Đây là một phương pháp dùng các bài toán cực trị trong hình học để giải quyết các bài toán trắc nghiệm cực trị về môđun số phức. Phương pháp này giúp cho học sinh có thể giải quyết được các câu trắc nghiệm hay và khó về cực trị của môđun số phức trong các đề thi thử THPT QG và trong các đề thi THPT QG. Đây là tài liệu không thể thiếu đối với học sinh ôn thi THPT QG phần số phức.
Trang 1MỤC LỤC
MỤC LỤC 1
A ĐẶT VẤN ĐỀ 2
B NỘI DUNG 3
I CƠ SỞ LÍ LUẬN 3
II THỰC TRẠNG 3
III GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 4
*Bài toán 1 5
Ví dụ 1, 2, 3, 4 6
Bài toán (*) 8
Bài tập tự luyện 9
*Bài toán 2 10
Ví dụ 1, 2, 3, 4 ………11
Bài tập tự luyện 13
*Bài toán 3 14
Ví dụ 1, 2, 3 14
Bài tập tự luyện 16
*Bài toán 4 16
Ví dụ 1, 2, 3 17
Bài tập tự luyện 18
*Bài toán 5 19
Ví dụ 1, 2, 3 20
Bài tập tự luyện 21
*Bài toán 6 21
Ví dụ 1, 2, 3, 4 22
Bài tập tự luyện 23
C PHẦN KẾT LUẬN 25
D PHỤ LỤC 26
TÀI LIỆU THAM KHẢO 28
Trang 2A ĐẶT VẤN ĐỀ
Nội dung “số phức” đã được Bộ Giáo dục và Đào tạo chính thức đưa vào chương trình phổ thông gần mười năm qua Trong những năm từ trước năm 2017 nội dung này đã được đưa vào đề thi đại học, nhưng chỉ ở mức độ cơ bản, chưa ở mức độ khó và chưa phải là những câu phân loại Từ năm 2017 đến nay với việc
Bộ Giáo dục và Đào tạo chuyển đổi từ hình thức thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm, thì “số phức” có mặt trong cấu trúc đề thi với tư cách là câu hỏi khó, là câu hỏi quyết định điểm số nhằm mục đích phân loại mức độ hiểu biết và trình độ của đối tượng dự thi Tầm quan trọng không thế thiếu của “số phức” và đặc biệt là các bài toán cực trị của môđun số phức khiến dạng toán này luôn là mối quan tâm lớn trong giai đoạn hiện nay
Xung quanh việc giải các bài toán cực trị của môđun số phức, từ trước tới nay đã có rất nhiều phương pháp hay, đồng thời có nhiều hình thức vận dụng linh hoạt, sáng tạo Tuy nhiên, để bài toán cực trị của môđun số phức ngày càng hấp dẫn và xích lại gần hơn với chúng ta, càng cần hơn nữa những phát hiện quan trọng giúp việc giải toán cực trị của môđun số phức trở nên dễ dàng, đơn giản hơn và nhanh gọn hơn phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm mà Bộ Giáo dục và Đào tạo đang tiến hành
Với hình thức thi trắc nghiệm như hiện nay, thì cần hơn nữa cho học sinh những phương pháp có thuật toán rõ ràng và học sinh chỉ cần tra giả thiết vào là có ngay đáp án Nhưng nhìn chung đa số học sinh đều chưa trang bị được cho mình các phương pháp đó hoặc có thì cũng chưa có tính liên kết phương pháp Là giáo viên tôi luôn trăn trở, tìm cách để giúp cho học sinh của mình có được các phương pháp có thuật toán rõ ràng và luôn định hướng trước mỗi bài toán khó để học sinh
có thể tìm thấy được những thuật toán đó, tạo tích lũy cho bản thân để giải quyết nhanh các bài toán trắc nghiệm trong khoảng thời gian ngắn
Trong hệ thống các bài toán cực trị của môđun số phức có những bài chúng
ta có thể nhận dạng ngay được và tìm ra cách giải rất nhanh Đó là những bài có dạng đơn giản, áp dụng nhanh các phương pháp giải cổ điển và thông dụng Song cũng có nhiều bài toán mà bề ngoài của nó khó nhận dạng, cấu trúc phức tạp khiến người đọc không thể một lúc mà tìm thấy được phương pháp áp dụng phù hợp Với mong muốn góp phần nhỏ đơn giản hóa việc giải các bài toán trắc nghiệm cực trị của môđun số phức khó, làm phong phú thêm hệ thống các phương pháp giải dạng toán này Nhận thức được thực tế đó, tác giả mạnh dạn đề xuất
chuyên đề nghiên cứu “Kỹ thuật sử dụng hình học trong hoạt động giải toán trắc
nghiệm cực trị của môđun số phức” làm đề tài cho sáng kiến kinh nghiệm này
Trang 3B NỘI DUNG
I CƠ SỞ LÍ LUẬN
Hiện nay, trong toán học nói chung, các tài liệu tham khảo toán học hoặc trong giảng dạy toán ở các trường phổ thông nói riêng, đối với bài toán cực trị của môđun số phức thường có các phương pháp giải phổ biến sau đây: phương pháp đại số, phương pháp giải tích, phương pháp hình học Với trình độ lý luận ngày càng cao và sự thay đổi về hình thức thi do đó hệ thống các bài toán nêu ra cũng bắt buộc phải đổi mới theo hướng này Sự đổi mới đó cũng yêu cầu người học tư duy nhiều hơn, tìm tòi nhiều hơn để “phá tan” được lớp bảo vệ và đưa bài toán về đúng bản chất của nó và từ đó có thể giải được một cách nhanh gọn Đối với giáo viên phổ thông, vấn đề giúp học sinh có được kỹ năng này là rất quan trọng và then chốt, đặc biệt đối với những học sinh khá và giỏi
Qua nhiều năm giảng dạy; cùng sự tìm tòi, nghiên cứu của bản thân; học hỏi các giáo viên, giảng viên có kinh nghiệm lâu năm, tác giả đã đúc kết vấn đề trên thành một kỹ thuật được gọi là kỹ thuật sử dụng hình học trong hoạt động giải các bài toán trắc nghiệm về cực trị của môđun số phức
Tổng quan lý luận về kỹ thuật sử dụng hình học trong hoạt động giải toán trắc nghiệm cực trị của môđun số phức: Dựa vào các bài toán cực trị trong hình học phẳng, kết hợp với hình học tọa độ 10 và kết hợp với việc biểu diễn hình học của số phức Từ đó thấy được mối liên hệ giữa hai loại toán này và tìm kỹ thuật chuyển bài toán cực trị của môđun số phức về bài toán cực trị trong hình học mà việc giải quyết nó đã trở nên quen thuộc
Chẳng hạn: Kết hợp hình học tọa độ và biểu diễn hình học của số phức ta có thể chuyển các bài toán cực trị của môđun số phức về các bài toán cực trị trong hình học phẳng quen thuôc như:
1 Cho đường tròn ( )C có tâm I , bán kính R và hai điểm , A B bất kì Điểm
M là điểm di động trên đường tròn ( ) C
a) Tìm vị trí của M để độ dài đoạn AM lớn nhất
b) Tìm vị trí của M để P=AM2+BM2 có giá trị lớn nhất
2 Cho bốn điểm , ,A B M N phân biệt và cố định, một điểm I thay đổi nhưng ,
luôn thỏa mãn IA IB=
a) Tìm vị trí của điểm I sao cho IM IN+ có giá trị nhỏ nhất
b) Tìm vị trí của điểm I sao cho IM IN− có giá trị lớn nhất
…
II THỰC TRẠNG
Trang 4Trong giảng dạy ở trường phổ thông hiện nay, đặc biệt trong dạy ôn thi THPT QG, các bài toán cực trị của môđun số phức là một vấn đề khó tiếp cận với học sinh và giáo viên Cái khó ở đây thể hiện có nhiều phương pháp giải bài toán cực trị của môđun số phức nhưng lại khó vận dụng để áp dụng cụ thể cho từng bài toán đó Mỗi bài toán đưa ra đều được che đậy bởi một lớp phủ bên ngoài bản chất của bài toán Đồng thời các phương pháp giải bài toán cực trị của môđun số phức không thể sử dụng được trực tiếp mà phải thông qua một số kỹ thuật nhất định Nói
cụ thể hơn, từ các bài toán cực trị trong hình học phẳng, kết hợp với hình học tọa
độ và việc biểu diễn hình học của số phức để đưa ra lời giải phù hợp cho bài toán Đây chính là điểm yếu mà học sinh và giáo viên phổ thông cần có thêm sự hộ trợ
để giải quyết các bài toán loại này
Việc chuyển các bài toán cực trị của môđun số phức sang các bài toán cực trị trong hình học, là một vấn đề khá trừu tượng đối với học sinh phổ thông Nhận thức được thực trạng đó tôi đã tiến hành làm thực nghiệm ở các trường THPT Quỳnh Lưu 4, THPT Đông Hiếu và THPT Cờ Đỏ, bằng hai bài kiểm tra 15 phút trên 10 học sinh của mỗi trường
Đề kiểm tra số 1 (Thực hiện khi chưa dạy chuyên đề- Mức độ vận dụng)
Câu 1 Xét các số phức z= +a bi a b( , ) thỏa mãn z =2 2 Tim số phức z để
Đề kiểm tra số 2 (Thực hiện sau khi dạy chuyên đề - Mức độ vận dụng)
Câu 1 Cho hai số phức z z1, 2thoả mãn z1+ − = và 1 i 2 z2 =iz1 Tìm giá trị nhỏ nhất của P= z1− z2
Câu 2 Cho số phức z thỏa mãn z không phải là số thực và w 2
2
z z
=+ là số thực
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P= + − + − − z 1 i z 1 i
Kết quả thực nghiệm trên được trình bày và phân tích trong phần phụ lục ở trang 23 trong đề tài sáng kiến kinh nghiệm này
III GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
Trước hết cần phải khẳng định, đây là dạng toán thường xuyên xuất hiện trong đề thi minh họa, đề thi thử của các trường và đề thi THPT QG Có một số câu của dạng toán này có mặt cũng nhằm mục đích phân loại học sinh khá, giỏi để tìm kiếm và đào tạo chuyên môn mũi nhọn
Trang 5Đối với bài toán cực trị của môđun số phức có nhiều phương pháp giải nhưng trong giai đoạn hiện nay, để giải các bài toán bằng các những phương pháp này, đòi hỏi các đối tượng học cần đào sâu nghiên cứu, để đưa bài toán đa màu sắc
về một dạng toán cụ thể, từ đó người học có thể giải quyết dễ dàng khi gặp những bài toán loại này
Kỹ thuật sử dụng các bài toán cực trị trong hình học là kỹ thuật đưa bài toán ban đầu về các bài toán dễ nhìn thấy phương pháp giải thông thường, tạo khả năng liên kết các bài toán có cùng dạng nhưng đã được phủ bởi một số phép đổi biến
Với gần mười tám năm giảng dạy cùng sự học hỏi, rèn luyện, tự nghiên cứu, bản thân tác giả đã đúc kết một số vấn đề có tính liên kết phương pháp giải bài toán cực trị của môđun số phức bằng kỹ thuật sử dụng các bài toán cực trị trong hình học Sau đây là một số ví dụ sử dụng các bài toán cực trị trong hình học vào hoạt động tìm lời giải cho các bài toán cực trị của môđun số phức
*Bài toán 1 Cho đường tròn ( ) C có tâm I , bán kính R và hai điểm , A B bất kì Điểm M là điểm di động trên đường tròn
a) Gọi là đường thẳng đi qua hai điểm I , A và cắt đường tròn ( ) C tại hai điểm
H , K sao cho điểm I nằm giữa hai điểm A và H Khi đó ta có bất đẳng thức
AMAI+IM=AI+IH=AH , do đó độ dài đoạn thẳng AM lớn nhất khi và chỉ khi điểm M trùng với điểm H
b) Gọi J là trung điểm của đoạn thẳng AB , là
đường thẳng đi qua hai điểm I , J và cắt đường tròn
( )C tại hai điểm H , K sao cho điểm I nằm giữa hai
điểm J và H và góc =MJA Khi đó ta có hai hệ
A
M
J A
B
H
Trang 6Ví dụ 1 Xét các số phức z= +a bi a b( , ) thỏa mãn z = Tính giá trị của 2
là nghiệm của hệ gồm phương trình của IJ và ( )C
Giải ra ta được tọa độ điểm 2 ; 4
− và kết hợp điều kiện đoạn thẳng MJ
có độ dài lớn nhất ta được điểm 2 ; 4
M a b là điểm biểu diễn của số phức z Khi
đó, theo giả thiết suy ra M a b thuộc đường ( ; )
trung điểm của đoạn thẳng AB suy ra J( )0;1
Khi đó đường thẳng IJ: x−2y+ =2 0 và đường
tròn ( ) ( ) (2 )2
C x− + −y = Khi đó tọa độ M
là nghiệm của hệ gồm phương trình của IJ và
( )C Giải ra ta được M(2;2) hoặc M(6;4) và kết hợp điều kiện MJ lớn nhất ta
được M(6;4) Vậy P = + =6 4 10
Nhận xét: Trong Bài toán 1 nếu M ở vị trí của K thì cho ta phương pháp để giải
Trang 7các bài toán tìm giá trị nhỏ nhất (chỉ xét khi đường thẳng AB và đường tròn ( ) C không có điểm chung)
Ví dụ 3 Xét các số phức z= +a bi (a b R, thỏa mãn điều kiện ) z− − =4 i 5 Tính P= 5.(a b+ ) khi biểu thức 1 3 1
x− y − = Giải hệ gồm phương trình đường thẳng IJ và phương trình đường
tròn ( )C ta được hai nghiệm (6;2) và (2;0) Do S=MA MB+ có giá trị nhỏ nhất nên suy ra M( )2;0 Vậy P =2 5
Ví dụ 4 Xét các số phức z= +a bi a b( , thỏa mãn ) z = Tính giá trị của biểu 1
Ta có T = + − +z 2 i 5iz− +1 6i = + − +z 2 i 5 z+ +6 i Gọi M là điểm biễu diễn
số phức z Theo bài ra z = nên quỹ tích điểm 1
Mlà đường tròn ( )C tâm O bán kính R =1 Đặt
( 2;1)
A − , B − − Khi đó ta có ( 6; 1) T =MA+ 5MB
suy ra T 6(MA2+MB2) Do đó biểu thức T đạt
giá trị lớn khi MA2+MB2 có giá trị lớn nhất Sử
dụng kết quả Bài toán 1 với trung điểm của đoạn
AB là điểm I −( 4;0) và dựa vào hình vẽ suy ra Tmax khi Mtrùng với J( )1;0 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M J( )1;0 và
5
MB
MA = suy ra a b+ = + = 1 0 1
Nhận xét: Qua Ví dụ 4 cho ta thấy cũng có thể sử dụng kết quả Bài toán 1 với các
biểu thức có dạng P=.MA+.MB với lưu ý đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
M và HA HB H =
Trang 8* Đến đây thì việc tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=.MA+.MB đã cơ bản được giải quyết qua Bài toán 1 Vấn đề đặt ra là có bài toán hình học nào giúp ta có thể tìm được giá trị nhỏ nhất của biểu thức dạng trên không ? Để trả lời câu hỏi đó ta xét bài toán hình học sau :
Bài toán ( *): Cho đường tròn ( ) C tâm I bán kính R , hai điểm cố định A, B nằm
ngoài đường tròn ( )C và M là điểm di động trên đường tròn Điểm D thuộc đoạn thẳng IA sao cho ID R R
a− + −b = Gọi M là điểm biểu diễn cho số
phức z suy ra M( )C có tâm I( )3;3 và bán kính R =6 Sử dụng kết quả của
Bài toán ( *) với các giả thiết I( )3;3 , R =6, =2, = , 3 A −( 6;3) và B − − ( 1; 5)
ta tìm được D −( 1;3) suy ra đường thẳng BD x = −: 1 Tọa độ giao điểm của đường thẳng BD và đường tròn ( )C là nghiệm hệ phương trình ( ) (2 )2
Trang 9Giải
Ta có P= − − +z 7 9i 2 1( +i z) + −8 8i = − − + −z 7 9i 1 i (1+i z) + −8 8i từ đó suy
ra biểu thức P= − − +z 7 9i 2 z − Sử dụng kết quả của Bài toán ( *) với các giả 8i
thiết I( )1;1 , R =5, =1, = , 2 A( )7;9 và B( )0;8 ta tìm được điểm 5;3
1
z+ + + đạt giá trị lớn nhất z i
A P =0 B P = C 4 P = − D 4 P =6
Bài 2 Xét các số phức z= +a bi a b( , ) thỏa mãn z z( + − 2 4 )i là một số ảo
Tính giá trị của P b a= − khi z i+ + − − đạt giá trị lớn nhất z 2 i
z = − + Gọi z là số phức thoả mãn điều
kiện 3z− 3i = 3 Đặt M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức T với T = + −z z z1 + −z z2 Tính môđun của số phức =M +mi
Trước hết ta giải bài toán hình học sau: Cho tam giác ABC đều nội tiếp trong
đường tròn tâm I bán kính R Gọi H là điểm di động trên cung nhỏ BC Tìm vị trí của H để P HA HB HC= + + có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
Trang 10Gọi A B, là các điểm biểu diễn cho các số phức z1, z2 và H là điểm biểu diễn cho
số phức z Từ điều kiện 3 z− 3i = 3 suy ra A B H và O thuộc đường tròn , ,
2
( ) :
33
C x y
+ − = và ta có tam giác ABO đều nên OH+HA HB+ đạt giá trị
lớn nhất khi H là giao điểm thứ hai của OI với ( ) C và đạt giá trị nhỏ nhất khi H trùng với một trong ba đỉnh của tam giác ABO Khi đó giá trị lớn nhất 4
Nhận xét: Bài toán hình học chứa trong Bài 5 cũng có thể xem là một kỹ thuật để
sử dụng trong hoạt động giải các bài toán trắc nghiệm cực trị của môđun số phức khác
Bài 6 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z = Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1
T = + +z z−
A maxT =2 5 B maxT =2 10 C maxT =3 5 D maxT =5 2
*Bài toán 2 Cho bốn điểm , , A B M N phân biệt và cố định, một điểm I thay ,
đổi nhưng luôn thỏa mãn IA IB=
a) Tìm vị trí của điểm I sao cho IM IN+ có giá trị nhỏ nhất
b) Tìm vị trí của điểm I sao cho IM IN− có giá trị lớn nhất
Giải
a) Gọi là đường trung trực của đoạn thẳng AB, theo giả thiết ta có điểm I thuộc
đường thẳng Khi đó, ta có các trường hợp sau:
Trường hợp 1 Hai điểm M và N nằm về hai phía của , khi đó điểm I chính là
giao điểm của và MN
Trường hợp 2 Hai điểm M và N nằm về cùng một phía của , khi đó gọi M là
điểm đối xứng của M qua , ta có: IM +IN =IM+IN M N Do đó vị trí của
Trên đoạn AH lấy điểm E sao cho HB HE= (1),
trong HBE có BHE=BCA=600 nên HBE đều
Suy ra ABE+EBC = EBC CBH+ =600 suy ra
ABE=CBH Ta cũng có AB BC= và BH =BE
suy ra ABE= CBH c g c( ) suy ra AE =CH(2)
Từ (1) và (2) suy ra HA AE EH= + =HB+HC suy
ra HA HB+ +HC=2HA Vậy Pmax khi và chỉ khi
HA là đường kính và dễ dàng tìm được Pmin khi
H trùng với một trong ba đỉnh của tam giác ABC
Trang 11điểm I để IM IN+ có giá trị nhỏ nhất chính là giao điểm của và M N
b) Gọi đường thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng AB, theo giả thiết ta có
điểm I thuộc Khi đó, ta có các trường hợp sau:
Trường hợp 1 Hai điểm M và N nằm về cùng một phía của đường thẳng , khi
đó điểm I chính là giao điểm của và MN
Trường hợp 2 Hai điểm M và N nằm về hai phía của , khi đó gọi điểm M là
điểm đối xứng của M qua , ta có: IM −IN = IM−IN M N Do đó vị trí của
điểm I để IM IN− có giá trị lớn nhất chính là giao điểm của và M N
*Kỹ thuật sử dụng bài toán 2 trong hoạt động giải bài toán trắc nghiệm cực
nghiệm của hệ gồm phương trình và phương
trình đường thẳng M N Giải ra ta được điểm
Ví dụ 2 Cho các số phức z thỏa mãn điều kiện z + + = − − Biểu thức Q 1 i z 1 3i
với Q= − − − − +z 2 i z 3 2i đạt giá trị lớn nhất tại z= +a bi (a b, ) Tính
3
P= − a b
A P = −45 B P = − C 5 P = − D 9 P = 9
Giải
Trang 12Sử dụng kết quả của Bài toán 2 b) Trường hợp 2
Với các giả thiết A − − , ( 1; 1) B( )1;3 , đường trung
và đường thẳng M N : 7x+9y− =3 0 Tọa độ điểm
I cần tìm là nghiệm của hệ gồm phương trình
đường thẳng và phương trình M N Giải ra ta
P=MM +MM + suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu
thức P khi điểm M ở vị trí thỏa mãn Pmin =MI +MJ
Sử dụng kết quả Bài toán 2 với : 3x 2 y 12− − =0, I( )3;4 và J( )6;8 Khi đó ta
Trang 13Ví dụ 5 Cho số phức z thỏa điều kiện z+ = + Giá trị nhỏ nhất của biểu 2 z 2i
thức P = − − + − − + − − z 1 2 i z 3 4 i z 5 6 i được viết dưới dạng 17
biểu diễn cho số phức z Từ giả thiết, ta có điểm M
thuộc đường trung trực : y=x của đoạn thẳng EF và
P= AM+BM +CM Ta chứng minh điểm M chính là
hình chiếu vuông góc của B lên đường thẳng Với
M’ tùy ý thuộc , M’ khác M Gọi A’ là điểm đối xứng
của A qua Nhận thấy rằng ba điểm A’, M, C thẳng
hàng
Khi đó AM'+BM'+CM' = A M' '+BM'+CM' mà ta lại có A M' '+CM' A C' '
Nhận xét: Qua đây cho ta thấy việc giải quyết các bài toán cực trị của môđun số
phức nhờ kỹ thuật sử dụng các kiến thức hình học phẳng quen thuộc phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm hiện nay
Bài 2 Cho các số phức z thỏa mãn điều kiện z− +3 2i = − − Biểu thức Q z 1 i
với Q= − − − − +z 2 i z 3 2i đạt giá trị lớn nhất tại số phức z= +a bi (a b, ) Tính P=4a−7b
A P = B 3 P = C.4 P =10 D P = − 7
Trang 14Bài 3 Cho các số phức z thỏa mãn điều kiện iz − = − − Biểu thức Q 3 z 2 i
*Bài toán 3 Cho đường tròn ( )T có tâm I , bán kính R , đường thẳng không có
điểm chung với ( )T Tìm vị trí của điểm M trên ( )T , điểm N trên sao cho MN
đạt giá trị nhỏ nhất
Giải
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên và J là
giao điểm của IH với ( )T Với điểm M thuộc đường
tròn ( )T và điểm N thuộc đường thẳng Khi đó, ta
có bất đẳng thức MNIN−IM IH−IJ =JH (1)
Đẳng thức (1) xảy ra khi N , M J H Vậy khi điểm
M trùng với J và N trùng với H thì MN đạt giá trị
A P = −2 2−2 B P = 2−2 C P = − 2 2− D P = −2 2