Chuyên đề LTDH phần Đại Số

Phương pháp giải phương trình bậc hai... Lưu ý: Ta có rhể xét dấu biểu thức trong trị tuyệt đối sau đó giải phương trình trên từngkhoảng... b Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình..

Trang 1

 PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

A.PHƯƠNG PHÁP GIẢI



PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI, TAM THỨC BẬC HAI

I PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI :

( ) ( ) 2

Dạng

1 Phương pháp giải phương trình bậc hai.

= b - 4ac

' = b' - ac

2)

- Nếu ∆ < 0 thì (1) vô nghiệm

- Nếu = 0∆ thì (1) có nghiệm số kép: 1 2

b

x = x =

b'

x = x =

-a )

- Nếu ∆ > 0 thì (1) có 2 nghiệm phân biệt:

1, 2

-b

x =

2a

1, 2

x =

a

± ∆ ).

Đặc biệt:

- Nếu a + b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm x = 1; 1 2

c

x =

a

- Nếu a - b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm x = -1; 1 2

c

x =

-a

2 Định lý Viet: Nếu phương trình bậc hai 2

ax + bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2 thì

1 2

b

S = x + x =

c

P = x x =

a

II DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI :

Phương pháp xét dấu:

Cho tam thức : f x = ax + bx + c a 0( ) 2 ( ≠ ).

Biệt số : ∆ = b - 4ac2

TH 1: ∆ < 0

x −∞ +∞

TH 2: ∆ = 0

x −∞ x1= x2 +∞

f(x) cùng dấu a 0 cùng dấu a

TH 3: ∆ > 0

x −∞ x1 x2 +∞

f(x) cùng dấu a 0 trái dấu a 0 cùng dấu a

Trang 2

DO THẦY : LÊ QUANG ÂN BIÊN SOẠN VÀ GIẢNG DẠY



PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO

I ĐỊNH LÝ BEZOUT :

Các số a , a , , a , a0 1 L n-1 n là các hệ số

α là nghiệm của đa thức P x khi ( ) Pα = 0 và khi đó ( ) P x chia hết cho x - α ( )

II SƠ ĐỒ HORNER :

Trong đó b , i i∈{0, 1, 2, L , n} được xác định bởi sơ đồ Horner :

x a0 a1 a2 L an-2 an-1 an

α b0 b1 b2 L bn-2 bn-1 bn

Với b = a và 0 0 bα b + bi = × i - 1 i với i∈{1, 1, 2, L , n}

III ĐỊNH LÝ VIET :

1 Nếu phương trình bậc ba ax + bx + cx + d 03 2 = có ba nghiệm x1, x2, x3 thì:

1 2 2 3 3 1

1 2 3

b

x + x + x =

-a c

x x + x x + x x =

a d

x x x =

-a











2 Nếu phương trình bậc bốn ax + bx + cx + d 03 2 = có bốn nghiệm x1, x2, x3, x4 thì:

1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4

1 2 3 1 2 4 2 3 4 1 3 4

1 2 3 4

b

x + x + x + x = -

a

c

x x + x x + x x + x x + x x + x x =

a d

-a e

x x x x =

a













PHƯƠNG TRÌNH-BẤT PHƯƠNG TRÌNH

CHỨA TUYỆT ĐỐI

I PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI :

A = -B



Dạng 2:

B 0

A = -B

≥







Trang 3

Lưu ý: Ta có rhể xét dấu biểu thức trong trị tuyệt đối sau đó giải phương trình trên từng

khoảng

II BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI :

A < B ⇔ A < B Dạng 2: A < B ⇔ - B < A < B

Dạng 3: A > B A > B

A < -B



⇔ 

Lưu ý: Ta có rhể xét dấu biểu thức trong trị tuyệt đối sau đó giải bất phương trình trên từng

khoảng



PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH

CHỨA CĂN THỨC

I PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC :

Dạng 1: 2n

2n

B 0

A = B

≥



⇔ 

A = B

⇔ 

Dạng 3: 2n+1A = 2n+1B ⇔ A = B

Dạng 4:

A 0

B 0

C - A + B

2

≥



 ≥



⇔ 

II BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC :

Dạng 1:

2

B > 0

A < B







≥

A > B

≥



⇔ 

Trang 4

A.PHƯƠNG PHÁP GIẢI

HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN Dạng 1: 1 1 1

A x+ B y = C





1 2 2 1

- Nếu D = 0 thì hệ có duy nhất một nghiệm:

x

y

D

x = D D

y = D











- Nếu

D = 0



- Nếu D = D = D = 0 thì hệ có vô số nghiệm.x y

Dạng 2: Đối xứng loại 1 : ( )

( )

f x, y = 0

g x, y = 0





f x, y = f y, x

g x, y = g y, x





Đặt : P = x y S = x + y×

2

( )

F S, P = 0

E S, P = 0





Khi đó x, y là nghiệm của phương trình : X - SX + P = 02

Dạng 3: Đối xứng loại 2 : ( )

( )

f x, y = 0 (1)

f y, x = 0 (2)





y = x a

h x, y = 0 b





( )ab ( )







và 1 và 1

Trang 5

PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Bài 1 Cho phương trình : x + 2xcos + 1 + sin = 0 2 α α (α∈[- 2; π π 2] ).

a) Định α để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa 2 2

b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

Bài 2 Cho phương trình : 2x - 2sin - 1 x + 6sin2 ( α ) 2α −sinα−1 = 0 (α∈[0; 2π] ).

b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

2

12

m

x +x + 2 x + x < 0 b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

3 3

2

1

x + x đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 5 Định m để hệ phương trình :

x + y + xy m

=



x + xy + y m + 1

=



x + xy + y m

=



d)

 =

 =

2 2

a

y

a 0 a

x





có một nghiệm duy nhất

Bài 7 Chứng minh hệ phương trình

2

Bài 8 Định m để phương trình :

Trang 6

2m + 3 x - m + 5 x - 4m - 3 = 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện

(3x - 1 3x - 11 ) ( 2 ) <25

2m + 3 x - m + 3 x + m + 2 = 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện

x +x <3

2x - 3m + 1 x + m + m = 0 có hai nghiệm thỏa mãn bất phương trình

2

x - mx - 3m - 1 0≥

Bài 9 Định m để bất phương trình :

x - 2mx + 2 x - m + 2 > 0 có tập nghiệm là ¡

b) x + 2 x - m + m + m - 1 02 2 ≤ có nghiệm.

3 - x - m > x có ít nhất một nghiệm âm

Bài 10 Định m để :

2 2

x 7x - 8 0

m x + 1 > 3 + 3m - 2 x





2

2x 3x - 2 0



c) Hệ bất phương trình

2 2

x + 4x + 7 - 4m 0

độ dài bằng 1

Bài 11 Định m để :

x - 2 m + 1 x - m m - 1 = 0

hai nghiệm phân biệt và giữa hai nghiệm của mỗi phương trình có đúng một nghiệm của phương trình kia

x - 4mx + m + 1 x - 4mx + 1 = 0 có nghiệm

2

m

x + x + 1 =

x + x + 1 có nghiệm

2

mx - x + 1 - m < 0 có tập nghiệm là (0; 1 )

m + m - 2 x - m + 5 x - 2 < 0 nghiệmđúng với mọi số thực x∈[ ]0; 1 .

m + 1 x + 3mx + m + > 0

8 có tập nghiệm giao với (1; +∞)khác rỗng.

Trang 7

x + x - 2x + m = 0 có nghiệm

mx - 2 m - 1 x + 2 = mx - 2 có nghiệm duy nhất

2x - 3x - 2 = 5m - 8x - 2x có nghiệm duy nhất

x - 1 = 2 x - m có bốn nghiệm phân biệt

-2x + 10x - 8 = x - 5x + m có bốn nghiệm bằng nhau

PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC

Bài 1 Giải các phương trình sau đây :

a) (x + 3 10 - x) 2 =x - x - 122

28

c) x + 3x + 12 =(x + 3) x2+1

a) 2x + 8x + 6 + x - 1 = 2x + 2 2 2

b) 2x - 3 + 5 - 2x - x + 4x - 6 = 02

6 2x - 1 + 19 - 2x =

10x - x - 24

x + 5

x - 16 + x + 4 =

x + 11 x + 4 e) x + 4 + x - 4 = 2x - 12 + 2 x - 16 2

b) 3x + 6x + 16 + x + 2x = 2 x + 2x + 4 2 2 2

c) 1 + x x - 242 =x - 1.

Bài 4 Giải các hệ phương trình sau :

x - 2 + y + 5 7





=

Trang 8

b)

x + x + y + 1 + x + y + x + y + 1 + y 18

x + x + y + 1 - x + y + x + y + 1 - y 2





=

c)

x xy + y xy 78









d) 2x + y - x - y 22 2 2





=

e)





=

Bài 5 Giải các bất phương trình sau đây :

a) 2x - 1 + 4 2x + 1≥

c) 2x + 6x + 1 x + 12 > .

e) (x + 1 + x + 13 ) ( 2 )+ 3x x + 1 0> .

a) 5 + 4x - x2 + 3 - x2 ≥2

b) x - 1 x - 3+ ≥ 2x - 10x + 162

4

2x

2 x

+ x - 3

2

d) 7x + 7+ 7x - 6 2 49x + 7x - 42 181 - 14x+ 2 <

a) 4x + 2x + 12 − 4x - 2x + 1 2m2 = vô nghiệm

b) 2x + 1 m - x2 = có nghiệm.

c) (x - 3 x + 1) ( ) (4 x - 3) x + 1 m

x - 3

Trang 9

d) x + 6 x - 9 x - 6 x - 9 x + m

6

Bài 9 Định m để hệ phương trình :

x x y y 1 - 3m





b) x + 1 y + 1 3









e)

2





a) x - 2≥ x - m m - 2+ vô nghiệm

b) mx - x - 3 m + 1≤ có nghiệm

c) x + 2x + 1 m2 ≤ có nghiệm.

e) -4 4 - x 2 + x( ) ( ) ≤x - 2x + m - 182 nghiệm đúng với mọi x∈ −[ 2; 4].

Chuyên đề 12: PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH

MŨ, LOGARIT A.PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Vấn đề 1:

PHƯƠNG TRÌNH MŨ Dạng 1: Dạng cơ bản: với 0 < a≠1.

( )

f x

a

b > 0

f x = log b



⇔ 

Dạng 2: Đưa về cùng cơ số: f x( ) g x( ) ( )

+ Nếu 0 < a≠1 thì : ( )1 ⇔f x( ) =g x( ) .

+ Nếu a thay đổi thì : ( )1 (a > 0 ) ( ) ( )





Dạng 3: Đặt ẩn số phụ: Đặt t = ax, t > 0 Phương trình đã cho tương đương : g t = 0 t > 0 ( )





Dạng 4: Đoán ngiệm và chứng minh nghiệm đó duy nhất.

Trang 10

Vấn đề 2:

PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Điều kiện tồn tại log f x là : a ( ) ( )

0 < a 1

f x > 0

≠





Dạng 1: a ( ) ( ) b

0 < a 1 log f x = b

f x = a

≠



⇔ 

Dạng 2: Đưa về cùng cơ số: ( ) ( ) ( )

( ) ( )

0 < a 1

log f x = log g x

f x = g x

≠



⇔ 





Dạng 3: Đặt ẩn số phụ: Đặt t = log f x Sau đó giải phương trình đại số theo t a ( )

Dạng 4: Đoán ngiệm và chứng minh nghiệm đó duy nhất.

Vấn đề 3:

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ Dạng : f x( ) g x( ) ( )

+ Nếu a >1 thì : ( )1 ⇔f x( ) >g x( ) .

+ Nếu 0 < a < 1 thì : ( )1 ⇔f x( ) <g x( )

Tổng quát:

+ f x( ) g x( ) ( ) ( ) ( )

a > 0 a 1

a > a

∧ ≠





+ f x( ) g x( ) ( ) ( ) ( )

a > 0



Vấn đề 4:

BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Dạng 1: log f x > log g x (1)a ( ) a ( )

+ Nếu a >1 thì : ( )1 f x( ) g x( ) 0 g x > 0 ( ) ( ) ( )



+ Nếu 0 < a < 1 thì : ( )1 g x( ) ( )f x 0 f x > 0 ( ) ( ) ( )





Dạng 2: log f x log g xa ( ) ≥ a ( ) (2)

+ Nếu a >1 thì : ( )2 ⇔f x( ) ≥g x( ) >0.

+ Nếu 0 < a < 1 thì : ( )2 ⇔g x( ) ( )≥f x >0.

Trang 11

PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARITH

25 - 2 3 - x 5 + 2x - 7 0=

x + 3

x

3 x - 1

2 2

8 3 + 3 2× × =24 + 6

4 3 - 9 2× × = ×5 6

c) x x 3x + 1

d) x - 3x + 2 2 x + 6x + 5 2 2x + 3x + 7 2

e) 3 2× x + x + 1 2 - 23x + 2x + 2 2 =21 - x 2

8 3 + 3 2× × =24 + 6

d) x-1 x - x2 ( )2

e) x -x 2 x - x 2 x -x 2

a) ( )log x 2 ( )log x 2 2

+

a) log x + log x log 5 log 2255 3 = 3 × 9

Trang 12

b) log x log7 = 3( x + 2).

c) log x + 2log x 2 log x log x2 7 = + 2 × 7 .

e)

2

x + x + 3

2x + 4x + 5

a) ( )x - 3 ( )x + 1

x - 1 x + 3

b) 4x + x 22 × x + 1 2 + × > × +3 2x 2 x 2x 2 8x + 12

c) x - 8 e4 ×x - 1> x x e( 2×x - 1- 8).

d) 3 + 8 32x × x + x + 4− ×9 9 x + 4 > 0

e) 8 3× x + x 4 + 94 x +1≥ 9 x

a) 3x - 4 2 +(x - 4 32 ) x - 2 ≥1

b) 2 2× + × >x 3 3x 6x−1

c) 16 - 3x x ≤ 4x+9x

d) 2 3 - 2xx xx + 2 1

3 - 2

2

1 + x + x

b)

3

2

0

x - 3x - 4

>

1 1

3 3

log x + 1

5

1

2x - 1 - 1

2

log x + log x - 3 5 log x - 3> .

Trang 13

a) ( ) ( 2)

2 2 + 7 2 2 - 7

log x + log x - 3 m log x - 3= có nghiệm thuộc nửa khoảng [32; +∞).

m - 1 log x - 2 - m - 5 log x - 2 + m - 1 = 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa điều kiện

2 < x ≤x < 4

2

x + x > 1

9 - 2 m + 1 3 - 2m - 3 > 0 có tập nghiệm là ¡

a) (x - 61 - x)(m - 1 6 - 2 6 + 2m + 1) x ×-x ≥ 0 nghiệm đúng với mọi x∈[ ]0; 1

b) 92x - x 2 −2 m - 1 6( ) 2x - x 2 + m + 1 4( ) 2x - x 2 0≥ nghiệm đúng với mọi x thỏa x 1

2

x + 1

lg 2x + m - 1

1

lg m + m - lgx < nghiệm đúng với mọi x∈(0; 2].

Bài 16 Giải các PT sau :

a) 3x+1 + 3x-2 - 3x-3 +3x-4 = 750

b) 2x2 −x−22 +x−x2 =3

c) 12.3x + 3.15x -5x+1 = 20

x

6 1 1 6 7 2

8 4 2









e) ( 5+2 6)sinx+( 5−2 6)sinx =2

f) (2+ 2)log 2x+x(2− 2)log 2x =1+x2

g) (2+ 3)x+(2− 3)x =14

h) 5.32x− 1−7.3x− 1+ 1−6.3x +9x+ 1 =0

3

1 3 3









 +











Trang 14

3

6 9

4x+ + x = x+

c) 4x2 + x.3x + 31+x = 2x2.3x + 2x +6

d) 4cos 2x +4cos 2x =3

81

3 x− = x−

+

=

− +

g) 2x2 −x −22 +x−x2 =3 ; h) 5x +12x = 13x

i) 9sin 2x+9cos 2x =10 ; j) 15.2x+1+1≥ 2x−1+2x+1

Bài 18 Giải các BPT sau :

a) 2.14x + 3.49x - 4x ≥ 0 ; b) x2 x2 2x

) 1

c)

x

x2 2

3











 <  −x









 16

9

1 ; d) ( ) 1

3

−

x

< ( ) 3

1

3

+

x

2 3

≤

−

x x

; f)

1 1 2

3

1 3 3











 +











> 12

x

5 2 10

7 2 − ; h) x 2x log 2x

2

3 log

2

1

2

i)

2

16 4

−

− +

−

x

> 0 ; j) 91x +61x −41x ≥0

2 log

1 ) 1 3

(

3

+

x x

x

b) ( 1)log 3 log (3 1 3) log5(11.3 9)

5

x

20

2 5

2

1 log

2

1 ) 6 5 (

3

1

5

1 x−  =

9 x + x+ + > log (3 2 4 2)

3 x + x+

Bài 20 Giải các BPT và PT sau :

a) log( 1−x2 )(1−x)≥1 ; b) log (4 4) log (2 1 3)

2 1

2 x+ = x− x+ −

2 1

2

3

e) log4(x+1)2 +2=log 2 4−x +log8(4+x)3

f) log3(x2+x+1)−log3x=2x−x2

16 1

4

c)logx2(2+x)+log 2+x x=2 ; d) log ( 1) log 2( 1)6 25

4 2 4

2 2

4 2

2 2

2

4 x − x+ < log ( 2) log 4 1

2

1

2

2 x− + x− +

Trang 15

1

1 8 log

2









+

− +

x

x x

2

1

c) (lgx)(lg2x+lgx2 −3)≥0 ; d)

2

1 2 4

e) log (log3(9x−72))≤1

4

1 ) 3 ( log

2

1

2

8 4

3

27x3 x− x x = .

c) log (4 4) log (22 1 3.2 )

2

1 2

4

1 2

e) log5(5x - 4) = 1 - x

2 4

x x

g) log2x +2log7x =2 + log2xlog7x

h) 4log 2 2x− xlog 2 6 = 2 3log 2 4x2

5 log ) 1 3 4

5









 +

+

x

x x

CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC THAM KHẢO TỪ : 2002 - 2009

2) Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m, phương trình sau có hai nghiêm thực phân biệt: x2+ 2x – 8 = m(x - 2)

3) Tìm giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:

x + y + 5









4) Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt:: x + mx + 2 2x + 12 = .

5) Giải phương trình: 2x - 1 + x2- 3x + 1 0 (x= ∈R )

6) Giải bất phương trình: 5x - 1− x - 1> 2x - 4;

3log (9x )- log y = 3





Trang 16

x - 3 >

4

1

y

x + y = 25









11) Xác định m để phương trình sau có nghiệm:

x x y y 1 - 3m





13) Giải hệ phương trình:

3

2y x + 1







2 2 2 2

y + 2 3y

x

x + 2 3x

y



=





 =



15) Giải phương trình: 2x - x 2 - 22+x-x 2 = 3

log x + log x + 1 - 2m -1 = 0 (2) (m là tham số)

a) Giải phương trình (2) khi m = 2

b) Tìm m để phương trình (2) có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 1,3 3 17) Giải bất phương trình: log log 9x - 72x 3( ) ≤ 1.

x + y = x + y + 2





19) Giải bất phương trình: (x - 3x 2x - 3x - 2 02 ) 2 ≥

x x+1 x

4 + 2 = y

2 + 2





2

23) Tìm a để phương trình sau có nghiệm: 91 1- t + 2 −(a + 2 3)×1 1- t + 2 +2a + 1 = 0 24) Giải hệ phương trình:

x - 4 y 3 0 log x - log y = 0





25) Giải bất phương trình: 15 2 + 1 2 - 1 + 2× x+1 ≥ x x+1

Định dạng
Số trang	19
Dung lượng	1,14 MB