Đề cương ôn tập HKII Toán 11-chuẩn- THPT Phạm Phú Thứ - Đà Nẵng

Giới hạn của hàm số tại 1 điểm: giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực, giới hạn tại vô cực và các định lý.. Qui tắc : Tính đạo hăm bằng định nghĩa Bước 1: Giả sử  xlă số gia của đối số tại

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ 2 LỚP 11

A- GIẢI TÍCH

Chương IV: GIỚI HẠN

I Ôn lại lý thuyết về:

1 Giới hạn dãy số:

a Dãy số có giới hạn 0

b Dãy số có giới hạn hữu hạn

c Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn

d Dãy số có giới hạn vô cực

2 Giới hạn của hàm số

a Giới hạn của hàm số tại 1 điểm: giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực, giới hạn tại vô cực và các định lý

b Giới hạn một bên

c Quy tắc tìm giới hạn vô cực

3 Hàm số liên tục

a Hàm số liên tục tại một điểm

b Hàm số liên tục trên khoảng, trên đoạn

c Định lý về hàm số liên tục

d Áp dụng định lý về giá trị trung gian để chứng minh phương trình có nghiệm

II Bài tập:

Dạng 1: Tìm giới hạn của dãy số và của hàm số:

Bài 1: Tính các giới hạn sau:

a

2

2

lim

3 2n

 

2

lim

1 2n

 



c  



3 2 4

lim

n 1

d lim( n  3 3n2 2) e

n n

n n

lim



Bài 2 :Tính các giới hạn sau:

a)

4

4 5

lim

2







x

x

2 2 1

lim

x

x x



  c)limx1

2 3

1

2 2







x x

x

D

4

2

16 lim

2

x

x

 



 e)lim2 2

7 3

x

x

x





x 2

4x 1 3 lim



 

x 4

lim

x 4



x 0

lim

x



Bài 3: Tính các giới hạn sau:

a)

1

2

3

lim









x

3

3 2

lim

1

x

x x

 

1 2

5 lim

2









x x

x d)lim 2 3 2

x

x

  



Bài 4: Tính các giới hạn sau:

a)xlim (   x3x2 x1) b) lim ( 4  2 2  3)





x c) lim(2 3  2 2   3)



x x x

   

Dạng 2: Hàm số liên tục

Bài 5: Xét tính liên tục trên R của hàm số sau:

a)

x khi x

f x x

khi x

 





 

















2

2

1

1 )

(

x x

x x

f ,, 11





x x

Băi 6: Cho hăm số f(x) =

2 2

x x

khi x x

x m khi x

  











Với giâ trị năo của m thì hăm số liín tục tại x = - 2

Dạng 3: Chứng minh phương trình có nghiệm:

Băi 7: Chứng minh rằng phương trình

a x5 3x 7 0   có nghiệm

b x4  3 x5 2 0  có nghiệm

c 2x3 10x 7 0   có ít nhất hai nghiệm

Chương V : ĐẠO HĂM

I Lý thuyết

1 Định nghĩa vă ý nghĩa đạo hăm:

a Qui tắc : Tính đạo hăm bằng định nghĩa

Bước 1: Giả sử  xlă số gia của đối số tại xo

Tính y f(x   o  x) f(x )  o

Lâp ûtỉsố

x





Bước 3:

x 0

y Tínhgiơiï hạ n lim

x

 



 Kết luận đạo hăm nếu tồn tại

b Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hăm vă tính liín tục của hăm số

Định lý 1: Nếu hăm số y f(x)  có đạo hăm tại xothì nó liín tục tại điểm đó

c Ý nghĩa hình học :

Định lý 2: Đạo hăm của hăm số y f (x)  tại điểm xolă hệ số góc của tiếp tuyến M To của (C) tại điểm M (x ;f (x ))o o o

 Phương trình tiếp tuyến:

Định lý 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hăm số y f (x)  tại điểm M (x ;f (x ))o o o

lă :y y  o f '(x )(x x )o  o với y0 f x 0

d Ý nghĩa vật lý của đạo hăm:

e Đạo hăm trín một khoảng:

2 Quy tắc tính đạo hăm:

a Đạo hăm của hăm số thường gặp:

(x )' n.xn n 1 x R,n N ,n 1.*

2 x

(x)' 1 x R    (c)' 0 vớiclàhằ  ngsố

b Đạo hăm của tổng, hiệu, tích, thương:

Giả sử u u(x),v v(x)   lă câc hăm số có đạo hăm tại điểm x thuộc khoảng xâc định Ta có: (u v)' u' v'    (u.v)' u'.v u.v'   Nếu k lă hằng số thì (k.u)' k.u' 

'

2

u u'.v u.v'

(v v(x) 0)



 

 

 

'

2

(v v(x) 0)

 

 

 

c Đạo hăm của hăm hợp:

 Hăm hợp

 Đạo hăm của hăm hợp

Định lý: y'x  y u'u 'x

3.Đạo hàm của hàm số lượng giác:

a Giới hạn sinx

x :

Định lý:

x 0

sinx

x

  Chú ý:

o

x x

sinu

u

  (với u=u(x)) Khi x  xothì u(x)  0) b.Đạo hàm của hàm số y sinx, y=cosx, y=tanxvaìy cotx   :

Định lý :

(sinx)'=cosx   x R (cosx)'=-sinx x R  

12

2 cos x



sin x

Chú ý: Với u=u(x) , ta có :

(sinu)'=u'.cosu (cosu)'=-u'.sinu

u'2

(tanu)'=

cos u  2

u' (cotu)'

sin u

Xem bảng đạo hàm : SGK trang 168

4 Vi phân:

 dy y'.dx  với y f x   

 Công thức tính gần đúng f x  0  x   f x  0  f ' x x  0 

5 Đạo hàm cấp hai:

 f '' x     f ' x '   

 Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai:

Đạo hàm cấp hai f '' t   là gia tốc tức tức thời của chuyển động s f t   

II Bài tập:

Dạng 1: Tính đạo hàm của hàm số bằng định nghĩa

Bài 1: Cho f(x) 3x  2 4x 4  Tính f '(1)

Dạng 2: Tính đạo hàm của hàm số bằng quy tắc

Bài 2: Tìm đạo hàm các hàm số sau:

1) 3 2 1





y 2)y 2x4 2x2 3x





 3) y (x2 x)( 5  3x2 ) 4) y(x32)(x1) 5) yx( 2x 1 )( 3x 2 ) 6) y (x 1 )(x 2 ) 2 (x 3 ) 3 7) y(x2 5)3 8) y = (1- 2x)10 9) y = (x3 +3x-2)20 10) y (x 7x)2 11) y  x 2  3x 2  12) 4 6 2 7





y

13)

2

3

2







x

x

4 2

5 6

2 2









x

x x

1

2

2 



x

x

3







x x y

2

3 2 1

17

2 3

 





y

x 18) y = 2

2

x

x x

+ 19) y= x 1 x 2 20)

2

1  



y

21) x

x

y3 6 22) 3 42 53 64

x x x x

3 2

4 3

2 2











x x

x x

3

3 1 6 















x x y

25) y 1 x

1 x







26) y  x x

27) y 1

x x

1 )

1







y

29) 2 2

2

a x

x

y



 , ( a là hằng số) 30) y = 3x2  ax2a , ( a là hằng số)

Bài 3: Tìm đạo hàm các hàm số sau:

a) y = sin2x – cos2x

b) 1

sin(2 1)

y

x



2 sin

x y

x







d) ysin 2x1

e) y sin2x f) y2sin2x.cos3x g) y(1cotx)2 h) y = x.cotx i) y= sin(sinx) k) y = cos( x3 + x -2) l) y sin (cos3x) 2 m) y  1 2 tan x 

n) y 2 x 3x

cos sin 

 o) y cot (2x3 )

4



2



 q) y sin x x

x sin x

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong:

Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị các hàm số sau:

a y 2x  3 4x 2  tại điểm M(-1;-2)

b x 1

y

2x 1





 tại điểm có hoành độ xo  1

c y  x 3  tại điểm có tung độ yo 2

Bài 5: Viết phương trình tiếp tuyến của (C):y x  3 3x2 2, biết rằng:

a Tiếp tuyến có hệ số góc k  3

b Tiếp tuyến song song với đường thẳng  :y 2 

c Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng  ':x 9y 3 0   

Dạng 4: Vi phân

Bài 6: Tìm vi phân của các hàm số:

1) 3 2 1





y

2

2 5





x





1

2

2





x

x y

5) 2 6 7





 x x

 7) y(1cotx)2 8) y ( 1  cotx) 2

Bài 7: Tính gần đúng giá trị của 4,01

Dạng 5: Đạo hàm cấp hai

Bài 8: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số:

1) 3 2 1





2

2 5





x

Dạng 6: Các bài toán liên quan đến đạo hàm:

Bài 9: Chứng minh rằng:

a) ( ) 5 3 2 3







x

f thoả mãn: f'(1) f'(1)4f(0)

b) 3

4

x

y

x





 thoả mãn 2 'y 2 y1 y''

c) f(x) x 5x3 2x 3 thoả mãn f '(1) f '( 1)    4f (0)

B-HÌNH HỌC

Chương III: VEC-TƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VUÔNG

GÓC TRONG KHÔNG GIAN.

I Lý thuyết

1.Vec-tơ trong không gian:

a Ôn lại định nghĩa và các phép toán về vec-tơ trong không gian: phép cộng, phép trừ, quy tắc hình hộp và phép nhân vec-tơ với một số

b Điều kiện để 3 vec-tơ đồng phẳng

c Tích vô hướng của hai vec-tơ trong không gian

d Phương pháp xác định góc giữa hai đường thẳng

2.Các vấn đề về vuông góc:

a Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

b Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

c Xác định góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng

3 Dựng và tính được khoảng cách giữa các đối tượng trong hình học không gian Dựng đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau trong không gian

II.Bài tập:

Bài 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, tâm O và AB = SA = a, BC = a 3,

SA  (ABCD)

a Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông

b Gọi I là trung điểm của SC Chứng minh IO  (ABCD)

c Tính góc giữa SC và (ABCD)

Bài 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh bằng 1 và các cạnh bên bằng nhau

và bằng 2

a Chứng minh (SBD)  (SAC)

b Tính độ dài đường cao của hình chóp

c Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy

Bài 3 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, SA = AB = AC = a

SA  (ABC)

a Gọi I là trung điểm BC Chứng minh BC  (SAI)

b Tính SI

c Tính góc giữa (SBC) và mặt đáy

Bài 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA  (ABCD) Gọi H, K lần lượt là

hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD

a Chứng minh BC  (SAB), BD  (SAC)

b Chứng minh SC  (AHK)

c Chứng minh HK  (SAC)

Bài 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, tâm O và SA = SC, SB = SD

a Chứng minh SO  (ABCD)

b Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và BC Chứng minh IK  SD

Bài 6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O, SA = a và SA  (ABCD)

a Tính khoảng cách từ A đến (SBD)

b Chứng minh (SBC)  (SAB)

c Tính khoảng cách từ C đến (SBD)

Bài 7 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng a, khoảng cách từ S đến cạnh BC bằng

a/2.Gọi M trung điểm BC

a) CMR: BC vuông góc với (SAM)

b) Tính chiều cao của hình chóp

c) Dựng và tính đoạn vuông góc chung của SA và BC

Băi 8 Hình chóp S.ABC có đây lă tam giâc vuông tại B, AB = 2a, BC = a 3, SA vuông góc với (ABC), SA = 2a.Gọi M lă trung điểm của AB

a)Tính góc giữa (SBC) vă (ABC)

b)Tính đường cao AK của tam giâc AMC

c)Tính góc giữa (SMC) vă (ABC)

d)Tính khoảng câch từ A đến (SMC)

C- MỘT SỐ ĐỀ THI THAM KHẢO

ĐỀ 1 (HKII PHẠM PHÚ THỨ 2009-2010)

Băi 1: (2,0 điểm) Tính câc giới hạn sau :

a./

3 3

lim

3 4

n

 b./

2

2 lim

7 3

x

x x





 

Băi 2: (1,0 điểm) Cho hăm số

2

9

3

 





  



x vơiï x

x vơiï x

.

Xĩt sự liín tục của hăm số f x ( ) trín .

Băi 4: (1,0 điểm) Tính đạo hăm của câc hăm số sau:

5







x y

x b./ y   cos3 x x  4

Băi 6: (3,5 điểm) Cho hình chóp S ABC có đây lă tam giâc vuông tai C Cho

( )



SA ABC , SA AB a   3 vă BC a  2

a./ Chứng minh BC   SAC vă   SBC    SAC 

b./ Gọi H lă hình chiếu của A lín SC Chứng minh AH   SBC 

c./ Tính góc giữa hai mặt phẳng ( ABC ) vă ( SBC ) .

d./ Gọi I lă trung điểm của AC Tính khoảng câch từ I đến mặt phẳng ( SBC ) .

-ĐỀ 2 (HKII PHẠM PHÚ THỨ 2008-2009)

Băi 1: (2,0 điểm) Tính câc giới hạn sau :

a./

2 2

lim

 



n b./ 3

6 3 lim

3



 



x

x

Băi 2: (1,0 điểm) Cho hăm số

2 4

2

2

x

vơiï x

x a với x







.

Tìm câc giâ trị của tham số a để hăm số y f x  ( ) liín tục tại x 2

Băi 4: (1,0 điểm) Tính đạo hăm của câc hăm số sau:

4

x y x





 b./ y  (3 sin2 )  x 3

Băi 5: (1,5 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hăm số y x  3 2 x :

Băi 6: (3,5 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đây ABCD lă hình vuông cạnh a.

SA  ABCD vă SA a 

a./ Chứng minh BC   SAB  vă CD   SAD 

b./ Chứng minh ( SAC )   SBD 

c./ Gọi H lă trung điểm của SB.Chứng minh AH  SC

d./ Tính góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) vă ( SCD ) .

-ĐỀ 3 (HKII SỞ GD-ĐT ĐĂ NẴNG 2007-2008)

Băi 1: Tìm câc giới hạn sau:

a lim(1 1 1 1 )

    n b lim ( 2   )

c (n 1)(n 2)2

lim

 d lim 2 4

2

x 2







x x

Băi 2:

a Cho hăm số

2

x 3x 2 nế u x 1







Tìm câc giâ trị của tham số a để hăm số y= f x ( ) liín tục tại x  1.

b Cho hăm số g(x)  x2 2x Giải bất phương trình g'(x) g(x) 

Băi 3: Cho hình chóp S.ABCD có đây ABCD lă hình thang vuông ở A vă B, AD=2a, AB=BC=a, SA

vuông góc với mặt phẳng đây Gọi H, K lần lượt lă hình chiếu vuông góc của điểm A lín SC

vă SD

a Chứng minh SBC ACD 90     o

b Chứng minh SD vuông góc với mặt phẳng (ABK) vă SD vuông góc với AH

-ĐỀ 4

Băi 1: Tìm câc giới hạn sau:

a 3 2 7

lim

3 1



n b

lim

 

x x c

1 2 lim

3

x 3

 





x x

Băi 2: Cho hăm số

2

nế u x 4



(a: tham số)

Tìm a để f x ( ) liín tục tại x  4.

Băi 3: Chứng minh rằng phương trình x5 3x 7 0   có nghiệm

Băi 4: Cho y  3 x  4 x 3 có đồ thị (C)

Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y  3 x  1

Băi 5: Cho hình chóp tứ giâc đều S.ABCD có đây ABCD lă hình vuông cạnh a tđm O, câc cạnh bín

2

a Gọi I,J lă trung điểm AD vă BC.

a Chứng minh SO  ( ABCD ).

b Chứng minh ( SAC ) (  SBD ).

c Tính câc cạnh của tam giâc SIJ Chứng minh SI  ( SBC ).

d Tính góc giữa cạnh bín vă mặt đây; góc giữa mặt bín vă mặt đây

e Tính khoảng câch từ O đến (SBC)

-ĐỀ 5 Băi 1:Tìm câc giới hạn sau:

a 2 1

3



n

n b

2 5 6 lim

Băi 2:

Cho hăm số

2

y f (x)

x a nế u x 1





Tìm câc giâ trị của tham số a để hăm số y= f x ( ) liín tục tại x  1

Băi 3: Chứng minh phương trình x3 3x2  2 0có 3 nghiệm phđn biệt

Băi 4: Cho hăm số f(x)  x2 3có đồ thị (C)

a Chứng minh rằng  f (x).f '(x) ' 1  

b Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến năy vuông góc với đường thẳng y  2x

Băi 5: Cho hình chóp S.ABCD có đây ABCD lă hình thoi tđm O cạnh a, SA=SC, SB=SD=a góc

giữa SB vă (ABCD) bằng 60o

a Chứng minh SO (ABCD) 

b Tính góc giữa đường thẳng SA vă mặt phẳng (ABCD).

c Hạ OH SD (H SD)   Chứng minh SD (ACH) 

d Tính khoảng câch giữa AC vă SD.

-CHÚC CÂC EM THI