Một số phương pháp giải bài tập toán cực trị của hàm số và ứng dụng (tt)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG BÌNHKHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊNKHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG Giảng viên hướng dẫn: TS.. Nhiệm vụ nghiên cứu- Nghiên

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG BÌNHKHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CỰC

TRỊ CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG

Giảng viên hướng dẫn: TS Nguyễn Thành Chung

Sinh viên: Nguyễn Thị Hoài ThươngLớp: Đại học sư phạm Toán K56

Quảng Bình - 2018

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan khóa luận này là do chính bản thân tôi thực hiện,dưới sự hướng dẫn khoa học của TS Nguyễn Thành Chung Các kết quảtrong khóa luận này hoàn toàn trung thực

Sinh viênNguyễn Thị Hoài Thương

LỜI CẢM ƠN

Trong suốt thời gian thực hiện khóa luận tốt nghiệp, ngoài sự nỗ lựccủa bản thân, tôi còn nhận được sự giúp đỡ, chỉ bảo tận tình của các thầygiáo, cô giáo trong Khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Quảng Bình.Đặc biệt tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS NguyễnThành Chung Thầy đã dành nhiều thời gian quý báu tận tình hướng dẫntôi trong suốt quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp, đồng thời giúp tôilĩnh hội được những kiến thức chuyên môn và rèn luyện cho tôi tác phongnghiên cứu khoa học

Qua đây, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy giáo, cô giáotrong Khoa Khoa học Tự nhiên, tới gia đình, bạn bè và những người luônsát cánh bên tôi, đã nhiệt tình giúp đỡ, chia sẻ, động viên tôi trong quátrình học tập cũng như thực hiện và hoàn chỉnh khóa luận này

Mặc dù đề tài đã được chuẩn bị và nghiên cứu một cách kĩ lưỡng vềthời gian cũng như nội dung nhưng không khỏi có những thiếu sót Vì vậy,tôi rất mong nhận được sự góp ý của các thầy giáo, cô giáo để khóa luậnđược hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Quảng Bình, tháng 5 năm 2018

Sinh viênNguyễn Thị Hoài Thương

Mục lục

1 CỰC TRỊ CỦA HÀM MỘT BIẾN SỐ VÀ ỨNG DỤNG 6

1.1 Một số kiến thức cơ bản 6

1.1.1 Định nghĩa 6

1.1.2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị 7

1.1.3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị 8

1.2 Bài toán cực trị của hàm một biến số và ứng dụng 9

1.2.1 Bài toán tìm cực trị của hàm một biến số 9

1.2.2 Bài toán cực trị hàm một biến số phụ thuộc tham số 13 1.2.3 Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm một biến số 17

1.2.4 Bài toán cực trị hàm một biến số trong hình học 20

1.3 Bài tập 24

2 CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN SỐ VÀ ỨNG DỤNG 27 2.1 Một số kiến thức cơ bản 27

2.1.1 Định nghĩa 27

2.1.2 Quy tắc tìm cực trị 28

2.1.3 Cực trị có điều kiện 30

2.2 Bài toán cực trị của hàm nhiều biến số và ứng dụng 31

2.2.1 Bài toán cực trị không có điều kiện 31

2.2.2 Bài toán cực trị có điều kiện 34

2.2.3 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số nhiều biến số trong một miền đóng bị chặn 37 2.2.4 Bài toán cực trị hàm nhiều biến số phụ thuộc tham số 41 2.2.5 Bài toán cực trị hàm nhiều biến số trong hình học 44

2.3 Bài tập 47

2 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu những tài liệu, giáo trình liên quan đến cực trị của hàm số

để rút ra phương pháp giải cho một số dạng toán về cực trị của hàm số vàứng dụng

3 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Đọc các giáo trình, tài liệu liên quantới phương pháp giải bài toán cực trị và ứng dụng để phân loại và hệ thốnghóa các kiến thức

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Từ việc nghiên cứu tài liệu, giáotrình rút ra được kinh nghiệm để giải các bài toán cực trị

- Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến giảng viên trực tiếp hướng

dẫn và các giảng viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung cũng như hìnhthức của khóa luận.

4 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Khóa luận này có thể là tài liệu tham khảo cho những sinh viên chuyênngành Toán có mong muốn tìm hiểu về phương pháp giải bài toán cực trịcủa hàm số và ứng dụng Với bản thân tôi, nghiên cứu về phương phápgiải các bài toán cực trị của hàm số và ứng dụng giúp tôi hiểu rõ hơn cáckhái niệm cực trị, các phương pháp giải toán cực trị và ứng dụng

5 Bố cục của khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính củakhóa luận gồm 2 chương

Chương 1: Cực trị của hàm số một biến và ứng dụng

Trong chương này, nhắc lại các kiến thức cơ bản về cực trị , các quytắc tìm cực trị của hàm số một biến nhằm củng cố kiến thức, tạo nền tảng

để tìm cực trị của hàm số một biến Đồng thời chương này cũng đưa ra hệthống, phân loại các dạng bài tập gồm: Bài toán tìm cực trị của hàm mộtbiến số, bài toán cực trị có tham số, bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trịnhỏ nhất; bài toán cực trị trong hình học Việc phân loại các dạng bài tậpgiúp cho việc giải quyết các bài tập một cách thuận lợi hơn và là cơ sở đểgiúp cho việc nghiên cứu hàm nhiều biến ở chương sau

Chương 2: Cực trị của hàm nhiều biến số và ứng dụng

Ở chương này, hệ thống lại một số kiến thức cơ bản về cực trị của hàmnhiều biến số mà cụ thể là hàm hai biến số Đồng thời giải quyết các dạngbài toán sau:

- Bài toán cực trị không điều kiện

- Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm nhiều biến số trong một miềnđóng bị chặn

- Bài toán cực trị có điều kiện

- Bài toán cực trị hàm nhiều biến số phụ thuộc tham số

- Bài toán cực trị hàm nhiều biến số trong hình học

Các dạng bài tập này bám sát kiến thức, các quy tắc được trình bày,giúp người đọc dễ hiểu sâu sắc hơn các kiến thức đã học

số f (x).

ii) x0 được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f (x) nếu tồn tại mộtkhoảng (a, b) chứa điểm x0 sao cho (a, b) ⊂ D và f (x) > f (x0) vớimọi x ∈ (a, b)\{x0} Khi đó f (x0) được gọi là giá trị cực tiểu củahàm số f (x)

iii) Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị Giá trịcực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị

Nếu x0 là một điểm cực trị của hàm số f (x) thì người ta nói rằng hàm

1.1.2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị

Định lí 1.1 Giả sử hàm số f (x) đạt cực trị tại điểm x0 Khi đó, nếu

f (x) có đạo hàm tại điểm x0 thì f0(x0) = 0

Chứng minh

Giả sử hàm số f có cực đại tại x0 ∈ (a; b) Khi đó, tồn tại δ > 0

đủ nhỏ sao cho (x0 − δ; x0 + δ) ⊂ (a; b) và f (x) ≤ f (x0) với mọi

f0(x) > 0 với mọi x 6= 0 nên hàm số đồng biến trên R

2) Hàm số f có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không cóđạo hàm.

Chẳng hạn, hàm số y = f (x) = |x| xác định trên R Vì f (0) = 0

và f0(x) > 0 với mọi x 6= 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0

Dễ thấy hàm số y = |x| không có đạo hàm tại điểm x = 0

3) Như vậy, một hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đóđạo hàm của hàm số bằng 0, hoặc tại điểm đó hàm số không có đạohàm

1.1.3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị

Định lí 1.2 Giả sử hàm số f (x) liên tục trên khoảng (a, b) chứa điểm x0

và có đạo hàm trên các khoảng (a; x0) và (x0; b) Khi đó:

1) Vì hàm số f liên tục trên nửa khoảng (a; x0] và f0(x0) < 0 với mọi

x ∈ (a; x0)nên hàm sốf nghịch biến trên (a; x0] Do đóf (x) ≥ f (x0)với mọi x ∈ (a; x0)

Vì hàm số f liên tục trên nửa khoảng[x0; b) và f0(x0) > 0 với mọi

x ∈ (x0; b) nên hàm số f đồng biến trên [x0; b) Do đó f (x) ≥ f (x0)với mọi x ∈ (x0; b)

Vậy f (x) ≥ f (x0) với mọi x ∈ (a; b)\{x0}, tức là hàm số f đạt cựctiểu tại điểm x0

2) Vì hàm số f liên tục trên nửa khoảng (a; x0] và f0(x0) > 0 với mọi

x ∈ (a; x0) nên hàm số f đồng biến trên (a; x0] Do đó f (x) ≤ f (x0)với mọi x ∈ (a; x0)

Vì hàm số f liên tục trên nửa khoảng[x0; b) và f0(x0) < 0 với mọi

x ∈ (x0; b) nên hàm số f nghịch biến trên [x0; b) Do đóf (x) ≤ f (x0)với mọi x ∈ (x0; b)

Vậy f (x) ≤ f (x0) với mọi x ∈ (a; b)\{x0}, tức là hàm số f đạt cựcđại tại điểm x0

Nhận xét 1.3 Áp dụng định lí trên, ta có quy tắc tìm cực trị của hàm

1) Nếu f00(x0) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại x0

2) Nếu f00(x0) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại x0

Nhận xét 1.4 Áp dụng định lí trên, ta có quy tắc tìm cực trị của hàmsố:

Quy tắc 2:

- Tìm f0(x)

- Tìm các nghiệm xi(i = 1, 2, 3, ) của phương trình f0(x) = 0

- Với mỗi xi tính f00(xi)

Nếu f00(xi) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại xi

Nếu f00(xi) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại xi

dụng

1.2.1 Bài toán tìm cực trị của hàm một biến số

Ví dụ 1.1 Tìm cực trị của hàm đa thức

y = x3 − 3x2 + 2

y0y

Ví dụ 1.2 Tìm cực trị của hàm số hữu tỉ y = x

3

x2 − 1.Giải:

TXĐ: D = R\{1; −1}

Ta có

y0 = x

2(x2 − 3)(x2 − 1)2 = 0 ⇔

−3

√ 3 2

3 √ 3 2

2 .– Hàm số đạt cực tiểu tại x = √

3 và giá trị cực tiểu là y = 3

√3

2 .Nhận xét 1.6 Ở ví dụ trên, ta áp dụng Quy tắc 1 để tìm cực trị, ngoài

ra ta cũng có thể áp dụng Quy tắc 2 để giải bài này

x2 − 8x − 2

3

√

x4(x + 2)3

Ta thấy y0 và y00 không xác định tại x = 0 và x = −2.

Lại có y00(4) < 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = 4 và giá trị cực đại

y(4) =

3

√2

3 .Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 4 và giá trị cực đại là y =

3

√2

3 .Nhận xét 1.7 Khi giải các bài toán tìm cực trị của hàm số vô tỉ, việcvận dụng Quy tắc 1 để tìm các điểm cực trị của hàm số là tương đối phứctạp và có thể dẫn tới bế tắc, do đó ta thường áp dụng Quy tắc 2 để tìmcực trị của hàm số

Ví dụ 1.4 Tìm cực trị của hàm lượng giácy = 2 sin x+cos 2x; x ∈ [0; π].Giải:



= −2 sinπ

2 − 4 cos π = 2 > 0nên hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = π

2 và giá trị cực tiểu là y

π2



= 1.Ngoài ra ta có

y00π6



= 3

2.Chú ý rằng

y00

5π6



= 3

2.

Nhận xét 1.8 Ở ví dụ này, ta áp dụng quy tắc 2 để tìm cực trị của hàm

số Đối với hàm số lượng giác, ta có thể áp dụng Quy tắc 1 hoặc Quy tắc

2 để tìm cực trị của hàm số Với những bài toán không xét được dấu đạohàm cấp 1 của hàm số thì ta áp dụng Quy tắc 2 để tìm cực trị của hàmsố

Ví dụ 1.5 Tìm cực trị của hàm số y = ln x

x .Giải:

−∞

1e

1e

0Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 0 và giá trịcực đại là y = 1

e.Nhận xét 1.9 Để tìm các điểm cực trị của hàm số siêu việt ta cần giảibất phương trình y0 ≥ 0 (hoặc y0 ≤ 0) Điều này dẫn tới chúng ta cần giảicác bất phương trình mũ hoặc logarit Từ nghiệm của bất phương trình

đó ta suy ra điểm cực trị của hàm số siêu việt

1.2.2 Bài toán cực trị hàm một biến số phụ thuộc tham số

Ví dụ 1.6 Xác định m để hàm số y = x3 − 3mx2 + 3(m2 − m)x + 1 cócực đại, cực tiểu

Giải:

TXĐ: D = R.

Ta có

y0 = 3x2 − 6mx + 3(m2 − m)

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi y0 = 0 có 2 nghiệm phân biệt.

⇔ 3x2 − 6mx + 3(m2 − m) = 0 có 2 nghiệm phân biệt

⇔ ∆0 > 0

⇔ 9m2 − 9m2 + 9m > 0 ⇔ m > 0.Vậy m > 0 thì hàm số có cực đại, cực tiểu

Nhận xét 1.10 Điều kiện để hàm đa thức y = ax3+ bx2+ cx + d có cựcđại và cực tiểu là phương trình y0 = 3ax2 + 2bx + c = 0 có hai nghiệmphân biệt, khi đó b2 − 3ac > 0

Ví dụ 1.7 Xác định giá trị của m để hàm số y = f (x) = x3 − 6x2 +3(m + 2)x − m − 6 có cực trị đồng thời giá trị cực đại và cực tiểu cùngdấu

4 < m < 2 thì hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu cùng dấu.

Nhận xét 1.11 Khi giải các bài toán cực trị có tham số của hàm đathức ta cần chú ý: Nếu hàm đa thức y = f (x) đạt cực trị tại x0 và

f (x) = f0(x).g(x) + h(x) thì y0 = f (x0) = h(x0)

Ví dụ 1.8 Cho hàm số y = x

2 + mx + 1

x + m .a) Xác định m để hàm số đạt cực đại tại x = 2

y0 = 0 ⇔ x2 + 2mx + m2 − 1 = 0 ⇔



x = −m − 1

x = −m + 1Bảng biến thiên

x

y0y

• m = −3 thì hàm số đạt cực đại tại x = 2

• m = −1 thì hàm số đạt cực tiểu và yCT = 3

Nhận xét 1.12 Ở bài toán này, ta sử dụng quy tắc 1 để tìm ra các điểmcực đại và cực tiểu của hàm số, sau đó dựa vào yêu cầu bài toán để tìm ragiá trị tham số m

Nhận xét 1.13 Khi giải các bài toán cực trị đối với hàm số hữu tỉ thườngdùng kết quả sau đây

Định lí 1.4 Nếu hàm hữu tỉ y(x) = P (x)

Q(x) đạt cực trị tại x0 thì giá trịcực trị của hàm số này là

Ví dụ 1.9 Xác định a để hàm số: y = −2x + 2 + a√

x2 − 4x + 5 có cựcđại

Nhận xét 1.14 Đối với bài toán cực trị có tham số của hàm số vô tỉ, tathường áp dụng Quy tắc 2 và dựa vào yêu cầu bài toán để tìm ra kết quả.

Ví dụ 1.10 Cho hàm số y = x

2 + 2x + a

x2 − 2x + 2 với a là tham số Chứng minhrằng hàm số luôn có cực đại, cực tiểu khi a thay đổi Tìm quỹ tích cácđiểm cực trị đó

Vậy hàm số luôn có cực đại và cực tiểu

Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình y0 = 0

a) Để tìm GTLN, GTNN của hàm số f xác đinh trên D, ta có thể sửdụng định nghĩa Ngoài ra, để tìm GTLN, GTNN của hàm số f trên[a; b] ⊂ D, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm các điểm x1, x2, , xn ∈ (a, b) mà tại đó hàm số cóđạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.

Bước 2: Tính f (x1), f (x2), , f (xn), f (a), f (b)

Bước 3: So sánh các giá trị tìm được ở bước 2 Số lớn nhất trongcác giá trị đó chính là GTLN của f trên đoạn [a, b]; số nhỏ nhấttrong các giá trị đó chính là GTNN của f trên đoạn [a, b].b) Quy ước: Khi nói đến GTLN, GTNN của hàm số f mà không chỉ rõGTLN, GTNN của f trên tập nào thì ta hiểu là GTLN, GTNN trêntập xác định của f

Ví dụ 1.11 [ĐH khối D - 2011] Tìm GTLN, GTNN của hàm số

y = 2x

2 + 3x + 3

x + 1 trên đoạn [0; 2].Giải:

y(0) = 3, y(2) = 17

3 .Suy ra

min

x∈[0;2]y = 3, max

x∈[0;2]y = 17

3 .Nhận xét 1.16

a) f đồng biến trên [a; b] ⇔

x∈[a;b]f (x) = f (b) .b) f nghịch biến trên [a; b] ⇔

y0 = 0 ⇔ p4 − x2−x = 0 ⇔ p4 − x2 = x ⇔



x ≥ 0

4 − x2 = x2 ⇔ x = √2.Vậy

min y = min{y(−2), y(2), y(√

2)} = min{−2, 2, 2√

2} = −2tại x = −2

max y = max{y(−2), y(2), y(√

2)} = max{−2, 2, 2√

2} = 2√

2tại x = √

2

Ví dụ 1.13 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = cos3x − 6 cos2x + 9 cos x + 5

min y = −11 tại x = π + k2π, k ∈ Z.

max y = 9 tại x = k2π, k ∈Z.

Nhận xét 1.17 Ở ví dụ này, ta đưa bài toán về dạng tìm giá trị lớn nhất

và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn và áp dụng các bước tìmGTLN, GTNN để giải bài toán

1.2.4 Bài toán cực trị hàm một biến số trong hình học

Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một đại lượnghình học biến thiên f (độ dài đoạn thẳng, diện tích đa giác, thể tích khối

đa diện, ) yêu cầu phải tìm được các giá trị f1, f2 cố định luôn luôn thỏamãn bất đẳng thức f1 ≤ f ≤ f2, đồng thời chỉ rõ vị trị hình học của đạilượng biến thiên đang xét, để tại đó f đạt giá trị lớn nhất f2 hoặc nhỏnhất f1

Phương pháp giải toán: Tính đại lượng f đang xét theo chỉ mộtđại lượng thay đổi x, tìm miềm xác định của x và khảo sát cực trị củahàm f nhận được trong miền đó

Ví dụ 1.14 Cho đường thẳng d có phương trình x − 1

y − 2

z − 31

và các điểm A(0; 1; −2); B(2; −1; 2) Hãy tìm tọa độ điểm M trên d saocho M A2 − 2M B2 đạt giá trị lớn nhất

Xét hàm số

f (t) = −6t2 − 8t + 5, t ∈R.Đạo hàm của hàm số f (t) là

f0(t) = −12t − 8, f0(t) = 0 ⇔ t = −2

3 .Bảng biến thiên:

233

−∞

Từ bảng biến thiên ta thấy f (t) đạt giá trị lớn nhất khi t = 2

3.Hay M A2 − 2M B2 có giá trị lớn nhất tại M (1

Ví dụ 1.15 Hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a Đoạn

C0

Mặt phẳng (ADB’) chứa AD k BC và B0C0 = (SBC) ∩ (ADB0) nên

Áp dụng định lý cosin cho 4SAB0 ta có

AB02 = SA2 + SB02− 2.SA.SB0cosASB\0

2 .Suy ra

Vậy giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của y là các giá trị lớn nhất và nhỏ nhấtcủa hàm số y(x) = 5x

3.1a23.1a2

4a24a2

Ví dụ 1.16 Một hộp không nắp được làm từ một mảnh cacton Hộp cóđáy hình vuông cạnh x (cm), đường cao là h (cm) và thể tích là 500 (cm3).GọiS(x)là diện tích của mảnh cactông Tìmx (cm)sao choS(x)nhỏ nhất.Giải:

g(x) = x2 + 4x + 4 − m2.

Hàm số (1) có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi y0 = 0có hai nghiệm phânbiêt khác -2.

Giải hệ

(

∆0g(x) > 0

g(−2) 6= 0 tìm ra m.

Gọi A, B là các điểm cực trị, tìm tọa độ A, B theo tham số m

Vì 4AOB vuông tại O nên −→

OA.−→

OB = 0, giải và tìm m.Kết luận giá trị tham số m theo yêu cầu bài toán

Bài tập 1.6 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

y = sin3x − cos 2x + sin x + 2

Bài tập 1.7 Chứng minh rằng: Hàm số f (x) = x4+ mx3+ mx2+ mx + 1không thể đồng thời có cực đại và cực tiểu với ∀m ∈ R.

Hướng dẫn

Ta chứng minh f0(x) = 0 có 1 nghiệm duy nhất

Bài tập 1.8 Cho parabol (P) : y = x2 và điểm A(−3; 0) Xác định điểm

M thuộc parabol (P) sao cho khoảng cách AM là ngắn nhất và tìm khoảngcách ngắn nhất đó

Hướng dẫn

Vì M ∈ (P ) nên M (x0; x20)

Gọi f là độ dài AM, ta lập hàm f theo biến x0 Khảo sát cực trị củahàm f (x0) và rút ra kết luận