài toán quy hoạch lồi:

Định nghĩa 1.8 Cho hàm số f xác định trên một tập mở C ⊂ Rn

(i) Hàm f được gọi là liên tục tại điểm x0 ∈ C nếu với mọi ε > 0, tồn tại

δ > 0 sao cho |f (x) − f (x 0 )| < ε với mọi x ∈ C thỏa mãn ||x − x 0 || < δ Nói cáchkhác, hàm f liên tục tại x0 ∈ C nếu với mọi dãy {x n } ⊂ C hội tụ đến x0, ta có

f (xn) → f (x0)

(ii) Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới (t.ư., nửa liên tục trên) tại điểm

x0∈ C nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho

(iii) Hàm f được gọi là liên tục (t.ư., nửa liên tục dưới, nửa liên tục trên)trên C nếu nó liên tục (t.ư., nửa liên tục dưới, nửa liên tục trên) tại mọi điểmcủa C

Định lí 1.6 Nếu C là một tập compact và f là hàm nửa liên tục dưới trên C,thì f đạt cực tiểu trên C

Trong mục này, ta nhắc lại một số nội dung cơ bản về bài toán cân bằng

1.2.1 Phát biểu bài toán

Cho C ⊆ Rn là một tập lồi đóng và một song hàm f : C × C → R thỏa mãn

f (x, x) = 0 với mọi x ∈ C Bài toán cân bằng, viết tắt là (EP), được phát biểunhư sau:

Tìm x∗∈ C sao cho f (x∗, x) ≥ 0 ∀x ∈ C.

Song hàm f được gọi là hàm cân bằng trên C

Ví dụ 1.5 Bài toán cân bằng Nash

(i) Cho I = {1, 2, · · · , p} là tập chỉ số hữu hạn (tập p - người chơi)

(ii) Ki là tập lồi khác rỗng của Rn

i (tập chiến lược của người chơi thứ i).(iii) Hàm fi: K1× · · · × Kp → R cho trước (hàm tổn thất của người chơi thứ

i khi vi phạm, chiến lược của người chơi ∀i ∈ I)

Khi đó, bài toán cân bằng Nash được phát biểu như sau:

Tìm x∗ ∈ K sao cho f i (x∗) ≤ f i (x∗[y i ]) ∀i ∈ I, ∀y ∈ K (1.6)Điểm thỏa mãn (1.6) gọi là điểm cân bằng Nash Về ý nghĩa kinh tế, điểm cânbằng Nash nói nên rằng bất kì đối thủ nào chọn phương án ra khỏi điểm cânbằng trong khi các đối thủ còn lại vẫn giữ phương án điểm cân bằng thì đối thủ

ra khỏi điểm cân bằng sẽ bị thua thiệt

Ngược lại, giả sử x∗ ∈ K là nghiệm của (EP) nhưng lại không là nghiệm của(1.6) Khi đó, ta có

Điều này mâu thuẫn với giả thiết

Vậy x∗ ∈ K là nghiệm của bài toán (1.6)

Ví dụ 1.6 Bài toán bù phi tuyến

ChoK ⊂ Rn là một nón lồi đóng,K∗= {x ∈ Rn : hx, yi ≥ 0 ∀y ∈ R n }là nón đốingẫu của nón K Cho T : K → Rn là một ánh xạ liên tục Khi đó, bài toán bùphi tuyến được phát biểu như sau:

Tìm x∗ ∈ K sao cho T (x∗) ∈ K∗ và hT (x∗), x∗i = 0. (1.7)Nếu ta đặt f (x, y) := hT (x), y − xi ∀x, y ∈ K thì bài toán bù phi tuyến (1.7) sẽtương đương với bài toán cân bằng (EP)

Thật vậy, giả sử x∗∈ K là nghiệm của bài toán (1.7) Ta có

T (x∗) ∈ K∗ và hT (x∗), x∗i = 0.

Mặt khác, theo cách đặt ta có

f (x∗, y) = hT (x∗), y − x∗i

= hT (x∗), yi − hT (x∗), x∗i

= hT (x∗), yi ≥ 0 ∀y ∈ K.

Vậy x∗ ∈ K là nghiệm của bài toán cân bằng (EP)

Bây giờ, ta xét chiều ngược lại Giả sử rằng x∗ ∈ K là nghiệm của bài toán(EP), ta có

(i) C bị chặn;

(ii) tồn tại một tập con bị chặn, khác rỗng W của C sao cho, với mọi x ∈ C\W, tồn tại y ∈ W để f (x, y) < 0

Khi đó, bài toán (EP) sẽ có nghiệm.

Mệnh đề 1.3 ([7], mệnh đề 2.1.16) Cho song hàm f : C × C → R ∪ {+∞}.(i) Nếu f đơn điệu chặt thì bài toán (EP) có không quá một nghiệm

(ii) Nếu f (·, y) là hàm nửa liên tục trên với mọi y ∈ C, f (x, ·) là hàm lồi vànửa liên tục dưới với mọi x ∈ C, và f là hàm đơn điệu mạnh, thì bài toán (EP)

(ii) Từ (i) ta có thể kết luận rằng bài toán (EP) giải được Lấy tùy ý x ∈ C

Vì f (x, ·) là hàm nửa liên tục dưới, nên tồn tại một số µ > −∞ sao cho

f (x, z) ≥ µ ∀z ∈ B(x, 1) ∩ C.

Chọn bất kỳ y ∈ C\B(x, 1) và đặt λ = 1/ k x − y k Thế thì z = λy + (1 − λ)x ∈ B(x, 1) ∩ C và, theo tính lồi, ta có

nếuk x − y k> −µ/τ và τ > 0 là hằng số lồi mạnh Do đó mọi giả thiết của mệnh

đề 1.2 (ii) đều thỏa mãn, trong đó W = C ∩ B(x, µ0) và µ0 > max{1, −µ/τ }

Kết luận chương

Chương này bao gồm hai phần chính: Phần đầu nhắc lại một số kiến thức cơbản sẽ dùng đến trong các chương tiếp theo, phần hai trình bày dạng toán họccủa bài toán cân bằng, một số ví dụ và điều kiện tồn tại nghiệm cho bài toán

Chương 2

Phương pháp hàm phạt điểm trong

Chương này trình bày một cách cơ bản phương pháp hàm phạt điểm trong

và một cách áp dụng để giải bài toán cân bằng giả đơn điệu trên tập lồi đa diệnbằng cách sử dụng hàm toàn phương logarit

Như trên, ta hãy xét bài toán

min f (x), (2.1)với các ràng buộc

gj(x) ≤ 0, j = 1, 2, · · · , m.

trong đógj(j = 1, · · · , m) là các hàm liên tục trong Rn GọiC là miền chấp nhậnđược của bài toán

2.1.2 Phương pháp hàm phạt điểm trong

Hàm phạt điểm trong thường dùng khi biết trước một điểmx0 ∈intC Người

ta xây dựng một hàm phạt sao cho nó hữu hạn trong miền intC, nhưng trênbiên của C nó sẽ là +∞ (bị "phạt nặng") Cụ thể, ta giả thiết hàm p thỏa mãncác tính chất sau:

(a) p liên tục trên tập

C0:= {x ∈ Rn : gj(x) < 0 ∀j = 1, · · · , m},

(b) Với mọi dãy{x k } ⊂ C 0 hội tụ tới một điểmx 6∈ C0 ta có lim

k→+∞ p(xk) = +∞.Hai hàm xấp xỉ trong được sử dụng nhiều, do Fiacco và McCormick đưa ralà

Rõ ràng khi x ∈ C và gj(x) → 0 với một j nào đó thì p(x) → +∞

Cho s(t) là hàm số một biến thỏa mãn các tính chất:

(i) s(t) > 0 ∀t > 0,

(ii) s(t) liên tục trên (0, +∞) và s(t) → 0 khi t → +∞,

(iii)s(t) đơn điệu giảm trên (0, +∞), nghĩa là s(t1) > s(t2) với mọit2 > t1 > 0.

Ví dụ 2.1 Ta có thể lấy hàm s(t) = 1

t hoặc s(t) = 1

t 2

F (x, t) := f (x) + s(t)p(x), (2.2)với miền xác định là

Mệnh đề 2.1 Giả sử các điều kiện (a), (b) và (i), (ii), (iii) thỏa mãn, và bàitoán (Bt) có nghiệm với mọi t > 0 Khi đó, nếu 0 < t1 < t2 và xi là nghiệm của

Định lí 2.1 Cho f là hàm liên tục trên một tập compact C Nếu dãy {tk} đơnđiệu tăng dần đến +∞ và xk là nghiệm của (Btk), thì dãy số {f (x k )} hội tụ giảmđến f∗ (giá trị tối ưu của bài toán) Ngoài ra, mọi điểm tụ của dãy {x k } đều lànghiệm của (2.1).

Chứng minh Theo mệnh đề 2.1, dãy {f (xk)} đơn điệu giảm Do đó dãy này hội

tụ Ta xét hai trường hợp sau:

Trường hợp 1: Giả sử bài toán có một lời giảix∗ ∈ C0 Vì{xk} là nghiệm củabài toán (B t k ), nên

f (xk) + s(tk)p(xk) ≤ f (x∗) + s(tk)p(x∗). (2.5)

Do C compact, ta có thể giả sử rằng, nếu cần qua dãy con, dãy {xk} hội tụ đến

u∗ nào đó

+) Nếu u∗ ∈ C 0 thì qua giới hạn trong (2.5), chú ý rằng s(tk) → 0 và

p(x∗), p(u∗) hữu hạn, ta có ngay f (u∗) ≤ f (x∗) Vậy u∗ là nghiệm Do tínhđơn điệu nên ta suy ra toàn bộ dãy {f (x k )} hội tụ tới giá trị tối ưu f∗

+) Nếu u∗ 6∈ C 0 thì theo điều kiện (b), tồn tại một chỉ số K1 sao cho

s(tk)p(xk) ≥ 0 với mọi k ≥ K1 Khi đó, từ (2.5) ta có f (xk) ≤ f (x∗) + s(tk)p(x∗)

với mọi k ≥ K1 Qua giới hạn ta được

k f (xk) Giới hạn tồn tại vì dãy này đơn điệu Ta có f∗ ≤ β, do f (xk) ≥ f∗

với mọi k Nếu f∗ < β thì do tính liên tục của f trên C, tồn tại u ∈ C0 sao cho

f∗ < f (u) < β Từ bất đẳng thức

f (xk) + s(tk)p(xk) ≤ f (u) + s(tk)p(u)

và lập luận như trên, suy ra tồn tại chỉ số K1 sao cho f (xk) ≤ f (u) + s(tk)p(u).Qua giới hạn ta có f (xk) ≤ f (u) với mọik ≥ K1 Mâu thuẫn với f (xk) ≥ β > f (u)

Theo định lí này, để giải bài toán có ràng buộc (2.1), ta chọn một dãy sốdương{tk} tăng dần đến+∞và giải một dãy các bài toán không điều kiện(Btk)

2.2 Hàm toàn phương logarit ([3])

Như ta đã biết, kỹ thuật chính quy hóa hàm toàn phương là công cụ mạnhtrong giải tích và giải các bài toán tối ưu Gần đây, kỹ thuật này được sử dụng

để phát triển thuật toán lặp xấp xỉ giải bài toán bất đẳng thức biến phân

Định nghĩa 2.1 Cho C là một tập lồi trong Rn, A là một ma trận cỡ p × n

và f : C × C → R ∪ {+∞} Song hàm f được gọi là A-Lipschitz với hai hằng số

Từ (2.7) và (2.8) suy ra rằng

f (x, y) + f (y, z) ≥ f (x, z) − c01|| ¯ A−1||2||A(y − x)||2

− c02|| ¯ A−1||2||A(z − y)||2 ∀x, y, z ∈ C.

Vậy f là A-Lipschitz với các hằng số ¯ c1 := c01|| ¯ A−1|| 2 , ¯ c2:= c02|| ¯ A−1|| 2

Cho C là một tập con lồi, đóng trong Rn với chuẩn Euclide || · || Với mỗi

x ∈ Rn, kí hiệu PC(x) là hình chiếu của x lên tập C, nghĩa là

PC(x) =argmin{||y − x|| : y ∈ C} ∀x ∈ Rn.

Từ định nghĩa trên và theo tính lồi của C, suy ra rằng

||PC(x) − y|| ≤ ||x − y|| ∀y ∈ C, x ∈ Rn.

Bổ đề 2.1 Cho f : C × C → R ∪ {+∞} là một song hàm Khi đó các phát biểusau là tương đương:

(i) x∗ là nghiệm của (EP)

(ii) x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán min{f (x∗, y) : y ∈ C}

Như ta đã biết, bài toán bất đẳng thức biến phân, kí hiệu là (V IP), là mộttrường hợp riêng của bài toán cân bằng Bài toán được phát biểu như sau:

Tìm x∗ ∈ C sao cho hF (x∗), y − x∗i ≥ 0 ∀y ∈ C,

trong đó C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của Rn và F là một ánh xạ từ

Rn vào chính nó Khi đó, bài toán (V IP) tương đương với bài toán: Tìm phần

tử không của toán tử T (x) = F (x) + NC(x), trong đó NC(x) là nón pháp tuyếnngoài trên C tại x

Một phương pháp để giải bài toán này là thuật toán điểm gần kề Theo thuậttoán này, xuất phát từ một điểm x0 ∈ C bất kỳ và vớiλk ≥ λ > 0, bước lặp tiếptheo xk+1 sẽ là nghiệm của bài toán

0 ∈ λkT (x) + ∇xh(x, xk), (2.9)trong đó

h(x, xk) = 1

2 ||x − xk||2.

Gần đây, Auslender đã đề xuất một phương pháp mới để giải (V IP) trên

C := Rn+ bằng cách thay thế hàm toàn phương h(x, xk) bằng hàm phi tuyến

dφ(x, xk), với dφ(x, xk) được định nghĩa bởi

Áp dụng ý tưởng này vào bài toán cân bằng (EP), Phạm Ngọc Anh đã đềxuất một hàm phạt điểm trong trên Rn

Với mọi x > 0 ta có 1 −x1 ≤logx ≤ x − 1 Vìx ∈ C nênli(x) > 0 ∀i = 1, · · · , p.Khi đó, ta có thể chứng minh được rằng D(x, y) ≥ 0 ∀x, y ∈ C

Xét bài toán phụ sau: Tìm x∗∈ C sao cho

f (x∗, y) +1

cD(y, x

∗ ) ≥ 0 ∀y ∈ C, (AEP )

trong đó c > 0 là tham số chính quy hóa

Kí hiệu ∇1D(x, y) là gradient của D(·, y) tại x với mọi y ∈ C Dễ thấy rằng

∇1D(x, y) = −AT l(x) − l(y) + µXylogl(x)

l(y)
, (2.12)trong đó Xy =diag l1(y), · · · , lp(y)
và logl(x)l(y) = logl1 (x)

l 1 (y) , · · · , loglp (x)

l p (y)

.Mối quan hệ giữa hai bài toán (AEP) và (EP) được cho bởi bổ đề sau:

Bổ đề 2.2 Cho song hàm f : C × C → R ∪ {+∞} và x∗ ∈ C Khi đó, x∗ lànghiệm của (EP) nếu và chỉ nếu x∗ là nghiệm của (AEP).

Chứng minh Giả sửx∗là nghiệm của bài toán (EP), suy raf (x∗, x) ≥ 0 ∀x ∈ C

Vì c > 0 nên 1cD(x, x∗) ≥ 0 ∀x ∈ C, do đó

f (x∗, x) + 1

cD(x, x

∗ ) ≥ 0 ∀x ∈ C.

Vậy x∗ là nghiệm của (AEP)

Ngược lại, nếu x∗ là nghiệm của (AEP), dof (x∗, x∗) = 0 và D(x∗, x∗) = 0 nên

Vậy x∗ là nghiệm của bài toán (EP) 2

Bổ đề 2.2 chỉ ra rằng nghiệm của bài toán (EP) có thể xấp xỉ bằng bước lặp

xk+1 = h(xk), k = 0, 1, · · ·, trong đó c > 0, x0 là điểm xuất phát tùy ý trong C và

h(xk) là nghiệm duy nhất của bài toán quy hoạch lồi mạnh

2.3 Mô tả thuật toán và sự hội tụ ([3])

Thuật toán 2.1 Bước 0 Cho x0 ∈ C, k := 0, một dãy dương {ck} sao cho

sẽ thu được nghiệm duy nhất yk

Nếu yk = xk, thì dừng thuật toán: xk là nghiệm của (EP)

Ngược lại chuyển sang Bước 2

Bước 2 Tìm nghiệm của bài toán quy hoạch lồi mạnh:

min{f (yk, y) + 1

ckD(y, x

k ) : y ∈ C},

kí hiệu nghiệm đó là xk+1

Bước 3 Gán k := k + 1 và trở lại Bước 1

Định lí dưới đây sẽ thiết lập tính hội tụ của thuật toán

Định lí 2.2 Giả sử song hàm f : C × C → R ∪ {+∞} giả đơn điệu, A-Lipschitztrên C và f (x, ·) là hàm lồi đóng, khả dưới vi phân trên C với mỗi x ∈ C Cho f

là hàm nửa liên tục dưới trên C × C và f (·, y) nửa liên tục trên trên C với mỗi

y ∈ C Khi đó,

(i) Nếu thuật toán 2.1 dừng tại bước 1, thì xk là nghiệm của (EP)

(ii) Nếu thuật toán không dừng thì ta có đánh giá

Chứng minh (i) Nếu thuật toán dừng tại bước 1, thì yk = xk Điều đó có nghĩa

làxk là nghiệm của bài toán (2.13) Theo bổ đề 2.1 và bổ đề 2.2 thìxk là nghiệmcủa (EP)

(ii) Vì yk là nghiệm của bài toán (2.13), nên

Nhắc lại rằng

∇1D(xk+1, xk) = −AT l(xk+1) − l(xk) + µXxklogl(x

k+1 ) l(x k )
,

∗ − xk+1)i + ckf (yk, xk+1). (2.19)Bây giờ áp dụng điều kiện Lipschitz (2.6) cho hàmf, trong đóx = xk, y = yk, z =

∗ − xk+1)i (2.21)

+ ckf (xk, xk+1) − ckf (xk, yk)

− ¯ c1ck||A(yk − xk)||2− ¯ c2ck||A(xk+1− yk)||2.