ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --- VŨ THỊ TUYỂN VỀ MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM THƯỜNG GẶP LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội 2014... ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG
Trang 1ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-
VŨ THỊ TUYỂN
VỀ MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM THƯỜNG GẶP
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội 2014
Trang 2ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-
VŨ THỊ TUYỂN
VỀ MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM THƯỜNG GẶP
Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số: 60.46.15
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
PGS TS Phan Viết Thư
Hà Nội 2014
Trang 3MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN
LỜI NÓI ĐẦU 7 Chương I Các kiến thức cơ sở Error! Bookmark not defined 1.1 Không gian metric Error! Bookmark not defined 1.2 Không gian đo và Độ đo Error! Bookmark not defined 1.3 Độ đo Lebesgue Error! Bookmark not defined 1.3.1 Độ đo Lebesgue trên Error! Bookmark not defined
1.3.2 Độ đo Lebesgue trên k Error! Bookmark not defined 1.4 Hàm số đo được Error! Bookmark not defined 1.4.1 Cấu trúc của hàm số đo được Error! Bookmark not defined 1.4.2 Các dạng hội tụ Error! Bookmark not defined 1.5 Không gian định chuẩn Error! Bookmark not defined 1.6 Tích phân Lebesgue Error! Bookmark not defined 1.7 Không gian tô pô Error! Bookmark not defined Chương II Các không gian hàm Error! Bookmark not defined
2.1 Không gian ℒ0 và L0 Error! Bookmark not defined
2.1.1 Không gian ℒ0 Error! Bookmark not defined 2.1.2 Tính chất cơ bản Error! Bookmark not defined
2.1.3 Không gian L0 Error! Bookmark not defined
2.1.4 Cấu trúc tuyến tính của L0 Error! Bookmark not defined
2.1.5 Cấu trúc thứ tự của L0 Error! Bookmark not defined
2.1.6 Các tính chất quan trọng của L0 Error! Bookmark not defined
2.1.7 Cấu trúc nhân của L0 Error! Bookmark not defined
2.1.8 Hoạt động của các hàm Borel trên L0 Error! Bookmark not defined
2.1.9 Không gian L0 phức Error! Bookmark not defined
2.2 Không gian L1 Error! Bookmark not defined
Trang 42.2.1 Không gian L1 Error! Bookmark not defined
2.2.2 Cấu trúc thứ tự của L1 Error! Bookmark not defined
2.2.3 Chuẩn của L1 Error! Bookmark not defined
2.2.4 L1 là một không gian Riesz Error! Bookmark not defined 2.2.5 Nhắc lại về kỳ vọng có điều kiện Error! Bookmark not defined
2.2.6 L1 như là một sự hoàn chỉnh Error! Bookmark not defined
2.2.7 Không gian L1 phức Error! Bookmark not defined
2.3 Không gian L∞ Error! Bookmark not defined
2.3.1 Cấu trúc thứ tự của L∞ Error! Bookmark not defined
2.3.2 Chuẩn của L∞ Error! Bookmark not defined
2.3.3 Tính đối ngẫu giữa L∞ và L1 Error! Bookmark not defined
2.3.4 Một không gian con trù mật của L∞ Error! Bookmark not defined
2.3.5 Kỳ vọng có điều kiện Error! Bookmark not defined
2.3.6 Không gian L∞ phức Error! Bookmark not defined
2.4 Không gian Lp Error! Bookmark not defined
2.4.1 Cấu trúc thứ tự của Lp Error! Bookmark not defined
2.4.2 Chuẩn của Lp Error! Bookmark not defined
2.4.3 Một số không gian con trù mật của Lp Error! Bookmark not defined
2.4.4 Tính đối ngẫu của các không gian Lp Error! Bookmark not defined
2.4.5 Thứ tự - đầy đủ của Lp Error! Bookmark not defined 2.4.6 Kỳ vọng có điều kiện Error! Bookmark not defined
2.4.7 Không gian L2 Error! Bookmark not defined
2.4.8 Không gian Lp phức Error! Bookmark not defined
Trang 5Chương III Một số dạng hội tụ quan trọng và khả tích đều Error! Bookmark not defined
3.1 Hội tụ theo độ đo Error! Bookmark not defined 3.1.1 Các định nghĩa Error! Bookmark not defined 3.1.2 Các nhận xét Error! Bookmark not defined 3.1.3 Hội tụ điểm Error! Bookmark not defined
3.1.4 Tính chất của không gian tôpô tuyến tính 𝐿0(𝜇) đối với lớp các
không gian đo Error! Bookmark not defined 3.1.5 Một mô tả tương tự của tôpô của sự hội tụ theo độ đo Error! Bookmark not defined
3.1.6 Nhúng Lp vào L0 Error! Bookmark not defined
3.1.7 Không gian L0 phức Error! Bookmark not defined 3.2 Khả tích đều Error! Bookmark not defined 3.2.1 Định nghĩa Error! Bookmark not defined
3.2.2 Các tính chất ổn định trong phạm vi rộng của lớp của các tập khả tích đều trong ℒ1 hay L1 Error! Bookmark not defined 3.2.3 Một số mô tả tương tự của tính khả tích đều.Error! Bookmark not defined
3.2.4 Mối liên hệ giữa tính khả tích đều và tôpô của sự hội tụ theo độ
đo Error! Bookmark not defined
3.2.5 Không gian ℒ1 và L1 phức Error! Bookmark not defined
3.3 Hội tụ yếu trong L1 Error! Bookmark not defined KẾT LUẬN 87 TÀI LIỆU THAM KHẢO 88
Trang 6LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tác giả xin bày tỏ lòng biết
ơn chân thành và sâu sắc của mình tới thầy giáo: PGS TS Phan Viết Thư, người đã
tận tình giúp đỡ, hướng dẫn và đóng góp nhiều ý kiến quý báu Tác giả cũng xin
chân thành cảm ơn tập thể các thầy cô giáo, các nhà khoa học của trường Đại học
Khoa học Tự nhiên – ĐHQG Hà Nội, xin cảm ơn bạn bè đồng nghiệp, cảm ơn gia
đình đã giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn này
Trong quá trình hoàn thành luận văn, mặc dù dưới sự chỉ đạo ân cần chu đáo
của các thầy cô giáo và bản thân cũng hết sức cố gắng, song không tránh khỏi
những hạn chế, thiếu sót Vì vậy, tác giả rất mong nhận được sự góp ý, giúp đỡ của
các thầy cô, các bạn để bản luận văn này được hoàn chỉnh hơn Tác giả xin chân
thành cảm ơn!
Hà Nội ngày 20 tháng 10 năm 2014
Học viên
Vũ Thị Tuyển
Trang 8LỜI NÓI ĐẦU
Bản luận văn giới thiệu về các không gian hàm p
L Các không gian p
L là các không gian hàm được định nghĩa thông qua việc sử dụng một chuẩn tổng quát hóa một cách tự nhiên từ chuẩn p của không gian véc tơ hữu hạn chiều (nhiều khi chúng được gọi là các không gian Lebesgue) Theo Bourbaki, chúng được đưa ra đầu tiên bởi Riesz Frigyes (nhà toán học gốc Hungary) Các không gian p
L lập nên một lớp quan trọng của các không gian Banach trong giải tích hàm, không gian véc tơ tô pô, chúng có ứng dụng quan trọng trong vật lí, xác suất thống kê, toán tài chính, kỹ thuật và nhiều lĩnh vực khác Mặc dù là lớp không gian hàm quan trọng và có nhiều ứng dụng nhưng trong các giáo trình giải tích hàm cũng như lí thuyết độ đo và tích phân cơ bản, các không gian này chưa được mô tả chi tiết Với mong muốn trình bày các ý tưởng chung cũng như đi sâu nghiên cứu về các không gian 𝐿𝑝, nhằm giúp cho việc sử dụng các không gian này một cách có
hệ thống và thuận tiện, tác giả đã chọn đề tài luận văn của mình là:
“Về một số không gian hàm thường gặp”
Luận văn được chia thành 3 chương:
Chương I: Các kiến thức cơ sở
Chương II: Các không gian hàm
Chương III: Một số dạng hội tụ quan trọng và khả tích đều
Trong chương I, tác giả nêu các khái niệm và các định lí cơ bản của giải tích hàm Đó
là khái niệm về không gian metric, không gian đo với khái niệm về độ đo, hàm đo được cùng với các tính chất hội tụ và khả tích, khái niệm về không gian định chuẩn, các khái niệm trong không gian tô pô Đây là những kiến thức cơ sở sẽ được sử dụng trong chương II và chương III của luận văn này
Mục đích chính của chương II là thảo luận về các không gian hàm L p,1 p và các tính chất Điều đặc biệt là ta coi các không gian đó là không gian con của một không
Trang 9gian lớn hơn 𝐿0 gồm các lớp tương đương của các hàm (hầu như) đo được Chính vì vậy, các không gian hàm lần lượt được trình bày là không gian 𝐿 0 , không gian 𝐿 1 (không gian các hàm đo được khả tích), không gian 𝐿 ∞ (không gian các hàm bị chặn cốt yếu), không gian 𝐿𝑝(không gian các hàm số có lũy thừa bậc p của mô đun khả tích trên X) Các không gian này được trình bày một cách hệ thống theo từng nội dung: xây dựng khái niệm, chỉ
ra cấu trúc thứ tự, xét chuẩn trong nó, xét tính đối ngẫu, chỉ ra một vài không gian con trù mật quan trọng, áp dụng vào lí thuyết xác suất (xét kì vọng có điều kiện) và cuối cùng luôn là mở rộng cho không gian 𝐿 𝑝 phức
Trong chương III, tác giả mô tả một số dạng hội tụ quan trọng trong các không gian
L P Đó là sự hội tụ theo độ đo trong L P và hội tụ yếu trong L 1 Ngoài ra trong chương này, tác giả cũng chỉ ra các tính chất ổn định trong phạm vi rộng của lớp các tập khả tích đều trong ℒ 1 hay L 1
Do thời gian có hạn cũng như việc nắm bắt kiến thức còn hạn chế nên trong khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót Rất mong được sự chỉ bảo tận tình của các thầy cô và
sự góp ý chân thành của các bạn đọc
Hà Nội ngày 10 tháng 11 năm 2014
Học viên
Vũ Thị Tuyển
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
[1] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực và giải tích hàm, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà
Nội
Trang 10[2] Nguyễn Viết Phú, Nguyễn Duy Tiến (2004), Cơ sở lý thuyết xác suất, Nhà xuất
bản Đại học Quốc gia Hà Nội
[3] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2010), Giáo trình giải tích hàm, Nhà xuất bản
Đại học sư phạm
[4] Nguyễn Văn Toản (2002), Bài tập giải tích hiện đại, Xí nghiệp in chuyên dung
Thừa Thiên Huế
[5] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên, Lý thuyết xác suất, Nhà xuất bản giáo dục
Tiếng Anh
[6] D.H.Fremlin (2003), Measure theory, Volume 2, Readerin Mathematics,
University of Essex
[7] Frank Burk (1998), Lebesgue Measure and Integral An Introduction, John Wiley
& Sons, Inc