Biết răng đường tròn đường kính CD di qua trung điểm các cạnh bên 4D, ĐC và tiếp xúc với AB.. Trong một kì thì học sinh giỏi toán có một số thí sinh là bạn bè của nhau.. Gọi một nhóm
Trang 1NGAN HANG Dé VA HONG DAN GIAI CAC DE THI TUYEN SINH VAO CAC TRONG CHUYEN
Lê Duy Thiện - Trường THPT Lang Chánh sưu tầm trên Tạp chí THTT
ĐỀ THỊ TUYẾN SINH LỚP 1O TRUONG THPT CHUYEN
LE QUY DON, BINH DINH
Cho a 6, c la do dai cac canh va p 14 niva chu
vi cua mot tam giac Chime minh rang
cOGo mo6t tức giác IGi dién tich Ion hon —- Chirms
minh rang ton tại ruột đoạn thang có hai dau mut & trén canh cua ti giac, song song voi canh
Trang 2Lời giải đề thi vào lớp 16 chuyên Toán
TRUONG DAI HOC KHOA HOC HUE
thấy %ow lớn nhất khi và chỉ khi Sg„„ bé nhất
Đền đây bạn đọc có thé xem lời giải bài 5 (Để thi
vào lớp 10, THPT chuyên Lé Quy Don, Đà Năng),
THTT số 365, tháng 1 1 năm 2007 (trang 3)
Câu 5, a) Đặt ở + c = X,c + a= f,a+b= Z và
vệ trái của BĐT là 8 Khi đó
e Xét tuong tu voi z = 2 ta cd bd nghiém (x ; y ; z)
=(4; 2; 2) Còn với z = 3 thì PT đã cho không
có nghiệm nguyên dương
Do vai trò x, y, z bình ding, ta được 2 bộ nghiệm trên và các hoán vị của nó Có tất cả 9 bộ nghiệm
MINH TRAN
_ (Phòng GD Hương Thủy, Thừa Thiên - Huế)
situ tâm và giới thiệt
Trang 3Giải các phương trình sau:
nhật MNPQ sao cho M, N là các điểm trên cạnh ñC, còn P, @ lân lượt là các điểm trên
cạnh AC, AB Goi Ñ,, R; và R; theo thứ tự là
bán kính đường tròn nỏi tiếp các tam giác
BOM, CPN va AQP Ching minh rang:
a) Tam gidc AQP dong dang vdi tam giác
MBO va tam gic MBQ dong dang voi tam giác NPC;
b) Diện tích tứ giác MNP0 lớn nhất khi và chỉ
khi R? +R = Re
BUI VAN CHI
(GV THCS Lé Lợi, Quy Nhơn, Binh Định)
Suu tam va gidi thiéu
Trang 4LOI GIAI DE THI VAO LOP 10
TRƯỜNG THET CHUVEN LE QUÝ ĐÔN - GÌNH ĐịNG
Ta thay x và -y là hai nghiệm của phương
trình /?—x/2/—1=0 Vậy đẳng thức xảy ra khi
hoặc x=—I!—v3 (thoả mãn)
Kết luận: Tập nghiệm của PT (1) là tý2:—I— 3)
trong khi đó vế trái không âm, do đó trường
hợp này không xáy ra Vậy PT (2) có nghiệm
duy nhất x—x
Câu 3 Không mất tính tổng quát có thé gia su
x>ưz>b>y Hệ đã cho tương đương với
x"+y"=a"+bh" vGi moin EN’
+ Néu «—a=b—ysOthi tu G) suy ra
Từ (1) và (2) suy ra B
h xy=—>-AQ.BO
Do đó maxSxxzo= Saa- đạt được khi và
chỉ khi @ là đi của 4Ø Khi đó, theo
câu a) ta có ABMQ ~ AQPA suy ra
BUI VAN CHI
(GV THCS Lé Lei, Quy Nhơn, Bình Định)
suu tar va gici thiéu
Trang 5DE THI VO LOP 10 TRUGNG PHO THONG NANG KHIEU
DAI HOC QUOC GIA TP, HO CHI MINH
NAM HOC 2007-2008
Mén thi: TOAN (danh cho hoe sinh chuyén Toan)
(Thời gian làm bài : 150 phit) Câu 1 a) Giải hệ phương trình
x +6y=6x
y`+9 =2xy,
b) Cho a= VI1+6y2, b= Vil-6y2 Chimg
nhì rằng a, b là hai nghiệm của một phương
trình bậc hai với hệ số nguyên
c) Cho e = : \óy3 +l0 ,d= {63 -l |0 Chứng
me ring c’, d’ la hai nghiện của một phương
trình bậc hai với hệ số nguyên
Câu 2 Cho tam giác 4BC nội tiếp đường tròn
P là một điểm di động trên cung BC không
chứa 4 Hạ 4M, 4N lần lượt vuông gốc với PB
Cầu 3 a) Cho a, 5, ¢, đ là các số dương thỏa
man điều kiện ab = cd = 1 Chimg minh bat
dang thức (a + ð)(e + đ) + 4 > 2(a + b + e +),
b) Cho a, b, ¢, đ là các số dương, thỏa mãn điều kiện abcđ = ! Chứng minh bất đẳng thức
(ac + bd\(ad + be) > (a + b\(c + đ)
_Câu 4 Cho hình thang 4BCD có đáy AB và
CD Biết răng đường tròn đường kính CD
di qua trung điểm các cạnh bên 4D, ĐC và tiếp xúc với AB Hãy tìm số đo các góc của hình thang
Câu 5 a) Cho a, 5, ¢ là các số thực dương phân
biệt có tông bằng 3 Chứng minh ring trong ba
phurong trinh x’ - 2ax + b= 0, x° - 2bx + e = Ú
va x’ - ex + a = có Ít nhất một phương trình
có hai nghiệm phân biệt và ít nhát một phương trình vô nghiệm
b) Cho § la một tập hợp gôm ba số tự nhiên có
tính chất: tông hai phân tử tùy ý của ÿ là một số
Trang 6LỜI GIẢI ĐỀ THỊ VÀO LỚP 10
trườn phô thông năng khiêu ĐH(6 TP Hô Phí Minh
NAM HOC 2007-2008 (Đề thị đăng trên THTT sế 3ó7, tháng Ì năm 2008)
Câu 1 a) HPT đã cho tương đương với
Suy rac+d = 8: ed = 4 Vậy c và đ là
hai nghiệm của phương trình x” - 8x + 4 = 0
Câu 2 (h 1) a) Ké AH L BC, H thuéc BC Ta
co BMA=BHA=90°, suy ra tử giác AMBH
nội tiếp dân đến AHM = ABM Lại có tứ
giác ABPC nội tiếp (giả thiệt nên
ABM =ACP Do đó AHM =ACP (1)
Vậy 7 lớn nhất khi và chỉ khi Sgcp = PK.BC
lớn nhât hay PK lớn nhât Lúc này P là điêm chính giữa cung 5C không chứa 4
Câu 3 Sir dung ab = cd = Ì và á, 6, e, đ> 0, BDT cần chứng minh tương đương với
ac + ad + be * bđ + 4— 2a— 2b — 2c - 2d ()
©(c+d-2Xa+b-2)>0
(e+ d—2Vved at b -2Vab)>9
© (de~da) Wash) > 0 (luôn đúng).
Trang 7b) Từ giả thiết suy ra œe, bđ, ad, b¿ là các sô
dương và (ac)(bd) = (ad)(0c) = l
Áp dụng câu a) có
(ab + ed\(ad + be)+4 > 2(acthd tad+be) (1)
Sir dung gia thiet ahed = | ta cé
ac + hd † qd + bc - 4
=( ác - Vad y+ (Vad - Ve) > () (2)
Tir (1) va (2) ta thay
(ab + cd)ad + be) 2 ac + bd + ad + be
© (ab+cd\(ad+ he) > (a+b)(e+d) (dpem)
Câu 4 (h 2) Gọi Äí, N, @ lần lượt là trung
điêm của 4D, BC CD: £ là tiếp điêm của
đường tròn đường kính CD với cạnh 4B Ta
cd BD = NO = 2MO = AC
Suy ra 4BCD là
hình thang cân
Goi H la giao diém !Í
cua MN va OF, suy
ÓE AB tiếp xúc với
đường tròn dường
kính (7) nên ()E-LAP
suy ra MN L OE, Hinh 2
Tam giác 0Ì ()HM vuông tại H và ( OM = 2.H0,
suy ra MOH =60°, Lại có HOD= 90° nén
® Với > e > Ù thi tương tự như trên suy ra
PT (I) có hai nghiệm phân biệt và PT (2) vo
nghiệm
b) Nhan xet: Mot so chinh phuwns hode chia
het cho 4 hoặc chia 4 dur 1
, Nếu Ÿ= {@ b; che edm ba số lệ thi từ giả
thiết và từ nhận xét trên suy ra ø † b: 4:
b+c:4 vàc+a: 4, Suy ra (a +h) + (ate)
~ (b + e): 4 hay 2a: 4, suy ta a:2, mau thuần
e NÊu $= tứ; 0; c} có hai sô 4, b le va c chan thi tir gia thiết và từ nhận xét suy ra ø + b:4:
at vey :4 và b+e— l:4 Suy ra (a: h) + (ate )-tc- |): 4 hay 24:4, suy ra
a2, mau thuan
Vay trong tap Sco khong qua mot s0 le.
Trang 8ĐỂ THỊ VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ TÍNH
a) Giải phương trình với ? = |
b) Tim m để phương trình cĩ hai nghiệm phân
biệt sao cho nghiệm này gấp bốn lần nghiệm
(Jx +4-x)( fy? +4—p)=4 Tính x + y,
Bài 4 Cho đường trịn tâm Ĩ đường kính Að
và một điểm M bat kì thuộc đường trịn
(M khác A và B), Goi H là hình chiếu vuơng
gĩc của điểm M trên À Đường trịn đường kính HM cắt các dây cung MA, M8 lần lượt
Bài 7 Các số x, y, z khác 0, thoả man
xy + yz + xz = 0 Tính giá trị của biểu thức
_x2 y? zẺ Bài 8 Tìm nghiệm nguyên của phương trình
x—xy+yˆ°= 2x - 3y— 2
Bài 9 Tìm tất cả các bộ ba số dương (x; y ; z)
thoả mãn hệ
2x2008 — „2007 „ ;2006 2y2008 — 72007 4 5.2006
2.72008 = 2007 + y2006
Bài 10 Từ một điểm P ở ngồi đường trịn
tam O, vé hai tiếp tuyến PE, PF tới đường
tron (E, F là các tiếp điểm) Tia PO cắt đường tron tai A, B sao cho A nam giita P va O Kẻ
EH vuơng gĩc voi FB (He FB) Goi 7 là trung
diém cia EH Tia B/ cat duéng tron tai M
HỒNG NGỌC CẢNH
(GV THPT chuyên Hà Tĩnh) (sưu tầm và giới thiệu)
Trang 9LỜI GIẢI DE THỊ VÀO LỚP 10
_Lưởng TLHẶT chuyên Hà Tĩnh
NĂM HỌC 2007-2008
(Đề thi đã đăng trên THTT số 368, tháng 2 năm 2008)
VÒNG 1
Bai 1 a) Ban doc ty giai Bai 4 (h 1)
b) Điều kiện để PT có hai nghiệm phân biệt là
m “7 déu thoa man (*)
Bai 2 a) DS PT cé nghiém duy nhất x = 0
b) Biến đổi phương trình thứ nhất của hệ ta có
Bài 3 Lần lượt nhân hai vế đẳng thức điều
kiện với Jy +4+y va vx? +4+x ta duge
xty = Ve 4) 4, va ty =) +4? +4
Từ đó suy ra x + y = Ö
a) Tứ giác MPHQ
có M=P=0=90°, SUY Ta PHO=90°
Mặt khác, dễ thấy AMPQ «> AMBA, suy ra MP.MA = MQ.MB
b) Tứ giác EPQF 1a hinh thang vudng
c) Diện tích hình thang vuông EP@# là
Trang 10Bài 10 (h 2) a) Do /N là đường trung bình
của ÁEPH, suy ra Ni L EH Ta có
MIN = MBF = MEF, suy ra tit giac MEIN
nội tiếp Do dé EMN = 180°- EIN =90°
Mặt khác, PFE =EBF (tính chất tiếp tuyến)
suy ra NPF =90°- PFE =90°- EBF (2)
Từ (1), (2) suy ra FMN =FPN Vậy tứ giác
PMAF nội tiếp đường tròn, suy ra
HOANG NGOC CANH (Hà Tĩnh) giới thiệu
Trang 11
(Trưởng đoàn Việt Nam thi Toán Quốc tế lần thứ 48)
Bai 1 Cho (rước các số thực di, đa, , đụ
Với mỗi ¡ (1< ¡ < n) dat
d; = max {a;: 1 SjSi} —min {a,:7Sj< n}
vad datd=max{d;: 1s i < n}
a) Chứng minh rằng, với các số thực
X)S x28 Sx, y, taco
d
b) Hay chi ra rang ton tại các số thực
xị S x2 S Xn sao cho bắt đăng thức (*)
trở thành đăng thức
Lời giải Với mỗi ¡ (1 <¡ < n) ta kí hiệu
M, = max {a,: l< j7 Si} va
do đó max {x;-ai] 1 Sisajps 7
Két hợp với a), ta có đăng thức
max {|x;¡ |; Í Si<Sn}= a phải xảy ra
(đpcm)
11
Bai 2 Xét nam diém A, B, C, D va E suo
cho ABCD là một hình bình hanh va BCED là
một tứ giác nội tiếp Cho ÂÀ là một đường
thắng đi qua A cắt đoạn thăng DC tại F và cắt đường thẳng BC tại G Giả sử rằng EF =
EG = EC Ching minh rang i la phan giác cua goc DAB
Lời giải Ta cần
CG thi Ala phan J
giac cla goc BAD
Thật vậy, giả sử
CF > CƠ (trường hợp CF<CG chimg minh tương tự)
Do EF = EG = EC nên È là tâm đường tròn ngoại tiép tam gidc CFG Tir CF > CG ta
có EK < EL, ở đó K và L theo thứ tự là trung
điểm C# và CG Do tứ giác BCED nội tiếp
nén LBE=KDE, suy ra hai tam giác vuông
LBE và KDE đồng dạng với nhau, do đó DK
< BL Do FK > CL và DK > BL nên DK - FK
= BL - CL tức là DF < BC Vi AD = BC, nén
trong tam giác 4ÐƑ có 4D > DF điều này vô
lí, vì tam giác 4D đồng dạng với tam giác GCF véi canh CF > CG (dpcm)
€?Bài 3 Trong một kì thì học sinh giỏi toán
có một số thí sinh là bạn bè của nhau Quan
hệ bạn bè luôn là quan hệ hai chiều Gọi một
nhóm các thí sinh là nhóm bạn bè nếu như
hai người bất kì trong nhóm này là bạn bè
của nhau (Một nhóm tùy ý it hơn hai thí sinh cũng vấn được coi là một nhóm bạn bè) Số lượng các thí sinh của một nhóm bạn bè được gọi là cỡ của nó.
Trang 12Cho biết răng, trong kì thi này, cỡ của một
nhóm bạn bè có nhiều người nhát là một so
chan Chứng mình rằng có thể xếp tất cả các
thi sinh vào hai phòng sao cho cỡ của nhóm
bạn bè có nhiêu người nhất trong phòng này
cũng bằng cỡ của nhóm bạn bè có nhiều
người nhát trong phòng kìa
Lời giải Ta gọi cỡ của một tập hợp 44, kí hiệu
là e(A), là cỡ của nhóm bạn bè đông người
nhất trong A Gọi M là nhóm bạn bẻ đông
người nhất trong tập hgp G tat cả các thí sinh,
như vậy c(ÄM) = c(G) = 2m là số chan
Ta chỉ ra một cách phân hoạch G thành hai
tập hợp có cùng cỡ như sau
Trước hết 4 là một tap hop m thí sinh của À⁄
và B = G - A Nhu vay c(B) > m 3> c(4)
Chirng nao c(B) > c(A) + 2 ta chuyến một thí
sinh của M tir B sang A Méi lần như vậy cỡ
của ð giảm không quá Ì và cỡ của 4 tăng
đúng 1 Do đó, ta có thê thực hiện được việc
điều chỉnh này cho tới khi c() = c(4) hoặc
phân tử Xuất phát từ C =@ ta chon mét
phần tử của 8; -(M - 4) vào Œ, với B, là
nhóm bạn bè nào đó có c(B) người trong tập
hợp 8 - C Quá trình kết thúc khi thu được một
tap hop C sao cho c(B -C) = e(B) - |
= c(4) Ta chứng minh c(4\tJC) = c(4) Thật
vậy, xét một nhóm bạn bẻ tùy ÿ trong
AUC Do mỗi phần tử của Œ là bạn bè của
mọi phần tử M-4, cho nên Ó t2(M/ - 4) là
một nhóm bạn bè trong G va do đó e(G) = 2m
> |Ø \2(M-4)| = |G| + (2m - |4l) =4|>|@!
Vay B -C và AUC là phân hoạch của G
thành hai tập hợp có cùng cỡ (đpcm)
QOBài 4 Trong tam giác ABC, đường phân
giác của góc BCA căi lại đường tròn ngoại
12
tiếp tam giác tai R, cắt đường trung trực của
BC tại P, và cắi đường trung trực của ÁC tại
Q Trung điềm của BC là S và trung điểm của
AC là T Chứng minh rằng tam giác RPS và tam giác RỌT có điện tích bằng nhau
'Lời giải (Bạn đọc tự vẽ hình) Do góc ACR
bang góc #CR cho nên hai tam giác vuông
CTO và CSP đông dạng với nhau Do đỏ ta có oO" CP va TOC = SPC => TO.QOR = SP.PR
va TOR = SPR , SUY ra Sspr = Sore (dpcm)
(Bai 5 Cho trudc a va b là bai số nguyên
đương Chứng mình rằng néu so (4ab-1) la
udc so cua (4a’~1) thi a = b
Lời giải Phản chứng Giả sử tồn tại cặp hai
số nguyên dương (a, ö) sao cho (4ab - 1) 1a
ước số của (4a —l)” và a # b thì ta sẽ gọi các
cặp số như vậy là cặp xáu và giả sử (a, ở) là
cặp xâu có tông 2a + ð nhỏ nhat
Do (48° - 1) = (4b° -(4aby’y = 164đ
- 1) = 0 (mod (4ab - 1)) nén (8, a) cing 1a
cặp xâu, vậy 2a + ð < 2ð + a suy ra a<ö
(do a # b) Do (4a”-L)” chia 4a dư 1, còn
duong ¢ sao cho 4ac - |=
ta coc < b, khi dé 2ate < 2at+b
Bai 6 Cho n la mot sé nguyén duong Xét
$ = {(xy,z) : x, y,z € {0,1, , n}, x+y+z>0)
như là một tập hợp gôm (n+l} -1 điểm trong không gian 3-chiêu Hãy xác định số
nhỏ nhất có thé các mặt phẳng mà hợp của chúng chứa tất cả các điểm của Š nhưng không chứa điểm (0 0, 0)