biên soạn các phương pháp tìm giá trị lớn nhất và thỏ nhất của hàm số và ứng dụng-Giảng dạy môn toán trong các trường TIIPT và cao đẳng sư phạm Tỉnh Son la 2,Cơ quan chủ trị: Sở Giáo d
Trang 1UY BAN NHAN TINH SON LA
SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
BAO CAO TOM TAT
KẾT QUA DE TAI NGHIEN CUU KHOA HOC
NGHIEN CUU BIEN SOAN CÁC PHƯƠNG PHÁP TIM GIA TRI LON NHAT VA NHO NHAT CUA HAM SO
VA UNG DUNG - - GIẢNG DẠY MÔN TOÁN TRONG CÁC TRƯỜNG
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VÀ CAO ĐẲNG SƯ PHẠM TỈNH SƠN LA
<Mã số KX 01.2001>
Chủ nhiệm đề tài : Thạc sĩ - Nguyễn Thị Thu Huyền
Cơ quan chủ trì : Sở Giáo dục - Đào tạo Sơn La
Sơn La - Tháng 7 / 2002
Trang 2
KET QUÁ NGHIÊN CỨU ĐỀ FAI KHOA HOC
[Tên đề tài:
- Nghiên cứu biên soạn các phương pháp tìm giá trị lớn nhất
và thỏ nhất của hàm số và ứng dụng-Giảng dạy môn toán trong các trường TIIPT và cao đẳng sư phạm Tỉnh Son la
2,Cơ quan chủ trị: Sở Giáo dục và Đào lạo
3, Co quan quận tý: Sở khoa học công nghệ và môi trường
4,Thoi gian nghiên cứu :Bất đầu tháng 1/2001 kết thúc 7/2002
+Nguyễn Ngọc Hà cử nhân toán học trường Năng khiếu
+Nguyễn Thanh Tùng cử nhân toán học trường Năng khiếu
6,Mục tiêu đề tài:
Nghiên cứu và biệt soạn tài liệu : "Các phương phấp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất có hầm số và ứng dụng”, nhằm cung cấp cho giáo viên và học si có tài ndệu để rực chọn được cách giải dễ hiểu _, ngắn gọn, chíth xác đối với các bài toán ứng dụng có liên quan
- Rèn luyện tư đ¿y sô gíc toán học cho học sinh
- Nâng cao chất lượng giảng dạy và học tập môn toán cho giáo viên
và học sinh
Trang 37-Nôi dụng và tiến độ :
-Tổ chức nghiên cứu và biên soạn :„
+Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất bao gồm:
+ứng dụng của bài toán tìm giá í; lớa nhất và nhỏ nhất
- Tổ chức hội thảo khoa học „giảng dạy thực :ghiệm ,tổ chức
° righiệm thu tổng kết
8-Phương pháp nghiên cứu :
-Nghiên cứu sưu tập ,dịch tài liệu tổng hợp hệ thống hoá tài liệu,biên soạn ,giảng dạy thực nghiệm
-Hội thảo khoa học
-Sử dụng ý kiến và hợp tác với chuyên gia toán học trong nước và cộng tác viên là: giáo viên môn toán các trường THPT Tô hiệu, trường Năng khiếu và trường CĐSP Son la ˆ
B-QUA TRINH TRIEN KHAI ĐỀ TÀI
I-Tiến độ:
-Từ tháng ! đến tháng 3/2001 được sự ủng hộ đồng tình của cơ quan chủ trì là Sở GD và ĐT ,đề tài được hội đồng khoa học tỉnh phê duyệt, Sở KHCN và MT đã ra quyết định triển khai đề tài
-Tháng 4-5/2001 chủ nhiệm đề tài và nhón: phối hợp đã sưu tập,biên dịch hệ thống hoá tài liệu với số lượng tài liệu dịch trên [00 trang
và Hơn 40 cuốn tài ,tệu toán cớ 1›ân quan đến nội dung đề tài -Từ tháng 6 đến ::.‹árp 0/206 với sự 5 :#c của cá nhân và cán bộ phối hợp,nhóm tác giả đã aoàn thàt.a biên, soạn để cương chỉ tiết của tập tài liệu và được s+; đồng ý của sở KHCN và MT đã tổ chức hội thảo khoa học để thống nhất để cương trên
-Từ tháng I1/2001 đến tháng 1/2002 nhóm tác giả đã hoàn thành bản thảo lần một , tổ chức hội thảo khoa học lần hai để thông qua bản thảo lần một Hội thảo đã được các thành viên tham gia ý kiến
bổ sung về nội đung cần chỉnh sửa để trình hội đồng khoa học trước
khi tổ chức giảng dạy thực nghiệm
Trang 4
- Được sự đồng ý của sở KHCN và MT ,Sở GD và ĐT từ tháng 2 đến tháng 4/2002 ban chủ nhiệm để tà: đã tiến hành tổ chức giảng dạy thực nghiệm ở trường THPT Tô hiệu ,trường Năng khiếu
tỉnh,trường cao đẳng sư phạm Sơn la Trong quá trình giảng dạy đã tiến hành đánh giá kết quả của học sinh bằng phiếu trắc nghiệm ,kết
quả như sau:
-Nâng cao rèn luyện tư duy ,lôgíc toán học cho học sinh 99,1 % trả lời có
-Giúp học sinh lựa chọn cách giải tốt nhất 98,7 % trả lời có
-Nang cao chất lượng dạy và học 100 % trả lời có
Đi đôi với việc đánh giá bằng phiếu trắc nghiệm đối với học sinh ,tại ' các trường cũng tổ chức các cuộc hội thảo khoa học trao đối chuyên môn giữa nhóm đề tài và dội ngũ cộng tác viên là giáo viên đứng lớp
để rút kinh nghiệm và bổ sung bản tài liệu khoa học
-Sau khi giảng dạy tại các trường ,chủ nhiệm ‹đề tài đã chỉnh sửa bản thảo và đã được hội đồng Koa học ngành ,Tỉnh cho phép tổ chức hội thảo khoa học sau giảng say thực nghiệm „nhằm tổ chức đánh giá những ru điểm: và änữtg sô” Jung cần bổ sung đối với kết quả đề tài Qua hộ: tháo ẩn thắc ¿ „ề tš: ¿§ được cán bộ lãnh đạo các phòng ban ˆ, các cán bộ suấn ,ý và độ: ‘nga giáo viên đánh giá bản thảo có chất lượng cao về chuyêt môn, giáo viên và học sinh phấn khởi khi có tài liệu đã được ¡gEiên cứu một cách hệ thống phù hợp ˆ với trình độ học sinh và bản thảo là t2; :iệu đảm bảo tính Khoa học , tính sư phạm , nó đã góp phần tích cực cho việc nâng cao chất lượng đạy và học đối với giáo viên và học sinh , hội thảo khẳng định tập bản thảo là những hệ thống kiến thức ngấn gọn , chính xác đễ hiểu giúp cho học sinh lựa chọn được cách giải thích hợp nhất đối với các bài toán liên quan
-Sau khi hội thảo khoa học lần cuối chủ nhiệm đề tài đã chính sửa
văn bản,xây dựng báo cáo tổng kết đề tài tổ chức nghiệm thu vào
tháng 7/2002
2-Kết quả nghiên cứu :
Đề tài đã biên soạn tập bắt: thảo đãi 109 trang 26m 3 chương (có
bản thảo kèm theo ) ,ba chương đã được tóm tắt như sau:
Trang 5Cho hầm số f(x) xác định trên miền D,
aSố M_ gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên D, , (ki hiéu là M= maxf($&x) ) nếu như đồng thời thoả mãn hai điều kiện sau đây :
1 f(*%) <M VxeD,
2 Tồn tại xạ c Dr, sao chơM =f(xạ)
b Số m gọi là giá trị bé nhất của hầm số f(x) trên D;, (kí hiệu là m= min f(x).) nếu như đồng thời thoả mãn hai điều kiện sau đây :
Hàm số f(x) xác đỉnh và liên tục trên [a, b] thì tồn tại giá trị lớn nhất
và nhỏ nhất của f(x) trên đoạn ấy
Giả sử f(x) x4c dinh tren D, vi A cB ; A,B là 2 tập con của D;
Giả thiết tồn tại :
max f(x) , max f(x) , mimmf(x), min ͌)
xEeA xeB xéeA xeB Khi đó ta có :
Trang 6-5 - max f(x) < max f(x) © (1) xeA xeB
min f(x) > min f(x) (2) xeA xeB
4.Dinh lý 4:
Gia str f(x) , g (x) 1a hai hàm số cùng xác định trên miền xác định D, tồn tại
max f(x) , max g(x) va thod man diéu kiện f(x) > gŒ) Vx e Dự Khi đó ta có :
- max f(x) = max g(x)
xeD, xeDb,-
3.Đinh lý 5 : (nguyên iý'phân rã)
Giả sử f(x) xác định trên m¡ền xác định D, và D, có thể biểu diễn dưới đạng sau ;
Dị =:Ð, C2 D¿ (C2 Q2 2,
Giả thiết tổn tại: max f(x) va min f(x) với moi i= i,n (*)
xeD, ' xeED, Khi đó ta có:
max Í(x) = max { max Í(x), max f(x), «,, max f(x) } (1)
xeD,
Trang 7-6 -
và giả thiết là @ (y) , W (y) xdc dinh trên toàn D, ngoài ra tồn tại
maxo(y) , min W (y)
Khi đó ta có :
max Í(x,y) = max0(y) = max {max f(x,y) } ad)
D, x D, yeD, yeD, xeD, '
min f(x,y) = min ‘Y (y) = min {min £(x,y) } @)
Với giả thiết tôn tại :
max f(x) , min f(x) , max f,(x) , min f,(x) i=I,n
xe D xeD xeD xeD
Dấu bằng trong (1) xẩy ra khi và ¿hỉ khi tổn tại xẹeD, Vi=l,n
Trang 8Giả sử f(x) là hàm số xác định trên D, khi đó ta có :
max | f(x)! = max {Imax f(x) |, | min f(x)! } (1)
10.Dinh ly 10
Xét hàm số f(x) trên miền xác định D, Giả sử tồn tại
Trang 10-9 -
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT
VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
§ 1 PHUONG PHAP BAT BANG THUC
LNOI DUNG PHUONG PHAP
Phương pháp bất đẳng thức dựa trực tiếp vào định nghĩa giá trị lớn
nhất và nhỏ nhất của một bầàm số
-Cho hàm số f(x) xác định trên miễn D Ta nói rằng M là giá trị lớn
nhất của f(x) trên Ð, nếu như đồng thời thoả mãn hai điều kiện sau đây :
Nhu vậy khi sử dụng phương pháp bất đẳng thức để tìm giá trị lớn
nhất hoặc bé nhất của một hàm số f{x) trên một miền D nào đó, ta tiến
hành theo hai bước,
-Chứng minh một bất đẳng thức
~Tìm một điểm thuộc miền D sao cho ứng với giá trị ấy , bất
đẳng thức vừa tìm được trở thành đẳng thức Nếu sử dụng các bất đẳng thức cơ bản như Cô si, Bunhiacopski, Trebusep thì các điểm như vậy thường được tìm thấy nhờ các phần hai trong cách phát biểu các bất đẳng thức ấy Còn trong trường hợp chung để phát hiện ra dấu đẳng thức cần
có một nhận xét thích hợp
Trang 11Nếua,, a;, , a„, và b,, b;, , b„ là 2n số tuỳ ý, ta có :
® (a)? +a," + 4a,’)(b?? + bạ? + + b,2) > (ayb, + .+ a,b,)? (2)
@®_ Dấu bằng trong (2) xẩy ra khi a = m= we ¬ (với qui ước
rằng trong phân số nếu b, = 0 thì a, = 0 )
3.Bất đẳng thức Trebusep
Néua,2a,> 2a, va b,<b,< <b, tacó:
® (a;ta, + +-.a,) (b+ b, + ,+b,) = n(ajb, + + a,b,) @)
@ Dau bang trong (3) xẩy ra kh: và chỉ khi hoac-a, = ay= = a„
Tương tự :
Nếu ai > a; > >a, và bị > bạ > >b,
ai Š a¿ Š Sa, va b, <S bạ < <S by, Thìtacó nm › hoặc
(a, + .+a,) (b, + +b,) < nab, + + a,b,)
1 VLDU MINH HOA
Trang 12-11-
Giải,
Néu D=D, UD, thi theo dinh ly 5 nguyén ly phan rd ta cé:
max f(x) = max { max f(x) , mae f(x) }
min f(x) =min { min f(x), min f(x) }
Ở đây ta phân miền D ra làm hai tập D, , D„ như sau :
D,=[Œ,y):x 20,y20 4<x+y<6}
Khi đó đễ thấy : D=D, UD,
Nếu (x,y) < D, thì 4 - x - y <0 và do y > 0 nên f(x, y ) < 0 Mặt khác (2,2) œ Dạ và f(2,2) =0 vì vậy theo định nghĩa 1 ta có :
max f(x, y) =0 (x, yyeD,
max f(x,y) = max{ max f(x,y) , max f(x,y)} =max {0; 4} =4
(xy) D (x,y)<D, (xy) eD,
Trang 13-12-
Bây giờ ta tinh giá trị bé nhất Theo định lý 2 ta có :
min f(x,y) = -z⁄4x (-Í(x,y)) “ (2)
(x,y) € D (x,y)-E€ D
- f(x, y) = x?y(x + y - 4)
Bay gid ta phan mién D ra lam hai tap D, , D, nhu sau:
D,={ (x, y):x 20, y20 , X†+y<4}]
Dox+y <6 nên suy ra - f(x,y)<64 V (x,y) € D, Mat khac
-4,2) =64_ nên suy ra:
max ( -Í(x,y)) = 64
(xy) € D,
Theo định lý 2 nêu trên ta được :
min {(x,y) = - max (- {(x,y)) = - max (0; 64] = - 64
(x,y) € D (xy) eD
CG
Trang 14-13-
§ 2 PHƯƠNG PHÁP MIỂM GIÁ TRỊ HÀM SỐ
ILNỘI DỤNG PHƯƠNG PHAP
Việc xác định giá trị lớu nhất, ah3 nhất của hàm số y = f(x), x e'D bằng phương pháp miết, g:á trị ta tiến hành như sau :
Gọi yọ là một giá trị tuỳ ý của ham số thuộc miền giá trị của hàm số Điều đó có nghĩa là hệ phương trình sau đây (Ẩn x) có ñghiệm
{ f~)= yo (1)
xeD (2)
Tuy dang cia hé (1) , (2) mà ta có các điều kiện có nghiệm thích
“ hợp: Điều kiện ấy (sau khi biến đổi và rút gọn) thường sẽ được đưa về đạng : :
ivi DU MINH HOA
max | F(x)l = max {I max F(x) I, min E@) Ì }
Gọi yạ là giá trị tuỳ ý của hầm số :
- 2x7 +x - 1
y=
x -x +17
Trang 15-14- Khi đó ta có phương trình sau (ấp x) có nghiệm :
1.Nếu yạ =2 thì yạ + 1z 0, do vậy (2) có nghiệm
2.Nếu yạ # 2 thì (2) có nghiệm khi :
‘A= (Yot 17% - 400+ D (yo-2) 2 0
> (yo + 1) C3y9 + 9) 20 ~
<> -1< yoS 3 VA yy # 2
Kết hợp lại ta thấy (2) có nghiệm kh: và chỉ khi - Ï < yạ <3 Vì thế
như các lập luận trên ta có : :
max y = 3 tai x=2 'và miny =-1 taix=0
Theo định ly 9 suy ra:
maxf(x) = max {| max yl, | min y/ J= max (131,1- 1) J=3 tại x =2
Ta có f(x)>0 VxeR ,mặt khác f(-l) =0
Vậy
min f(x) =0
xeR
Trang 16-15-
§ 3 PHUONG PHAP CHIEU BIEN THIEN HAM SO
1.Noi dung phượng pháp
Phương pháp chiều biến thiên của hàm số để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hầm số xét trên miên D, được tiến hành như sau :
Bằng cách sử dụng các kiến thức về đạo hàiw ta lập bảng biến thiên
của hầm số trên miền D đã cho :
Dựa vào bằng biến thiên và so sánh các giá trị đặc biệt (các giá trị
đó thường là cực đại, cực tiểu của hàm số, các đầu mút của những đoạn đặc biệt nằm trong miền xác định của hàm số .) để tìm ra đáp số cho bài
toán
„ Khi sử dụng phương pháp này cần đặc biệt lưu ý điều sau đây : nếu trong quá trình giải ta đùng phép đổi biến (để cho bài toán đơn giản hơn) thì trong bài toán mới tương đương ta rhải xác định lại miên xác định của biến mới mà trên đó ta sẽ tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số theo biến mới đã được đơn giản hoá
2.Vi du minh hoa
Trang 17Ie = R,+Ry -34Ry 15+4Ry *
Công suất dòng điện trên dién tro Ry :
Công suất của đồng dién trén R, ting từ 0 đến 5,4 W khi Ry„ tang
từ đến 3/75 O, giảm từ 5,4 W dén 4,3 wkhi Ry tang tir 3,75 Q
đến 10 O
Vậy giá trị cực đại của công suất là : 5,4 W
Trang 18-17-
ue
§ 4 PHUONG PHAP ĐỒ THỊ VÀ HÌNH HỌC
I.NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP
Để giải bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất bằng phương pháp
đồ thị và hình học, người ta thường sử dụng các tính chất về hình học
bằng một phép biến đổi nào đó có thể qui về các sự kiện hình học thì ta
nên dùng phương pháp đồ thị và hình học để giải chúng Phép giải này
nói chung đơn giản hơn so với các phương pháp khác Lẽ dĩ nhiên phương pháp này chỉ thích hợp cho các bài toán , mà trong nội dung của nó đã
tiểm ẩn những yếu tố hình học, mà thoạt tiên ta chưa tìm ra nó
ILKIEN THUG BỔ TRỢ
1.Trong tất cả các đường gấp khúc nối hai điểm A, B cho trước thì đoạn thẳng nối AB là đoạn có độ dài bé nhất
2.Trong một tam giác , tổng hai cạnh lớn hơn cạnh thứ ba
3.Cho điểm M ở ngoài một đường thẳng d cho trước khi đó độ dài đường vuông góc kẻ từ M xuống d ngắn hơn mọi đường xiên kẻ từ M | xuống cùng đường thẳng ấy
4 Trong các tam giác cùng nội tiếp một đường tròn, thì tam giác
đều có chu vi và diện tích lớn nhất
5.Phương trình đường tròn có tâm tại điểm O,(a, b) và bán kính R fa:
(x-ay? + (y-b) = RỶ (1)
(x, y)
xv