Chuyen de Tich phan

Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải: – Nắm vững bảng các nguyên hàm.. VẤN ĐỀ 3: Tính nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần Với Px là đa thức của x, ta thường gặ

1 Khái niệm nguyên hàm

• Cho hàm số f xác định trên K Hàm số F đgl nguyên hàm của f trên K nếu:

C x xdx= − +

C x dx

C b

ax a dx b ax

( 0)

ln

= +

a b ax dx

C e

a dx

e ax+b = ax+b +

( ) (ax b) C

a dx b

a dx b

(ax b)dx= a (ax+b)+C+

C e du

u u

C u

C u udu= − +

C u du

4 Phương pháp tính nguyên hàm

a) Phương pháp đổi biến số

Nếu ∫f u du F u C( ) = ( ) + và u u x= ( ) có đạo hàm liên tục thì:

∫f u x u x dx F u x[ ( ) '( )] = [ ( )]+C

b) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần

Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì:

VẤN ĐỀ 1: Tính nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm

Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản

Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải:

– Nắm vững bảng các nguyên hàm

– Nắm vững phép tính vi phân

Bài 1 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

VẤN ĐỀ 2: Tính nguyên hàm ∫f x dx( ) bằng phương pháp đổi biến số

• Dạng 1: Nếu f(x) có dạng: f(x) = g u x u x[ ( ) '( )] thì ta đặt t u x= ( ) ⇒ dt u x dx= '( ) Khi đó: ∫f x dx( ) = ∫g t dt( ) , trong đó ∫g t dt( ) dễ dàng tìm được

Chú ý: Sau khi tính ∫g t dt( ) theo t, ta phải thay lại t = u(x)

• Dạng 2: Thường gặp ở các trường hợp sau:

Bài 1 Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 1):

+

∫ i) ∫ x(1dx+ x)2

k) ∫sin 4xcosxdx l) 5

sin cos x dx x

tan cos

xdx x

+

d)

2 4

+

∫

2 1

VẤN ĐỀ 3: Tính nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần

Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:

Bài 1 Tính các nguyên hàm sau:

a) ∫x.sinxdx b) ∫xcosxdx c) ∫(x2+ 5)sinxdx

d) ∫(x2 + 2x+ 3)cosxdx e) ∫xsin 2xdx f) ∫xcos2xdx

Bài 3 Tính các nguyên hàm sau:

a) ∫e x.cosxdx b) ∫e x(1 tan + x+ tan )2x dx c) ∫e x.sin 2xdx

VẤN ĐỀ 4: Tính nguyên hàm bằng phương pháp dùng nguyên hàm phụ

Để xác định nguyên hàm của hàm số f(x), ta cần tìm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x) dễ xác định hơn so với f(x) Từ đó suy ra nguyên hàm của f(x)

F x = A x +B x +C là nguyên hàm của f(x)

Bài 1 Tính các nguyên hàm sau:

VẤN ĐỀ 5: Tính nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

1 f(x) là hàm hữu tỉ: ( ) ( )

– Nếu bậc của P(x) ≥ bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức

– Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) và Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích f(x) thành tổng của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định)

• f(x) là hàm lượng giác

Ta sử dụng các phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa về các nguyên hàm cơ bản Chẳng hạn:

a b

+ Nếu R( sin ,cos ) − x x = −R(sin ,cos )x x thì đặt t = cosx

+ Nếu R(sin , cos )x − x = −R(sin ,cos )x x thì đặt t = sinx

+ Nếu R( sin , cos ) − x − x = −R(sin ,cos )x x thì đặt t = tanx (hoặc t = cotx)

Bài 1 Tính các nguyên hàm sau:

Bài 3 Tính các nguyên hàm sau:

a) ∫sin 2 sin 5x xdx b) ∫cos sin3x xdx c) ∫(tan2x+ tan )4x dx

1 Khái niệm tích phân

• Cho hàm số f liên tục trên K và a, b ∈ K Nếu F là một nguyên hàm của f

trên K thì: F(b) – F(a) đgl tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là b ( )

• Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b]

thì diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b là: b ( )

3 Phương pháp tính tích phân

a) Phương pháp đổi biến số

( ) ( ) '( ) u b ( )

b) Phương pháp tích phân từng phần

Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b ∈ K thì:

udv uv= − vdu

Chú ý:– Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm

– Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho b

VẤN ĐỀ 1: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG BẢNG

NGUYÊN HÀM

Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản Tìm nguyên hàm F(x) của f(x), rồi sử dụng trực tiếp định nghĩa tích phân: b ( ) ( ) ( )

a

f x dx F b F a= −

∫

Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải:

– Nắm vững bảng các nguyên hàm

– Nắm vững phép tính vi phân

∫b) I2 =

2 2

0

x

e− + dx

∫c) I3 =

0

1 1

x

e− +

− = – ( e

– 2+2 – e2) = e2–1 c) I3 =

+

−

∫c) J3 =

6 1

2

dx x

0 1

−

0 0

1/ 2 1/6 1/3 1/6

8 2

0

cos 2xdx

π

∫c) K3 =

1

1 2

1 0

1 0

1

1 3 2

1

dx x x

2 4

4

dx x

2 1

4

1

4 3

4

2 x x dx x

1 cos

1 cosx dx

x

− +

∫

π

i) 2 2 2 0

e

− +

VẤN ĐỀ 2: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP

ĐỔI BIẾN SỐ

Dạng 1: Giả sử ta cần tính b ( )

+

∫c) J3 =

cos (1 sin )

x dx x

x = 2 ⇒ u = 22 = 4

+ J1 =

2 2

1

1 ln

e

x dx x

+

∫

+ Đặt u = 1 ln x+ ⇒ u2 = 1 + lnx ⇒ 2udu = 1

xdx + Đổi cận: x = 1 ⇒ u = 1 ln1 + = 1;

4

0 6

1 6

4−x xdx

∫

+ Đặt u = 2

4 −x ⇒ u2 = 4 – x 2 ⇒ 2udu = – 2xdx ⇒ xdx = –udu + Đổi cận: x = 0 ⇒ u = 2

cos (1 sin )

x dx x

cos (1 sin )

x dx x

π

+

2 4 1

du u

2 4

7 8 6

) 7 8

3 ( )

1 3

b) Đặt t = 3

1 −x ⇒ x3 = 1 – t2

t t t dx

x

3

2 3

2 ).

1 (

2 2

3

) 5 4

( 3

2 ) (

3

dt t

30 1

Ví dụ 3 Tính tích phân sau: I = ∫9 +

1

−

= + + Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 2

ln 2 2 ( )

2 2

2 2

3 2 4

7 2

3 2

5 2

1

) 9 :

1999 )

dx K

c x

x

dx J

DHAN b

x x dx

Bài giải

a) Đặt t = x2 + 4

t t

t t

tdt x

x

xdx

) 2

1 2

1 ( 4

1 ).

4 (

3

5 ln 4

1 2

2 ln 4

1 ) 2

1 2

1 ( 4

3 4

3

= +

−

= +

−

−

t t

t t

tdt e

e

dx e e

dx

x x x

7

1 7

1 ( 7

1 ).

7 (

2 7

+ Đổi cận: * x = 0 ⇒ t = 2 2

* x = ln2 ⇒ t = 3

7 2 2

7 2 2 ln 7 3

7 3 (ln 7

1 7

7 ln 7

1 )

7

1 7

1 ( 7

1 3

2 2

3 2 2

+

−

− +

−

= +

−

= +

3

e e dx

Bài giải

Đặt t = ex

t t

t t

dt dx

e e

e

dx

x

x e e

x x

1

1 2

1 ( 2 3 3

3

4 ln 1

2 ln ) 1

1 2

1

(

t

t dt t t

Ví dụ 8 Tính tích phân sau :

a) ĐHTM-97 : I = ln∫2 +−

0 1

1

dx e

0

2

1

dx e

e

x x

x

e

1 1 ln ln

x

) 2 2 ( 2 1 ln

2 3

2 ( ) 2 2

(

2

1

2 1

∫ +

ln ln 3

b) J = x x dx

e

∫ln .3 2+ln2 ;

dx t

) (

9

2 3

2 3

1 ln

ln 3 1 3

2 3

3 5 2

4

135

116 ) 3

7 5

31 ( 9

2 ) 3 5

( 9

2 ) (

9

dt t

x x

A

2

0

2 1

0

8 15

) 0 ( 2 B

; 3 1

2 2 2

) 0 ( ) 1 ( B

;

x x

dx dx

x a x

A

a

+ +

=

−

2

1 0

dx x

x

dx A

2

1

2 2

2 4

B

; 1

x x

dx x

dx x A

+

=

2 2

0 2 2

1 B

; 1

dx x

x x

0 4 3 1; B 2x 1

dx x

dx x

) 2 1 ( (*)B

;

dx x

x x

dx A

7)

1 1

1 (*)

x A

−

+ +

=

−

1 2 1

0

2

2 2 B

2 2

1

2

.

1 D

;

1

dx x

x dx

dx x I

11) (ÑHAN 1999) = ∫ +

4

7 2

9

x

x dx I

12) (ĐHQG HN 1998) =∫ +

1

0

2 3

1 x dx x

x

dx x

I

15) (ĐHTM 1997) = ∫7 +

0 3

2 3

1

.

x

dx x I

Bài 3 Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 1):

( x dx

0

3 2 3

) 1 ( x

0 2 5

1dx

x x

d) ∫1 +

0 1

x −x dx

0 1

x x

0

2

3 5

1

2

dx x

x

0 1

x x

e dx e

1

ln ln 3 1

n) ∫2 +

0 cos2 4 sin2

2 sin

π

dx x x

0

2 3

sin 1

sin cos

π

dx x

x

0

2 2

cos sin

2

2 sin

π

dx x x

x

+ C ận mới:

x= 0 ⇒ 2sint = 0 ⇒ sint = 0 ⇒ t = 0

x = 2 ⇒ 2sint = 2 ⇒ sint = 1 ⇒ t =

2 π

0 cos t.costdt

π

2 2

π +

9 +x dx

2 4

2 0

3(1 tan )

9 9 tan

t dt t

π + +

2 4

2 0

3(1 tan ) 9(1 tan )

t dt t

π + +

3 4

2

2

; ) 2 ( 4 )

4 4 (

Đặt x - 2 = 2sint, t∈  − 

2

; 2

π π

2

a

a dx x

a

dx x a x

0

2 2 2

; với a > 0

Bài giải: Đặt x = asint t∈  − 

2

; 2

dt t

a tdt

a tdx t

a tdx a t a

t a dx

x

8 2

sin 4 cos

sin cos

) sin 1 ( sin

4 2

4 2

2 4 2

2 2 2 2

0

4 4

16 )

4 cos 1

Ví dụ 4 Tính tích phân : I = ∫5 +

0 2

π π

t

tan 1

) tan 1 ( 5 5

0

4

0 2

2 5

0

2

4

1 π Phương pháp : Đặt x = atant

1

; 2000 )

; 1 )

2 1

0

2 4 1

0

+ +

=

x x

xdx J

HVTC b

x x

dx I

a

a) I = ∫

+ +

1

4

3 ) 2

π π

3

6

3

6 2

2 1

3 2

3 tan

1

) tan 1 ( 2 3

4

3 ) 2

1 (

t

t x

Đặt x2 = sint, t∈  − 

2

; 2

π

π * x = 0 ⇒ t = 0 * x =

6 2

1 sin

1

1 1

0

2 2

x a

t

a t a

t a

dx x a

) tan 1 ( )

2

2 2

2

=

= +

−

= +

−

⇒ I = = 2

b a

b

+

Ví dụ 8:

) 2 )(

1

x x xdx

2

1

dx x

x x x dx−

∫

VẤN ĐỀ 3: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP

II Phương pháp giải toán

Bài toán: Sử dụng CT.TPTP xác định: I = ∫b

a

dx x

f( )

Phương pháp chung:

Bước 1: Biến đổi TP về dạng: I = ∫b

a

dx x

f( ) = ∫b

a

dx x f x

x f dv

x f u

) (

) (

1 ( 1) 2

x

x+ e –

1 2

0

1 2

x dx

π

x xdx

b) J2 =

2

2 1

x xdx = x tanx0π/ 4–

đổi tanx = sin

cos

x

x rồi đặt t = cosx b) J2 =

2

2 1

−

= nên cĩ 1 nguyên hàm là 1 1

1

x x

1

dx x

dx du

dx e

2

⇒ I =

2

3 5

4

1 ) 2 (

2

1

2

` 1 )

1

0

2 1

0

e e

dx e e

Hướng dẫn: Từng phần 2 lần

0

cos ) 1 2 (

π

xdx x

dx du xdx

dv

x u

sin

2 cos

1 2

⇒ x = t3 ⇒ dx = 3t2dt ⇒ =∫2

0

2

sin 3

π

dx t t I

dx x x

x du dx

dv

x x

2 3

− +

4 3

2

x v

dx x

x du

dx x dv

x u

4 2

ln 4

ln

I

e dx x x x

1

x v

dx x du

dx x dv

x u

⇒ I1 =

32

1 8

8 8

sin

xdx e

J b xdx

e u xdx dv

dx x J

b dx x I

a) cos(ln ) ; ) sin(ln )

π

;

Hướng dẫn: Đặt : t = lnx và từng phần 2 lần

0

sin cos

dx x

∫

5/.(CĐ SP STrB 2005) T = 3 .sin2

2 sin 2 cos 0

xdx x

k) ∫2

0

3

5 sin

e

dx x

x

1 2

ln q) x(e x x 1 )dx

0

1

3 2

∫

−

+ +

VẤN ĐỀ 1: TÍNH TÍCH PHÂN CÁC HÀM ĐA THỨC VÀ HỮU TỶ

I Kiến thức áp dụng

C

x dx

C b

ax a dx b ax

II Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1 Tính tích phân sau

1

5 3 )

) 5 4 (

)

3

1 2 1

b dx x x

4

5 2

= + +

Bài giải

Ta có: I =

3

5 ln 4

1 2

2 ln 4

1 ) 2

1 2

1 ( 4

3 4

1

= +

−

= +

1 3 (

1 )

7 6 )

2

1

2 2

2 3

2

x x x x

x J

b x

x

dx I

− +

=

a) I =

4

9 ln 7

1 7

1 ln 8

1 ) 7

1 1

1 (

8

2 3

2

= +

−

= +

−

x

x x x

1 )(

3

1 (

1 1

2

7 (ln 2

1 )

3

1 ln(

) 1

1 ln(

2

1 ) 1

1 )(

3

1 (

)

1 (

2 1 2

+

x x x

x x x

x x d

0

6 5

11 4

dx x x

4 ln ) 2 ln(

3 ) 3 ln(

) 3

1 2

1 ( 3 3

4 )

3 )(

2

(

3 )

2

(

0 1

+ +

+ +

= +

+

+ +

x x

x

dx x

x

x

III BT TỔNG HỢP CÁC DẠNG TÍCH PHÂN

Cách 2: (Phương pháp hệ số bất định)

3 2

· 6 5

11 4

+

+ +

= + +

+

x x

b x

a x

x

x

⇔

6 5

2 3 ) ( ) 3 )(

2 (

) 2 ( ) 3 ( 6 5

11 4

2

+ + +

= +

+

+ + +

= + +

+

x x

b a x b a x

x

x b x

a x

x x

= +

1

3 11

2 3

4

b

a b

a

b a

;

2

3 ln 3 3

4 ln ) 3 ln(

) 2 ln(

3 ) 3

1 2

3 (

= +

+ +

2

12

7x dx x

Cách 1 Phân tích:

x x

x

dx x

x

x x

1 2

1

2

) 3

1 4

1 ( 9 4

7 1 )

4 )(

3 (

9 ) 3 ( 7 12 7

2

1 ln 9 3

2 ln 16 1 3

ln 9 4 ln

= +

9

4 3

·

1 12 7

2 2

b

a x

b x

a x

x x

Ví dụ 6 Tính tích phân sau:

9 2

10 3 )

1

2

0 2

2 2

0 2

2

dx x x

x x J b dx x x

x x

+ +

+ +

=

Bài giải

+ +

+ +

2

0

2 0 2

1

1 2 1

x x

b) J =

3

4 ln 2

1 1 ) 9 2 ln(

2

1 )

9 2

1 1

x x

− +

+ +

= +

− +

2

) 2 )(

1 (

2 )

2 (

1 )

1 (

1 )

2

1 1

1

x x x

x

dx x

x

=

3

4 ln 2 3

2 3

4 ln 2 3

1 2

1 2

1 1 2

1 ln 2 2

1 1

− +

+

−

x

x x

Ví dụ 8 Tính tích phân sau: I = 1+∫5 + − +

1

2 4 2

1

1

dx x

x x

+ +

1 1

1 1

dx x

x

1 1

1 1 ln 2

1

1 )

1 (

)

1 ( 1

)

1 (

1 1

5 1 1

5 1

5 1

2

= +

+

=

− +

−

+ +

+

∫

∫

x x x x

x x x x d dx

x x x

Ví duï 9 Tính tích phân sau : 2 23

x x

− +

+

− +

∫ = - ln(x 1) 12

x

+ = … = ln4

5( Hoặc

3 1

1

2x

x

dx x

1 x

dx

1 2

) 1 ( x x dx

6 5

11 4

x x

dx

0

1 1

x

+ + +

1

2 3

dx x

0

2

2 3

4

9 4 2

dx x

x x x

0

1 (x+ 2) (x+ 3) dx

0

1 1

x x dx x

+ + +

0 1 x dx x

− +

0

2

1 x dx x

− +

∫

VẤN ĐỀ 2: TÍNH TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ VÔ TỈ

Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số vô tỉ

1 2

2

4

dx x

2 2

sin

cos 4

π

π

dt t

t dx

6

sin 1

π

π

π π π

π

t t d dt

dx x

x

2 1 2

x= −Đổi cận

x 0 4

t 2 4

t t t

dt t

t t t dt

t

t t t

−

=

− +

2

2 4

2

2

2 4 3 2

1 2 4 3 2

1 ) 1 )(

2 2 ( 2

−

t t t

ln 4 3

∈ Ta có:dx = costdt và 1 −x2 = 1 − sin2t = cos2t =|cost| = cost

Đổi cận: Với x =0 thì t = 0; Với x = 1 thì t =

2

π Từ đĩ:

0

cos 1

1

π

t

tdt x

dx

0

2 2

) 2 / ( cos 2

1 ) 2 / ( cos 2

π

dt t

s

t s

= ∫ − ∫2

0 2 2

) 2 / (

π π

t

t d

dt =( t – tan (t/2) ) | 2

0

π

= 2

tdt dx

t tdt dx

e x

1

22

)1(

⇔

= -§ỉi cËn: x=0⇒t =0

=

0 2 1

0

2 1

11.21

2

dt t

dt t

dt t

;

u u t

221

tan

1tan

.2

2

4

0 4

0 2

BÀI TẬP Bài 1 Tính các tích phân sau:

dx x x

1

dx x

+ +

Bài 2 Tính các tích phân sau:

x x

+ +

0 (1 )

dx x

−

2 2 2

2

0 1

x dx x

cos

2 cos

xdx x

cos

1 cos

xdx x

tan cos 1 cos

x x

1 x dx

0

3 2

) 1

x

2

cos cos

sin

π

dx x x

0 2 cos2cos

π

dx x

x x

3 1

π

xdx x

2

8 4

x

x x

1

ln ln 3 1

31 ∫3 ++

3 5

1

dx x

−

+ + 0

1

3 2

) 1

ln

dx x x

3

VẤN ĐỀ 3: TÍNH TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

VÍ DỤ ÁP DỤNG:

0 (x sin 2 ) cos 2x xdx

π +

3sin 2 cos (sin cos )

phụ thuộc vào kí hiệu cảu biến số)

dx x

2

t =

Từ đó

1

1 2

1 1

x

dx x

3 1 3

3 2

0 0

dt I

Bài 6: Tớnh tớch phõn:

4

2 0

tan cos 1 cos

dx

cos sin

=

x x

dx x

x x

dx

cos 2 sin

8 cos cos

.

sin

đặt tanx = t

dt t t t

3 2

2 2

) 1 ( ) 1

sin

; cos

C x x

x x

dt t t

t

t

dt t

t t

t

+

− +

+

= +

+

+

=

+ +

4 3

3

3

2 4

6

tan 2

1 tan

ln 3 tan 2

3 tan 4

1 )

3

3

(

1 3 3

4

4 2

cos sin

3 2

1 ( ) 2

1 ( )

1

1

3 3

1

2 2

+

−

= +

t

dt t I

∫

= 3

4

4 2

cos 2 sin 4

π

dx

Đặt : t = tanx

Đổi cận: x =

Bài 9: Tính tích phân :

2 2 0

s inx cos 2 2 cos s inx 2

dx x

π

π π

Đổi cận: Khi x cos 2

dx I

1 cos x

2 cos 2

2 dt

3∫ = π

3 3Vây

Vậy I = 158 –

4

π

0

2 2 3

sin cos 4 sin

π

xdx x

x

( Đáp số : I = 8 −π )

Bài 19: Tính tích phân: I = x dx

3

2 0

sin cos 3 sin

3 4 −

15 2 3

0

sin x

dx(tg x 1) cos x

π

+

∫

BÀI TẬP Bài 1 Tính các tích phân sau:

a) ∫4

0

cos 2

π

dx x x

cos sin

π

xdx

0 sin xcos xdx

π

dx x

cos sin cos 1

π

xdx x

6

cos sin

2 cos 2 sin 1

π

π

dx x x

x

x x

π

π

dx x e

x x f) ∫2( + x) x dx

0

3 2

2 sin sin

sin

2 sinx dx x

cos

π

dx x x

cos

π

x dx

cos sin

cos sin

) cos (sin

cos 1 sin

π

dx x

x 12 ∫2 +

0 1 cos cos

π

dx x

0

2 2

cos cos

sin 2 sin

π

x x

x x

0

4 4

) cos (sin

2 cos

π

dx x x

x 16 ∫2 +

0 2 sin sin

π

dx x

x 17 ∫2 +

0

3

cos 1 cos

π

dx x

3

2

) cos 1 ( cos

1 cos sin

π

π

dx x x

x x

cos

π

π

x x dx

26 ∫2 ++ ++

6 cos 7 sin

π

dx x x

dx 29 ∫4 +

0

4 3

cos 1

sin 4

π

dx x x

30 ∫2 + ++

2 sin 2 cos 1

π

dx x x

x

x 31 ∫2 +

0 1 cos

3 sin

π

dx x

4

sin 2 sin

cos sin

π

dx x

0

3 2

) sin 1 ( 2 sin

π

dx x

0

sin cosx x dx

π

dx xtgx

0 2 sin 1

π

x dx

39 ∫2

4

5 3

sin cos

4 sin

42 ∫6

6

4

cos sin

sin

π

x x

sin

π

x x dx

45 ∫3

4

6 2

cos sin

π

6 (

sin 4

π

x x

2 sin

51 ∫2 +

0

1 2

2 sin

π

dx e

π

53 ∫4 +

6

2 cot

4 sin 3 sin

π

π

dx x g tgx

x x

0

2

6 sin 5 sin

2 sin

π

x x

xdx 55 ∫2

1

) cos(lnx dx 56 ∫3

6

2 cos

) ln(sin

π

π

dx x x

57 ∫2 x− x dx

0

2

cos ) 1 2 (

0 2

π

xdx xtg

60 ∫π

0

2 2

sin xdx

0

3 sin

cos sin

2

π

xdx x

0

) 1 ln(

π

dx tgx

63 ∫4 +

0

2

) cos 2 (sin

π

x x

0

2 ) cos 2 )(

sin 1 (

cos ) sin 1 ( π

dx x x

x x

π

68 ∫

− 2

2

3 cos 5 cos

π

π

xdx

x

VẤN ĐỀ 4: TÍNH TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT

Sử dụng các phép toán về luỹ thừa và logarit Xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm

VÍ DỤ ÁP DỤNG:

Bài 1(A2010): Tính tích phân :

x 0

e

+ +

1

0

1 ln(1 2 ) 2

0

2 3

) 2 ( e x

x x x

e e

dx e I

3

u u

du

u u

1 )

2 ( 4

1 4

1 2

ln 4

1 ln

−

u u

u

8

1 ) 2

3 ln(

1

2 0

Khi đó: ln 5( ) 2( ) 2 2( ) 2

2 2

9 9

1 2

1 (x 1 )e x x dx

x

+ + −

).

4 (

x x

e

dx e x

4

x x

e v

dx du

e

dx e dv

x u

2 ln

1 2

1 2

ln 1 1

2 ln

0

2 ln

0

2 ln 0

+

−

= +

x x

e

e d e

dx e x

e

dx

3 ln 2 ln

+ +

1 1

x I

1

2 ln 3 ln 1 ln

1

xdx ln x 3 dx x ln

x I

1 1

ln 1

x

1 tdt 2

; x ln 1 t x ln 1

3

t 2 dt 1 t 2 tdt 2

1 2 2

dx du dx

x dv

x ln u

3 2

1 1 2

x du

x dx

dv

v x

ln 2 ln 5 1

x dx

e

x x

e dx e

π

xdx x

e

dx x x

x

x

1

2 ln 1 ln

x dx x

∫

π

π

m) 10

ln( 1) 1

x dx x

+ +

∫

VẤN ĐỀ 5: MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT

Dạng 1 Tích phân của hàm số chẵn, hàm số lẻ

• Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số lẻ trên [-a; a] thì a ( ) 0

= ∫ bằng phương pháp đổi biến Đặt t = – x

– Nếu f(x) là hàm số lẻ thì J = –K ⇒ I = J + K = 0

– Nếu f(x) là hàm số chẵn thì J = K ⇒ I = J + K = 2K

Dạng 2 Nếu f(x) liên tục và là hàm chẵn trên R thì:

−

= +

α

(với α ∈ R + và a > 0) Để chứng minh tính chất này, ta cũng làm tương tự như trên

Để tính J ta cũng đặt: t = –x

Dạng 3 Nếu f(x) liên tục trên 0;

Dạng 5 Tính tích phân bằng cách sử dụng nguyên hàm phụ

Để xác định nguyên hàm của hàm số f(x) ta cần tìm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x) dễ xác định hơn so với f(x) Từ đó suy ra nguyên hàm của f(x) Ta thực hiện các bước như sau:

Bước 1: Tìm hàm g(x)

Bước 2: Xác định nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x), tức là: