Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử.1.. Phơng pháp thêm , bớt cùng một hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức hoặc xuất hiện nhân tử chung: Đối với phơng pháp này thờng đợc chia
Trang 1Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
1 Phơng pháp đặt nhân tử chung ( thừa số chung):
a) a2 + 3a
b) 14a + 21b
c) a(x+y) + b(x+y)
d) 10a6 + 20a5
e) 5x2 – 10xy +5y2
f) 3ab3 + 6ab2 – 18ab
g) 15x3y2 + 10x2y2 - 20x2y3
h) a2(x – 1) – b(1 – x)
i) x(x – 5) – 4(5 – x)
2 Phơng pháp dùng hằng đẳng thức:
a) x2 + 2x + 1
b) 4x2 - 12x + 9
c) 9x2 – 4y2
d) 8x3 – 27
e) 16a2 – (x – y)2
f) (a – 3b)2 – 16c2
g) 16(x - y)2 - 25(x + y)2
h) m3 – 27
i) 8m3 + 36m2n + 54mn2 + 27n3
4
1
b
a −
k) a4 – b4
l) 1+ 3
64
1
x
m) x3 – 3x2 + 3x – 1
n) x3 + 9x2y + 27xy2 + 27y3
3 Phơng pháp nhóm nhiều hạng tử để đặt thừa số chung hoặc xuất hiện hằng đẳng thức:
a) 6a(x+y) + x+ y
b) a(x-y) – bx + by
c) x2 + xy + ax + ay
d) 10ay – 5by + 2ax –
bx
e) x+ x2 – x3 – x4
f) ax2 – bx2 – bx – ax – a – b
g) 7x2 – 7xy – 4x + 4y
h) x(2x – 7) – (4x – 14)
i) x2 + 6x + 9 – y2
j) x3 – 3x2 + 3x -1 – 27y3
4 Phơng pháp thêm , bớt cùng một hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức hoặc xuất hiện nhân tử chung:
Đối với phơng pháp này thờng đợc chia ra làm hai dạng :
a. Đa thức có dạng bình phơng của một tổng: A = a 4 + b 4
Ví dụ 1: Phân tích đa thức P = x4 + 4y4 thành nhân tử
Nhận xét: Hiện đa thức có tổng bình phơng (x2)2 + (2y2)2 tơng ứng với 2 số hạng a2 + b2 của hằng đẳng thức a2 + 2ab + b2 nh vậy còn thiếu 2ab nên để có hằng đẳng thức thì chúng ta thêm tích 2.x.2y2 rồi bớt đi 2.x.2y2
P = x4 + 4y4 = (x2)2 + (2y2)2 + 2.x.2y2 - 2.x.2y2
= (x2 – 2y2)2 – (2xy2)2 = (x2 – 2y2 – 2xy2)(x2 – 2y2 + 2xy2)
Chú ý: Số hạng thêm và bớt phải có dạng bình phơng thì mới làm tiếp đợc bài toán đợc.
Ví dụ 2: (Bài 43d trang 20 / SGK)
Phân tích đa thức Q = 1 x2 − 64y2
Trang 2=
=
−
5
1 8 5
1 ) 8 ( 5
Bài tập: a) x4 + 64 b) x4 + 4 c) x4 + 4b4 d) 81x4 + 1
b. Đa thức có dạng nh: a 3k+2 + a 3k + 1 1, a 7 + a 5 +1, a 8 + a 4 +1 vv…
Đối với những đa thức nh trên khi chúng ta muốn phân tích đa thức thành nhân tử thì nên tìm cách giảm dần số mũ luỹ thừa nhng cần chú ý đến các biểu thức dạng a6 – 1; a3- 1; a2 + a + 1
Ví dụ : 1: Q = x5 +x+1
Cách 1: Thêm bớt x4 +x3 +x2để đặt nhân tử chung
Q = x5 +x+1 = x5 +x+1 +x4 +x3 +x2 - x4 −x3 −x2
= x3 (x2 +x+ 1 ) + (x2 +x+ 1 ) −x2 (x2 +x+ 1 )
= (x2 +x+ 1 )(x3 −x2 + 1 )
Cách 2: Thêm bớt x2 để có dạng x3 – 1 dẫn đến thừa số chung
x2+ x +1
Q = x5 - x2 + x2 + x + 1 = x2( x3 – 1) + (x2+ x +1)
= x(x-1)( x2+ x +1) + (x2+ x +1)
= (x2+ x +1)( x3- x2 +1)
Ví dụ 2: D = x8 + x7 +1
Cách 1: Thêm bớt x6 +x5 +x4 +x3 +x2 +x để đặt nhân tử chung
x2+ x +1
D = x8 +x7 +1
=x8 +x7 +1+(x6 +x5 +x4 +x3 +x2 +x)-(x6 +x5 +x4 +x3+x2 +x) = x6 (x2 +x+ 1 ) +x3 (x2 +x+ 1 ) + (x2 +x+ 1 ) −x4 (x2 +x+ 1 ) −x(x2 +x+ 1 )
= (x2 +x+ 1 )(x6 −x4 +x3 −x + 1 )
Cách 2: Thêm bớt x2 + x để xuất hiện x6 – 1 dẫn đến x3 – 1 có chứa x2+ x +1
D = x8 +x7 +1 = x8 −x2 +x7 −x+x2 +x+1
= x2 (x6 − 1 ) +x(x6 − 1 ) + (x2 +x+ 1 )
= (x2 +x)(x6 − 1 ) + (x2 +x+ 1 )
= (x2 +x)(x3 − 1 )(x3 + 1 ) + (x2 +x+ 1 )
= (x2 +x)(x − 1 )(x2 +x+ 1 )(x3 + 1 ) + (x2 +x+ 1 )
= (x2 +x+ 1 )[(x2 +x)(x3 + 1 )(x− 1 ) + 1]
= (x2 +x+ 1 )[(x5 +x2 +x4 +x)(x− 1 ) + 1]
= (x2 +x+ 1 )[x6 +x3 +x5 +x2 −x5 −x2 −x4 −x+ 1]
= (x2 +x+ 1 )(x6 −x4 +x3 −x + 1 )
Lê Văn Th giáo viên Trờng THCS Tợng Văn huyện Nông Cống 2
Trang 3Bài tập :
a) x5 +x4 +1
b) x7 + x2 +1
c) x8 +x7 +1
d) x8 +x +1
e) x8 +x4 +1
f) x10 +x5 +1
5 Phơng pháp tách các hạng tử.
Đối với phơng pháp này thờng đợc đợc áp dụng đối tam thức bậc hai
ax2 + bx +c và có hai cách tách hạng tử:
Cách 1: Tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử.
Trong tam thức bậc hai ax2 + bx +c hệ số b đợc tách thành b =b1 + b2 sao cho b1b2 = ac Trong thực tế khi làm chúng ta nên làm nh sau:
Ví dụ 1: M = x2 – 4x – 12
Bớc 1: Tìm tích ac = 1.(-12) = -12
Bớc 2: Phân tích ac ra tích 2 thừa số nguyên bằng mọi cách
-12=1.(-12) = (-1).12 = (-2).6 = 2.(-6) = (-3).4 = (-4).3
Bớc 3: Chọn 2 thừa số mà tổng bằng b = - 4 = - 6 +2
nh vậy tách – 4x = - 6x + 2x
M = x2 – 6x + 2x – 12 =x(x – 6) +2(x- 6) = (x- 6) ( x + 2)
Ví dụ 2: N = 2x2 + x – 6
Ta thấy 2.(-6) = - 12 = 4 (- 3) mà 4 + (- 3) = 1
vậy tách x = 4x – 3x
ta có N = 2x2 + 4x – 3x – 6 = 2x( x+2) – 3(x+2) = (2x – 3)(x+2)
Cách 2: Tách hạng tử tự do thành 2 hạng tử rồi đa về dạng hiệu hai bình phơng.
Tổng quát: A = x2 + 2ax +b = x2 + 2ax + a2– a2 + b
= (x + a)2– (a2 −b) 2 = ( (x+a)+ a2 −b)(x+a− a2 −b)
Điều kiện: a2 ≥ b
Ví dụ 1: M = x2 – 4x – 12 = x2 – 2.x.2 + 22 – 22 – 12
= (x – 2)2 – 16 = (x- 2 – 4)(x-2+4) = (x- 6)(x +2) Chú ý : - Thờng áp dụng đối với tam thức bậc hai có hệ số của x chia cho hệ số của x 2 đợc thơng chia hết cho 2 còn không thì nên áp dụng theo cách 1.
- a 2 < b thì đa thức không thể phân tích tiếp đợc nữa.
Ví dụ 2: K = x2 + 6x + 5 = x2 + 2.x.3 + 32 – 32 + 5
= (x + 3)2 – 22 = (x +3 -2)(x+3 +2) = (x+1)(x+5)
Ví dụ 3: H = = x2 + 10x + 16 = x2 + 2.x.5 + 52 – 52 + 16
= (x + 5)2 – 32 = (x +5 -3)(x+5 +3) = (x+2)(x+8)
Bài tập:
Trang 4e) x2 -5x + 14
f) 4x2 - 36x + 56
g) x2 – 7xy + 10y2
h) x2 - 5x – 14
i) x2 - 9x + 18
j) 2x2 - 6x + 4
k) 3x2 - 5x – 2
l) 7x2 + 50x + 7
m) 15x2 + 7x – 2
n) x2 - 5x + 14
o) 4x2 -36x + 56
p) x2 - 7x + 10
q) 3x2 - 5x – 2
r) 2x2 + x - 6
s) 15x2 + 7x - 12
t) 3x2 – 8xy + 4y2
u) x2 - 10x + 21
v) x2 + 11x + 30
Lª V¨n Th gi¸o viªn Trêng THCS Tîng V¨n huyÖn N«ng Cèng 4
Trang 56 Phơng pháp dự đoán nghiệm của đa thức
Để phân tích đa thức thành nhân tử chúng ta có thể sử dụng hệ quả của địng lí Bezout: “ Nếu α là nghiệm của đa thức f(x) thì f(x) có chứa thừa số x- α”
Ví dụ 1: f(x) = x3 – 5x2 + 8x – 4
Thờng ta dự đoán nghiệm của đa thức là các ớc của hạng tử độc lập là - 4 , Ư(- 4) =
{− 4 ; − 2 ; − 1 ; 1 ; 2 ; 4}
Thế x= ± 1 ; ± 2 ; ± 4 vào f(x) thì ta thấy x= 1 và x= 2 làm f(x) = 0 Vậy f(x) có nghiệm x = 1
và x= 2 cho nên theo hệ quả của định lí Be zout f(x) sẽ chứa thừa số x – 1 và x- 2 Vậy ta cố gắng làm xuất hiện thừa số x-1 và x–2
f(x) = x3 – 5x2 + 8x – 4 = x3 – x2 – 4x2 + 4x + 4x – 4
= x2( x – 1) - 4x(x – 1) + 4(x – 1)
= (x – 1) ( x2 – 4x + 4)
= (x - 1)(x -2)2
Ví dụ 2: f(x) = x3 – 6x2 + 6x – 7
Ư(-7) = {− 7 ; − 1 ; 1 ; 7}
Thử thế các giá trị x= -7;-1; 1; 7vào f(x) thì ta thấy chỉ có x= 7 làm f(x) bằng 0 Vậy f(x)
có nghiệm x = 7 nên ta cố gắng làm xuất hiện thừa số x – 7
f(x) = x3 – 6x2 + 6x – 7 = x3 – 7x2 + x2 – 7x + x – 7
= x2(x – 7) – x(x – 7) + (x – 7) = ( x2 – x + 1)(x – 7)
Tr
ờng hợp đặc biệt: Khi nghiệm là x = 1 hoặc x = -1.
Định lí 1: … Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì nó có chứa một thừa số là (x
… 1) ( tức là f(x) có nghiệm x = 1)….
Ví dụ : A = x3 – 6x2 + 11x – 6
Ta thấy 1 + (-6) +11 + (- 6) = 0 nên A chứa thừa số x – 1 Ta cố gắng tách hạng tử sao cho có thừa số (x – 1)
A = x3 – 6x2 + 11x – 6 = x3 – x2 - 5x2 + 5x + 6x – 6
= x2(x-1) – 5x(x – 1) + 6(x – 1)
=(x - 1)(x2 – 5x + 6) (áp dụng tiếp phơng pháp 1 hoặc nhẩm nghiệm )
= ( x – 1)( x- 2)(x – 3)
Định lí 2: “ Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số của luỹ thừa bậc chữa bằng tổng các hệ
số của các luỹ thừa bậc lẻ thì thì f(x) chứa một thừa số là (x + 1) ( tức là f(x) có nghiệm x = -1)….
Ví dụ : B = x3 + 2x2 + 4x + 3
Nhận xét: 1 + 4 = 2 + 3 (=5) nên B có chứa thừa số x + 1 Ta cố gắng tách hạng tử sao cho
có thừa số (x +1)
B = x3 + x2 + x2 + x + 3x + 3
= x2(x + 1) + x(x +1) + 3(x + 1) = (x + 1)(x2 + x + 3)
Bài tập:
a) x3 - 6x2 + 11x – 6
b) 6x3 - 295x – 7
c) x3 - 3x2 - 4x + 12
f) 6x3 - x2 - 486x + 81
g) x3 - 5x2 + 8x – 4
h) x3 - 4x2 - 8x + 8
Trang 6k) 3x3 - 14x2 + 4x + 3
l) x4 + 6x3 + 17x2 - 6x + 1
m) x3 + 8x2 - 8x - 1
7 Phơng pháp dùng máy tính và sơ đồ Hoor ner
1x a x a a
x
n
n
2
1
n
n
−
−
− thì giữa các hệ số an ; an-1; an-2 ; …;a1 ; a0 và các hệ số bn-1; bn-2 ; …;b1 ; b0 có mối liên hệ sau:
m b n-1 = a n b n-2 =a n-1 +mb n-1 b n-3 = a n-2 + mb n-2 . b 0 =a 1 + mb 1 r=a 0 + mb 0
Trong đó r là số d trong phép chia P(x) cho (x – m)
P(x)= (x- m)Q(x) + r
R là hằng số vì bậc của r phải nhỏ hơn bậc 1 của (x – m)
Nếu r = 0 thì x = m là nghiệm của f(x)
Ví dụ: C = x4 + 2x3 - 4x2 - 5x – 6
Ư(- 6) = {- 6; -3 ; -2; -1 ; 1 ; 2; 3 ; 6}
Ta thấy hai trờng hợp đặc biệt không xảy ra nên ta thử x = 2 ta làm nh sau: ( nên dùng máy tính cho nhanh)
Vậy C = (x - 2)( x3 + 4x2 + 4x + 3)
Tiếp tục sử dụng thuật toán Hor ner ta có
Ta có C = (x - 2)( x +3)(x2 + x + 1)
8 Phơng pháp đặt ẩn phụ
Trong một số trờng hợp việc đặt ẩn phụ làm cho bài toán dễ thấy lời giải phân tích thành nhân tử nhanh hơn
Ví dụ 1: M = ( x2 + 4x + 8)2 – 3x ( x2 + 4x + 8) + 2x2
Đặt x2 + 4x + 8 = t
Ta có M = t2 - 3xt + 2x2 = t2 - 2xt - xt + 2x2 = t(t - 2x) – x(t - 2x)
= ( t – 2x) ( t – x) = (x2 + 4x + 8 -2x) (x2 + 4x + 8 – x)
= (x2 + 2x + 8) (x2 + 3x + 8)
Ví dụ 2: N = (x+1) (x+2) (x+3) (x+4) +1
= [(x+1)(x+4)] [(x+2) (x+3)] +1
= (x2 + 5x + 4)( x2 + 5x + 6) +1
Đặt x2 + 5x + 5 = t
N = (t – 1)(t + 1) +1 = t2 - 1 + 1 = t2 = (x2 + 5x + 5)2
Bài tập:
a) ( x2 + x)2 + 3( x2 + x ) + 2
b) x (x+1) (x+2) (x+3) +1
c) ( x2 + x + 1)( x2 + 3x + 1 ) + x2
d) (x – y)2 + 4(x – y) -12
e) (x-1) (x-3) (x-5) (x- 7) – 20
f) (x-1) (x+2) (x+3) (x+ 6) – 20
g) 6x4 – 11x2 +3
Trang 79 Phơng pháp dùng hệ số bất định.
Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x4 + 6x3 + 11 x2 + 6x + 1
b) 3x2 – 22xy – 4x + 8y + 7y2 + 1
Giải a) Giả sử đa thức đợc phân tích thành hai đa thức bậc hai dạng
(x2 + ax + 1) (x2 + bx + 1) Thực hiện phép nhân ta có :
(x2 + ax + 1) (x2 + bx + 1) = x4 + ( a+ b)x3 + ( 2 + ab)x2 + ( a+b)x + 1
Đồng nhất với đa thức đã cho ta đợc :
=
= +
9
6
ab
b a
⇒
=
=
3
3
b a
Vậy x4 + 6x3 + 11 x2 + 6x + 1 = (x2 + 3x + 1) (x2 + 3x + 1) = (x2 + 3x + 1)2
b) Ta tìm a, b, c, d sao cho :
3x2 - 22xy – 4x + 8y + 7y2 + 1 = (3x + ax +b)(x + cy + d)
= 3x2 + (3c + a)xy (3d + b)x + (ad + bc)y + acy2 + bd
Đồng nhất các hệ số tơng ứng của hai vế ta đợc:
=
=
= +
= +
= +
1 bd
7 ac
8 bc ad
-4 b 3d
22
-
a 3c
Từ bd = 1 chọn b = d = -1 (vì b + 3d = - 4) Ta có a+ c = -8 kết hợp với 3c + a = -22 ta đợc a = -1, c = -7
Vậy 3x2 - 22xy – 4x + 8y + 7y2 + 1 = (3x - x - 1)(x - 7y -1)