Tìm môđun của các nghiệm đó.. Câu 7: Trong mặt phẳng tọa độ.. Trong các số phức thỏa mãn điều kiện trên, tìm số phức có mô đun nhỏ nhất.
Trang 1CÁC ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ PHỨC NĂM 2010-2011
Câu 1: Tìm phần thực của số phức :z= +(1 i)n.Trong đó n∈N và thỏa mãn:
log n− + 3 log n+ 6 = 4
Đáp án: a: Phương trình: log ( 4 n− + 3) log ( 5 n+ = 6) 4có nghiệm duy nhất n = 19 (Vì VT là hàm số đồng biến nên đồ thị cắt đường thẳng y = 4 tại một điểm duy nhất)
Câu 2 : Cho số phức: z= − 1 3.i Hãy viết số z n dưới dạng lượng giác biết
rằng n∈N và thỏa mãn: n2 − 2n+ + 6 4 log ( 3 n2− +2n 6) = (n2 − 2n+ 6) log 5 3
log 5
3
log (n − 2n+ = ⇒ 6) t n − 2n+ = 6 3 ; (t n − 2n+ 6) = 3t = 5t
Ta được phương trình: 3t + 4t = 5t Phương trình có nghiệm duy nhất t
= 2
⇒ n2 – 2n + 6 = 9 ⇔ n2 – 2n – 3 = 0 ⇔ n =3
Câu 3: Giải phương trình nghiệm phức : z 25 8 6i
z
+ = −
Đáp án: Giả sử z = a +bi với ; a,b ∈ R và a,b không đồng thời bằng 0
;
−
−
+
⇔
(2)
3 4
b= a thế
vào (1)
Ta có a = 0 v a = 4
Với a = 0 ⇒ b = 0 ( Loại)
Với a = 4 ⇒ b = 3 Ta có số phức z = 4 + 3i
2009 2009 2009 2009 2009
Đáp án: Ta có: 2009 0 1 2009 2009
(1 ) +i =C +iC + + i C
2009 2009 2009 2009 2009 2009
2009 2009 2009 2009 2009 2009
Thấy: 1( )
2
2009 2009 2009 2009 2009 2009
0 2 4 6 2006 2008
2009 2009 2009 2009 2009 2009
+ Ta có: (1 ) +i 2009 = + (1 )[(1 ) ]i +i 2 1004 = + (1 ).2i 1004 = 2 1004 + 2 1004i
Đồng nhất thức ta có A chính là phần thực của (1 ) +i 2009 nên A= 2 1004
(1 +x) =C +xC +x C + + x C
Trang 2Cho x=-1 ta có: 0 2 2008 1 3 2009
2009 2009 2009 2009 2009 2009
(C +C + + C ) ( + C +C + + C ) 2 = .
Suy ra:B= 2 2008
+ Từ đó ta có: 1003 2007
Suy ra:
A= C − C + − n− C − chính là phần thực của khai
triển số phức 8 (1 )n +i 8n− 1
Ta có: 8 (1 )n +i 8n− 1 = 4 (1 ) (1 ) 4 2n +i 8n + =i n 4n+ 4 2n 4n i
Câu 6 : ) Tìm các số thực a, b, c để có:
z3− 2(1 ) +i z2+ 4(1 ) +i z− = − 8 (i z ai z)( 2+ +bz c)
Từ đó giải phương trình: z3− 2(1 ) +i z2+ 4(1 ) +i z− = 8 0i trên tập số phức Tìm môđun của các nghiệm đó
Đáp án:
Cân bằng hệ số ta được a = 2, b = –2, c = 4
Phương trình ⇔ (z− 2 )(i z2 − 2z+ = 4) 0 ⇔ z= 2 ;i z= + 1 3 ;i z= − 1 3i ⇒ z = 2 Câu 7: Trong mặt phẳng tọa độ Tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn các điều kiện: z i− = − −z 2 3i Trong các số phức thỏa mãn điều kiện trên, tìm số phức có mô đun nhỏ nhất.
Đáp án: * Đặt z = x + yi (x; y ∈R)
|z - i| = |Z - 2 - 3i| ⇔ |x + (y - 1)i| = |(x - 2) - (y + 3)i|
* ⇔x - 2y - 3 = 0 ⇔ Tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn só phức z là đường
thẳng x - 2y - 3 = 0
* |z| nhỏ nhất ⇔ |OMuuuur| nhỏ nhất ⇔ M là hình chiếu của O trên ∆
* ⇔ M( 3
5;-6
5) ⇒ z = 3
5-6
5i
Chú ý:
HS có thể dùng phương pháp hình học để tìm quỹ tích điểm M
Câu 8: Giải phương trình sau trên tập số phức (z2 +3z+6) 2 +2z(z 2 +3z+6)-3z 2 = 0
Trang 3Đáp án: Ta thấy z = 0 không là nghiệm của phương trình Chia cả hai vế cho z 2 và đặt
t
z
= , Dẫn tới phương trình : t 2 +2t-3 = 0 ⇔t=1 hoặc t=-3.
Với t=1 , ta có : z 2 +3z+6 = z ⇔ z 2 +2z+6 = 0 ⇔ z = -1± 5i
Với t=-3 , ta có : z 2 +3z+6 = -3z ⇔ z 2 +6z+6 = 0⇔ z = -3 ± 3
Câu 9 : Giải phương trình sau trên tập số phức z4 -z 3 +
2
2
z
+z+1 = 0 Đáp án: z 4 -z 3 +
2
2
z
+z+1 = 0 ⇔ (z 4 +1)-(z 3 -z)+
2
2
z
=0
Chia cả hai vế cho z 2 , ta được : (z 2 + 12
z )
–(z-1
z ) +
1
2=0 ⇔ 2 5
0, 2
w - w+ = (với 1
z
z
2 2i
2 2i
w=
-+ Phương trình : z- 1
z =
1
2+
3
2i cho nghiệm z1=1+i ; z2 =-
1
2(1-i) + Phương trình : z- 1
z =
1
2
-3
2i cho nghiêm z3
=-1
2(1+i) ; z4= 1-i