- Th i gian làm bài: 180 phútờ ( không k th i gian giao đ ) ể ờ ề
-A PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m ) Ầ Ấ Ả ể
Câu I: (2,0 đi m) ể Cho hàm s : ố 2 1
1
x y x
−
=
− (C).
1 Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C).ả ự ế ẽ ồ ị
2 G i I là giao đi m c a hai ti m c n, M là m t đi m b t kì trên (C), ti p tuy n c a (C) t i M c t các ti mọ ể ủ ệ ậ ộ ể ấ ế ế ủ ạ ắ ệ
c n t i A, B Ch ng minh r ng di n tích tam giác IAB không đ i khi M thay đ i trên (C).ậ ạ ứ ằ ệ ổ ổ
Câu II: (2,0 đi m) ể
1. Gi i phả ương trình
sin sin 3 os cos3 1
8 tan tan
x π + x π = −
2. Gi i phả ương trình 2 ( )3 ( )3 2
1 + 1 − x 1 + x − 1 − x = + 2 1 − x
Câu III (1,0 đi m) ể Tính tích phân 1 ( 2 )
0
I = ∫ x x + + x dx
Câu IV (1,0 đi m) ể Cho hình h p đ ng ABCD.A’B’C’D’ có ộ ứ AB AD a = = , 3
AA '
2
a
= , góc BAD b ng ằ 0
60
G i M, N l n lọ ầ ượt là trung đi m c a c nh A’D’ và A’B’ Ch ng minh AC’ vuông góc v i m t ph ng (BDMN) vàể ủ ạ ứ ớ ặ ẳ tính th tích kh i đa di n AA’BDMN theo ể ố ệ a
Câu V (1,0 đi m) ể Ch ng minh r ng v i m i s th c dứ ằ ớ ọ ố ự ương a b c , , th a mãn ỏ a2+ + = b2 c2 1, ta có:
3
a a a b b b c c c
B PH N RIÊNG (3,0 ĐI M): Ầ Ể Thí sinh ch đ ỉ ượ c làm m t trong hai ph n (ph n A ho c B) ộ ầ ầ ặ
I Theo ch ươ ng trình Chu n ẩ
Câu VI.a (2,0 đi m) ể
1. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho hình ch nh t ABCD có di n tích b ng 12, tâm I là giao đi mặ ẳ ớ ệ ọ ộ ữ ậ ệ ằ ể
c a hai đủ ường th ng: dẳ 1: x – y – 3 = 0, d2: x + y – 6 = 0 Trung đi m m t c nh là giao đi m c a dể ộ ạ ể ủ 1 và tia
Ox Tìm t a đ các đ nh c a hình ch nh t.ọ ộ ỉ ủ ữ ậ
2. Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho đi m I(1;1;1)ớ ệ ọ ộ ể và đường th ng d: ẳ 14 5
x − = = y z +
− Vi tế
phương trình m t c u (S) tâm I và c t d t i hai đi m A, B sao cho đ dài đo n th ng AB b ng 16.ặ ầ ắ ạ ể ộ ạ ẳ ằ
Câu VII.a (1,0 đi m) ể Tìm h s ch a xệ ố ứ 2 trong khai tri n: ể
4
1 2
n
x x
, bi t n là s nguyên dế ố ương th a mãn:ỏ
n n
+
II Theo ch ươ ng trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 đi m) ể
1 Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho hình vuông có đ nh là (-4; 8) và m t đặ ẳ ớ ệ ọ ộ ỉ ộ ường chéo có phương trình 7x – y + 8 = 0 Vi t phế ương trình các c nh c a hình vuông.ạ ủ
2 Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho m t ph ng (P): ớ ệ ọ ộ ặ ẳ x y z + + − = 1 0 và hai đi m A(1;-3;0), B(5;-1;-2) ể Tìm t a đ đi m M trên m t ph ng (P) sao cho ọ ộ ể ặ ẳ MA MB − đ t giá tr l n nh t.ạ ị ớ ấ
Câu VII.b (1.0 đi m) ể Cho h phệ ương trình
2
3
1 log log 0
2 x y ,( m R )
+ − = Tìm m đ h có nghi m.ể ệ ệ
Trang 2Thí sinh không đ ượ ử ụ c s d ng tài li u Cán b coi thi không gi i thích gì thêm ệ ộ ả
H và tên thí sinh: ; S báo danh: ọ ố
Đ THI TH Đ I H C NĂM 2011 Ề Ử Ạ Ọ
Môn thi: TOÁN
.
• TXĐ : D = R\{ } 1
• S bi n thiên: ự ế y’ =
1 0,
x
Hàm s ngh ch bi n trên: ố ị ế ( −∞ ;1 à 1; ) ( v +∞ )
0,25
Gi i h n: ớ ạ lim lim 2
x→+∞=x→−∞= ; ti m c n ngang: y = 2ệ ậ
lim1 , lim1
x→+ = +∞ x→− = −∞; ti m c n đ ng: x = 1ệ ậ ứ 0,25
G i M(m; ọ 2 1
1
m m
−
Ti p tuy n c a (C) t i M: ế ế ủ ạ ( )2 ( )
1 1
m
m m
−
−
0,25
A(1; 2
1
m
2 2
m
m − = m
1 2 2
IAB
S∆ = IA IB =
V y ậ di n tích tam giác IAB không đ i khi M thay đ i trên (C).ệ ổ ổ
0,25
Đi u ki n: ề ệ
6 2
k
x ≠ + π π
Ta có tan tan tan cot 1
0,25
Phương trình tương đương v i: ớ sin sin 33x x c + os cos33x x = 1
8
1 os2 os2 os4 1 os2 os2 os4 1
1
2 os2 os2 os4
2
c x c x c x c x c x c x
c x c x c x
0,25
Trang 3( ai )
6
x k lo
k Z
= +
= − +
V y :ậ
6
x = − + π k π
0,25
Đk: -1 ≤ ≤ x 1
Đ t u = ặ ( )3
1 x + , v = 3
(1 − x ) ; u,v ≥ 0
H thành: ệ
3 3
2
u v
uv u v uv
+ =
0,25
2
2 2
( ) 2
u v u v u v vu u v uv
0,25
2
1 2 2
u v
u
u v
+ =
− =
2 2
x
2
2 1
2
x
x
+
=
=
2 0
1 1 2 2
x x
+
+ +
∫
0,25
0
0
ln 3
dx
x x J
+ +
∫
0,25
1
2 2
dx J
x
=
tan , ;
x + = t t ∈ − π π
3 6
π
π π
0,25
V y I = ậ 3
ln 3
4 -
3 12
G i O là tâm c a ABCD, S là đi m đ i x ng v i A qua A’ọ ủ ể ố ứ ớ ⇒ M, N l n lầ ượt là trung
đi m c a SD và SBể ủ
AB = AD = a, góc BAD = 600 ⇒ ∆ABD đ u ề ⇒ OA = 3
2
a
AC a =
SA = 2AA’ = a 3
3, CC ' AA ' = = a
0,25
Trang 4~ ' '
AO SA
SAO ACC
AC CC
' ~
⇒ ∆ ∆ (I là giao đi m c a AC’ và SO)ể ủ
'
SO AC
⇒ ⊥ (1)
M t khác ặ BD ⊥ ( ACC A ' ') ⇒ BD ⊥ AC ' (2)
T (1) và (2) ừ ⇒ đpcm
0,25
2 2
'
3
3 2 4 2 32
SABD
SA MN
a
V
0,25
2
7 32
BDMN SABD SA MN
a
Do a, b, c > 0 và 2 2 2
1
a + + = b c nên a, b, c ∈ ( ) 0;1
Ta có: ( 2 )2
3
1 2
1
a a
a a a
a a
−
BĐT thành: ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) 2 3
3
− + + − + + − + ≤
0,25
Xét hàm s ố ( ) 3 ( )
, 0;1
Ta có: ( ) M 0;1 ax f x ( ) = 2 3
9
0,25
0,25
f a f b f c
Đ ng th c x y ra ẳ ứ ả 1
3
a b c
⇔ = = =
0,25
I 9 3
;
2 3
Gi s M là trung đi m c nh AD Ta có: AB = 2IM = ả ử ể ạ 3 2
ABCD
S = AB AD = ⇒ AD =
AD qua M và vuông góc v i dớ 1 ⇒ AD: x + y – 3 = 0
0,25
L i có MA = MB =ạ 2
T a đ A, D là nghi m c a h : ọ ộ ệ ủ ệ
1
y
+ − =
4 1
x y
=
= −
0,25
Ch n A(2 ; 1) ọ ⇒ D ( 4; 1 − ⇒ ) C ( ) 7; 2 à v B ( ) 5; 4 0,25
G i H là trung đi m đo n AB ọ ể ạ ⇒HA=8 0,25
Trang 5Ta có: 0 2 1 3 2 1 2( )
0
n
n n
n
+
1
1
3 1 6560
n
+
+
−
4 7 4
0
2 2
k k k
x
−
S h ng ch a xố ạ ứ 2 ng v i k th a: ứ ớ ỏ 14 3
4
k
k
V y h s c n tìm là: ậ ệ ố ầ 21
4
0,25
G i A(-4; 8) ọ ⇒ BD: 7x – y + 8 = 0⇒ AC: x + 7y – 31 = 0 0,25
G i D là đọ ường th ng qua A có vtpt (a ; b)ẳ
D: ax + by + 4a – 5b = 0,
D h p v i AC m t góc 45ợ ớ ộ 0 ⇒ a = 3, b = -4 ho c a = 4, b = 3 ặ
⇒AB: 3x − 4 y + 32 0; = AD : 4 x + 3 y + = 1 0
0,25
G i I là tâm hình vuông ọ ⇒ I( 1 9
; )
2 2
: 4 3 24 0; : 3 4 7 0
Ta có: A, B n m khác phía so v i (P).G i B’ là đi m đ i x ng v i B qua (P)ằ ớ ọ ể ố ứ ớ
' '
MA MB − = MA MB − ≤ AB
Đ ng th c x y ra khi M, A, B’ th ng hàng ẳ ứ ả ẳ ⇒ M là giao đi m c a (P) và AB’ể ủ 0,25
AB’:
1 3 2
x t y
z t
= +
= −
= −
0,25
Đk: x ≠ 0, y > 0
( ) ( )
2
2
1
log log log log 0
2
0 0
, 1 , 2 0
x y ay
x y my
y x
y x
y y a
y y ay
=
=
+ =
0,25
H có nghi m khi (2) có nghi m y > 0ệ ệ ệ
Ta có : f(y) =y2+ y>0 ,∀y > 0 0,25
Do đó pt f(y) = a có nghi m dệ ương khi a>0 0,25
V y h có nghi m khi a > 0ậ ệ ệ 0,25