MỘT số PHƯƠNG PHÁP tìm GIÁ TRỊ lớn NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT của hàm số và ỨNG DỤNG

ĐỀ TÀI MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG LỜI CẢM ƠN Trước hết em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy Nguyễn Quốc Tuấn - người đã trực

hướng dẫn đọc toàn văn báo cáo KQNC

những thông tin cần thiết ?

! H∙y đọc qua Mục lục bên tay trái bạn trước khi

đọc báo cáo ( với Acrobat 4.0 trở lên, cho trỏ chuột vào mỗi đề mục để đọc toàn bộ dòng bị che khuất )

! Chọn đề mục muốn đọc và nháy chuột vào đó

trang báo cáo trên màn hình ?

! Chọn, nháy chuột vào 1 trong 3 kích th Chọn, nháy chuột vào 1 trong 3 kích thưưưước ớc

có sẵn trên thanh Menu

, hoặc

! Mở View trên thanh Menu, Mở View trên thanh Menu, Chọn Zoom to Mở View trên thanh Menu, Mở View trên thanh Menu, Chọn Zoom to Chọn Zoom to

! Chọn tỷ lệ có sẵn trong hộp kích th Chọn tỷ lệ có sẵn trong hộp kích thưưưước ớc hoặc tự điền tỷ lệ theo ý muốn,

hoặc tự điền tỷ lệ theo ý muốn hoặc tự điền tỷ lệ theo ý muốn, Nhấn OK , , Nhấn OK Nhấn OK

Chúc bạn hài lòng với những thông tin đ với những thông tin đưưưược cung cấp ợc cung cấp

ĐỀ TÀI

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA

HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG

LỜI CẢM ƠN

Trước hết em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy Nguyễn Quốc Tuấn - người đã trực tiếp trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình để em hoàn thành tốt khóa luận của mình

Em xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Quảng Bình, toàn thể thầy

cô đặc biệt là các thầy cô giáo khoa Khoa Học Tự Nhiên đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ

em trong 4 năm học vừa qua

Em xin chân thành cảm ơn sự động viên giúp đỡ của gia đình và bạn bè đã tạo điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận

Lời cuối em xin chúc sức khỏe tất cả các thầy các cô, chúc thầy cô luôn hoành thành tốt các nhiệm vụ được giao

Quảng Bình, tháng 06 năm 2014

Sinh viên Dương Thị Lan Hương MỤC LỤC A MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 4

2 Mục đích nghiên cứu 5

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 5

4 Phạm vi nghiên cứu 5

5 Đối tượng nghiên cứu 5

6 Phương pháp nghiên cứu 5

7 Cấu trúc của đề tài 5

B NỘI DUNG 7

CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ THUYẾT VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 7

1 Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 7

2 Các tính chất của giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 8

CHƯƠNG II : MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 15

1 Phương pháp dùng đạo hàm 15

2 Phương pháp dùng miền giá trị của hàm số 18

3 Phương pháp đưa về dạng bình phương 21

4 Phương pháp dùng bất đẳng thức Cô -si 23

5 Phương pháp dùng bất đẳng thức Bunhiacopski 26

6 Phương pháp dùng tam thức bậc hai 29

7 Phương pháp dùng vectơ 32

8 Phương pháp dùng lượng giác 36

9 Phương pháp dùng tính đối xứng của biến 39

CHƯƠNG III: ỨNG DỤNG GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH 42

I ỨNG DỤNG GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ THAM SỐ 42

II ỨNG DỤNG GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG CÓ THAM SỐ 46

C KẾT LUẬN 49

D HỆ THỐNG BÀI TẬP THAM KHẢO 50

E TÀI LIỆU THAM KHẢO 53

Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất là một trong những chủ đề quan trọng

và hấp dẫn trong chương trình giảng dạy và học tập môn toán ở trường trung học phổ thông Các bài toán liên quan đến tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số thường xuyên xuất hiện trong các kì thi Tuy nhiên trong chương trình sách giáo khoa có rất ít các bài tập dạng này và do những điều kiện khách quan mà sách giáo khoa không hệ thống lại các phương pháp giải Do đó việc cần thiết là phải cung cấp cho học sinh các phương pháp giải dạng toán: “Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất’’ Khi đó sẽ giúp học sinh lựa chọn được phương pháp thích hợp cho các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ

nhất và từ đó đưa ra các ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải phương trình, bất phương trình

Với những lí do trên, tôi xin hệ thống lại một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá

trị nhỏ nhất thường gặp thông qua việc nghiên cứu đề tài: “ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG”

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Hệ thống hóa một số phương pháp giải dạng toán: “ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Giới thiệu ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải phương trình, bất phương trình

4 Phạm vi nghiên cứu

Các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ở trường Trung học phổ thông

5 Đối tượng nghiên cứu

Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số và ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất giải phương trình, bất phương trình

6 Phương pháp nghiên cứu

Trong quá trình nghiên cứu đề tài, tôi đã sử dụng một số phương pháp sau:

Nghiên cứu lý luận: Đọc sách, phân tích, đối chiếu các tài liệu toán học, lý luận dạy học môn toán, sách giáo khoa

B Nội dung

Chương 1: Cơ sở lí thuyết về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

1 Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

2 Tính chất của giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Chương 2: Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

1 Phương pháp dùng đạo hàm

2 Phương pháp dùng miền giá trị của hàm số

3 Phương pháp đưa về dạng bình phương

4 Phương pháp dùng bất đẳng thức Cô-si

5 Phương pháp dùng bất đẳng thức Bunhiacopski

6 Phương pháp dùng tam thức bậc hai

7 Phương pháp dùng véc tơ

8 Phương pháp dùng lượng giác

9 Phương pháp dùng tính đối xứng của biến

Chương 3: Ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải phương trình, bất phương trình

I Ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải phương trình, bất phương trình có tham số

II Ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải phương trình, bất phương trình không có tham số

C Kết luận

D Hệ thống bài tập tham khảo

E Tài liệu tham khảo

2 Các tính chất của giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bây giờ từ (4), (7) đi đến:  1 2 

max ( ) max max ( ); max ( )

Cho các hàm số f x f x1( ), 2( ), ,f x n( )cùng xác định trên miền D

Đặt f x( ) f x1( ) f x2( )   f x n( ) Nếu tồn tại max ( )

Vì bất đẳng thức (4) đúng với mọi x D nên ta có

max ( ) max ( ) max ( )

x D f x x D f x x D f x

      (5)

Vậy (1) đúng Bây giờ ta xét khả năng có dấu bằng trong (1)

Giả sử tồn tại x0D mà max ( )i i( ),0 1,

x D f x f x i n

Từ (5) và (7) suy ra trong trường hợp này xảy ra dấu bằng trong (1)

Đảo lại, giả sử dấu bằng trong (1) xảy ra, tức là

Vậy tính chất 5a được chứng minh

Chứng minh tương tự min ( ) min 1( ) min 2( ) min n( )

Giả sử ( )f x và ( ) g x là hai hàm số cùng xác định trên miền D

Đặt ( )h x  f x( )g x( ) Nếu tồn tại các giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ( )f x ,

min ( )min ( )

Tính chất này suy ra trực tiếp từ định nghĩa của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm

số, cũng như các tính chất về lũy thừa của một bất đẳng thức

 

max ( ) max max ( ) ; max( ( ))

x D f x x D f x x D f x

     (2) Lấy tùy ý x0D, khi đó xảy ra hai khả năng sau:

1 Nếu f x( )0 0 Khi đó ta có ( )0 ( )0 max ( ) max ( )

Từ (6), (9) và theo định nghĩa giá trị lớn nhất của hàm số, ta có ngay

( )0 max max ( ) ; max( ( )) 

CHƯƠNG II : MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,

1, Nếu f x có tập xác định ( ) Da b; , thì không cần lập bảng biến thiên, chỉ cần:

- Tìm các điểm x1, x2, ,x na b;  sao cho f x'( )0

- Tính ( )f a , ( ) f b , f x( )1 , f x( )2 , , f x( )n

2, Nếu hàm số y f x( ) liên tục và có đạo hàm trên Da b;  Ta có: Hàm f

tăng (giảm) trên ( ; )a b nếu f x'( )0 '

(f x( )0),  x a b;  (Dấu “=” chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc Da b; ) Từ đó suy ra:

Nếu f tăng trên Da b;  thì: min ( ) ( )





    Bảng biến thiên:





 

Dựa vào bảng biến thiên ta được:

Giá trị lớn nhất của y là 1, đạt được khi x0

    suy ra y tăng trên 0 ;

4 

 Định nghĩa miền giá trị của hàm số:

Cho hàm số y f x( ) có miền xác định D Khi đó hàm số có miền giá trị:

f D( )y /y f x( ), xD

 Ta dùng điều kiện tồn tại nghiệm để tìm miền giá trị của hàm số tức là tìm điều kiện để phương trình y0  f x( ) có nghiệm ( với y0 là một giá trị tùy ý của hàm số ( )

y f x trên tập xác định D ) Sau đó, từ điều kiện tìm được biến đổi về một trong các dạng sau:

ax bx c  (a0) có nghiệm khi và chỉ khi  0

33

a

a b b





Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, tìm giá trị lớn nhất của:

3 cos 3(cos cos )

Vậy giá trị lớn nhất của A là 9, đạt được khi x y 1

4 Phương pháp dùng bất đẳng thức Cô -si

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a1a2   a n

 Nếu a a1 2 a n P không đổi thì a1  a2 a n S đạt giá trị nhỏ nhất là

Dấu “=” xảy ra khi 6 2 x12 3 y2x3y hay x0; y2

Vậy maxA6 khi x0; y2

 

Dấu “=” xảy ra khi: a   3 3 a 6

.4

x  y z

LƯU Ý:

không âm Cũng giống như khi sử dụng các bất đẳng thức khác, có khi phải biến đổi một

x x

logx  (3x ) và 2

2 3

 

1, a0 :

 Nếu x0  ,  thì: miny f x( )0 ; maxymaxf( ), ( )  f  

 Nếu x0  ,  thì: maxymaxf( ), ( ) ; f  

minyminf( ), ( )  f  

2, a0 :

 Nếu x0  ,  thì: maxy f x( )0 ; minyminf( ), ( )  f  

 Nếu x0  ,  thì: maxymaxf( ), ( ) ; f  

a  thì xy đạt giá trị nhỏ nhất

3 1.2

 Cho hai vectơ a ( ;a a1 2)



 và b ( ;b b1 2)



 Ta có:

(i) a b  a b Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a b1 2a b2 1 0

(ii) a b  a b Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

1 2 2 1

1 1

2 2

000

 Khoảng cách giữa hai điểm A x( A; y A) và B x( B; y B) là:

 ABBC AC Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi B thuộc đoạn AC

 Các dạng phương trình đường thẳng, đường tròn trong mặt phẳng Oxy

Chú ý: Áp dụng tương tự trong mặt phẳng Oxyz

Dấu “=” xảy ra khi M G

Ví dụ 2: Với mọi ,x y , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Vậy: min PGA2GB2GC2 đạt được khi M G

20225

x y x

8 Phương pháp dùng lượng giác

8.1 Kiến thức cơ bản

Bằng cách đặt ẩn phụ, một số bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm

số có thể đưa về dạng lượng giác để giải quyết sẽ thuận lợi hơn nhờ các công thức và bất đẳng thức quen thuộc Khi sử dụng phương pháp này cần lưu ý:

 Giới hạn cung, góc, điều kiện

 Dựa vào điều kiện, ta có thể đặt ẩn phụ như sau:

Nếu x 1 thì đặt xsint hay xcost

Nếu x a thì đặt xasint hay xacost

1(1 tan ) (1 tan )

x y

x







Giải

Ta có:

2 2

5  u và 1

sin

Do đó: P 5(cos cost usin sin )t u  5 cos(t u ) 5

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: 2 4 5; 10

  Khi đó ta có:

 2cos2  2sin2  2(sincos )

Ta có lại có: sin cos 2 sin 2

4



sincos  1 sin 2  1

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y 1 x 1x

2 cos 6sin cos cos 2 6sin 2 1

1 2sin cos 2sin sin 2 cos 2 2

3 2,

z b

CHƯƠNG III: ỨNG DỤNG GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

I ỨNG DỤNG GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ THAM SỐ

(i) Bất phương trình f x( ) có nghiệm xD khi và chỉ khi M 

(ii) Bất phương trình f x( ) nghiệm đúng với mọi xD khi và chỉ khi m

Mệnh đề 3

(i) Bất phương trình f x( ) có nghiệm xD khi và chỉ khi m

(ii) Bất phương trình f x( ) nghiệm đúng với mọi xD khi và chỉ khi M 

Nói riêng nó nhận giá trị , tức là tồn tại x0D sao cho f x( )0 

Điều đó có nghĩa là phương trình đã cho có nghiệm trên D  đpcm

Đảo lại giả sử max ( )

x D f x 

  (1) Giả thiết phản chứng bất phương trình đã cho vô nghiệm, tức là ( )f x , x D

 Nếu  là một biểu thức độc lập thì ta áp dụng được ngay các mệnh đề trên, với D

là điều kiện của bài toán ( không phải khi nào việc tìm D cùng dễ dàng)

 Nếu tham số đồng bậc, thì ta nhóm các phần tử đồng bậc này với nhau, có dạng ( ) ( ) ( )

4

13( ) 0

13



4

13 

Vậy 4

27

m là giá trị cần tìm thỏa mãn đề bài

Ví dụ 1: Với giá trị nào của m thì 4

mx  x m  với mọi x

Ta có: f t'( )     t 1 0 t 1 Dễ thấy rằng ( )f t nghịch biến trên 1 ; +, do đó

suy ra: max ( ) (3)

1

; 4 2

Ta có: 1

142

f   

9

2 74

f    

  ; f(4) 14 1

; 4 2

1( ) 8

Từ đó ta có x 1 là nghiệm duy nhất của (*)

Ví dụ 3: Giải phương trình sau:

3x 6x 7 5x 10x14  4 2xx

C KẾT LUẬN

Hệ thống các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất cho học sinh là vấn

đề rất cần thiết Đây cũng là dạng toán giúp phát triển tư duy cho học sinh rất tốt Nội dung sách giáo khoa hiện nay chưa có phần hệ thống lại các phương pháp giải dạng toán này Vì vậy, học sinh cần nắm vững phương pháp để giải bài tập tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số và biết ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải phương trình, bất phương trình

Khóa luận có đề cập đến một số bài toán đơn giản, xem như một ví dụ ban đầu để áp dụng từng phương pháp

Các phương pháp và bài toán được đề cập trong khóa luận có chú ý đến tính phổ thông Ngoài ra, còn có một số bài tập tham khảo cho học sinh

Quá trình hệ thống lại các phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất không tránh khỏi thiếu sót Kính mong được sự đóng góp của thầy, cô, bạn bè để khóa luận được hoàn chỉnh hơn

D HỆ THỐNG BÀI TẬP THAM KHẢO

Cho , ,x y z0 và thỏa mãn điều kiện x  y z 1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1 1 1 2

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Bài 15:

sin 14sin cos 5cos 2 33

y x x x x chỉ nhận giá trị dương

E TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Hà Văn Chương, (1999), Tuyển tập 621 Bài toán lượng giác Nhà xuất bản đại

học quốc gia Hà Nội

[2] Lê Hồng Đức - Nhóm Cự Môn, Bài giảng chuyên sâu toán THPT – Giải toán đại

[5] Phan Huy Khải, ( 2012), Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi giá trị lớn nhất, giá

trị nhỏ nhất Nhà xuất bản đại học quốc gia Hà Nội

[6] Phan Văn Phùng, 150 bài giải toán chứng minh bất đẳng thức Tìm giá trị lớn

nhất, nhỏ nhất Nhà xuất bản đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh

[7] Trần Đình Thì, ( 2008), Dùng hình học giải tích để giải phương trình, bất

phương trình hệ phương trình, bất đẳng thức Nhà xuất bản đại học quốc gia Hà Nội

[8] Trần Văn Hạo (tổng chủ biên), (2008), Giải tích 12 Nhà xuất bản Giáo dục.