Khoá luận tốt nghiệp toán MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG

Phương pháp dùng tính đối xứng của biến...35 CHƯƠNG III: ỨNG DỤNG GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH...38 I.. ỨNG DỤNG GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,

ĐỀ TÀI

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA

Em xin chân thành cảm ơn sự động viên giúp đỡ của gia đình và bạn bè đã tạo điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận.

Lời cuối em xin chúc sức khỏe tất cả các thầy các cô, chúc thầy cô luôn hoành thành tốt các nhiệm vụ được giao.

Quảng Bình, tháng 06 năm 2014

Sinh viên Dương Thị Lan Hương MỤC LỤC A MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 1

4 Phạm vi nghiên cứu 2

5 Đối tượng nghiên cứu 2

6 Phương pháp nghiên cứu 2

7 Cấu trúc của đề tài 2

B NỘI DUNG 4

CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ THUYẾT VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 4

1 Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 4

2 Các tính chất của giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 4

CHƯƠNG II : MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 12

1 Phương pháp dùng đạo hàm 12

2 Phương pháp dùng miền giá trị của hàm số 15

3 Phương pháp đưa về dạng bình phương 18

4 Phương pháp dùng bất đẳng thức Cô -si 20

5 Phương pháp dùng bất đẳng thức Bunhiacopski 22

6 Phương pháp dùng tam thức bậc hai 25

7 Phương pháp dùng vectơ 28

8 Phương pháp dùng lượng giác 32

9 Phương pháp dùng tính đối xứng của biến 35

CHƯƠNG III: ỨNG DỤNG GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH 38

I ỨNG DỤNG GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ THAM SỐ 38

II ỨNG DỤNG GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG CÓ THAM SỐ 42

C KẾT LUẬN 45

D HỆ THỐNG BÀI TẬP THAM KHẢO 46

E TÀI LIỆU THAM KHẢO 49

Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất là một trong những chủ đề quan trọng

và hấp dẫn trong chương trình giảng dạy và học tập môn toán ở trường trung học phổthông Các bài toán liên quan đến tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số thườngxuyên xuất hiện trong các kì thi Tuy nhiên trong chương trình sách giáo khoa có rất ít cácbài tập dạng này và do những điều kiện khách quan mà sách giáo khoa không hệ thống lạicác phương pháp giải Do đó việc cần thiết là phải cung cấp cho học sinh các phươngpháp giải dạng toán: “Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất’’ Khi đó sẽ giúp học sinhlựa chọn được phương pháp thích hợp cho các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ

nhất và từ đó đưa ra các ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số để giảiphương trình, bất phương trình.

Với những lí do trên, tôi xin hệ thống lại một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá

trị nhỏ nhất thường gặp thông qua việc nghiên cứu đề tài: “ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG”.

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Hệ thống hóa một số phương pháp giải dạng toán: “ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏnhất của hàm số

Giới thiệu ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải phương trình, bấtphương trình

4 Phạm vi nghiên cứu

Các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ở trường Trung học phổ thông.

5 Đối tượng nghiên cứu

Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số và ứng dụng giá trịlớn nhất, giá trị nhỏ nhất giải phương trình, bất phương trình

6 Phương pháp nghiên cứu

Trong quá trình nghiên cứu đề tài, tôi đã sử dụng một số phương pháp sau:

Nghiên cứu lý luận: Đọc sách, phân tích, đối chiếu các tài liệu toán học, lý luận dạyhọc môn toán, sách giáo khoa

B Nội dung

Chương 1: Cơ sở lí thuyết về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

1 Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

2 Tính chất của giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Chương 2: Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

1 Phương pháp dùng đạo hàm

2 Phương pháp dùng miền giá trị của hàm số

3 Phương pháp đưa về dạng bình phương

4 Phương pháp dùng bất đẳng thức Cô-si

5 Phương pháp dùng bất đẳng thức Bunhiacopski

6 Phương pháp dùng tam thức bậc hai

7 Phương pháp dùng véc tơ

8 Phương pháp dùng lượng giác

9 Phương pháp dùng tính đối xứng của biến

Chương 3: Ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải phươngtrình, bất phương trình

I Ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải phương trình, bấtphương trình có tham số

II Ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải phương trình, bấtphương trình không có tham số

C Kết luận

D Hệ thống bài tập tham khảo

E Tài liệu tham khảo

B NỘI DUNG CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ THUYẾT VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,

 hay max ( ) max ( )x A f x  x B f x  đpcm.

Chứng minh b: Giả sử min ( ) ( )0

Giả sử hàm số ( )f x xác định trên D và tồn tại max ( ) x D f x và min ( )x D f x Khi đó ta có:

a, max ( )x D f x  min(x D  f x( )); b, min ( )x D f x  max(x D  f x( ))

Chứng minh: a, max ( ) x D f x  min(x D  f x( ))

Giả sử M max ( )x D f x Khi đó theo định nghĩa giá trị lớn nhất, ta có:

Như vậy ta đi đến max ( )x D f x  min(x D  f x( )) đpcm.

Chứng minh tương tự b, min ( )x D f x  max(x D  f x( ))

Tính chất 3

Giả sử ( )f x và ( ) g x là hai hàm số cùng xác định trên D và thỏa mãn điều kiện

f x g x , x D  Giả sử cùng tồn tại max ( )x D f x ; max ( )x D g x

Khi đó ta có: max ( ) max ( )x D f x  x D g x

Chứng minh: Giả sử max ( ) ( )0

Vì D D 1D2 mà x0D nên x0D1D2 Do vậy x phải thuộc về ít nhất một0

trong hai tập D D Từ đó có thể cho là (mà không làm giảm sự tổng quát) 1, 2 x0D1

Từ x0D1 nên theo định nghĩa về giá trị lớn nhất, ta có: ( ) max ( ).0

x D



max ( ) max max ( ); max ( )

Cho các hàm số f x f x1( ), ( ), , ( )2 f x cùng xác định trên miền D n

Đặt f x( )f x1( ) f x2( )   f x n( ) Nếu tồn tại max ( )x D f x , min ( )x D f x , max ( )i

Vì bất đẳng thức (4) đúng với mọi x D nên ta có

max ( ) max ( ) max ( )i n

x D f x x D f x x D f x

      (5)

Vậy (1) đúng Bây giờ ta xét khả năng có dấu bằng trong (1).

Giả sử tồn tại x0D mà max ( )i i( ),0 1,

Từ (5) và (7) suy ra trong trường hợp này xảy ra dấu bằng trong (1)

Đảo lại, giả sử dấu bằng trong (1) xảy ra, tức là

(*) không còn đúng nữa (vế trái lớn hơn vế phải)

Vậy tính chất 5a được chứng minh

Chứng minh tương tự min ( ) min ( ) min ( ) min ( )1 2 n

a, max ( ) max ( ) max ( ) max ( )1  2   n 

Chứng minh : Chứng minh tương tự tính chất 5.

Tính chất 7

Giả sử ( )f x và ( ) g x là hai hàm số cùng xác định trên miền D

Đặt ( )h x f x( ) g x( ) Nếu tồn tại các giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ( )f x ,

( )

g x , ( ) h x trên D Khi đó ta có:

a, max ( ) max ( ) min ( )x D h x  x D f x  x D g x ; (1)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tồn tại x0Dsao cho:

b, min ( ) min ( ) min ( )x D h x  x D f x  x D g x (2)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tồn tại x0Dsao cho:

Theo tính chất 5, ta có: max ( ) max ( ) max(x D h x  x D f x  x D  g x( )). (3)

Theo tính chất 2, ta có: max( ( )) min ( ( )) min ( )

Thay (4) vào (3) ta có max ( ) max ( ) min ( ).x D h x  x D f x  x D g x Vậy (1) đúng

Vẫn theo tính chất 5 thì dấu bằng trong (3) xảy ra khi và chỉ khi tồn tại x0D saocho ta có: max ( ) ( );0

Giả sử ( )f x và ( ) g x là hai hàm số cùng xác định và dương khi x D Đặt

Tính chất này suy ra trực tiếp từ định nghĩa của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm

số, cũng như các tính chất về lũy thừa của một bất đẳng thức

Lấy tùy ý x0D, khi đó xảy ra hai khả năng sau:

1 Nếu f x  Khi đó ta có ( ) 00 ( )0 ( ) max ( )0 max ( )

( )0 max max ( ) ; max( ( ))

Sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số yf x( )

trên miền D , ta làm như sau:

Tính y' f x'( ) Tìm các điểm x , 1 x , , 2 x nD sao cho f x  '( ) 0

1, Nếu ( )f x có tập xác định Da b; , thì không cần lập bảng biến thiên, chỉ cần:

- Tìm các điểm x , 1 x , ,2 x na b;  sao cho f x  '( ) 0

2, Nếu hàm số yf x( ) liên tục và có đạo hàm trên Da b;  Ta có: Hàm f

tăng (giảm) trên ( ; )a b nếu '

( ) 0

f x  '

( ( ) 0)f x  ,  x a b;  (Dấu “=” chỉ xảy ra tạimột số hữu hạn điểm thuộc D a b;  ) Từ đó suy ra:

Nếu f tăng trên Da b;  thì: min ( )x D f x f a( ), max ( )x D f x f b( )

Nếu f giảm trên Da b;  thì: min ( )x D f x f b( ), max ( )x D f x f a( )





 



Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta được:

Giá trị lớn nhất của y là 1, đạt được khi x  0

y   x   x   suy ra y tăng trên 0 ;

4 

 Định nghĩa miền giá trị của hàm số:

Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y x cos2x trên

Cho hàm số yf x( ) có miền xác định D Khi đó hàm số có miền giá trị:

ax bx c  (a  ) có nghiệm khi và chỉ khi 0  0

Phương trình sin a x b cosx c có nghiệm khi và chỉ khi a2 b2 c2

33

b b

Ví dụ 2: Xác định các tham số a, b sao cho hàm số 2

1

ax b y

x





 đạt giá trị lớn nhất bằng 4, giá trị nhỏ nhất bằng -1

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 2 cos

x y





Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một biểu thức ta tìm cách (nếu được) đưabiểu thức về dạng A  2 0

Dấu “=” xảy ra khi A  0

Dấu “=” xảy ra khi 1 x3  tức là 11 0   x 0

Vậy: miny 2 khi   1 x 0

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, tìm giá trị lớn nhất của:

Vậy giá trị lớn nhất của A là 9, đạt được khi x y 1.

4 Phương pháp dùng bất đẳng thức Cô -si

Với a  với mọi i 0  i 1,n ta có:

1 2 n 1 2 a

a a  a n a a

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a1a2   a n

 Nếu a a a1 2 n P không đổi thì a1a2 a n S đạt giá trị nhỏ nhất là.n

Dấu “=” xảy ra khi 6 2 x12 3 y2x3y hay x  ; 0 y  2

Vậy maxA  khi 6 x  ; 0 y  2



 Dấu “=” xảy ra khi: a 3 3  a6

.4

x x

logx (3 x )

2 3



1, a 0 :

 Nếu x0 ,  thì: minyf x( )0 ; maxymax f( ), ( )  f  

 Nếu x0 ,  thì: maxymax f( ), ( ) ; f  

minymin f( ), ( )  f  

2, a 0 :

 Nếu x0 ,  thì: maxyf x( )0 ; minymin f( ), ( )  f  

 Nếu x0 ,  thì: maxymax f( ), ( ) ; f  

Suy ra:  x 0, y z, ( vì a 702 0). Do đó: U  0, x y z, , (vì a  19 0). Ta thấy: U  khi 0 x  y z 0.

Vậy: minU  0

Giải

Đặt: yf x2( ) 6 4(cos  xsin ) 2 1 2(sinx   xcos ) 4sin cosx  x x

3 1.2

2 2

iii, x0  0 a0: min2 ; 0 yy(0)a2 2a

miny 2 a2 2a 2 0  a 1 3

Chỉ có a  1 3 0 thỏa mãn bài toán

Vậy với a 1, a  1 3 0 thì min2 ; 0 2

Khi dùng véc tơ để tìm GTLN và GTNN của một biểu thức ta cần lưu ý đến các kếtquả sau:

 Cho hai vectơ a( ;a a1 2) và b( ;b b1 2). Ta có:

(i) a b  a b  . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a b1 2 a b2 1 0

(ii) a b  a b. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

1 2 2 1

1 1

2 2

000

 Khoảng cách giữa hai điểm ( ;A x A y và ( ; A) B x B y B) là:

 AB BC AC Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi B thuộc đoạn AC

 Các dạng phương trình đường thẳng, đường tròn trong mặt phẳng Oxy

Chú ý: Áp dụng tương tự trong mặt phẳng Oxyz

Dấu “=” xảy ra khi M G.

Vậy: min P GA 2GB2GC2 đạt được khi M G

20225

6

15920

x y x

x y

8 Phương pháp dùng lượng giác

8.1 Kiến thức cơ bản

Bằng cách đặt ẩn phụ, một số bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm

số có thể đưa về dạng lượng giác để giải quyết sẽ thuận lợi hơn nhờ các công thức và bấtđẳng thức quen thuộc Khi sử dụng phương pháp này cần lưu ý:

 Giới hạn cung, góc, điều kiện

 Dựa vào điều kiện, ta có thể đặt ẩn phụ như sau:

Nếu x  thì đặt 1 xsint hay xcost

Nếu x a thì đặt x a sint hay x a cost

Nếu x2y2 1 thì đặt xsint và ycost

Vậy, maxy  đạt được khi và chỉ khi: 1 sin 22 t  0 cos 22 t   1 t k , k  .

Ví dụ 2: Cho x, y thỏa x22y2 4 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2

x





Ta có:

2 2

Do đó: P 5(cos cost usin sin )t u  5 cos(t u ) 5

x     Khi đó ta có:

 2cos2  2sin2  2(sin cos )

4



sin cos  1 sin 2   1

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y 1x 1 x

9 Phương pháp dùng tính đối xứng của biến

Dấu “=” xảy ra khi S  2 x y 1.

Ví dụ 3: Cho , ,x y z  thỏa điều kiện: (0 x x y z  ) 3 yz (1)

Chứng minh:

(x y ) (x z ) 3(x y x z y z )(  )(  ) 5( y z ) (*)

CHƯƠNG III: ỨNG DỤNG GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

I ỨNG DỤNG GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ THAM SỐ

(i) Bất phương trình ( )f x  có nghiệm x D khi và chỉ khi M 

(ii) Bất phương trình ( )f x  nghiệm đúng với mọi x D khi và chỉ khi m

Mệnh đề 3

(i) Bất phương trình ( )f x  có nghiệm x D khi và chỉ khi m

(ii) Bất phương trình ( )f x  nghiệm đúng với mọi x D khi và chỉ khi M 

Vì ( )f x là hàm liên tục nên nó nhận mọi giá trị từ min ( ) x D f x đến max ( )x D f x

Nói riêng nó nhận giá trị , tức là tồn tại x0D sao cho f x( )0 

Điều đó có nghĩa là phương trình đã cho có nghiệm trên D  đpcm

Đảo lại giả sử max ( )x D f x 

  (1)Giả thiết phản chứng bất phương trình đã cho vô nghiệm, tức là ( )f x , x D 

 Nếu  là một biểu thức độc lập thì ta áp dụng được ngay các mệnh đề trên, với D

là điều kiện của bài toán ( không phải khi nào việc tìm D cùng dễ dàng)

 Nếu tham số đồng bậc, thì ta nhóm các phần tử đồng bậc này với nhau, có dạng( ) ( ) ( )

4

13( ) 0

13

x  

4

13

 41

3 

Vậy m 4 27 là giá trị cần tìm thỏa mãn đề bài

Ví dụ 1: Với giá trị nào của m thì mx4 4x m  với mọi x 0

f t    t t  Dễ thấy rằng ( )f t nghịch biến trên 1 ; + , do đó

suy ra: max ( )t D f t f(3) và min ( )t D f t f (3 2)

; 4 2

1( ) 8

Từ đó ta có x  là nghiệm duy nhất của (*).1

Ví dụ 3: Giải phương trình sau:

3x 6x 7 5x 10x14 4 2  x x

C KẾT LUẬN

Hệ thống các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất cho học sinh là vấn

đề rất cần thiết Đây cũng là dạng toán giúp phát triển tư duy cho học sinh rất tốt Nộidung sách giáo khoa hiện nay chưa có phần hệ thống lại các phương pháp giải dạng toánnày Vì vậy, học sinh cần nắm vững phương pháp để giải bài tập tìm giá trị lớn nhất, giátrị nhỏ nhất của hàm số và biết ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số đểgiải phương trình, bất phương trình

Khóa luận có đề cập đến một số bài toán đơn giản, xem như một ví dụ ban đầu để ápdụng từng phương pháp

Các phương pháp và bài toán được đề cập trong khóa luận có chú ý đến tính phổthông Ngoài ra, còn có một số bài tập tham khảo cho học sinh

Quá trình hệ thống lại các phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏnhất không tránh khỏi thiếu sót Kính mong được sự đóng góp của thầy, cô, bạn bè đểkhóa luận được hoàn chỉnh hơn

D HỆ THỐNG BÀI TẬP THAM KHẢO

Cho , ,x y z  và thỏa mãn điều kiện 0 x y z  1

Bài 7:

Cho , ,x y z là các số thực thỏa mãn: x4 y4z4 3

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 5 5 5 5 5 5

P x y y z z x Bài 8: