dùng hàm D-Gap giải bài toán cân bằng 3_2_2

luận văn trình bày các kiến thức cơ bản và các bài toán cân bằng, với trọng tâm là dẫn đến khái niệm và các kiểu hàm Gap khác nhau, nghiên cứu về hàm D-gap và giải bài toán bổ trợ. và chỉ ra được cách đánh giá tốc độ của thuật toán

Chuong 1 CÁC KIÊN THỨC CƠ BAN

1.1 Tập lồi và hàm lồi

Trong mục này ta luôn giả sử X là không gian vectơ

Định nghĩal1.1.1 (tập lồi)

Tập C c X được gọi là lồi (convex) néu Ax + (1 - Ay € C, VxeC, VyeC

và ,V ^e[0,l]

Mệnh đề 1.1.1 (tính chất tập lồi) ;

(i) — Giao ho bat ki cdc tap 16i 1a tap Idi

đ_ Nếu CC XvàDc X là2 tập lỗi và œ e 9ì, thì

C+D:={c+d:ceC, deD}, œC:={œc:ceC},

cũng là tập lồi Do đó C— D =C + (-1)D cũng là tập lồi

Định nghĩa1.1.2 (nón)

Tap Kc X duge gọi là nón (cone) nêu ,Vxe K »VA>Othi Ax € K Mét nón được gọi là nón lỗi (convex cone) néu_né là tập lôi

Mệnh đề 1.1.2 (tính chất nón lồi)

Tập K 6 X là nón lôi khi và chỉ khi AK CK, VA>OvaK+K CK

Định nghĩa 1.1.3 (hàm lồi)

Giả sử S C X là tập lồi và hàm f: S—> 9ï

(a) f được gọi là lồi (convex) tại X e S nếu, V x e S, V 2 e [0, 1], ta có

f =À)X +^x) <(1—=2)ÑX) +XÑx);

£ được gọi là lồi trên S nếu f lỗi tại mọi x e S Mọi tính chất tại một điểm được định nghĩa cho một tập theo cách này

(b) f được gọi là lồi chặt (strictly convex) tại X e S nếu, Vx e §:x# X, VÀ(0, 1), ta có

f{l—^A)x +^x)<(1-A)f(Xx) + Af);

(c) f được gọi là tựa lồi (quasiconvex) tại Xe S nếu, Vx e §: f(x) < f(x), VÀe[0, I], ta có

f((1 —A)X +Ax) < f(X);

(d) f duge goi 1a tựa lỗi chat (strictly quasiconvex) tai X € S néu, Vx eS:

x) <X), VÀ e (0,1), ta có

f{l—^A)x +^x)<X);

(e) f được gọi là lồi mạnh (strongly convex) trên K với hằng số + > 0 nếu VX yeKvà,Vœe [0,1], tacd

f(ax + (1—a)y) <a f(x) + (1 -a)f (y) - 2a — œ)t|lx - y|Í

Ví dụ 1.1.1

(a) Hàm f: 9 —› 9† xác định bởi f(x) = xŸ là hàm lỗi

(b) Giả sử C C X Hàm đặc trưng của C là hàm

0 khix €C,

8¢ (x)=

+0 khix¢C

5 (x) 1a ham lồi khi và chỉ khi C là tập lồi

(c) Hàm f: 9† —> 9† xác định bởi

1 khix=0,

f6) =1 uc

0 khixz0

Thì f là tựa lồi chặt trên 9† nhưng không phải tựa lồi trên 9i

Định nghĩa 1.1.4

Cho hàm ọ : 9" —> 9 và K c 9t" là lỗi Khi đó

(a) Với œ là hàm khả vi thì được gọi là giả lồi (pseudoconvex) trên K nếu Vx,y e Kvà,V œ e[0, l], ta có

€Vọ(y), x— y) >0 = 0(x) > 0(y);

(b) @ được gọi là tựa lồi (quasiconvex) trên K nếu ,V x, y e K và ,Vœ e [0,

1], ta có

@(œ x + (I — œ)y) < max{o(x), 0(ÿ)};

Trang 7

(c) ọ được gọi là tựa lồi hiện (expicitly quasiconvex) trên K nếu ọ là tựa lồi trên K và,V x,y e K:x#y, Vœe(0,1), ta có

o(ax + (1 — œ)y) < max{@(), @(y)}

Chú ý 1.1.1

Tu Dinh nghia 1.1.3 , ta suy ra (a) > (b) > (c)

Tur Dinh nghia 1.1.4, ta suy ra (c) > (b)

Hàm ọ : K -> 9† được gọi là lõm mạnh (strongly concave) với hằng số + (tương tự lõm chặt, giả lõm, tựa lõm, tựa lõm hiện) trên K nếu hàm - ọ là lỗi mạnh với hằng số r (tương tự lồi chặt, giả lồi, tựa lồi, tựa lồi hiện) trên K

Mệnh đề 1.1.3

Cho X, Y là các không gian vectơ F: XxY -> 9ï là hàm lồi Khi đó, hàm p: Y — 9 xác định bởi

p(u) = inf F(x,u), Vu Y là hàm lồi

1.2 Hàm liên tục trên không gian định chuẩn Trong mục này ta luôn giả sử X là không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.2.1 (điểm tụ)

Điểm x° e X được gọi là điểm tụ (cluster point) của tập S c X nếu mọi lân cận của x° đều có một điểm của S khác x°

Định nghĩa 1.2.2 (hàm liên tục)

Giả sử S C X và f: S — 9t Hàm f được gọi là liên tục (continuous) tại x° thuộc miền xác định S và là điểm tụ của S nếu một trong hai điều tương đương sau thoả:

(a)Ve>0, 3ồ>0,x eSB (x°, 8) => f(x) -—€< f(x) < f(x) + ¢;

(b)Néu {x"} CS va x" > x° thi lim f(x") = f(x,)

Dinh nghia 1.2.3 (han nửa liên tục dưới)

Giả sử S C X, x” e S là điểm tụ của S và f là phiến hàm xác định trên S Ham f duge goi là nửa lién tuc dudi (lower semicontinuous) ,viét tat 1a Isc , tại x° nếu một trong hai điều tương đương sau thoả mãn:

(a)V e>0,46>0,x € SAB (x°, 8) > fx?)—e< Ñx);

(b) Nếu {x"} C S và x" > x° thi liminf f(x") > £(x,)

Dinh nghĩa 1.2.4 (hàm nửa liên tục trên)

Giả sử S C X, x” e S là điểm tụ của S và f là phiến hàm xác định trên S

Hàm f được gọi là nửa liên tục trên (upper semicontinuous) ,viết tắt là use ,tại x° nếu một trong hai điều tương đương sau thoả mãn:

(a)Ve>0,3õ>0,xeSB(, õ) = fx) < Ñx”)+e;

(b)Néu {x} cS va x" > x° ,thi limsupf(x") < f(x,)

Chú ý 1.2.1

(a) fusc tại x°khi và chỉ khi -f lsc tại x°

(b) fliên tục tại x” khi và chỉ khi f vừa usc và lsc tại x°

Ví dụ 1.2.1

(a) Hàm sô f: 9† —> 9 được xác định bởi

x khix#l,

1/2 khix =1

la Isc tai x°= 1 va liên tục tại mọi x # 1 Do đó f Isc trên 9i

(b) Hàm số g : 9 —> 9† được xác định bởi

_Íx khix4l,

a) -b khi x=1

là usc tại x°= 1 và liên tục tại moi x # 1 Do đó g usc trên 9ï

Định nghĩa1.2.5

Ham f: X > 8 U {+00} duge goi là liên tục Lipschitz quanh x° nêu có

L>0 va lan can U ctia x° sao cho f(x) - f(x’) < L |x -x’||, Vx, x’e U

Khi đó , L duge goi la hang s6 Lipschitz Néu thay U bởi X thì f được gọi

là liên tục Lipschitz trên X

Trang 9

Chú ý 1.2.2

Tính liên tục Lipschitz mạnh hơn tính liên tục

Ví dụ 1.2.2

(a) Hàm y = xŸ liên tục trên 9ì nhưng không liên tục Lipschitz trên % Hàm này liên tục Lipschitz quanh V x° eR

(b) Ham y= xsin(_) khi x #0,

liên tục trên cả %‡ nhưng không liên tục Lipschitz quanh x° =0

1.3 Tính đơn điệu của hàm số

Trong mục này ta luôn giả sử K là tập lôi trong 9"

Định nghĩa 1.3.1(tính đơn điệu của hàm một biến)

Giả sử K CC 9 và F: 9° — %”, F được gọi là :

(a) don điệu mạnh (strongly monotone) trên K với hằng số ỗ > 0 nếu ,

Vx,yeK, ta có

(F(x) — F(y), x-y) 2 8] x- y [Ps

(b) don diéu chat (strictly monotone) trén K néu, Vx,ye K:x#y, ta có

(F(x) = Fy), x-y) > 0;

(c) đơn điệu (monotone) trên K nếu, Vx, y e K, ta có

(F(x) — F(y), x-y) 2 05

(d) giả đơn điệu (pseudomonotone) trên K néu, V x, y e K, ta có

(F(y), x-y) 20 => (F(x), x-y)20 ;

(e) tựa đơn điệu (quasimonotone) trên K nếu , V x, yeK,tacó

(F(y), x-y) >0 => (F(x), x-y)20 ;

(Ð tựa đơn điệu hiện (explicitly quasimonotone) trên K nếu F là tựa đơn điệu và ,Vx,y eK : x # y thỏa (F(y), x-y) >0 thi (F(z), x - y)> 0 với z nào đó năm trong khoảng giữa (x+y)/2 và x

Chú ý 1.3.1

Từ Dinh nghia 1.3.1 , ta suy ra

() (a) = () = (e) => (đ)>(e)

(i) = €@)

Ví dụ 1.3.1

(a) Ham F(x) =x ,Vxe, là đơn điệu mạnh với ỗ = 1⁄2

(b) Hàm F(x) = xÌ, Vxe9† ,là đơn điệu chặt

(c) Ham F(x) =c ,Vxe, là đơn điệu

Dinh nghia 1.3.2(hàm cân bằng hai biến)

Hàm số f: ®" x 9° -› 9ï được gọi là hàm cân bằng (equilibrium function) trên K nếu f{x, x) =0, VxeK

Định nghĩa 1.3.3 (tính đơn điệu của hàm cân bằng hai biến)

Giả sử hàm f: 9” x 9° —> 9ï là hàm cân bằng trên K Khi đó, f được gọi

là :

(a) đơn điệu mạnh trên K với hằng số + > 0 nếu ,Vx, yeK,tacó

f(x, y) + fly, x) < -tlx-y|Ê ;

(b) đơn điệu chặt trên K nếu ,Vx, yeK : x # y, ta có

fon KH, Tự NHIÊN

(c) đơn điệu trên K nếu ,Vx, y eK, ta có | THU VIE U VEN

(d) gia đơn điệu trên K nếu ,Vx, yeK, ta có

fly, x)=0=> f(x, y) <0;

(e) tựa đơn điệu trên K nếu ,Vx, yeK, ta có

fy,x)>0= fx,y)<0;

( tựa đơn điệu hiện trên K nếu f tựa đơn điệu trên K và nếu ,Vx, yeK: x#y thỏa fx,y)>0thì {z,x)<0 với z nào đó trong khoảng giữa (xty)⁄2 và y

Chú ý 1.3.2

Từ Định nghĩa 1.3 3, ta suy ra

() (a) = (b) = (e) = (đ)= ()

(i) () > ()

Ví dụ 1.3.2

(a) Ham f(x,y) = + \Ix—yl|°, 1a don diéu manh véi hang sé t =I trénR" (b) Ham f(x,y) = 5 Ix—y| , ladon digu chat trén ®

(c) Ham f(x,y)= x—y_ , ladon diéu trén ®

1.4 Dao ham

Dinh nghia 1.4.1 (dao hàm theo hướng)

Cho X là không gian tuyến tính, (Y, I ||) là khéng gian dinh chudn, S c X

là tập khác rỗng, và hàm số f:§ -> Y Nếu có X eS và heX sao cho giới hạn

4G, We fling ST)

ton tai thi f(x, h) được gọi là đạo hàm theo hướng h của hàm số f tại X Nếu giới hạn tồn tại ,Vh e X thì f được gọi là khả vi theo hướng tại X

Ví dụ 1.4.1

Xét f: 9Ÿ —› 9† cho bởi công thức

xi(e 4] khix, #0,

Khi đó , f không liên tục tại O = (0, 0)

Nhưng tại (0, 0), f có đạo hàm theo mọi hướng Thật vậy, V (h, h;) e 9“

2

=1 bị khi h, #0,

f((0/0) ,(hụ, hạ) = lim f(0(h,,h,))={h,

Định lý 1.4.1

Giả sử X là không gian tuyến tính, S c X là tập khác rỗng và f: S —> 9† (a) Nếu x e S là cực tiểu của f trong S va néu ham f cé dao ham theo moi hướng x- X tại X với x € S thi

(b) Gia su S lồi và f là hàm lỗi Khi đó , hàm f có đạo hàm theo mọi hướng x- X tại X với x € § và bất đẳng thức (*) thỏa mãn thì X là cực tiêu của f trong S

Chứng minh

(a) Vì fcó đạo hàm theo hướng tại X theo mọi hướng x - X nên ta có,VxeS,

f(X + A(x —x))-f(X)

Vì X là điểm cực tiểu của f trên S nên

f(X + A(x - X)) > f(X),Vx € S

Do đó f(x,x-x) >0,VxeS

(b)Vi f là hàm lồi nên ta có, Vx e §, VÀ e [0,1],

{(X + Mx = K)) S Aft) + (1-4) AZ)

Do đó

f(x) > fx) + le +A(x-X))—Ñ(&)}-

Vì fcó đạo hàm theo hướng tại X theo hướng x - X nên

f(x) > fC) + P(X, x- ¥)

Vì bất đăng thức (*) thoả man nén f(x) > f(X),Vx € S.Vi vay ,x là điểm cực

Trang 13

Định nghĩa 1.4.2 (đạo hàm Gateaux)

Cho (X, |} Ix) và (Y, ||.||v) là hai không gian định chuân thực Cho § c X la tập mở khác trồng, f: S —> Y và x e § Nếu, VheX „ giới hạn

z 4, £(K + Ah) - f(x)

tồn tại, ở đây F(X) là ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào Y, thi P(X) được gọi

là đạo hàm Gateaux của ftại X và f được gọi là khả vi Gateaux tại X

Định nghĩa 1.4.3 (đạo hàm Fréchet)

Cho (X, || IIx) va (Y, ||.||y) la hai khong gian dinh chuẩn thực Cho S c X la tập mở khác trống, f: S -> Y và x e S Nếu có hàm số tuyến tính liên tục f(X):X— Y với

im ÊX+h)=fG)=f'G9h ly —g

thi P(x) được gọi là đạo hàm Fréchet của f tại x và f được gọi là khả vi Fréchet tai x

Định lí 1.4.2

Cho (X, ||J|x) và (Y, |||Iy) là hai không gian định chuẩn thực Cho § c X

là tập mở khác rỗng, f: § —> Y và X e S Nếu tồn tại đạo hàm Fréchet của f tại

x, thì tồn tại đạo hàm Gateaux của f tai X va hai dao hàm là trùng nhau

Chứng minh

Cho f(x) là đạo hàm Fréchet của ftại X Khi đó ta có, V h e X\{0x},

tạ LÊ + Ab) ~ £08) ~£" RYAN) ||,

tả lAhl, =0

Do đó, V h e X\{0x},

lim f(X+^h)—f(Œ) —f'Œ)(Ah) |Iy= 0

Vì f(x) tuyến tính nên, Vh e X,

Định lí 1.4.3

Cho S là tập lồi ,mở ,khác trống của không gian định chuẩn thực (X, ||.|J) và

hàm f: § —> 9† khả vi Fréchet tại moi x e S Khi đó, f là lỗi khi và chỉ khi

Chứng minh

=)

Giả sử f lôi Khi đó, V x, y e 8S, VA € (0, 1],

f(x + A (y — x)) = f(y + (1 —A)x) <^fy) + (1—)Ñx)

Do đó

fly) > f(x)+— 2[f&«+A(y- x))-f(x)]

Vi f la kha vi Fréchet bã x nên theo Định lí 1.4.2, ta có

fly) 2 f{x) + Ÿ(&)(Œ - x)

Gia str bat đăng thức (**) thoả Vì S lỗi nên , x, y e S, VA € [0, 1],

fx)> f@x+(1—=)y) + PAx +(—)y)[q =)&—y)],

fly) = fx +(1—Ajy) + P@x + (=A)y)[CA) — y)].

Vì đạo hàm Fréchet tuyến tính nên

xf@) +(1~2)Ñy)> Af(Ax + (1 — Ay) + (1 =A) fax + (1 — Ay)

Dinh li 1.4.4

Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn và f: X —> 9† Nếu f khả vi liên

tục thì, V x,y e X,

fy)~ fx)= [f,œ+s(y—x)\(y—x)ds

0

Chứng minh

Dat g(s) = f(x + s(y — x)) thì g(1) = fly) va g(0) = fix)

Ta có

s(1)=(0)= fe'(s)ds = Ít (x+s(y—x)(@.=x)đs, "