Khi m thay đổi, hãy chứng minh điểm I luôn thuộc đờng thẳng cố định.. Trong hình vuông đo lấy điểm K sao cho tam giác ABK đều.. Các đờng thẳng BK và AD cắt nhau ở P.. Chứng minh CHDP là
Trang 1Bộ giáo dục đào tạo cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam
Tr
ờng đại học s phạm hà nội Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc
Đề chính thức
đề thi tuyển sinh Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2010
Môn thi: Toán học
(Dùng cho mọi thí sinh thi vào trờng chuyên)
Thời gian làm bài :120 phút
Câu 1: Cho biểu thức
− +
+ +
−
− +
−
−
−
+
+
−
−
=
36 12
3
78 29
: 6 6
4 ) 1 4 ( 1
1 2
3
2
2 6
7
3 2
4 4
x x
x x
x x x
x x x x
x x
A
1 Rút gọn biểu thức A
2 Tìm tất các giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên
Câu 2:
Cho hai đờng thẳng
(d1 ): y = (2m2 + 1 )x + 2m – 1
(d2): y = m2x + m - 2 Với m là tham số
1 Tìm toạ độ giao điểm I của d1 và d2 theo m
2 Khi m thay đổi, hãy chứng minh điểm I luôn thuộc đờng thẳng cố định
Câu 3 :Giả sử cho bộ ba số thực (x;y;z) thoả mãn hệ
= +
− +
+
= +
) 2 ( 0 10 7
) 1 ( 1
2 z z
xy
z y x
1 Chứng minh x2 + y2 = -z2 + 12z – 19
2 Tìm tất cả bộ số x,y,z sao cho x2 + y2 = 17
Câu 4 :
Cho hình vuông ABCD có độ dài bằng cạnh a Trong hình vuông đo lấy điểm K sao cho tam giác ABK đều Các đờng thẳng BK và AD cắt nhau ở P
1 Tính độ dài KC theo a
2 Trên AD lấy I sao cho 3
3
a
DI = CI cắt BP ở H
Chứng minh CHDP là nội tiếp
3 Gọi M và L lần lợt là trung điểm CP và KD Chứng minh LM =
2
a
Câu 5: Giải phơng trình : (x2 -5x + 1)(x2 - 4) = 6(x-1)2
-Hết -Ghi chú : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh số báo danh
Bộ giáo dục đào tạo cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam
Tr
ờng đại học s phạm hà nội Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc
Đề chính thức
đề thi tuyển sinh Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2010
Môn thi: Toán học
(Dùng cho mọi thí sinh thi vào chuyên Toán và chuyên Tin)
Thời gian làm bài :150 phút
Câu 1:
Trang 21.Giả sử a và b là hai số dơng khác nhau và thoả mãn
2
2 1
b
a− = − − −
Chứng minh rằng a2 +b2 =1
2.Chứng minh rằng số 2009 2 + 2009 2 2010 2 + 2010 2 là số nguyên dơng
Câu 2:
Giải sử 4 số thực a , b, c, c, d đôi 1 khác nhau và thoả mãn hai điều kiện sau
i) Phơng trình x2 −2cx−5d =0 có 2 nghiêm a và b
ii) Phơng trình x2 −2ax−5b=0 có 2 nghiêm c và d
Chứng minh rằng
1 a-c=c-b=d-a
2 a+b+c+d=30
Câu 3 Giả sử m và n là những số nguyên dơng với n>1 Đặt S =m2n2 −4m+4n
Chứng minh rằng:
1.Nếu m>n thì (mn2 −2)2 <n2S <m2n4
2.Nếu S là số chính phơng thì m=n
Câu 4 Cho tam gíac ABC với AB>AC ,AB >BC.Trên cạnh AB của tam giác lấy
các điểm M và N sao cho BC=BM và AC=AN
1.Chứng minh điểm N thuộc đoạn thẳng BM
2.Qua M và N ta kẻ đờng thẳng MP song song với BC và NQ song song với CA (P∈CA;Q∈CB).Chứng minh CP=CQ
3.Cho góc ACB=900 , góc CAB=300 và AB= a
Tính diện tích tam giác MCN theo a
Câu 5 Trên bảng đen viết ba số
2
1
; 2
;
2 Ta bắt đầu thực hiện trò chơi nh sau : Mỗi lần chơi ta xoá hai số nào đó trong ba số trên bảng ,giả sử là a và b rồi viết vào 2 vị trí vừa xoá hai số mới
2
b
a+ và
2
b
a− đồng thời giữ nguyên số còn lại .Nh vậy sau mỗi lần chơi trên bảng luôn có ba số Chứng minh rằng dù ta có chơi bao nhiêu lần đi chăng nữa thì trên bảng không đồng thời có ba số ; 2 ; 1 2
2 2
1
+
-Hết -Giải đề thi tuyển sinh Đại học s phạm hà nội
Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2010
Môn thi: Toán học
(Dùng cho mọi thí sinh thi vào trờng chuyên)
Câu 1:
− +
+ +
−
− +
−
−
−
+
+
−
−
=
36 12
3
78 29
: 6 6
4 ) 1 4 ( 1
1 2
3
2
2 6
7
3 2
4 4
x x
x x
x x x
x x x x
x x A
1 Rút gọn biểu thức A
2 Tìm tất các giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên
H
ớng dẫn
1 ĐKXĐ : x≠-26;x≠-6;x≠-3;x≠1;x≠2;
Trang 3) 3 ( 2
) 2 ( 3 ) 26 )(
3 (
) 6 )(
2 ( 3 ) 6 ( 2
26 )
26 )(
3 (
) 6 )(
2 ( 3 ) 6 ( 2
8 2 18 3
) 26 )(
3 (
) 6 )(
2 ( 3 ) 6 ( 2
8 2 18 3 ) 26 )(
3 (
) 6 )(
2 ( 3 6
4 2
3
) 6 )(
2 ( 3
) 26 )(
3 ( : ) 1 )(
6 (
) 1 )(
4 ( 1
1 2
3
) 12 6 2 ( 3
78 26 3 :
) 6 ( ) 6 (
4 4
1
1 2
3
6
2 2
6
2
2 6
2 3 2
4 4 6
+
−
= + +
+
− +
+
= + +
+
− +
+
− +
=
+ +
+
− +
+
− +
= + +
+
−
+
−
−
=
+
−
+ +
− +
+
−
+
−
−
=
− +
−
+ +
+
+
− +
− +
−
+
−
− +
−
=
x
x x
x
x x
x
x x
x
x x
x
x x
A
x x
x x
x
x x
x x
x x
x
x A
x x
x x
x x
x x
x
x A
x x x
x x x x
x x
x x x x
x x x A
2
) 3 ( 2
) 2 (
3
+
−
=
x
x A
Vì A ∈Z nên 2A ∈Z
3
15 3 3
15 ) 3 ( 3 3
) 2 ( 3
x x
x x
x
+
−
= +
− +
= +
−
=
Vậy x ∈ { − 18 ; − 8 ; − 4 ; − 2 ; 0 ; 12 } thì A nguyên
Câu 2:
Cho hai đờng thẳng
(d1 ): y = (2m2 + 1 )x + 2m - 1
(d2): y = m2x + m - 2 Với m là tham số
1 Tìm toạ độ giao điểm I của d1 và d2 theo m
2 Khi m thay đổi, hãy chứng minh điểm I luôn thuộc đờng thẳng cố định
H
ớng dẫn
1.Giải hệ
+
− +
−
=
+
+
−
=
⇔
+
−
− + +
−
−
=
+
+
−
=
⇔
− + +
+
−
=
+
+
−
=
⇔
− +
=
+
−
= +
⇔
− +
=
= +
−
−
− + +
⇔
− +
=
− + +
=
1
2 3
1
) 1 (
1
2 2
1
) 1 (
2 1
) 1 ( 1
) 1 ( 2
) 1 ( )
1
(
2
0 2 1
2 ) 1 2 ( 2
1 2 ) 1 2
(
2 2 2
2
2 3
2 3 2
2 2
2 2
2
2
2 2
2
2
m
m m
y
m
m
x
m
m m m m m y
m
m x
m m
m m y
m
m x
m x
m
y
m x
m
m x m y
m x m m
x m
m
x
m
y
m x m
y
ta đựợc
+
− +
− +
+
−
1
2 3
; 1
) 1 (
2
2
m m m
m I
m
m m
+
+ + +
−
1
) 1 ( ) 1 (
3
2 2
Vậy I thuộc đờng thẳng y=-x-3 cố định
Câu 3 :
Giả sử cho bộ ba số thực (x;y;z) thoả mãn hệ
Trang 4
= +
− +
+
= +
) 2 ( 0 10 7
) 1 ( 1
2 z z
xy
z y x
1 Chứng minh x2 + y2 = -z2 + 12z – 19
2 Tìm tất cả bộ số x,y,z sao cho x2 + y2 = 17
H
ớng dẫn
1.Từ (1) ta có x-y=z-1⇔x2-2xy+y2=1-2z+z2 ⇔ x2+y2=2xy+1-2z+z2 (*)
Từ (2) ta có xy=-z2+7z-10 thay vào (*)
ta có x2 + y2 =2(-z2+7z-10 )+z2 -2z -+1 ⇔ x2 + y2 = -z2 + 12z -19 (đpcm)
2 ta có -z2 + 12z - 19=17⇔z2-12z+36=0⇔ (z−6)2 =0⇔z=6 thay vào ta có hệ
Hệ có 2 nghiệm (x,y,z)∈ {(1;-4;6); (4;-1;6)}
Câu 4 :
Cho hình vuông ABCD có độ dài bằng cạnh a Trong hình vuông đo lấy điểm K sao cho tam giác ABK đều Các đờng thẳng BK và AD cắt nhau ở P
1 Tính độ dài KC theo a
2 Trên AD lấy I sao cho 3
3
a
DI = CI cắt BP ở H
Chứng minh CHDP là nội tiếp
3.Gọi M và L lần lợt là trung điểm CP và KD Chứng minh LM =
2
a
Q H
E
N L
M I
P
K
C
B A
D
H
ớng dẫn
−
=
=
−
=
=
⇔
=
−
−
−
=
⇔
= +
−
−
=
⇔
=
−
− +
−
=
⇔
= +
=
−
1 4 4 1 0
) 1 )(
4 (
5
0 8 10 2
5 0
17 )
5 (
5 17
5
2 2
2 2
2
y x y x x
x
x y
x x
x y x
x
x y y
x
y
x
Trang 51.Kẻ KQ ⊥ BC trong tam gíac vuông BQK có BK=a; ∠KBQ=300 nên
2
a
KQ= áp dụng Pi-Ta-Go cho tam giác vuông BKQ ta có
2
3 4
2 2 2
BK
2
) 3 2 ( 2
3 = −
−
=
−
CQ
áp dụng Pi-Ta-Go cho tam giác vuông CKQ ta có
3 2 2
3 4 8 4
4
) 3 4 7
2 2
KC
2.Xét tam giácvuông DCI có DC=a;
3
3
a
DI = nên
3
3
=
=
∠
DC
DI DCI
=300 theo GT ta có ∠KBC=300 suy ra ∠DPH=300 ( 2 góc so le của AP//BC) Vậy ∠DPH=∠DCH =300 nên theo QT cung chứa góc 2 điểm P ; C thuộc cung chứa góc 300 dựng trên DH hay tứ giác CHDP nội tiếp
3 Kẻ KE ⊥KC thì EA=EB và KE//AP xét tam giác ABP có EA=EB; KE//AP nên KP=KB=a gọi N là trung điểm KC thì LN//CD và
2
a
LN = ; MN//KP;
2
a
MN =
Vậy tam giác MNL cân tại N có ∠MNL = ∠ABK = 60 0 (cạnh tơng ứng //) Nên tam gíac MNL đều suy ra
2
a
LM = ( đpcm)
Câu 5: Giải phơng trình : (x2 -5x + 1)(x2 - 4) = 6(x-1)2 (*)
H
ớng dẫn
Đặt x2 -5x + 1-=a; x2 - 4=b thì a-b=-5(x-1) suy ra
25
) ( ) 1 (
2
2 a b
x− = −
=
=
⇔
=
−
−
⇔
= +
−
−
⇔
= +
−
⇔ +
−
=
⇔
−
=
⇔
a b
b a b
a b a b
ab ab
a
b ab a
b ab a
ab b
a ab
6
6 0
) 6 )(
6 ( 0 6
36
6
0 6 37 6
6 12 6
25 25
) ( 6
(*)
2 2
2 2
2 2
2
Nếu thì a=6b ta có PT
−
−
=
+
−
=
⇔
=
− +
⇔
=
− +
⇔
−
=
+
−
2
21 1
2
21 1
0 5 0
25 5 5 24 6
1
2
x
x x
x x
x x
x
x
Nếu b=6a ta có PT
−
=
+
=
⇔
= +
−
⇔
= +
−
⇔
−
= +
−
7 3
7 3 0
2 6 0
10 30 5
4 6
30
x
x x
x x
x x
x
x
PT(*) có 4 nghiệm
7 3
; 7 3
; 2
21 1
; 2
21
1
4 3
21
1 = − + x = − − x = + x = −
x
Cách khác Đặt x2-4=a; x-1=b thì x2-5x+1=a-5b ta có PT :
Trang 6(a-5b)a=6b2 ⇔ a2 −5ab−6b2 = 0 ⇔(a−6b)(a+b)= 0
Giải đề thi tuyển sinh đại học s phạm Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2010
Môn thi: Toán học
(Dùng cho mọi thí sinh thi vào chuyên Toán và chuyên Tin)
Câu 1:
1.Giả sử a và b là hai số dơng khác nhau và thoả mãn
2
2 1
b
a− = − − −
Chứng minh rằng a2 +b2 =1
2.Chứng minh rằng số 2009 2 + 2009 2 2010 2 + 2010 2 là số nguyên dơng
H
ớng dẫn
1 1
) )(
( 1
1 1
1
2 2
2 2
2 2 2
a b
b a b a a
b
b a a
b b
− +
−
+
−
=
− +
−
−
=
−
−
−
=
−
suy ra a+b= 1 −b2 + 1 −a2
1
1 1
1
1
2
2
2 2
2 2
= +
⇒
−
=
−
=
⇔
−
−
−
=
−
− +
−
= +
b
a a b
b a
a b
b a
a b
b a
2 Đặt a= 2009 ta có 2009 2 + 2009 2 2010 2 + 2010 2 =
Z a
a a
a a
a a
a a
a
a
a2 + 2 ( + 1 ) 2 + ( + 1 ) 2 = 2 ( + 1 ) 2 + 2 ( + 1 ) + 1 = ( 2 + + 1 ) 2 = 2 + + 1 ∈
Câu 2:
Giải sử 4 số thực a , b, c, c, d đôi 1 khác nhau và thoả mãn hai điều kiện sau
iii) Phơng trình x2 −2cx−5d =0 có 2 nghiêm a và b
iv) Phơng trình x2 −2ax−5b=0 có 2 nghiêm c và d
Chứng minh rằng
1 a-c=c-b=d-a
2 a+b+c+d=30
H
ớng dẫn
1 Vì a,b là nghiệm PT (1) theo Vi-ét ta có
−
=
= +
) 2 ( 5
) 1 ( 2
d ab
c b a
Vì a,b là nghiệm PT (1) theo Vi-ét ta có
−
=
=
+
) 4 ( 5
) 3 ( 2
b cd
a d c
Từ (1) ta có a-c=c-b từ (3) ta có c-a=a-d nên a-c=c-b=d-a
2.Nhân (2) và (4) ta có abcd=25bd suy ra ac=25
Mặt khác a là nghiệm PT(1) nên a2 −2ca−5d =0⇒a2 −5d =50(5)
c là nghiệm PT(1) nên c2 −2ca−5b=0⇒c2 −5b=50(6)
từ (5) và (6) ta có
) (
30 :
; 15
0 150 ) ( 5 ) ( 100 ) ( 5 2 ) ( 100 ) (
2
2
dpcm d
c b a d a c a ma c
a
c a c
a c
a ac c
a d
b
c
a
= + + +
⇒ +
= +
=
+
⇔
=
− +
− +
⇔
= +
−
− +
⇔
= +
−
+
Câu 3 Giả sử m và n là những số nguyên dơng với n>1 Đặt S =m2n2 −4m+4n
Chứng minh rằng:
Trang 71.Nếu m>n thì (mn2 −2)2 <n2S <m2n4
2.Nếu S là số chính phơng thì m=n
H
ớng dẫn
1.ta chứng minh (mn2 − 2)2 <n2 (m2n2 − 4m+ 4n) <m2n4
Bằng cách xét hiệu
1 :
; 0 4
4 4
4 4
) 4 4 (
2
3 3
2 4
2 2
4 2
2 2 2 2 2
>
<
−
=
− +
− +
−
=
+
−
−
−
=
n vi n
n mn
n m mn
n m
H
n m n
m n mn
H
Mặt khác n2 (m2n2 − 4m+ 4n) −m2n4 = 4n2 (n−m) > 0 vì n>1; m>n
2.Ta chứng minh ( )2 ( )2
2
2 < < +
mn
xét S=(mn-1)2 thì m2n2 −4m+4n=m2n2 −2mn+1⇔4n−4m+2mn=1
không tồn tại m,n vì vế phải chẵn
Xét S=(mn+1)2 thì m2n2 −4m+4n=m2n2 +2mn+1⇔4n−4m−2mn=1
không tồn tại m,n vì vế phải chẵn
Từ đó ta có S=m2n2 thì m2n2 −4m+4n=m2n2 ⇔4n−4m=0 suy ra m=n
Câu 4 Cho tam gíac ABC với AB>AC ,AB >BC.Trên cạnh AB của tam giác lấy
các điểm M và N sao cho BC=BM và AC=AN
1.Chứng minh điểm N thuộc đoạn thẳng BM
2.Qua M và N ta kẻ đờng thẳng MP song song với BC và NQ song song với CA (P∈CA;Q∈CB).Chứng minh CP=CQ
3.Cho góc ACB=900 , góc CAB=300 và AB= a
Tính diện tích tam giác MCN theo a
H
ớng dẫn
H
P
Q N
M
A
1 Ta có BN=AB-AN=AB-AC<BC=BM ( bđt tam giác) vậy N∈BM
AB
MB AC PC MB
AB PC
AC
=
⇒
AB
NA BC QC NA
AB QC
BC = ⇒ =
Mà MB=BC; NA=AC kết hợp với (1) và (2) ta có CP=CQ (đpcm)
Trang 83.Nếu ACB=900 , góc CAB=300 và AB= a thì
2
3
; 2
a AC
a
BC = =
ta có MN=AN-AM=AC-AM=AC-(AB-BM)=AC-AB+BC=
2
) 1 3 ( − a
Kẻ CH ⊥AB thì
4
3 :
4
3
a
a AB
CB CA CH
CB CA CH
Vậy:
16
) 3 3 ( 4
3 2
) 1 3 ( 2
1
2
CH MN
Câu 5 Trên bảng đen viết ba số
2
1
; 2
;
2 Ta bắt đầu thực hiện trò chơi nh sau : Mỗi lần chơi ta xoá hai số nào đó trong ba số trên bảng ,giả sử là a và b rồi viết vào 2 vị trí vừa xoá hai số mới
2
b
a+ và
2
b
a− đồng thời giữ nguyên số còn lại .Nh vậy sau mỗi lần chơi trên bảng luôn có ba số Chứng minh rằng dù ta có chơi bao nhiêu lần đi chăng nữa thì trên bảng không đồng thời có ba số ; 2 ; 1 2
2 2
H
ớng dẫn
2 2
2
2 2
2
b ab a
b ab a
b a b
a
+
= +
− + + +
=
− +
+
Nh vậy sau khi xoá 2 số a; b thay bởi hai số mới
2
b
a+ và
2
b
a− thì tổng bình
ph-ơng hai số mới không đổi nên tổng bình phph-ơng của ba số trên bảng không đổi bằng
2
13 2
1 4
2+ + =
mà tổng bình phơng ba số ; 2;1 2
2 2
1
2
13 ) 2 2 3 2 8
1 ( + + + ≠ ( đpcm)