Đề cương ôn tập hè Toán 7 năm học 2009 - 2010

Cộng trừ đa thức một biến 7 – Nghiệm của đa thức một biến II – Hình Học: QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY TRONG MỘT TAM GIÁC 1 – Quan hệ giữa góc và cạnh đối di

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HÈ

MÔN TOÁN LỚP 7

A.Cấu Trúc:

1 – Khái niệm về biểu thức đại số

2 – Giá trị của biểu thức đại số

3 – Đơn thức

4 – Đơn thức đồng dạng

5 – Đa thức

6 – Cộng trừ đa thức

a Cộng trừ đa thức nhiều biến

b Cộng trừ đa thức một biến

7 – Nghiệm của đa thức một biến

II – Hình Học: QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC

CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY TRONG MỘT TAM GIÁC

1 – Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác

2 – Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu

3 – Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác Bất đẳng thức tam giác

4 – Tính chất ba đường trung tuyến của một tam giác

5 – Tính chất tia phân giác của một góc

6 – Tính chất chất ba đường phân giác của tam giác



B Nội Dung:

1 – Khái niệm về biểu thức đại số

* Khái niệm: Những biểu thức mà trong đó ngoài các số, các kí hiệu phép toán cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên luỹ thừa còn có cả chữ (đại diện cho các số) Người ta gọi những biẩu thức như vậy là biểu thức đại số

* Ví dụ: Các biểu thức đậi số là: 4x ; 2 5 a   ; 3 x y   ; 2

x ; xy ; 150

t ;

1 0,5

2 – Giá trị của biểu thức đại số

* Để tính giá trị của biểu thức đại số tại những gí trị cho trước của các biến, ta thay các gía trị cho trước đó vào biểu thức rồi thực hiện các phép tính

* Ví dụ:

Vd 1 : Cho biểu thức 2m n Hãy thay m = 9 và n = 0,5 vào biểu thức rồi thưc hiện phép tính

Giải

- Thay m = 9 và m =0,5 vào biểu thức đã cho ta được:

2.9 + 0,5 = 18,5

- Vậy giá trị của biểu thức 2m n tại m = 9 và n = 0,5 là 18,5 hoặc 18,5 là giá trị của biểu thức 2m n

tại m = 9 và n = 0,5

Vd 2:Tính giá trị của biểu thức: 3x2 9x tại x 1

Giải

Trường THCS Phong Điền Đề Cương Oân Tập Hè Môn Toán 7 GV: Phạm Văn Thái

- Thay x 1 vào biểu thức 2

3x  9xta được:

3.12 - 9.1 = -6

- Vậy giá trị của biểu thức 3x2 9xtạix 1là -6

3 – Đơn thức

* Khái niệm: Đơn thức là biểu thức đại số chỉ gồm một số, hoặc một biến, hoặc một tích giữa các số và các biến

*Ví dụ: Các đơn thức là: 9 ; 3

5; x; y;

3

2x y ; xy z2 5; 3 3 2

4x y xz

* Đơn thức thu gọn:

- Khía niệm: Đơn thức thu gọn là đơn thức chỉ gồm tích của một số với các biến,

mà biến đã được nâng lên luỹ thừa với số mũ nguyên dương (mỗi biến chỉ suất hiện một lần)

+ Các số nĩi trên là: Hệ số + Phấn cịn lại là : Phần biến

- Vd: Những đơn thức thu gọn: x; 2x y ; 3 xy z2 5 Trong đĩ: 1 ; 2 ; -1 là hệ số và x; x y ; 3 xy z là phần biến.2 5

* Bậc của đơn thức :

- Khái niệm : Bậc của đơn thức cĩ hệ số khác O là tổng số mũ của tất cả các biến

cĩ trong đơn thức đĩ

- Vd : Bậc của đơn thức xy z 2 5 ta thấy :x cĩ số mũ là 1, y cĩ số mũ là 2 và z cĩ số

mũ là 5 Vậy bậc của đơn thức này là tổng số mũ các biến :1 + 2 + 5 = 8 Ta noi 8 là bậc của đa

thứcxy z2 5

* Nhân hai đơn thức:

- Quy tắc: Để nhân hai đơn thức đã thu gọn ,ta nhân hệ số với với nhau và nhân các phần biến với nhau

- Vd:  2   4    2   4 5

2x y 9xy  2.9 x x yy 18xy

4 – Đơn thức đồng dạng

* Khái niệm: Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức cĩ hệ số khác O và cĩ cùng phần biến

* Ví dụ: Các đơn thức đồng dạng 3 2 3 2 1 3 2

4

x y  x y x y ( các số cũng được coi là đơn thức đồng dạng)

* Cộng, trừ đơn thức đồng dạng:

- Khái niêm: Để cộng, trừ các đợn thức đồng dạng, ta cộng (hay trừ) các hệ số với nhau và giữ nguyên phần biến

- Ví dụ:

Vd 1 : Để cộng hai đơn thức đồng dạng ta làm như sau:

2x y x y (2 1). x y3x y

Vd 2 : Để trừ hai đơn thức đồng dạng ta làm như sau:

2x y x y (2 1). x y x y

5 – Đa thức

* Khái niệm: Đa thức là một tổng của những đơn thức Mỗi đơn thức trong tổng đĩ gọi là một hạng tử của đa thức đĩ

* Ví dụ: Các đa thức: 2x y xy2  1 ; 3x2 y235xy 7x

2x y xy; ;1 ( hạng tử tự do) và 3 ; ;2 2 5 ;7

3

xy là các hạng tử

* Thu gọn đa thức:

N x y xy x y xy x  x y xy x

* Bậc của đa thức:

- Khái niệm: Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức đó

- Vd 1 : 2 5 4 6

1

M x y  xy y  Trong đó 2 5

x y có bậc 7, 4

xy

 có bậc là 5 , 6

y có bậc

là 6, và 1 có bậc là O Bậc cao nhất trong các hạng tử đó là 7 Ta nói 7 là bậc của đa thức M

* Chú ý: Số O cũng được gọi là đa thức không và nó không có bậc

6 – Cộng trừ đa thức

a Cộng trừ đa thức nhiều biến.

* Cộng hai đa thức:

Để cộng hai đa thức : M x y5  5x 3 và 4 5 5 1

2

N xyz x y x ta làm như sau:

5

1

2 1

2 1

2 1

2

* Trừ hai đa thức:

Để trừ hai đa thức trên ta làm như sau:

5

1

2 1

2 1

2 5

5

2

x y xyz

b Cộng trừ đa thức một biến

* Cộng hai đa thức:

Để cộng hai đa thức : P x( ) 2 x55x4 x3x2 x1; ( )Q x  x4x35x2 ta làm như sau:

5 4 2

* Trừ hai đa thức:

Để trừ hai đa thức trên ta làm như sau:

A

C

B

A

C

Trường THCS Phong Điền Đề Cương Oân Tập Hè Môn Toán 7 GV: Phạm Văn Thái

5 4 3 2

* Chú ý: Ngồi cách trên ta cịn cĩ cách cộng, trừ bang cách đặt phép tốn dạng cột ( tham khảo sgk)

7 – Nghiệm của đa thức một biến

* khái niệm: Nếu tại x=a, đa thức P(x) cĩ gí trị bằng O thì ta nĩi a ( hoặc x=a)là

một nghiệm của đa thức đĩ

* Ví dụ:

Vd1: x 1 cĩ là nghiệm của đa thưc A x( )x21

Giải

- Thay x 1 vào đa thức 2

A x x  ta được:

2 (1) 1 1

1 1 0

  

- Vậy x 1 là nghiệm của đa thức 2

A x x 

Vd2: Tìm nghiệm của đa thức 2

B x x 

Giải

- Nghiệm của đa thức B x( )x21 là giá trị làm cho đa thức B x ( ) 0 nghĩa là:

2 2

1 0 1

x x

 



- Vậy x 1;x 1là nghiệm của đa thức B x( )x21

II – Hình Học: QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC

CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY TRONG MỘT TAM GIÁC

1 – Quan hệ giữa gĩc và cạnh đối diện trong một tam giác

* Định lí 1: Trong một tam giác, gĩc đối diên với cạnh lớn hơn là gĩc lớn hơn

TQ: BC  AC  AB AB C

Vd1: Cho BC 12cm AC; 8cm AB; 6.So sánh Các gĩc:   A B C ; ;

Giải:

Ta thấy BC  AC  ABnên A B C 

* Định lí 2: Trong một tam giác, cạnh đối diện với gĩc lớn hơn thì canh đĩ lớn hơn

TQ:A B C  BC  AC  AB

Vd2: Cho A100 ;0 B 50 ;0 C 300 So sánh Các cạnh: BC AC AB ; ;

d A

d B

A

C H

d A

B

B

A

C

B

A

C

Giải:

Ta thấy A B C  nênBC  AC  AB

2 – Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu

* Khái niệm :

- AH đoạn vuông góc hay đường vuông góc

- AB là đường xiên kẻ từ A đến đường thẳng d

- HB là hình chiếu của hình xiên AB trên đường thẳng d

* Mối quan hệ:

- Đường vuông góc và đường xiên:

+ Định lí 1: Trong các đường xiên và đường vuông góc

Kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất

+ Chẳng hạn: như hình vẽ thì AH < AB

- Các đường xiên và hình chiếu của chúng;

+ Định lí 2: Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó:

a) Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn;

b) Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn

c) Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau

, và ngược lại, nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau

+ Chẳng hạn:

- HC > HB nên AC > AB

- AC > AB nên HC > HB

- AB = AC nên HB = HC ngược lại HB = HC nên AB + AC

3 – Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác Bất đẳng thức tam giác

* Định lí: Trong một tam giác tổng độ dài hai cạnh bất kỳ bao giờ cũng lớn hơn cạnh còn lại

Chẳng hạn: + AB + AC > BC

+ AB + BC > AC + AC + BC > AB

*Hệ quả: Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng nhỏ hơn độ dại

cạnh còn lại

+ AB - AC < BC + AC – AB < BC

+ AB - BC < AC + BC – AB < AC

+ AC - BC < AB + BC – AC < AB

* Nhận xét: Trong một tam giác, độ dài cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn

tổng độ dài hai cạnh còn lại

+ AB – AC < BC < AB + AC

+ AB – BC < AC < AB + BC

+ AC – AB < BC < AC + AC + AC – BC < AB < AC + BC + BC – AB < AC < BC + AB + BC – AC < AB < BC + AC

A

C M

G B

A

C M

E F

x

y

z

B

A

O

M

x

y B

A

Trường THCS Phong Điền Đề Cương Oân Tập Hè Môn Toán 7 GV: Phạm Văn Thái

* Ví dụ:

- Bộ ba đoạn thẳng vẽ được tam giác: 2cm;3cm;4cm

Vì: 2 + 3 = 5 > 4 và 4 – 3 = 1 < 2 thoả mãn bất dẳng thức

- Bộ ba đoạn thẳng khơng vẽ được tam giác: a)2cm;2cm;4cm b)1cm;2cm;5cm

Vì: a) 2 +2 = 4 và 4 – 2 = 2 khơng thoả mãn bất dẳng thức b) 1 + 2 = 3 < 5 và 5 – 2 = 3 > 1 khơng thoả mãn bất dẳng thức

4 – Tính chất ba đường trung tuyến của một tam giác

* Khía niệm:

- AM là đường trung tụyến của tam giác ABC

- Mỗi tam giác cĩ ba đường trung tuyến

* Định lí: Ba đường trung tuyến cùng đi qua một điểm

Điểm đĩ cách mỗi đỉnh một khoảng bang 2

3

độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy

3

GA MA GB EB GC FC

GA GM GB GE GC GF

GM MA GE EB GF FC

MA GA EB GB FC GC























* Chú ý : Điểm G gọi là trọng tâm của tam giác

5 – Tính chất tia phân giác của một gĩc.

* Định lí 1: Điểm nằm trên tia phân giác của một gĩc thì cách đều hai cạnh của gĩc đĩ

TQ :Cho xOy cĩ Oz là phân giác A Ox B Oy M Oz ;  ;  Vậy MA = MB

* Định lí 2 : ( Đảo) Điểm nằm bên trong một gĩc và cách đều hai cạnh của gĩc thì nằm trên tia phân giác của gĩc đĩ

TQ :Cho xOy với MxOy; A Ox B Oy ;  Vậy M thuộc tia phân giác xOy.

 Chú ý : Cĩ thể dùng thước thẳng để vẽ được tia phân giác của một

gĩc cho trước

B

A

C M

E F

L

H K

6 – Tính chất chất ba đường phân giác của tam giác

* Định lí : Ba đường phân gíac của một tam giác cùng đi qua một điểm Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đĩ

ChoABC với AM BE CF; ; lần lượt là ba phân giác các   A B C; ;

Vậy : IM = IK = IL ( I là giao của ba đường phân giác)

C – Bài tập :

I – Trắc nghiệm :

Chọn câu đúng nhất trong các câu sau đây rồi điền trên giấy kiểm tra một chữ cái in hoa đầu dòng:

1 – Đơn thức nào đồng dạng với đơn thức 2x y2 :

2 – Bậc của đa thức x y2 2xy 3x2 là:

3 – Giá trị của biểu thức 3

P x x  x tại x 1 là:

A P(1) 2 B P(1) 1 C P(1) 0 D P(1)1

4 – Hệ số có bậc cao nhất trong đa thức P x( ) 4 x32x2 3x2 là:

5 – Nghiệm của đa thức 2

P x x  x là:

6 – Đa thức 4 2 4 3 2 1

2

x  x  x  x  x  có dạng thu gọn là:

2

x  x x  B 4 3 2 1

2

2

2

x  x x 

7 - Bậc của đơn thức x y2 3 là:

8 – Trong các số sau đây số nào là nghiệm của đa thức 2

P x x 

9 – Trong các biểu thức sau nay, biểu thức nào không là đơn thức:

2xy

10 – Bậc của đơn thức 5 là;

11 – Hai đơn thức đồng dạng là:

A Có hệ số khác O và có cùng phần biến B Có cùng hệ số

12 – Nghiệm của đa thức là giá trị làm cho đa thức đạt giá trị bằng:

13 - Cho ABC có AB = 5cm; BC = 8cm; AC = 10cm So sánh nào sau đây là đúng:

A C A B      B B C A   C A B C      D C B A 

B

A

C M

E F

B

A

C H

Trường THCS Phong Điền Đề Cương Oân Tập Hè Môn Toán 7 GV: Phạm Văn Thái

14 - Với bộ ba đoạn thẳng có số đo sau đây , bộ ba nào không thể là ba cạnh của một tam giác:

A 3cm; 4cm; 5cm B 6cm; 9cm; 12cm C 2cm; 4cm; 6cm D 5cm; 8cm; 10cm

15 - ChoABC có BC = 1cm;AC = 5cm.Nếu AB có độ dài là một số nguyên thì AB có số đo là:

16 - Cho ABC với đường trung tuyến BM , trọng tâm G Phát biểu nào sau đây là đúng:

A GB2BM

17 - Cho ABC với I là giao điểm của ba đường phân giác Phát biểu nào sau đây đúng:

A Đường thẳng AI luôn vuông góc với cạnh BC B Điểm I cách đều ba cạnh của tam giác

C IA = IB = IC D.Đường thẳng AI luôn đi qua trung điểm cạnh BC

18 - Cho hình vẽ: (H1)

A GM1GA

2 B GM1GA

19 - Cho hình vẽ: (H2) Biết AB < AC

A HB = HC B HB > HC C HB < HC D Tất cả sai

20 – Cho hình vẽ: (H2)

A.AH là đường xiên B.AB;AC là đường vuông góc C.HB;HC là hai hình chiếu D.A đúng

II – Tự Luận:

Bài 1:

a.Viết một đa thức một biến có hai hạng tử mà hệ số cao nhất là 5, hệ số tự do là -1

b Viết 5 đơn thức đồng dạng với đơn thức 2x y z3 5 2

Bài 2:Tính tích các đơn thức sau rồi tìm hệ số và bậc của tích tìm được:

a.1 3

4xy và 2x yz2 2 b 2x yz2 và 3xy z3

Bài 3: Tính giá trị của biểu thức sau tại x = 1; y = -1 và z = -2.

xy y z z x

Bài 4:

a Trong các số : 0;1;2;3;4 số nào là nghiệm của đa thức: A x( ) x 2

b Tìm nghiệm của đa thức B y( ) 3  y

Bài 5: Cho hai đa thức: 3 2 3

P x  x  x x  x x 

Q x  x  x x 

a Thu gọn đa thức P x( ) và Q x( )

b Sắp xếp theo luỹ thừa giảm dần của biến

G B

A

C R

S

c Tính P x( )Q x( ) và P x( ) Q x( )

Bài 6 : Gọi G là trọng tâm của tam giác đều ABC Chứng minh rằng: GA = GB = GC.

Bài 7: Cho hình vẽ Hãy điền số thích hợp vào chỗ trống trong các đẳng thức sau:

a) AG = … AR ; GR = … AR ; GR = …AG

b) BS = …BG ; BS = …GS ; BG = …BS

Bài 8 : Cho MNP cân tại M Vẽ tia phân giác MH cắt NP tại H Chứng minh rằng:

a. AHB  AHC b MHN MHP 

D ĐÁP ÁN:

Hình

Thức

Bài hoặc

Trắc

Nghiệm

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

A B C D A A D A D C A B A C D A B A C C

Tự Luận

Bài 1

a.Đa thức một biến có hai hạng tử mà hệ số cao nhất là 5, hệ số tự do là -1 là:

5 4

A x  x x  x hoặc:B(y) = …

b 5 đơn thức đồng dạng với đơn thức 2x y z3 5 2 Là:

3 5 2 1 3 5 2 3 5 2 5 3 5 2 3 5 2

Bài 2 a.1 3

4xy và 2x yz2 2

Cho ABC cĩ AB=AC=CB.

GA

AH=

GB

BE =

GC

CF=

2 3 GT

A

Trường THCS Phong Điền Đề Cương Oân Tập Hè Môn Toán 7 GV: Phạm Văn Thái

3 1

4xy 2x yz2 2= 1 2 4 2

2x y z

Đơn Thức : 1 2 4 2

2x y z

 cĩ bậc là 8 và hệ số là 1

2



b 2x yz2 và 3xy z3 2

2x yz

 3xy z3 = 6x y z3 4 2 Đơn Thức : 3 4 2

6x y z cĩ bậc là 9 và hệ số là 6

Bài 3

Giá trị của biểu thức sau tại x = 1; y = -1 và z = -2.

a 2 (5xy x y2 3x z ) Thay x = 1; y = -1 và z = -2 vào biểu thức 2 (5xy x y2 3x z )ta được : 2.1.( 1) 5.1 ( 1) 3.1 ( 2)  2      2.0 0

Vậy giá trị biểu thức 2 (5xy x y2 3x z )tại x = 1; y = -1 và z = -2 là 0

b 2 2 3 3 4

xy y z z x Thay x = 1; y = -1 và z = -2 vào biểu thức 2 2 3 3 4

xy y z z x ta được :

1.( 1)  ( 1) ( 2)  ( 2) 1  1 8 8 15 Vậy giá trị biểu thức 2 2 3 3 4

xy y z z x tại x = 1; y = -1 và z = -2 là -15

Bài 4

a Số 2 là nghiệm của đa thức : A x( ) x 2 vì A(2) 2 2 0  

b Nghiệm của đa thức ( ) 3B y   y là giá trị làm cho đa thức này bằng không

hay:

3y y30

 Vậy y 3 là nghiệm của đa thứcB y( ) 3  y

Bài 5

P x x  x x 

Q x( )5x2 x 4

b P x( )x3 x22x2

Q x( )5x2 x 4

c P x( )Q x( )x34x23x 2

P x  Q x x  x  x

Bài 6

G B

A

C R

S

C B

A

H

Chứng minh

- Xét hai tam giác ABE và ACF cĩ:

AE = AF (gt); AB = AC (gt) ; A chung suy ra ABE  ACF

Suy ra BE = CF(*)

- Xét hai tam giác CAH và CBE cĩ:

CE = CH (gt) ; CA = CB (gt) ; C chung suy ra CAH  CBE

Suy ra CF = AH (**)

Từ (*) và (**) ta suy ra BE = CF = AH (1) Mặt khác: GA GB GC 2

AH BE CF 3 (gt) (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra GA = GB = GC (cmx)

Bài 7 a.AG = 2 AR ; GR = 1

3 AR ; GR =1

2 AG

b.BS =3

2BG ; BS = 3GS ; BG = 2BS

Bài 8

16 –

KL

GT

a AHB= AHC.

b.AHB=AHC=90

ABC Có AB=AC

 BAH=CAH

Chứng minh

a Xét hai tam giác AHB và AHC có:

BAH CAH (gt)

ABH ACH (gt)  AHBAHC c g c( )

AB = AC (gt)

b Theo chứng minh trên thì AHB AHC mà AHB AHC 1800 nên

AHB AHC 900