skkn một số sai lầm thường gặp và các phương pháp tìm giới hạn hàm số

Thống Nhất, ngày 02 tháng 04 năm 2014PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học: 2013-2014Tên sáng kiến kinh nghiệm: MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI

TRƯỜNG THPT KIỆM TÂN

MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN HÀM SỐ

GIÁO VIÊN : ĐINH VĂN LÊ

TỔ: TOÁN - TIN

ĐỒNG NAI, THÁNG 4 NĂM 2014

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI

TRƯỜNG THPT KIỆM TÂN

-ĐỀ TÀI

MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN HÀM SỐ

Người thực hiện: Đinh Văn Lê

SỞ GD & ĐT ĐỒNG NAI CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Đơn vị: Trường THPT Kiệm Tân Độc lập- Tự do – Hạnh phúc

Thống Nhất, ngày 02 tháng 04 năm 2014

PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Năm học: 2013-2014Tên sáng kiến kinh nghiệm:

MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN HÀM

SỐ

Họ và tên tác giả: Đinh Văn Lê Tổ: TOÁN - TIN

Lĩnh vực:

Quản lí giáo dục Phương pháp giảng dạy bộ môn Phương pháp giáo dục

Lĩnh vực khác

1 Tính mới

- Có giải pháp hoàn toàn mới

- Có giải pháp cải tiến, đổi mới phương pháp đã có

2 Hiệu quả

- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao

- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những phương pháp đã có và đã triển khai áp dụng tại đơn

vị có hiệu quả

- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao

- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng tại đơn vị cóhiệu quả

XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

( Ký tên và ghi rõ họ tên) ( Ký tên và ghi rõ họ tên)

SƠ YẾU LÍ LỊCH KHOA HỌC

1 THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN.

Họ và tên: Đinh Văn Lê

Ngày, tháng, năm sinh:14/07/1985

Chuyên ngành đào tạo: Toán

3 KINH NGHIỆM KHOA HỌC.

Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Toán

Số năm kinh nghiệm: 6 năm

MỤC LỤC

Phần 1 MỞ ĐẦU………Trang 6

Phần 2 NỘI DUNG

Chương I Cơ sở thực tiễn và lý luận của đề tài……… Trang 9

Chương II Những sai lầm học sinh thường mắc phải……… Trang 10

Chương III Một số phương pháp khử dạng vô định……… …Trang 18

Phần 3 Kết luận……… ….Trang 28

Phần 4 Tài liệu tham khảo……… ……Trang 29

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Môn Toán trong trường phổ thông giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng, là môn họccông cụ hỗ trợ đắc lực cho hầu hết các môn học khác trong trường phổ thông như: Lý, Hóa,Sinh,… Như vậy, nếu học tốt môn Toán thì những tri thức trong Toán cùng với phương pháplàm việc trong Toán sẽ trở thành công cụ để học tốt những môn học khác

Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp cho học sinh hệ thốngkiến thức, kĩ năng toán học cần thiết, môn Toán còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chấtcủa người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồidưỡng óc thẩm mĩ

Sau nhiều năm tháng giảng dạy tôi ngộ ra rằng một vài bài toán đơn lẻ có vai trò quá nhỏ

bé trong việc hình thành kiến thức cho học sinh mà phải là hệ thống các bài tập của từng vấn đềđang học Bài toán mới được đặt ra, một vài câu hỏi khác nảy sinh: Kiến thức toán học giúp gìcho học sinh trong cuộc sống? Học sinh học toán để làm gì? Câu trả lời là: Trước mắt học sinhcần kiến thức toán để thi cử, nhưng điều quan trọng và về lâu dài, người học cần tích lũy cácphương pháp tư duy toán học như phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa, loại suy…để giải quyết cácvấn đề gặp phải trong cuộc sống Vậy thông qua dạy học toán cần phải hình thành và nâng cao

tư duy toán học cho học sinh Mặt khác vấn đề cốt lõi trong dạy học là: không phải anh đã dạynhững nội dung gì, điều quan trọng là học sinh học được gì trong giờ học đó Chất lượng củagiờ học được quyết định bởi số lượng kiến thức và phương pháp tư duy học sinh thu nhận đượctrong tiết dạy đó Như vậy sẽ không có một bài giảng nào tốt đối với mọi lớp học Giáo viêncần biết rõ trình độ của học sinh trong lớp để thiết kế bài dạy phù hợp và duy trì tốc độ dạy hợplí

Trong chương trình đại số và giải tích lớp 11 chương giới hạn đã được giảm tải rất nhiềunhưng để hiểu đúng bản chất và làm được những bài toán về giới hạn không phải là điều đơngiản Hơn nữa phần giới hạn là một phần trừu tượng và tương đối khó Qua quá trính giảng dạytôi xin chia sẻ với các em học sinh và quý thầy cô một vấn đề khi dạy cho học sinh về chươnggiới hạn mà tôi thấy cần thiết, đó là đề tài về :

“ Một số sai lầm thường gặp và các phương pháp tìm giới hạn hàm số ”

2 Mục đích nghiên cứu:

- Giúp học sinh tránh những sai lầm khi tìm giới hạn do không hiểu đề bài hoặc hiểu sai đề bài.

- Giúp giáo viên đưa ra phương pháp giảng dạy phù hợp để học sinh tránh mắc phải những sailầm đáng tiếc

- Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với học sinh, tạo hứng thú học tập cho học sinh Làmcho học sinh hiểu rõ và phân loại được các dạng bài tập giới hạn hàm số Từ đó nâng cao chấtlượng học tập của học sinh trong các tiết học

3 Đối tượng nghiên cứu:

Học sinh khối 11 trường THPT Kiệm Tân

4 Giới hạn của đề tài:

Là giáo viên trực tiếp giảng dạy khối 11 Vì vậy tôi chỉ tập trung vào vấn đề “Giúp đỡhọc sinh học tốt phần bài tập giới hạn trong chương trình lớp 11”

5 Nhiệm vụ của đề tài:

Kế hoạch giúp đỡ học sinh học tốt phần bài tập giới hạn trong chương trình Nắm vững

và phân dạng được từng loại bài tập giới hạn, đảm bảo tốt kiến thức phần bài tập giới hạn trongcác kỳ thi học kì, thi đại học và cao đẳng

Rút ra kết luận và đề xuất một số biện pháp khi tiến hành giúp đỡ từng đối tượng họcsinh nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy trong nhà trường THPT

6 Phương pháp nghiên cứu:

Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụngcác nhóm phương pháp sau:

- Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm có liên quan đến đề tài

- Phương pháp quan sát (công việc dạy- học của giáo viên và HS)

- Phương pháp điều tra

- Phương pháp thực nghiệm, kinh nghiệm giảng dạy

7 Cấu trúc của đề tài:

+ Mở đầu

+ Nội dung:

- Chương I: Cơ sở lý luận và thực tiễn

- Chương II : Những sai lầm mà học sinh thường mắc phải

- Chương III : Phương pháp khử dạng vô định

+ Kết luận

+ Tài liệu tham khảo

NỘI DUNG

Chương I: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI

1/ Cơ sở lý luận:

- Dựa vào mục tiêu của chương giới hạn nhằm đưa các khái niệm cơ sở của giải tích và qua

đó bước đầu hình thành kiểu tư duy toán học gắn liền với sự vô hạn và liên tục

- Dựa vào các định lí cơ bản làm công cụ cho việc nghiên cứu giới hạn của dãy số và của hàm

số, giải một số bài toán liên quan dạng đơn giản

- Chuẩn bị những khái niệm và công cụ cơ bản nhất làm cơ sở cho việc nghiên cứu các nộidung sẽ đưa vào sau đó như đạo hàm, khảo sát hàm số và tích phân

2/ Cơ sở thực tiễn của đề tài:

- Dựa trên thực tiễn qua quá trình giảng dạy, đánh giá, thu thập số liệu

- Dựa trên những khái niệm, định nghĩa, định lí đã học trong chương trình toán trunghọc phổ thông

- Dựa trên những khái niệm, định nghĩa khác có liên quan tới quá trình giải bài tập

- Dựa trên những kết quả đúng đắn và những chân lí hiển nhiên hay đã được chứngminh, thừa nhận

Chương II: NHỮNG SAI LẦM HỌC SINH THƯỜNG GẶP PHẢI

A Nhắc lại kiến thức cơ bản có liên quan:

I Giới hạn của dãy số

1 Các giới hạn đăc biệt

1) lim 0

b) Nếu u  n 0với mọi n và limu n a, thì a 0 và lim u n  a

3) Định lí liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực

a) Nếu limu n a và limv  n thì lim n 0

II Giới hạn của hàm số

  ) lim k

3 Quy tắc về giới hạn vô cực

a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f x g x( ) ( )



B Những sai lầm học sinh thường gặp phải:

I Giới hạn của dãy số

Ví dụ 1: Tính giới hạn:

2

lim(n  n)

- Sai lầm:

Có học sinh làm như sau:

Ta có: lim(n2  n) lim n2  limn   ( ) 0

Vậy lim(n2  n) 0

- Phân tích sai lầm:

Học sinh đã áp dụng định lí về các phép toán giới hạn của dãy số mà không để ý là định lí chi

áp dụng khi các giới hạn là hữu hạn Sai lầm thứ hai là học sinh đồng nhất các kí hiệu  như

là một số (Nếu limu n a và limv n b, thì : lim(u nv n) a b lim(u n  v n) a b)

1 2

n n n







- Phân tích sai lầm:

Học sinh đã áp dụng định lí về các phép toán giới hạn vô cực của dãy số mà không để ý

về dấu của mẫu (Nếu limu n  a 0, limv  n 0 và v  n 0 thì lim n

v à

12

12

n n

1 2

n n n

- Sai lầm:

Có học sinh làm như sau:

Ta có: lim( n2 1 n) lim n2  1 limn   ( ) 0

Có học sinh khác làm như sau:

Các định lí về phép toán giới hạn chỉ phát biểu cho hữu hạn số hạng Trong lời giải trên

đã áp dụng cho giới hạn của tổng vô hạn các số hạng nên đã dẫn đến sai lầm

x

x x

   mà không chú ý x  0

- Lời giải đúng:

x x

Chương III: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHỬ DẠNG VÔ ĐỊNH

Giới hạn vô định là các giới hạn mà ta không thể tìm chúng bằng cách áp dụng trực tiếp các định lí về giới hạn Do đó muốn tính các giới hạn có dạng này ta phải tìm cách khử dạng

0 là một trong những giới hạn thường gặp nhất đối với bài toán

tính giới hạn hàm số để tính các giới hạn có dạng này phương pháp chung là sử dụng các phép biến đổi( phân tích đa thức thành nhân tử, nhân với biểu thức liên hợp, thêm, bớt các hạng tử…) để khử dạng vô định.

Loại 1

0

( )lim

7 3

x

x c





x x

0 , học sinh sẽ nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp, lúc đó biểu thức ở tử là một đa

thức bậc bốn điều này dẫn đến khó khăn khi phân tích thành nhân tử chung Thay vào

đó ta đưa ra các bài toán sau, tính:

2 1

Lúc này sẽ có nhiều học sinh thắc mắc nếu thêm bớt một số khác 2 thì có được không?

Ta cần làm rõ ý tưởng then chốt cho học sinh: Số cần thêm bớt là số sao cho khi tách ra

các bài toán nhỏ, các giới hạn cũng có dạng0

0 Để giúp học sinh rèn luyện kỹ năng này

yêu cầu học sinh giải thêm các bài tập sau:

x

1 / lim

x x

4 / lim

x x

2x x

 





3 211

x

7 / lim

x x

x

9 / lim

x x

II Dạng vô định 

 ( tính

0

( )lim( )

 Chia tử và mẫu cho x với k là số mũ bậc cao nhất của biến số x( hay phân tích tử và k

mẫu thành tích chứa nhân tử x rồi giản ước) k

 Nếu tử hay mẫu có chứa biến x trong dấu căn thức, thì đưa x ra ngoài dấu căn ( với k k

là số mũ bậc cao nhất trong dấu căn ), trước khi chia tử và mẫu cho lũy thưà của x.

1

x

x b

x

 





2 1 / lim

1

x

x c

1 1

x x

x

x x

x x

x

x x

 Nhân và chia với biểu thức liên hợp để đưa về dạng 

 ( nếu có biểu thức chứa biến số dưới dấu căn thức), Đặt x k làm thừa số chung để áp dụng định lí về giới hạn vô cực.

 Quy đồng để đưa về cùng một phân thức( nếu chứa nhiều phân thức).

1 2

x 1

Có dạng   0 do đó học sinh không áp dụng được định lí đã học.

Nhận xét: Đối với dạng vô định    ta phải tùy thuộc vào đặc điểm của từng bài mà vận

dụng linh hoạt các kỹ năng biến đổi để khử dạng vô định

Bài tập tương tự: Tính các giới hạn sau:

b

1 1 1

KẾT LUẬN

Nghiên cứu, phân tích một số sai lầm của học sinh khi tìm giới hạn có ý nghĩa rất lớntrong quá trình dạy học, giúp học sinh nhìn thấy được những điểm yếu và những điểm cần lưu ýkhi áp dụng các định lí để giải toán Từ đó phát huy ở học sinh tư duy độc lập, năng lực suynghĩ tích cực, chủ động làm chủ kiến thức Trong phạm vi giới hạn của đề tài ở đây tôi mới chỉđưa ra một số sai lầm trong rất nhiều sai lầm của học sinh khi học chương giới hạn đồng thờitôi cũng chỉ đưa ra một số phương pháp tìm giới hạn hàm số nhằm giúp học sinh và quý thầy cô

có thêm tài liệu tham khảo khi dạy và học chương giới hạn

Một vấn đề có tính quyết định đến chất lượng của một giờ dạy là: không phải mình dạycho học sinh những gì mình có mà phải dạy những điều học sinh cần Như vậy những bài tập sẽgiảng cho học sinh phải được tuyển chọn cẩn thận , giúp cho học sinh nắm được kiến thức cơbản, biết vận dụng kiến thức đó để giải các bài toán liên quan Có những ví dụ thầy giảng thật

kĩ đồng thời phải dành những bài tập cho học sinh tự giải ở lớp hoặc ở nhà

Với nội dung của đề tài tôi hi vọng sẽ giúp học sinh tránh được các sai làm khi giải toán

và có thêm hệ thống bài tập để rèn luyện Dạy toán không chỉ truyền thụ kiến thức toán học chohọc sinh, mà điều quan trọng là thông qua đó để hình thành và phát triển tư duy cho học sinh.Nếu làm tốt việc này thì dần dần sẽ tạo cho học sinh có lòng tự tin, tin vào khả năng xoay xởcủa mình trong cuộc sống, từ đó hình thành ý chí tiến công, không ngại khó khăn, gian khổ trênđường đời, luôn tin rằn mình sẽ thành công Trên đây là một vấn đề mà tôi muốn chia sẻ cùngcác em học sinh và quý thấy cô, hi vọng nó góp thêm một hành trang quý báu giúp các em vữngbước trên con đường học tập và đi vào cuộc sống Rất mong nhận được sự giúp đỡ, trao đổi vàgóp ý của đồng nghiệp

Tôi xin chân thành cảm ơn !

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Đại số và giải tích 11 – Nhà xuất bản giáo dục

2. Bài tập đại số và giải tích – Nhà xuất bản giáo dục

3. Sách giáo viên đại số và giải tích – Nhà xuất bản giáo dục

4. Những sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải toán– Trần Phương –

Nguyễn Đức Tấn

5. Sai lầm phổ biến khi giải toán – Nguyễn Vĩnh Cận – Lê Thống Nhất – Phan

Thành Quang