Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải quyết các bài toán số phức bằng phương pháp hình học

Học sinh muốn đạt điểm khá, giỏi trong kì thi THPT Quốc Gia cầngiải quyết tốt những câu vận dụng thấp và vận dụng cao có trong đề thi và nộidung về số phức nằm trong chương trình Giải Tí

PHẦN I MỞ ĐẦU

I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI.

Toán học là khoa học của mọi ngành khoa học Học toán giúp bản thân họcsinh rèn luyện khả năng tư duy, phát triển trí tuệ và có cách giải quyết các vấn đềmột cách khoa học Tuy nhiên thực tế hiện nay nhiều học sinh học một cách máymóc, rập khuôn, chỉ biết giải quyết bài toán theo một phương pháp đã có vì vậyhọc sinh trở nên thụ động khi gặp những bài toán không có một khuôn mẫu nhấtđịnh Trong chương trình nội dung môn Toán ở trường phổ thông được chia thànhhai phần đó là Đại số, Giải Tích và phần Hình học Học sinh luôn nghĩ rằng hai nộidung nay hoàn toàn không liên quan đến nhau mà không nhận ra rằng đại số giảitích và hình học luôn có mối liên hệ chặt chẽ với nhau Vậy làm thế nào để nhữnghọc sinh có năng lực khá, giỏi thấy được mối liên hệ đó để vận dụng nó tốt nhấtvào giải quyết các bài toán đại số và học sinh cảm thấy hứng thú Đó là câu hỏi màrất nhiều giáo viên quan tâm

Trong hai năm gần đây, sau khi chuyển môn toán từ hình thức thi tự luận sanghình thức thi trắc nghiệm đề thi THPT Quốc Gia môn Toán có sự mở rộng rõ rệt

Đề thi có nhiều câu hỏi hay, mới lạ, yêu cầu học sinh phải thật sự hiểu và vận dụngđược kiến thức Học sinh muốn đạt điểm khá, giỏi trong kì thi THPT Quốc Gia cầngiải quyết tốt những câu vận dụng thấp và vận dụng cao có trong đề thi và nộidung về số phức nằm trong chương trình Giải Tích là một trong những nội dunghay được quan tâm hiện nay

Phần nhiều học sinh khi giải quyết các bài toán số phức phần vận dụng caoluôn biến đổi theo các công thức giải tích, vì vậy việc biến đổi rất dài dễ gây nhầmlẫn và tốn nhiều thời gian Bên cạnh đó nhiều bài toán số phức mới lạ nên học sinhthường lúng túng không biết giải quyết Từ những vấn đề đó tôi lựa chọn đề tài:

“ Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải quyết các bài toán số phức bằng phương pháp hình học”.

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

- Giúp học sinh hình thành tư duy logic, hệ thống và tư duy sáng tạo.

- Hình thành kĩ năng giải quyết bài toán số phức bằng phương pháp hình học III.ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU.

1 Đối tượng nghiên cứu:

- Chương IV chương trình Giải tích lớp 12 Nâng cao

- Khách thể: Học sinh lớp 12A4; năm học 2018- 2019 Trường THPT Lê Lợi.

2 Phạm vi nghiên cứu:

Đề tài nghiên cứu các bài toán số phức vận dụng thấp, vận dụng cao có thểgiải quyết bằng phương pháp hình học hiệu quả

IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

1 Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết

Thu thập, nghiên cứu và hệ thống lại các tài liệu có liên quan đến đề tài đểlàm cơ sở nghiên cứu

2 Phương pháp thực nghiệm sư phạm

- Tiến hành dạy học môn Toán nội dung Giải Tích 12 tại các lớp là kháchthể nghiên cứu

- Khảo sát tính khả thi và hiệu quả thực hiện đề tài

3 Phương pháp phân tích, đánh giá kết quả, thống kê xử lí số liệu.

Sử dụng công thức toán thống kê để xử lí số liệu thu thập được nhằm đánhgiá kết quả thực nghiệm

4 Phương pháp viết báo cáo khoa học.

PHẦN II NỘI DUNG SÁNG KIẾN I.CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN

1 Lý thuyết về số phức

1.1.Định nghĩa số phức

- Một số phức là một biểu thức có dạng a bi , trong đó a và b là những sốthực và i thỏa mãn i 2 1 Kí hiệu số phức đó là z và viết z = a +bi

- i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực và b được gọi là phần ảo của

0

z z

- Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z1  x yi; N là điểm biểu diễn của sốphức z2  x' y i' Khi đó:

- Ý nghĩa hình học của phép cộng trừ hai số phức:

Nhận xét 1:Cho hai số phức z  1 x yi có điểm biểu diễn là M; z2  x' y i' có điểmbiểu diễn là N Khi đó:

- Vectơ n  0 có giá vuông góc với đường thẳng d được gọi là véc tơ pháptuyến của đường thẳng d.

- Vectơ u  0 có giá song song hoặc trùng với đường thẳng d được gọi là véc

tơ chỉ phương của đường thẳng d

B

2.3 Elip

- Trong mặt phẳng Oxy, tập hợp điểm M có tổng khoảng cách tới 2 điểm E, F

cố định bằng một số 2a không đổi là đường Elip có 2 tiêu điểm là E, F có độ dàitiêu cự là EF 2c ; trục dài bằng 2a; trục nhỏ bằng 2b trong đó b a2  c2

-3.Các kiến thức cơ bản về vectơ

- Cho 3 điểm A, B, C ta có các quy tắc sau:

Quy tắc cộng 3 điểm:              AB BC                             AC

Quy tắc trừ : AB AC CB 

  

- Cho hình bình hành ABCD, ta có:              AB AD AC                             

- Tích vô hướng của 2 vectơ a b;

 

: a b  a b  .cos ; a b 

II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ.

Trong những năm học trước, trong quá trình dạy học sinh lớp 12 ôn thi

THPTQG tôi đã dùng phương pháp khảo sát thực tế từ học sinh và quá trình dạyhọc của bản thân và đồng nghiệp về nội dung số phức ở mức độ vận dụng thấp,vận dụng cao, bản thân tôi thấy học sinh gặp những trở ngại sau:

- Học sinh biến đổi theo phương pháp giải tích dài, mất nhiều thời gian.

- Có nhiều bài toán tìm GTLN, GTNN sử dụng bất đẳng thức làm học sinh

cảm thấy khó khăn từ đó dẫn đến học sinh ngại làm các bài tập đó

- Có những bài toán học sinh không biết bắt đầu từ đâu, chỉ biến đổi mày

mò, không có hướng cụ thể

- Học sinh chưa có phương pháp cụ thể cho những bài toán số phức làm

theo phương pháp hình học

Từ những vấn đề trên, khi áp dụng vào quá trình dạy học năm học 2018 –

2019, tôi đã có một số biện pháp khắc phục như sau:

- Ôn tập, rèn luyện các kĩ năng về các bài toán vectơ, bài toán hình học

phẳng thành thục

- Xây dựng hệ thống bài toán gốc để áp dụng vào giải các bài toán số phức.

- Hướng dẫn nhận dạng các bài toán có thể sử dụng phương pháp hình học.

- Phân chia các dạng toán và xây dựng các bước thực hiện giải quyết bài

toán

III GIẢI PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.

Để hướng dẫn học sinh giải quyết tốt các bài toán số phức vận dụng thấp, vậndụng cao dựa vào phương pháp hình học trước hết cần chia hệ thống bài tập thành

3 dạng:

- Bài toán tìm quỹ tích của điểm biểu diễn số phức.

- Bài toán tìm số phức thỏa mãn yêu cầu liên quan đến hình học phẳng.

- Bài toán tìm GTLN, GTNN của modul số phức.

1 Tìm tập hợp điểm của số phức thỏa mãn điều kiện.

Bài toán tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức là một trong số các bài toán cơbản mà học sinh cần phải nắm vững Đây được xem là một trong số những bài toáncăn bản để có thể giải quyết các bài toán số phức phức tạp hơn

- Nếu số phức z thỏa mãn: z z 0 R thì tập hợp các điểm biểu diễn số phức

z nằm trên đường tròn tâm I biểu diễn số phức z0, bán kính R

- Nếu giả thiết có z c  z c 2a ; a; c là hằng số cho trước thì tập hợpđiểm biểu diễn số phức là một elip có độ dài trục lớn bằng 2a

- Nếu bài toán không có các dạng trên có thể sử dụng các tính chất modun

số phức đưa về các dạng quen thuộc trên

Bước 2: Chuyển các giả thiết đã cho sang các khái niệm hình học.

- Cho số phức z z1 ; 2 có các điểm biểu diễn lần lượt là A, B, điểm M biểu diễn

số phức z thỏa mãn z z 1  z z2 Khi đó ta có: MA = MB, hay M thuộc đường

trung trực của AB

- Nếu điểm M biểu diễn số phức z; A biểu điễn số phức cho trước z0

z z a a hay MA a tức M thuộc đường tròn tâm A, bán kính R a

- Nếu MA MB 2a thì M thuộc đường Elip có tiêu điểm là A, B độ dài trụclớn bằng 2a

- Trong trường hợp bài toán xuất hiện số phức mới có liên quan đến số phức

cũ, có thể tìm cách biểu diễn số phức mới qua số phức cũ rồi mới chuyển giả thiếtsang các khái niệm hình học

Bước 3: Tím mối quan hệ giữa yêu cầu đề bài với các giả thiết đã cho và kết luận.

1.1 Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường thẳng.

Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn: z 3 2 i   z 1 i

a Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z

b Tìm tập hợp các điểm N biểu diễn số phức W z i 

Lời giải

a Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z 3 2i A3; 2 

Gọi B là điểm biểu diễn số phức z 1 i B1; 1

Theo bài ra ta có : MA = MB nên tập hợp các điểm M nằm trên đường thẳng d

là đường thẳng trung trực của đoạn thẳng AB

  Vậy tập hợp các điểm A nằm trên đường thẳng có phương trình:

1.2 Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường tròn.

Bài 1 Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn:

a z 3i2 5 b.iz 2 1 4i  c.1i z z1 3 5 i i 6

Lời giải

a Gọi A là điểm biểu diễn số phức z0   2 3i

Gọi M là điểm biểu diễn số phức z

Theo bài ra MA = 5 nên M nằm trên đường tròn tâm A (-2; 3); R = 5

Vậy tập hợp điểm biểu diễn w thuộc đường tròn tâm I4; 5 ;  R4.

1.3.Quỹ tích điểm là đường Elip

Bài 1 (Toán học tuổi trẻ , số 478, năm 2017).Cho số phức z thỏa mãn:

A Một đường tròn B Một đường thẳng C Một Elip D.Hình khác.

3 Cho số phức z thỏa mãn z 2 Tập hợp điểm biểu diễn số phức

Bước 1 Chuyển các dữ kiện bài toán sang các khái niệm hình học

Thông thường ta sẽ gặp các dữ kiện như đường tròn, đường thẳng , véc tơ…

- Có thể bài toán chưa có dấu hiệu hình học, nhưng qua phép biến đổi đại số

sẽ đưa được về phương trình đường tròn, đường thẳng……Phần này sẽ được đềcập rõ ràng hơn trong phần bài tập

Bước 2: Chuyển yêu cầu đề bài về các yếu tố hình học:

- Nếu đề bài yêu cầu tính modun số phức ta chuyển về độ dài đoạn thẳng, số

số phức ta chuyển về sự tương giao giữa 2 đường thẳng hoặc đường thẳng đườngtròn, hai đường tròn

- Trong khi chuyển yêu cầu đề bài sang yếu tố hình học cần chú ý đến việc

có xuất hiện số phức mới ? Nếu có, ta thường tìm mối quan hệ giữa yếu tố mới và

cũ rồi mới chuyển sang yếu tố hình học

Bước 3: Tìm mối quan hệ hình học giữa giả thiết và yêu cầu bài toán:

- Để tìm được các mối quan hệ này trước hết cần thực hiện vẽ hình.

- Chú ý đến các tam giác vuông, cân, đều

- Mối quan hệ giữa đường tròn và dây cung.

2.2.Bài tập.

Bài 1 (Đề minh họa Sở giáo dục và đào tạo Thanh hóa) Cho các số phức z1 ,z2

thỏa mãn: z 1 2i 5 và z1  z2  8 Tìm modul của số phức w  z1 z2  2 4  i

Lời giải Cách 1: Sử dụng phương pháp đại số

Gọi điểm A, B lần lượt biểu diễn số phức z z1 ; 2

Khi đó A, B nằm trên đường tròn tâm I1; 2 ;  R 5

Gọi F là trung điểm của AB, F là điểm biểu diễn số phức

1 2 2

Bước 3: Áp dụng định lí pitago vào

tam giác IFB có AB  8 FB 4 ta

có:IF 3

Vậy w 6

Nhận xét: Qua hai cách giải ta thấy nếu bài toán dùng hình học sẽ rất nhanh,

không mất nhiều thời gian vào việc suy nghĩ được w 1  w 22 w -w 1 2 2  2 w 12 2 w 22, vì vậy tiết kiệm nhiều thời gian khi làm bài thi

Bài 2: Trong mặt phẳng phức xét 2 điểm A, B lần lượt biểu diễn các số phức z và

1 3i z  Biết diện tích tam giác OAB bằng 6 Tính modun của số phức z

Bài 3 Có bao nhiêu số phức thỏa mãn z  1 z i và z 2 i 3

A 1 B 3 C 0 D.2

Lời giải

Phân tích bài toán: Nhìn vào giả thiết ta thấy tâp hợp điểm biểu diễn số

phức z thuộc đường tròn và đường thẳng Bài toán chỉ yêu cầu số số phức thỏamãn yêu cầu nên ta chỉ cần tìm vị trí tương đối của đường thảng và đường tròn

Gọi M, A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức z z ; 1; z i

;z  2 i Khi đó: A1;0 ; B0;1 ; C2;1

Từ giả thiết ta có: 3

MA MB MC

giao điểm của 2 đường tròn

Vì 2 IJ= 3 232 3 2 8 nên 2 đường

Gọi H , K lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức z 1 ;i z 3 3i  MH MK

nên M nằm trên đường thẳng d là đường trung trực của HK với H1;1 ; K3; 3 

Khi đó số phức z thỏa mãn chính là số giao điểm của đường thẳng d và hình (H).Phương trình đường thẳng d là: x 2y 4 0

Ta có d I d ;  R d J d;  ;  R và B0; 2  đều thuộc đường thẳng d và hai cung trònnên đường thẳng d cắt (H) tại 3 điểm

Vậy có 3 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán

Nhận xét: Bài toán này không thể ngay lập tức chuyển các giả thiết sang các khái

niệm hình học giống các bài tập 1, 2, 3, 4 mà cần thực hiện biến đổi theo đại số thông thương để tìm ra hình (H) Vì vậy trong những bài toán mà giả thiết không

có dấu hiệu đặc trưng như đường thẳng, đường tròn, elip,góc hoặc biểu thức

Bài 6 Cho các số phức z z1 ; 2 thỏa mãn: z1  2; z2  3 Gọi M, N là các điểm biểudiễn các số phức z iz1 ; 2, biết MON  300 Tính Sz12 4z22

A 5 B.4 7 C.3 3 D.5 2

Lời giải

Bước 1: Chuyển giả thiết sang các yếu tố hình học.

1 2

z   M nằm trên đường tròn tâm O R ; 2

z   iz i  N nằm trên đường tròn tâm O R ; 3

Bước 2: Chuyển yêu cầu bài toán về yếu tố hình học.

Gọi z x yi x y R   ,   có điểm biểu diễn là M x y ;  Khi đó:

1 Tính modul của tất cả các số phức z thỏa mãn 2z1   z 1 i , đồng thời điểmbiểu diễn của z trên mặt phẳng tọa độ thuộc đường tròn tâm I1;1 ; R  5

3.(Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An – lần 4) Cho số phức z thỏa mãn

3 Các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của modul số phức.

Các bài toán liên quan đến giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của modul số phức

là một trong những câu hỏi khó Để giải quyết các bài toán này, ngoài phươngpháp đại số hoặc phương pháp lượng giác hóa thì phương pháp hình học là mộtcông cụ mạnh để học giải quyết các bài toán nhanh chóng

Trong hệ thống bài tập này ta thường chia thành các dạng sử dụng hình học cụ thểnhư sau:

+ Mối quan hệ giữa điểm và đường thẳng

+ Mối quan hệ giữa điểm , đường thẳng, đường tròn, hai đường tròn

+ Mối quan hệ giữa điểm và Elip

3.1 Phương pháp chung.

Bước 1 Chuyển các dữ kiện bài toán sang các khái niệm hình học

Thông thường ta sẽ gặp các dữ kiện như đường tròn, đường thẳng , véc tơ….+ Có thể bài toán chưa có dấu hiệu hình hoc, nhưng qua phép biến đổi đại

số sẽ đưa được về phương trình đường tròn, đường thẳng……Phần này sẽ được đềcập rõ ràng hơn trong phần bài tập

Bước 2: Chuyển yêu cầu đề bài về các yếu tố hình học:

- Nếu đề bài yêu cầu tính modun số phức ta chuyển về độ dài đoạn thẳng,

khoảng cách từ 1 điểm đến một đường thẳng Cần chú ý nếu xuất hiện số phức mớicần chuyển số phức cũ sang số phức mới để chuyển sang yếu tố hình học tránhnhầm lẫn

Bước 3: Tìm mối quan hệ hình học giữa giả thiết và yêu cầu bài toán:

- Để tìm được các mối quan hệ này, cần thực hiện vẽ hình và quan sát.

- Sử dụng các bài toán gốc

- Cần chú ý kết hợp bất đẳng thức Bunhia

3 2.Các bài toán sử dụng mối quan hệ giữa điểm và đường thẳng.

3.2.1 Các bài toán hình học cơ bản.

Bài toán 1 Cho đường thẳng d và điểm M nằm ngoài d Tìm N thuộc d sao cho

khoảng cách MN là ngắn nhất

Lời giải.

Gọi N là hình chiếu của điểm M trên d.

Gọi N1 là điểm bất kì thuộc d

Xét tam giác vuông MNN1 , ta có:

1

MNMN

Vậy MN ngắn nhất khi N là hình chiếu của

M trên d hay MNmin d M d ; 

Bài toán 2 Cho đường thẳng d và 2 điểm A, B Tìm M thuộc d sao cho MA + MB

nhỏ nhất trong các trường hợp sau:

a A, B khác phiá so với d b A, B cùng phía so với đường thẳng d

Lời giải

a Lấy M’ bất kì thuộc d Ta có:

M A M B AB 

Dấu “=” xảy ra khi A, M’, B thẳng hàng

Vậy MA + MB nhỏ nhất khi M là giao

điểm của AB và d

b Lấy A’ đối xứng với A qua d

Lấy M’ thuộc d, khi đó:

Gọi M là điểm biểu diễn số phức w

 M nằm trên đường trung trực của AB với A1; 2 ;  B3;0

Phương trình đường trung trực của AB là: x y  1 0

I  

  Phương trình đường thẳng d là :  

Trong tập số phức cho số phức z thỏa mãn: z 2i  z 2 Tìm GTNN của biểuthức P z 2i  z 5 9  i

Lời giải

Gọi M, A, B lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức z; z2 ; i z2