số λ là được gọi là giá trị riêng của A nếu tồn tại vectơ X≠0 sao cho AX= λX.. Lúc này A gọi là vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng λ.. - Số thực λ được gọi là giá trị riêng của A n
Trang 1Chương 5: TRỊ RIÊNG - VECTƠ RIÊNG
1 Trị riêng của phép biến đổi tuyến tính:
Cho f là phép biến đổi tuyến tính trong n
R Số thực λ được gọi là giá trị riêng của f nếu có vectơ x≠0 , x∈ n
R sao cho f(x)= λx (1) Vectơ x thoả mãn (1) được gọi là vecto riêng của f ứng với trị riêng λ
2 Trị riêng của ma trận :
Cho A là ma trận vuông cấp n số λ là được gọi là giá trị riêng của A nếu tồn
tại vectơ X≠0 sao cho AX= λX
Lúc này A gọi là vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng λ
Định lí 1: Cho A là ma trận vuông cấp n.
- Số thực λ được gọi là giá trị riêng của A nếu thỏa mãn phương trình:
det (A-λI)=0 (3)
- Vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng λ là nghiệm của
hệ phương trình thuần nhất:
(A-λI)X=0 (4) + Phương trình (3) gọi là phương trình đặc trưng của ma trận A
+Vế trái của A gọi là đa thức đặc trưng của A
Định lí 2:Các vectơ riêng của A ứng với các giá trị riêng khác nhau của A thì độc lập
tuyến tính
Định lí 3: Nếu A là ma trận tam giác cấp n, thì giá trị riêng của A là các phần tử trên
đường chéo chính
Trang 23 Chéo hóa ma trận vuông cấp n:
-Định nghĩa 2:( ma trận đồng dạng)
Hai ma trận vuông cấp n A,B được gọi đồng dạng nếu tồn tại ma trận vuông P cấp n
(det P ≠0) sao cho:
B=P−1AP
Khi đó ta kí hiệu A: B
Định lí 4: Các ma trận đồng dạng có các trị riêng giống nhau.
Định li 5:Ma trận vuông A cấp n đồng dạng với ma trận chéo nếu và chỉ nếu A có n
vectơ riêng độc lập tuyến tính
Trong trường hợp này nếu đặt P= X X1 2 X n
Thì P−1AP=
1 2
λ λ
λ
Trong đó λ1, λ2, , λn là các giá trị riêng của A (không nhất thiết phải khác biệt) tương ứng với các vecto riêng X1, X 2, , X n
Định nghĩa 3: Ma trận vuông cấp n đồng dạng với ma trận chéo được gọi là ma trận có
thể chéo hóa
Định li 6: Nếu ma trận vuông cấp n có n trị riêng khác biệt thì có thể chéo hóa được
Trang 3Các bước thực hiện việc chéo hóa ma trận vuông cấp n:
Bước 1: Giải phương trình đặc trưng det (A-λI)=0 tìm các giá trị riêng λ1,λ2, , λn
Bước 2: Tìm n vectơ riêng độc lập tuyến tính X1, X 2, , X n của A tương ứng với các trị riêngλ1, λ2, , λn Nếu không tồn tại n vectơ riêng độc lập tuyến tính thì A không thể chéo hóa được
Bước 3: Lập ma trận vuông P= X X1 2 X n
Bước 4: Ma trận chéo D=P−1AP có các trị riêng λ1, λ2, , λn trên đường chéo chính Thứ tự của các vectơ riêng trong ma trận P xác định thứ tự của các trị riêng trên đường chéo chính của D
4 Chéo hóa ma trận đối xứng bằng ma trận trực giao:
a Ma trận đối xứng: Ma trận vuông A gọi là đối xứng nếu A=AT(có các phần tử giống nhau đối xứng nhau qua đường chéo chính)
b Ma trận trực giao: Ma trận vuông A gọi là trực giao nếu A không suy biến và AT=
1
A−
Tính chất của ma trận trực giao:
- A = ±1
-Tổng bình phương của các phần tử trên mỗi dòng (cột)bằng 1
-Tổng các tích của các phần tử trên một dòng (cột) nhân với các phần tử tương ứng trên
một dòng(cột) khác băng 0, tức là:
ij 1
0
k
kj
i a a
=
=
∑ i,k =1,2, ,n, i≠k
Định lí :Với mỗi ma trận đối xứng A luôn tồn tại ma trận trực giao sao cho P−1AP là
ma trận chéo