Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Về một số không gian hàm thường gặp

Với mong muốn trình bày các ý tưởng chung cũng như đi sâu nghiên cứu về các không gian L^p, nhằm giúp cho việc sử dụng các không gian này một cách có hệ thống và thuận tiện, tác giả đã chọn đề tài luận văn của mình là: Về một số không gian hàm thường gặp”.

Đ I H C QU C GIA HÀ N I Ạ Ọ Ố Ộ

TR ƯỜ NG Đ I H C KHOA Ạ Ọ  H C T  NHIÊN Ọ Ự

­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­

VŨ TH  TUY N Ị Ể

LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C Ậ Ạ Ọ

Hà N i 2014 ộ

Đ I H C QU C GIA HÀ N I Ạ Ọ Ố Ộ

TR ƯỜ NG Đ I H C KHOA Ạ Ọ  H C T  NHIÊN Ọ Ự

Hà N i 2014 ộ

M c l cụ ụ

L I C M  N Ờ Ả Ơ

Trước khi trình bày n i dung chính c a lu n văn, tác gi  xin bày t  lòng bi t  n ộ ủ ậ ả ỏ ế ơchân thành và sâu s c c a mình t i th y giáo: PGS. TS Phan Vi t Th , ngắ ủ ớ ầ ế ư ười đã t n ậtình giúp đ , hỡ ướng d n và đóng góp nhi u ý ki n quý báu. Tác gi  cũng xin chân ẫ ề ế ảthành c m  n t p th  các th y cô giáo, các nhà khoa h c c a trả ơ ậ ể ầ ọ ủ ường Đ i h c Khoa ạ ọ

h c T  nhiên – ĐHQG Hà N i, xin c m  n b n bè đ ng nghi p, c m  n gia đình đã ọ ự ộ ả ơ ạ ồ ệ ả ơgiúp đ , đ ng viên và t o đi u ki n cho tác gi  hoàn thành lu n văn này.ỡ ộ ạ ề ệ ả ậ

Trong quá trình hoàn thành lu n văn, m c dù dậ ặ ướ ựi s  ch  đ o ân c n chu đáo ỉ ạ ầ

c a các th y cô giáo và b n thân cũng h t s c c  g ng, song không tránh kh i nh ng ủ ầ ả ế ứ ố ắ ỏ ữ

h n ch , thi u sót. Vì v y, tác gi  r t mong nh n đạ ế ế ậ ả ấ ậ ượ ực s  góp ý, giúp đ  c a các th yỡ ủ ầ  

cô, các b n đ  b n lu n văn này đạ ể ả ậ ược hoàn ch nh h n. Tác gi  xin chân thành c m  n!ỉ ơ ả ả ơ

Hà N i ngày 20 tháng 10 năm 2014ộ

H c viênọ

Vũ Th  Tuy nị ể

L I NÓI Đ U Ờ Ầ

    B n lu n văn gi i thi u v  các không gian hàm . Các không gian là các không gian ả ậ ớ ệ ềhàm được đ nh nghĩa thông qua vi c s  d ng m t chu n t ng quát hóa m t cách t  ị ệ ử ụ ộ ẩ ổ ộ ựnhiên t  chu n p c a không gian véc t  h u h n chi u (nhi u khi chúng đừ ẩ ủ ơ ữ ạ ề ề ược g i là ọcác không gian Lebesgue). Theo Bourbaki, chúng được đ a ra đ u tiên b i Riesz ư ầ ở

Frigyes (nhà toán h c g c Hungary). Các không gian l p nên m t l p quan tr ng c a ọ ố ậ ộ ớ ọ ủcác không gian Banach trong gi i tích hàm, không gian véc t  tô pô, chúng có  ng d ng ả ơ ứ ụquan tr ng trong v t lí, xác su t th ng kê, toán tài chính, k  thu t và nhi u lĩnh v c ọ ậ ấ ố ỹ ậ ề ựkhác

     M c dù là l p không gian hàm quan tr ng và có nhi u  ng d ng nh ng trong các ặ ớ ọ ề ứ ụ ưgiáo trình gi i tích hàm cũng nh  lí thuy t đ  đo và tích phân c  b n, các không gian ả ư ế ộ ơ ảnày ch a đư ược mô t  chi ti t. V i mong mu n trình bày các ý tả ế ớ ố ưởng chung cũng nh  ư

đi sâu nghiên c u v  các không gian , nh m giúp cho vi c s  d ng các không gian này ứ ề ằ ệ ử ụ

m t cách có h  th ng và thu n ti n, tác gi  đã ch n đ  tài lu n văn c a mình là: ộ ệ ố ậ ệ ả ọ ề ậ ủ

“V  m t s  không gian hàm thề ộ ố ường g p”.ặ

     Lu n văn đậ ược chia thành 3 chương:

Chương I: Các ki n th c c  s ế ứ ơ ở

Chương II: Các không gian hàm. 

Chương III: M t s  d ng h i t  quan tr ng và kh  tích đ u.   ộ ố ạ ộ ụ ọ ả ề

     Trong chương I, tác gi  nêu các khái ni m và các đ nh lí c  b n c a gi i tích hàm. ả ệ ị ơ ả ủ ả

Đó là khái ni m v  không gian metric, không gian đo v i khái ni m v  đ  đo, hàm đo ệ ề ớ ệ ề ộ

được cùng v i các tính ch t h i t  và kh  tích, khái ni m v  không gian đ nh chu n, ớ ấ ộ ụ ả ệ ề ị ẩcác khái ni m trong không gian tô pô. Đây là nh ng ki n th c c  s  s  đệ ữ ế ứ ơ ở ẽ ượ ử ục s  d ng trong chương II và chương III c a lu n văn này.ủ ậ

         M c đích chính c a chụ ủ ương II là th o lu n v  các không gian hàm  và các tính ả ậ ề

ch t. Đi u đ c bi t là ta coi các không gian đó là không gian con c a m t không gian ấ ề ặ ệ ủ ộ

l n h n ớ ơ  g m các l p tồ ớ ương đương c a các hàm (h u nh ) đo đủ ầ ư ược. Chính vì v y, các ậkhông gian hàm l n lầ ượ ượt đ c trình bày là không gian , không gian (không gian các hàm 

đo được kh  tích), không gian (không gian các hàm b  ch n c t y u), không gian ả ị ặ ố ế

(không gian các hàm s  có lũy th a b c p c a mô đun kh  tích trên X). Các không gian ố ừ ậ ủ ảnày được trình bày m t cách h  th ng theo t ng n i dung: xây d ng khái ni m, ch  ra ộ ệ ố ừ ộ ự ệ ỉ

c u trúc th  t , xét chu n trong nó, xét tính đ i ng u, ch  ra m t vài không gian con trùấ ứ ự ẩ ố ẫ ỉ ộ  

m t quan tr ng, áp d ng vào lí thuy t xác su t (xét kì v ng có đi u ki n) và cu i cùng ậ ọ ụ ế ấ ọ ề ệ ốluôn là m  r ng cho không gian ph c. ở ộ ứ

        Trong chương III, tác gi  mô t  m t s  d ng h i t  quan tr ng trong các không ả ả ộ ố ạ ộ ụ ọgian . Đó là s  h i t  theo đ  đo trong  và h i t  y u trong . Ngoài ra trong chự ộ ụ ộ ộ ụ ế ương này, tác gi  cũng ch  ra các tính ch t  n đ nh trong ph m vi r ng c a l p các t p kh  ả ỉ ấ ổ ị ạ ộ ủ ớ ậ ảtích đ u trong hay .ề  

     Do th i gian có h n cũng nh  vi c n m b t ki n th c còn h n ch  nên trong khóa ờ ạ ư ệ ắ ắ ế ứ ạ ế

lu n không tránh kh i nh ng thi u sót. R t mong đậ ỏ ữ ế ấ ượ ực s  ch  b o t n tình c a các ỉ ả ậ ủ

th y cô và s  góp ý chân thành c a các b n đ c.ầ ự ủ ạ ọ

       Hà N i ngày 10 tháng 11 năm 2014ộ

       H c viênọ

       Vũ Th  Tuy n ị ể

Ch ươ ng I.   Các ki n th c c  s ế ứ ơ ở

1.1        Không gian metric

Đ nh nghĩa 1.1.   ị Gi  s  X là m t t p khác r ng, m t metric trong X là m t ánh x    ả ử ộ ậ ỗ ộ ộ ạcác s  th c, th a mãn các đi u ki n:ố ự ỏ ề ệ

Đ nh nghĩa 1.3.  ị  Gi  s  E là m t t p con c a X. T p h p t t c  các đi m dính c a E, ả ử ộ ậ ủ ậ ợ ấ ả ể ủ

được g i là bao đóng c a t p h p E, kí hi u ọ ủ ậ ợ ệ E

Đ nh nghĩa 1.4  ị  Gi  s  E là m t t p con c a X. T p E g i là:ả ử ộ ậ ủ ậ ọ

i) T p đóng n u t p E ch a t t c  các đi m t  c a nó ậ ế ậ ứ ấ ả ể ụ ủ

ii) T p m  n u m i đi m c a nó đ u là đi m trong.ậ ở ế ọ ể ủ ề ể

T p h p t t c  các đi m trong c a E g i là ph n trong c a E, kí hi u ậ ợ ấ ả ể ủ ọ ầ ủ ệ int E 

iii) T p h p E đậ ợ ược g i là trù m t trên t p h p A n u nh  bao đóng c a E ch aọ ậ ậ ợ ế ư ủ ứ  

ii. H p c a đ m đợ ủ ế ược các t p thu c cũng thu c .ậ ộ ộ

2) N u  là ế σ ­ đ i s  các t p con c a X thì c p  g i là m t không gian đo đạ ố ậ ủ ặ ọ ộ ược (đo 

được v i  ho c ­ đo đớ ặ ược)

Đ nh nghĩa 1.6.   ị Cho m t không gian đo đ c ộ ượ

1)M t ánh x   độ ạ ược g i là m t đ  đo n u:ọ ộ ộ ế

i)  

ii)  có tính ch t ấ σ – c ng tính, hi u theo nghĩa:ộ ể

 2)N uế   là m t đ  đo xác đ nh trên  thì b  ba  g i là m t không gian đo.ộ ộ ị ộ ọ ộ

Đ nh nghĩa 1.7.   ị Cho  là m t không gian đo. Khi đóộ

a)  là đ  đo đ , hay là không gian đo đ  (Carathéodory) n u v i m i và  thì  nghĩa ộ ủ ủ ế ớ ọ

là m i t p con b  qua đọ ậ ỏ ượ ủc c a X là đo được.      

b)là không gian xác su t n u       ấ ế

       Trong trường h p này,  g i là m t xác su t hay đ  đo xác su t.ợ ọ ộ ấ ộ ấ

c)  là đ  đo hoàn toàn h u h n, hay ộ ữ ạ  g i là không gian đo hoàn toàn h u h n n u    ọ ữ ạ ế  

d) là đ  đo ­  h u h n, hay g i là không gian đo ­ h u h n n u t n t i dãy  sao ộ ữ ạ ọ ữ ạ ế ồ ạcho:

,      e)   là đ  đo n a h u h n, hay  là m t không gian đo n a h u h n n u v i m i và  ộ ử ữ ạ ộ ử ữ ạ ế ớ ọthì t n t ith a mãn  và .ồ ạ ỏ

f)  là đ  đo kh  đ a phộ ả ị ương hóa, hay  là m t không gian đoộ  kh  đ a ph ng hóa ả ị ươ

n u nó là n a h u h n và v i m i , t n t i m t  th a mãn:ế ử ữ ạ ớ ọ ồ ạ ộ ỏ

(i) là b  qua đỏ ược v i m i  ớ ọ

(ii) N u và là b  qua đế ỏ ược v i m i thì  là b  qua đớ ọ ỏ ược

S  thu n ti n h n n u ta g i t p H nh  trên là essential suppremum c a  trên.ẽ ậ ệ ơ ế ọ ậ ư ủg)M t t p  g i là m t nguyên t  đ i v i  hay ­ nguyên t  n u  và v i m i t p F ộ ậ ọ ộ ử ố ớ ử ế ớ ỗ ậ

th a mãn  , thì là b  qua đỏ ỏ ược.       

(thu h p c a trên ) là m t đ  đo ẹ ủ ộ ộ

trên Đ  đo  g i là đ  đo c m sinh b i đ  đo ngoài . T p A th a mãn đi u ki n (*) g i ộ ọ ộ ả ở ộ ậ ỏ ề ệ ọ

là t p ậ - đo được. 

Đ nh lí 1.2 (thác tri n đ  đo).    ị ể ộ Gi  s  m là m t đ  đo trên đ i s  . V i m i ả ử ộ ộ ạ ố ớ ỗ A X

, 

ta đ t ặ

thì là m t đ  trên X và  đ ng th i m i t p thu cộ ộ ồ ờ ọ ậ ộ σ ­ đ i s   đ u ạ ố ề đo được.

1.3        Đ  đo Lebesgue  ộ

       T n t i m t ồ ạ ộ σ ­ đ i s   các t p con c a  mà m i ạ ố ậ ủ ỗ

 g i là m t t p đo đọ ộ ậ ược theo Lebesgue (hay (L) – đo được) và m t đ  đo ộ ộ  xác đ nh trên ị  (g i là đ  đo Lebesgue trênọ ộ  ) th a mãn các tính ch t sau:ỏ ấ

i) Các kho ng (hi u theo nghĩa r ng), t p m , t p đóng … là (L) – đo đả ể ộ ậ ở ậ ược. 

N u I là kho ng v i đ u mút a, b () thì  ế ả ớ ầ

ii) T p h u h n ho c đ m đậ ữ ạ ặ ế ược là  (L) – đo được và có đ  đo Lebesgue b ng 0ộ ằiii) T p là (L) – đo đậ ược khi và ch  khi v i m i  t n t i t p đóng F, t p m  G ỉ ớ ọ ồ ạ ậ ậ ở

       Trong không gian Euclid k chi u đ  đo m có th  khu ch thành đ  đo ề ộ ể ế ộ trên m t ộ σ ­ 

đ i s    Đ  đo  này g i là đ  đo Lebesgue trên và các t pạ ố ộ ọ ộ ậ

 h p thu c l p  g i là t p đo ợ ộ ớ ọ ậ

Đ nh nghĩa 1.9.   ị Cho m t không gian ộ X, m t ộ σ ­ đ i s   nh ng t p con c a X, và m t ạ ố ữ ậ ủ ộ

t p . M t hàm s   g i là đo đậ ộ ố ọ ược trên t p A đ i v i ậ ố ớ σ ­ đ i s  n uạ ố ế

1.4.1    C u trúc c a hàm s  đo đ ấ ủ ố ượ c

Đ nh nghĩa 1.10.  ị  Cho m t t p b t kì A trong không gian X, ta g i hàm ch  tiêu c a A ộ ậ ấ ọ ỉ ủ

là hàm s   xác đ nh  nh  sau:ố ị ư

0(x)

1

A

khi x A khi x A

Đ nh nghĩa 1.11.  ị  M t hàm s   ộ ố f(x) g i là hàm đ n gi n n u nó h u h n, đo đọ ơ ả ế ữ ạ ược và 

ch  l y m t s  h u h n giá tr  G i là các giá tr  khác nhau c a nó và n u thì các t p  ỉ ấ ộ ố ữ ạ ị ọ ị ủ ế ậ

đo được, r i nhau và ta có  ờ

       Ngượ ạc l i, n u  ế f(x) có d ng đó và các t p  đo đạ ậ ược, r i nhau thì  ờ f(x) là m t ộhàm đ n gi nơ ả

Đ nh lí 1.3.   ị M i hàm s   ỗ ố f(x) đo được trên t p đo đậ ược A là gi i h n c a m t dãy ớ ạ ủ ộhàm đ n gi n , ơ ả

Đ nh nghĩa 1.12. ị  Trong không gian X b t kì, cho m t ấ ộ σ ­ đ i s   và  m t đ  đo ạ ố ộ ộ μ trên . 

Ta nói hai hàm s   ố f(x) và g(x) b ng nhau h u kh p n i (h.k.n), vi t  n u:ằ ầ ắ ơ ế ế

 và       Hai hàm s   ố f(x), g(x) b ng nhau thì g i là tằ ọ ương đương v i nhau. Dĩ nhiên, ớhai hàm s  cùng tố ương đương v i m t hàm s  th  ba thì chúng cũng tớ ộ ố ứ ương 

đương v i nhau.ớ

Đ nh lí 1.4.   ị N u ế μ là m t đ  đo đ  thì m i hàm s  ộ ộ ủ ọ ố g(x) tương đương v i m t hàm sớ ộ ố 

đo đượ f(x) cũng đ u đo đc   ề ược

Đ nh nghĩa 1.13.  ị  Dãy hàm  g i là hôi t  h u kh p n i v  hàm s   ọ ụ ầ ắ ơ ề ố f(x) trên  A�Σ

Đ nh nghĩa 1.14. ị  Cho nh ng hàm s   và f(x) đo đữ ố ược trên m t t p A. Ta nói dãy h i ộ ậ ộ

t  theo đ  đo ụ ộ μ t i  ớ f(x) và vi t   n u ế ế

        Gi  thi t ả ế μ là m t đ  đo đ , ta có đ nh lí sau nói v  s  liên h  gi a h i t  theo độ ộ ủ ị ề ự ệ ữ ộ ụ ộ 

đo và h i t  h u kh p n iộ ụ ầ ắ ơ

Đ nh lí 1.5.   ị N u m t dãyế ộ  đo đ c trên m t t p A h i t  h u kh p n i t i m t hàm ượ ộ ậ ộ ụ ầ ắ ơ ớ ộ

s   ố f(x) thì  f(x) đo được và n u  thì ế

Chú ý: Ta kí hi u  thay cho  và g i là chu n c a véc t  x.ệ ọ ẩ ủ ơ

N u không gian metric này là đ y đ  thì E g i là không gian Banach.ế ầ ủ ọ

       Ví d :ụ  Không gian các hàm liên t c trên đo n h u h n , kí hi u   là m t không ụ ạ ữ ạ ệ ộgian Banach vì nó là đ y đ  đ i v i chu n:  ầ ủ ố ớ ẩ

Đ nh lí 1.6 (Hausdorff).   ị T p con ậ X trong  không gian Banach E là compact n u và ch  ế ỉ

n u ế X là đóng và hoàn toàn b  ch n.ị ặ

Đ nh nghĩa 1.17. ị  Không gian đ nh chu n E g i là kh  ly n u E có m t t p con đ m ị ẩ ọ ả ế ộ ậ ế

được trù m t trong E, nghĩa là t n t i m t dãy sao cho v i m i t n t i m t dãy con ậ ồ ạ ộ ớ ọ ồ ạ ộ

Đ nh nghĩa 1.18   ị Cho X là t p con c a không gian đ nh chu n E, ta nói ậ ủ ị ẩ X là:

i) T p b  ch n n u  ậ ị ặ ế

ii) Hoàn toàn b  ch n n u v i m i  t n t i t p h u h n  sao cho:ị ặ ế ớ ọ ồ ạ ậ ữ ạ

iii) Com p c n u m i dãy  có m t dãy con  h i t  t i m t ph n t   ắ ế ọ ộ ộ ụ ớ ộ ầ ử

Nh n xét: ậ  a) T p con h u h n  th a mãn (ii) g i là m t ­ lậ ữ ạ ỏ ọ ộ ướ ữi h u h n c a ạ ủ X

      b) D  ch ng minh m i t p hoàn toàn b  ch n ễ ứ ọ ậ ị ặ X là b  ch n.ị ặ

Đ nh nghĩa 1.19.  ị  Cho X là m t không gian vect  M t hàm s   ộ ơ ộ ố f(x) xác đ nh trên ị X và 

l y giá tr  là s  (th c ho c ph c, tùy theo ấ ị ố ự ặ ứ X là không gian th c ho c ph c) g i là m t ự ặ ứ ọ ộphi m hàm trên ế X. Phi m hàm đó g i là tuy n tính n u:ế ọ ế ế

i)  v i m iớ ọ   

ii)  v i m iớ ọ   và m i sọ ố  

Gi  sả ử X là m tộ  không gian đ nh chu nị ẩ , khi  y, m t phi m hàm tuy n tính  ấ ộ ế ế f g i là ọ

đ i ng uố ẫ  (hay còn g i làọ  không gian liên h p) c a ợ ủ X, và được kí ký hi u ệ X*.

      D  th y ễ ấ X* là m tộ  không gian vectơ v i cácớ  phép toán thông thường. Ngoài ra, v i ớ

m i ph n t  f thu c ỗ ầ ử ộ X*, đ t ặ    thì X* tr  thành m tở ộ  không gian đ nh chu nị ẩ  H n n a ơ ữ X* 

 Đ nh nghĩa 1.21.   ị Cho A là t p đo đậ ược,  f : A [− , ]

 là hàm đ n gi n, đo đơ ả ược trên A. G i ọ 1 2 3

A

=

=

 và Khi đó tích phân c a hàm đ n gi n f(x) trên A v i đ  đo  là s   ủ ơ ả ớ ộ ố

Đ nh lí 1.7.   ị Cho A là t p đo đậ ược Lebesgue, hàm  là hàm đo được. Khi đó, t n t i dãyồ ạ  

đ n đi u tăng các hàm đ n gi n đo đơ ệ ơ ả ược  h i t  h.k.n v   ộ ụ ề f(x) trên A.

Đ nh nghĩa 1.22.   ị Tích phân c a hàm f(x) không âm trên A đ i v i đ  đo  là:ủ ố ớ ộ

Đ nh nghĩa 1.23.   ị Cho A là t p đo đậ ược Lebesgue, hàm  là hàm đo được trên A. Khi đó 

ta có:

 v i ớCác hàm s   có tích phân tố ương  ng trên A là , ứ

N u hi u  có nghĩa thì tích phân c a f(x) trên A là :ế ệ ủ

       Các đ nh lí sau cho ta các đi u ki n qua gi i h n d i d u tích phân (đ i v i tích ị ề ệ ớ ạ ướ ấ ố ớphân Lebesgue)

Đ nh lí 1.8 (đ nh lí h i t  đ n đi u Beppo Levi).    ị ị ộ ụ ơ ệ N u  và đ n đi u tăng đ n f(x) ế ơ ệ ếtrên A thì

Đ nh lí 1.9 (đ nh lí Dini).   ị ị N u  là dãy hàm liên t c, đ n đi u, h i t  đi m đ n m t ế ụ ơ ệ ộ ụ ể ế ộ

hàm  f(x) liên t c trên  thì  h i t  đ u đ n  ụ ộ ụ ề ế f(x).

Đ nh lí 1.10 (B  đ  Fatou).   ị ổ ề N u  thìế

Đ nh lí 1.11 (đ nh lí h i t  b  ch n Lebesgue).   ị ị ộ ụ ị ặ N u , g(x) kh  tích và ( h i t  h.k.n) ế ả ộ ụhay h i t  theo đ  đo trên A thì ộ ụ ộ

1.7  Không gian tô pô

Đ nh nghĩa 1.24.   ị Cho m t t p ộ ậ X b t kì. Ta nói m t h  nh ng t p con c a ấ ộ ọ ữ ậ ủ X là m tộ  tô 

pô (hay xác đ nh m t c u trúc tô pô ị ộ ấ ) trên X n u:ế

i) Hai t p đ u thu c ậ ề ộ

ii)  kín đ i v i phép giao h u h n, nghĩa là giao c a m t s  h u h n t p thu c ố ớ ữ ạ ủ ộ ố ữ ạ ậ ộ

h  ọ thì cũng thu c h  đó.ộ ọ

iii)  kín đ i v i phép h p b t kì, nghĩa là h p c a m t s  b t kì (h u h n ho c ố ớ ợ ấ ợ ủ ộ ố ấ ữ ạ ặ

vô h n) t p thu c h  thì cũng thu c h  đó.ạ ậ ộ ọ ộ ọ

T p ậ X cùng v i m t tô pô ớ ộ  trên X g i là không gian tô pô ọ  (hay không gian tô pô X). Các 

t p thu c h   g i là t p m ậ ộ ọ ọ ậ ở

Đ nh nghĩa 1.25.   ị Cho X, Y là hai không gian tô pô. M t ánh x   ộ ạ f đi t   ừ X vào Y g i là ọliên t c t i  n u v i m i lân c n c a đi m đ u có m t lân c n c a đi m sao cho , ụ ạ ế ớ ọ ậ ủ ể ề ộ ậ ủ ểnghĩa là  Ánh x   ạ f  g i là liên t c n u nó liên t c t i m i  ọ ụ ế ụ ạ ọ

    Hi n nhiên đ nh nghĩa này bao hàm đ nh nghĩa v  ánh x  liên t c t  m t không gian ể ị ị ề ạ ụ ừ ộmetric vào m t không gian metric khác.ộ

Đ nh lí 1.12.     ị M t ánh x   ộ ạ f đi t  không gian tô pô ừ X vào không gian tô pô Y là liên t cụ  khi và ch  khi nó th a mãn m t trong hai đi u ki n sau:ỉ ỏ ộ ề ệ

(i) Ngh ch  nh c a m t t p m  (trong ị ả ủ ộ ậ ở Y) là m t t p m  (trong ộ ậ ở X)

(ii) Ngh ch  nh c a m t t p đóng (trong ị ả ủ ộ ậ Y) là m t t p đóng (trong ộ ậ X)

    Cho  f  là m t ánh x  đi t  t p ộ ạ ừ ậ X vào Y. N u trên ế Y cho m t tô pô ộ  thì do toán t   b o ử ảtoàn các phép toán t p nên s  là m t tô pô trên ậ ẽ ộ X. N u  ế X v n đã có s n m t tô pô thì ố ẵ ộ

đ nh lí 1.12 cho bi t r ng  ị ế ằ f  là ánh x  liên t c khi và ch  khi nghĩa là khi ngh ch  nh c aạ ụ ỉ ị ả ủ  

tô pô trên Y (t c ) y u h n tô pô trên . Cũng t  đó ta th y, n u trên ứ ế ơ ừ ấ ế Y có m t tô pô mà ộ

trên X ch a có tô pô thì có th  bi n ư ể ế X thành không gian tô pô b ng cách gán cho nó tô ằ

pô đó là tô pô y u nh t đ m b o cho s  lien t c c a ánh x   ế ấ ả ả ự ụ ủ ạ f.

     S  h i t  c a dãy đi m trong tô pô đự ộ ụ ủ ể ược đ nh nghĩa tị ương t  nh  trong không gian ự ưmetric. Tuy nhiên,   đây c n đ a vào m t khái ni m r ng h n khái ni m dãy h i t ở ầ ư ộ ệ ộ ơ ệ ộ ụ

       M t h  ộ ọ S nh ng t p con không r ng c a m t t p ữ ậ ỗ ủ ộ ậ X g i là m t l c trên ọ ộ ọ X n u:ế(i)  

(ii)

Bây gi  cho m t tô pô ờ ộ X. Ta nói m t l c  ộ ọ S trên X h i t  t i x  ộ ụ ớ n u m i lân c n c a ế ỗ ậ ủ x 

đ u bao hàm m t t p thu c ề ộ ậ ộ S. M t ánh x   ộ ạ f  đi t  m t không gian tô pô ừ ộ X vào  không gian tô pô Y liên t c t i  ụ ạ x khi và ch  khi v i m i l c ta đ u có ỉ ớ ọ ọ ề

Chú ý r ng trong không gian metric, gi i h n c a m t dãy (n u có) là duy nh t, cònằ ớ ạ ủ ộ ế ấ  

v i tô pô thì không nh t thi t. Mu n đ m b o tính duy nh t c a gi i h n ta xét các ớ ấ ế ố ả ả ấ ủ ớ ạkhông gian tô pô đ c bi t, th a mãn tiên đ  tách sau đây: V i m i c p đi m đ u cóặ ệ ỏ ề ớ ọ ặ ể ề  hai lân c n  c a sao cho M t không gian tôpô th a mãn đi u ki n đó g i là không ậ ủ ộ ỏ ề ệ ọgian Housdorff  (không gian tách), tô pô c a nó g i là tô pô Housdoff  (tô pô tách).ủ ọ

Đ nh lí 1.13.   ị Trong không gian tô pô Housdorff , m t l c ch  có th  h i t  t i nhi u ộ ọ ỉ ể ộ ụ ớ ề

nh t m t đi m.ấ ộ ể

Đ nh nghĩa 1.26.ị     M t không gian tôpô ộ X g i là compact n u m i l c ọ ế ỗ ọ S trên X đ u có ề

m t l c m nh h n h i t  ộ ọ ạ ơ ộ ụ

Ch ươ ng II.   Các không gian hàm

      M c đích chính c a chụ ủ ương này là th o lu n v  các không gian , và  trong ba m c ả ậ ề ụ

tương  ng dứ ưới đây. M t đi m thu n l i là ta coi các không gian đó là các không gian ộ ể ậ ợcon c a m t không gian l n h n  g m các l p tủ ộ ớ ơ ồ ớ ương đương c a các hàm (h u nh ) đo ủ ầ ư

được. 

2.1       Không gian và 

       Nguyên t c g n nh  đ u tiên c a lý thuy t đ  đo chính là các t p có đ  đo không ắ ầ ư ầ ủ ế ộ ậ ộ

thường được b  qua. Tỏ ương t , hai hàm trùng nhau h u kh p n i có th  thự ầ ắ ơ ể ường 

(không luôn luôn!) được xem nh  là đ ng nh t v i nhau. Ý tư ồ ấ ớ ưởng c a ph n này là ủ ầthành l p không gian g m các l p tậ ồ ớ ương đương c a các hàm s , và nói r ng hai hàm ủ ố ằ

s  là tố ương đương n u và ch  n u chúng trùng nhau ngoài m t t p b  qua đế ỉ ế ộ ậ ỏ ược. 

2.1.1    Không gian 

Đ nh nghĩa 2.1.    ị Gi  s  là m t không gian đo b t k  Ta vi t , hay , là không gian c aả ử ộ ấ ỳ ế ủ  các hàm nh n giá tr  th c xác đ nh trên ph n bù c a các t p con b  qua đậ ị ự ị ầ ủ ậ ỏ ượ ủc c a , Nghĩa là:

     N u , là t p ­ không thì h n ch  c a f trên E, kí hi u  là ­ đo đế ậ ạ ế ủ ệ ược ( đo được đ i ố

v i ­ đ i s  b  sung theo )ớ ạ ố ổ

2.1.2    Tính ch t c  b n ấ ơ ả

      N u  là m t không gian đo b t k , khi đó chúng ta có nh ng đi u sau đây, tế ộ ấ ỳ ữ ề ương 

ng v i nh ng tính ch t c  b n c a hàm đo đ c. 

(a) M t hàm h ng nh n giá tr  th c xác đ nh h u kh p n i trong  thu c vào  ộ ằ ậ ị ự ị ầ ắ ơ ộ

(b) v i m i (n u và , thì là đo đ c). ớ ọ ế ượ

(c)  v i m i .ớ ọ

(d)   v i m i . ớ ọ

(e) N u  và  là Borel đo đ c, thì .ế ượ

(f) N u  là m t dãy trong  và  đ c xác đ nh (nh  là m t hàm nh n giá tr  th c) h u ế ộ ượ ị ư ộ ậ ị ự ầ

(k)  th c ch t là t p các hàm nh n giá tr  th c, xác đ nh trên các t p con c a b ng nhauự ấ ậ ậ ị ự ị ậ ủ ằ  

h u kh p n i đ i v i m t hàm ­ đo đầ ắ ơ ố ớ ộ ượ ừc t   vào  nào đó. 

2.1.3    Không gian  

Đ nh nghĩa 2.2.ị     Gi  s   là m t không gian đo b t k  Khi đó  “ “  là m t quan h  ả ử ộ ấ ỳ ộ ệ

tương đương trên  Vi t , ho c là , là t p các l p tế ặ ậ ớ ương đương trong   dưới quan h  “ “.ệ  

V i  vi t  là l p tớ ế ớ ương đương trong 

(ii)   v i m i , ớ ọ

vì v y  v i m i  ậ ớ ọ

(iii)  v i m i ớ ọ

vì v y  v i m i  ậ ớ ọ

(iv)  v i m i   ớ ọ

vì v y  v i m i   ậ ớ ọ

(v)  v i t t c    và   ớ ấ ả

vì v y  v i m i và .ậ ớ ọ

(vi)  v i t t c    ớ ấ ả

vì v y  v i t t c   ậ ớ ấ ả

(vii)  v i t t c  vì v y  v i t t c  ớ ấ ả ậ ớ ấ ả

(viii) v i t t c  vì v y  v i t t c   ớ ấ ả ậ ớ ấ ả

(i) n u  thì v i m i  ế ớ ọ

(ii) n u thì  v i m i  ế ớ ọ

     Th t v y, n u  và  thì  N u  và  thì  v i m i  ậ ậ ế ế ớ ọ

(d)  là m t không gian Riesz hay dàn véct , nghĩa là, m t không gian tuy n tính th  t  ộ ơ ộ ế ứ ự

m t ph n th a mãn  độ ầ ỏ ược xác đ nh v i t t c   ị ớ ấ ả

Do v y   trong  ậ

(e) V i b t k   ta có ; và n u   thì  N u   thì ớ ấ ỳ ế ế

vì v y      ậ

 v i t t c  ớ ấ ả

(f) N u  là m t hàm nh n giá tr  th c, đ t  v i  suy raế ộ ậ ị ự ặ ớ

 t t c  các hàm này đ u xác đ nh trên  Tấ ả ề ị ương t  trong  đ t các toán t   và ta có ự ặ ử

(g) Hi n nhiên, n u  trong  t n t i m t  trong  sao cho  Th t v y l y  b t k  sao cho  ể ế ồ ạ ộ ậ ậ ấ ấ ỳ

(c) M t không gian Riesz là Dedekind đ  (hay th  t  đ , hay đ ) n u v i m i t p khácộ ủ ứ ự ủ ủ ế ớ ọ ậ  

r ng  b  ch n trên trong  đ u có ít nh t m t c n trên nh  nh t   trong  ỗ ị ặ ề ấ ộ ậ ỏ ấ ở

 trong   Vi t  nh  là  ế ư  trong đó  là m t dãy trong   và  nh  là  trong đó  Đ t . Khi đó ta có  xác đ nh trên  t i ộ ư ặ ị ạ

đi m b t k    sao cho  v i m i  nghĩa là, v i h u h t ; vì v y  Đ t  N u , l y trong đó  ể ấ ỳ ớ ọ ớ ầ ế ậ ặ ế ấkhi đó 

 v i m i   v i m i  ớ ọ ớ ỗ

      v i h u h t  v i m i  ớ ầ ế ớ ỗ

Do v y  trong  Vì ậ A là b t k ,  là Dedekind ­đ  ấ ỳ ủ

(b) (i) Gi  s  r ng  là đ a ph ng hóa. ả ử ằ ị ươ

 là m t t p khác r ng b t k  có c n trên  Đ t ộ ậ ỗ ấ ỳ ậ ặ

       là m t hàm đo độ ượ ừ X vào , c t  

 khi đó m i ph n t  c a  có d ng  v i  nào đó. V i m i  là h  các t p con c a ọ ầ ử ủ ạ ớ ớ ỗ ọ ậ ủ X có thể 

bi u di n dể ễ ướ ại d ng  v i  nào đó; khi đó  ớ

Do là đ a phị ương hóa nên có m t t p  là m t c n trên đúng ch  y u cho  V i  đ t ộ ậ ộ ậ ủ ế ớ ặ

ch p nh n  là c n trên đúng c a m t t p b  ch n trên, và  là  . Khi đó ấ ậ ậ ủ ộ ậ ị ặ

 v i m i ớ ỗ

      N u , thì . Th t v y v i m i đ t ế ậ ậ ớ ỗ ặ

thì   là b  qua đỏ ược. Đ t N u , thì ặ ếsuy ra và do v y  ậ

       N u  là đo đế ược và  v i m i   thì  Đ t  v i m i   N u , có m t  sao cho  bây gi  , ớ ỗ ặ ớ ỗ ế ộ ờ

vì v y  là b  qua đậ ỏ ược. Vì   là m t c n trên đúng c t y u c a  nên  là b  qua độ ậ ố ế ủ ỏ ược v i ớ

m i . D n đ n ỗ ẫ ế

là b  qua đỏ ược, và 

        Chú ý r ng chúng ta đang gi  s  ằ ả ử A khác r ng và ỗ A có m t c n trên  L y  b t k  ộ ậ ấ ấ ỳ

và m t hàm đo độ ược   sao cho ; khi đó  v i m i , vì v y , và  ph i h u h n h u kh p ớ ỗ ậ ả ữ ạ ầ ắ

n i. Đ t  khi  ta có  và  vì v y ơ ặ ậ

Trong đó  là các hàm đo đượ ừc t   và  là m t c n trên c a ; nghĩa là, ộ ậ ủ

 v i   và  là m t c n trên c a . ớ ộ ậ ủ

Đi u này có nghĩa là  là c n trên nh  nh t c a  trong  Do  là b t k , nên  là Dedekind ề ậ ỏ ấ ủ ấ ỳ

đ  ủ

(ii) Gi  s  r ng  là Dedekind đ ,  là n a­h u h n,là m t t p con tùy ý c a  Đ t ả ử ằ ủ ử ữ ạ ộ ậ ủ ặ

        Khi đó  b  ch n trên b i   vì v y có m t c n trên bé nh t  Bi u di n  nh  là  trong ị ặ ở ậ ộ ậ ấ ể ễ ư

đó  là đo được, và đ t  Khi đó  là m t c n trên đúng c t y u c a  trong  Th t v y, ặ ộ ậ ố ế ủ ậ ậ

 N u  thì   vì v y , nghĩa là,  v i h u h t và  là b  qua đế ậ ớ ầ ế ỏ ược. 

 N u  và  là b  qua đế ỏ ược v i m i  thì  v i m i  nghĩa là,  v i m i  vì v y , nghĩa là,  . ớ ỗ ớ ỗ ớ ỗ ậ

Tương t   là b  qua đự ỏ ược. 

      Do  tùy ý nên  là đ a phị ương hóa. 

        Gi  s   là m t không gian đo và  là m t hàm Borel đo đả ử ộ ộ ược. Khi đó  v i m i  và  ớ ọ

n u . Vì v y, ta có m t hàm  đế ậ ộ ược xác đ nh b ng cách đ t  v i m i  ị ằ ặ ớ ỗ

đo được; nghĩa là, Im f và Re f  cùng thu c . Ti p theo,  s  là không gian g m các l p ộ ế ẽ ồ ớ

tương đương trong  dưới quan h  tệ ương đương “ “

(b) T ng t  2.1.4, d  dàng mô t  phép c ng và phép nhân vô h ng trong . Cùng v i ươ ự ễ ả ộ ướ ớhai phép toán đó,  là m t không gian tuy n tính trên  Chúng không có c u trúc th  t , ộ ế ấ ứ ự

(c) V i b t k  ,  ớ ấ ỳ u là c n trên đúng trong  c a ậ ủ

Th t v y, n u , thì  vì  là m t c n trên c a . H n n a, n u  và  v i , ta bi u di n ậ ậ ế ộ ậ ủ ơ ữ ế ớ ể ễ u, 

v là  trong đó  và  là đo được. V i m i  đ t   Khi đó  Tớ ỗ ặ ương t   v i m i  là  có ph nự ớ ỗ ầ  

bù b  qua đỏ ược. Dĩ nhiên  do đó  và   Vì v b t k , là c n trên nh  nh t c a . ấ ỳ ậ ỏ ấ ủ

2.2       Không gian  

         là các l p tớ ương đương c a các hàm kh  tích. Không gian này mô t  r t nhi u ủ ả ả ấ ềcác đ nh lý v  các hàm kh  tích . Nó cũng có th  xu t hi n nh  là m t không gian t  ị ề ả ể ấ ệ ư ộ ựnhiên mà trong đó có th  tìm ra nhi u l i gi i cho m t l p r t l n các phể ề ờ ả ộ ớ ấ ớ ương trình tích phân, và nh  là ph n b  sung cho không gian các hàm liên t c. ư ầ ổ ụ

2.2.1    Không gian  

      Gi  s    là m t không gian đo b t k  ả ử ộ ấ ỳ

(a) Gi  s   là t p các hàm nh n giá tr  th c, xác đ nh trên các t p con c a ả ử ậ ậ ị ự ị ậ ủ X, kh  tích ả

trên X. Khi đó , nh  đã đ nh nghĩa trong 2.1.1, và v i , chúng ta có  n u và ch  n u có ư ị ớ ế ỉ ế

m t   sao cho ; n u ,   và  , thì .ộ ế

(b) Đ nh nghĩa 2.4.  ị   là t p g m các l p tậ ồ ớ ương đương c a các ph n t  c a . N u  và  ủ ầ ử ủ ếthì . Tương t  chúng ta có th  xác đ nh m t hàm  trên  b ng cách vi t   v i m i  ự ể ị ộ ằ ế ớ ỗ

(c) Ta vi t   v i (xác đ nh b ng cách vi t   v i m i ).        Th t v y, ta ch  c n ki m traế ớ ị ằ ế ớ ỗ ậ ậ ỉ ầ ể  

r ng n u   thì ; và đi u này là do  h u kh p n i trên . □ằ ế ề ầ ắ ơ

      N u   thì  do  v i m i hàm kh  tích  ế ớ ỗ ả f .

(d) N u thì t n t i m t hàm ­ đo đ c, ­ kh  tích  sao cho ế ồ ạ ộ ượ ả

    Vì nh  đã chú ý trong 2.1.2, có m t hàm đo đư ộ ược  sao cho ; nh ng t t nhiên  ư ấ f  là kh  ảtích b i vì nó b ng nhau h u kh p n i v i m t hàm kh  tích nào đó. ở ằ ầ ắ ơ ớ ộ ả

 Đ nh lý 2.2.ị     Gi  s  là không gian đo b t k  Khi đó  là m t không gian con tuy n ả ử ấ ỳ ộ ếtính c a   và  là m t hàm tuy n tính. ủ ộ ế

Ch ng minh: ứ  N u  và  là các hàm kh  tích sao cho ; khi đó  ế ả f + g và c f  là kh  tích, vì ả

(a)   có m t c u trúc th  t  đ c suy ra t  (2.1.5); nghĩa là,  n u và ch  n u  h u kh p ộ ấ ứ ự ượ ừ ế ỉ ế ầ ắ

n i. Là m t không gian con tuy n tính c a ,  ph i là m t không gian tuy n tính s p thơ ộ ế ủ ả ộ ế ắ ứ 

t  m t ph n (hai đi u ki n c a 2.1.5c là hi n nhiên theo tính ch t c a không gian con ự ộ ầ ề ệ ủ ể ấ ủtuy n tính) .ế

        Chú ý r ng n u  và  thì , b i vì n u là các hàm kh  tích và  thì  ằ ế ở ế ả

(b) N u  và   thì . Th t v y, gi  s     sao cho , ; thì ế ậ ậ ả ử g là kh  tích và , vì v y ả ậ f  kh  tích ả

và . 

(c) Đ c bi t,  v i , và ặ ệ ớ

b i vì  ở

(d) Do  v i m i   ớ ỗ

thu c vào  v i t t c  . Nh ng n u  ch c ch n là chúng ta có ộ ớ ấ ả ư ế ắ ắ

 b i vì đi u này đúng v i m i , và vì ,   trong . Do v y   là m t không gian Riesz. ở ề ớ ọ ậ ộ

(e) Chú ý r ng n u , thì  n u và ch  n u  v i m i ; đi u này là b i vì n u  ằ ế ế ỉ ế ớ ỗ ề ở ế f  là m t hàmộ  

kh  tích trên ả X và  v i m i thì . T ng quát h n, n u  và  v i m i , thì . Cu i cùng n u  ớ ỗ ổ ơ ế ớ ỗ ố ế

và   v i m i , thì . ớ ỗ

(f) N u  trong , có m t hàm không âm   sao cho . ế ộ

Đ c bi t v i m i ặ ệ ớ ỗ

(d)  là không gian Riesz đ nh chu n  th a mãn: ị ẩ ỏ

       Đ  có k t qu  ti p theo, chúng ta c n m t bi n th  c a Đ nh lý Levi. ể ế ả ế ầ ộ ế ể ủ ị

B  đ  2.3.   ổ ề Gi  s   là m t không gian đo và  là m t dãy c a các hàm nh n giá tr  th cả ử ộ ộ ủ ậ ị ự  

 là h u h n,ữ ạ

vì v y theo Đ nh lý B.Levi  ậ ị f  là kh  tích vàả

 Trong trường h p này, t t nhiên là, ợ ấ

(b) Trong trường h p t ng quát, đ t , ợ ổ ặ

Vì   là kh  tích, và  . Đ t   v i m i ả ặ ớ ỗ n; khi đó , vì v y ậ

v i m i ớ ỗ n. Do v y  . Do   là túy ý nên  là đ y đ  ậ ầ ủ

Đ nh nghĩa 2.5.  ị  M t dàn  Banach ộ  là m t không gian Riesz ộ U cùng v i m t chu n ||.|| ớ ộ ẩ

   Ta xét không gian tuy n tính có th  t   theo cách đã s  d ng trong 2.1.5 – 2.1.7 cho ế ứ ự ử ụ

Đ nh lý 2.5.  ị  Gi  s   là m t không gian đo b t k  Khi đó  là Dedekind đ  ả ử ộ ấ ỳ ủ

Ch ng minh: ứ  

(a)    Gi  s    là m t t p khác r ng và b  ch n trên trong . Đ t ả ử ộ ậ ỗ ị ặ ặ

        Khi đó  , A' có cùng các c n trên nh  ậ ư A và  v i t t c  . L y  là m t c n trên b t kớ ấ ả ấ ộ ậ ấ ỳ 

c a ủ A và A', chúng ta có v i m i , vì v y  đớ ọ ậ ược xác đ nh trên . V i m i ị ớ ỗ n, ch n  sao choọ  . B i vì   là Dedekind ­đ  ,  đở ủ ược xác đ nh trên , và  trong        Do v y ị ậ

 trong  

         Nh ng , vì v y  và . ư ậ

(b) M u ch t   đây là là m t c n trên c a ấ ố ở ộ ậ ủ A. 

Th t v y, n u , thì  v i m i ậ ậ ế ớ ỗ n, vì v y ậ

    (b i vì , vì v y ) ở ậ

Nh n xét:  ậ C n nh c l i r ng n u  là ­ h u h n, thì các phi m hàm c ng tính th c s  ầ ắ ạ ằ ế ữ ạ ế ộ ự ựliên t c là các phi m hàm liên t c tuy t đ i c ng tính đ m đụ ế ụ ệ ố ộ ế ược; và n u  là hoàn toàn ế

h u h n, thì t t c  các hàm liên t c tuy t đ i (h u h n) c ng tính là th c s  liên t c. ữ ạ ấ ả ụ ệ ố ữ ạ ộ ự ự ụ

Ch ng minh: ứ  V i   đ t . N u , có m t hàm kh  tích  ớ ặ ế ộ ả f  sao cho , trong trường h p này ợ

là c ng tính và th c s  liên t c.ộ ự ự ụ

      N u là c ng tính và th c s  liên t c, thì có m t hàm kh  tích  ế ộ ự ự ụ ộ ả f  sao cho  v i m i ; ớ ỗ

đ t  trong  , . Cu i cùng, n u là hai ph n t  phân bi t c a , có m t  sao cho , vì v y  ; ặ ố ế ầ ử ệ ủ ộ ậ

b i v y   là đ n ánh cũng nh  là toàn ánh. ở ậ ơ ư

(a) Gi  s   là m t không gian đo, và  là m t ­ đ i s  con c a . Khi đó  là m t không ả ử ộ ộ ạ ố ủ ộgian đo, và ; h n n a, n u , thì h u kh p n i. Th t v y, có các t p , ­ không b  qua ơ ữ ế ầ ắ ơ ậ ậ ậ ỏ

được sao cho   và   là T ­ đo được; đ t ặ

 thì 

       Tương t , ta có m t ánh x  chu n t c  xác đ nh b i  là l p tự ộ ạ ẩ ắ ị ở ớ ương đương c a  ủ f  

trong  n u  là l p tế ớ ương đương c a hàm ủ f  trong D  dàng ki m tra, ễ ể S là tuy n tính, đ nế ơ  ánh và b o toàn th  t  và ,  ,   v i  . ả ứ ự ớ

(b) Ti p theo,  n u , thì  và ; vì v y  và  v i m i . ế ế ậ ớ ỗ

       Nh n th y r ng m i ph n t  c a   là th c s  thu c  . ậ ấ ằ ọ ầ ử ủ ự ự ộ

Th t v y, l y . Khi đó ậ ậ ấ u có th  bi u di n nh  là  trong đó  , và nh  là trong đó . Vì v yể ể ễ ư ư ậ  

là  ­ kh  tích, b i v y ả ở ậ f là  ­  kh  tích. ả

Đi u này có nghĩa là  là m t song ánh. ề ộ

(c) Bây gi  gi  s  r ng , do v y là m t không gian xác su t. Nh c l i r ng ờ ả ử ằ ậ ộ ấ ắ ạ ằ g là m t kộ ỳ 

v ng có đi u ki n c a  ọ ề ệ ủ f  trên T  n u  ế g là  ­  kh  tích và   v i m i ; và m i hàm ­ kh  ả ớ ỗ ọ ảtích đ u có m t k  v ng có đi u ki n nh  v y. N u ề ộ ỳ ọ ề ệ ư ậ ế g là m t k  v ng có đi u ki n ộ ỳ ọ ề ệ

c a  ủ f  và  ­ h u kh p n i thì ầ ắ ơ g là m t k  v ng có đi u ki n c a  , b i vì  v i m i ộ ỳ ọ ề ệ ủ ở ớ ỗ F; và 

d  th y r ng n u  là các k  v ng có đi u ki n c a  ễ ấ ằ ế ỳ ọ ề ệ ủ f  trên T  thì ­ h u kh p n i. ầ ắ ơ

(d) T  đó suy ra r ng có m t toán t   xác đ nh b ng cách đ t  v i là m t k  v ng có ừ ằ ộ ử ị ằ ặ ớ ộ ỳ ọ

đi u ki n c a  trên ề ệ ủ T; nghĩa là   v i ,  . N u chúng ta đ ng nh t v i các t p các hàm ớ ế ồ ấ ớ ậ

c ng tính liên t c tuy t đ i xác đ nh trên và thì ộ ụ ệ ố ị P tương  ng v i toán t  ứ ớ ử

(e) B i vì  đ c xác đ nh duy nh t trong  yêu c u  v i m i   (2.2.3e), chúng ta th y ở ượ ị ấ ầ ớ ỗ ấ

T  đó suy ra ừ P b o toàn th  t , nghĩa là,  n u . Do đó ả ứ ự ế

v i m i , b i vì  và  ớ ỗ ở

(f) Chúng ta có th  coi là k  v ng có đi u ki n c a  trên ; ể ỳ ọ ề ệ ủ P g i là ọ toán t  k  v ng có  ử ỳ ọ

đi u ki n ề ệ   

(g) N u , thì chúng ta có m t s  t ng  ng , nh  trong (b); khi đó  ế ộ ự ươ ứ ư

 (vì  v i m i ). Suy ớ ỗ

ra . 

(h) Hi n nhiên  và  là khác nhau m c dù ta có th  coi  th c ch t là m t t p con c a . ể ặ ể ự ấ ộ ậ ủ

Nh  v y, (b) ch  cho chúng ta r ng có th  đ ng nh t   v i , trong khi (g) tr  thành . ư ậ ỉ ằ ể ồ ấ ớ ở

Đ nh lý 2.7.ị    Gi  s   là m t không gian xác su t và ả ử ộ ấ T là m t ­ đ i s  con c a . Gi  s  ộ ạ ố ủ ả ử  

là m t hàm l i và   là toán t  tộ ồ ử ương  ng đứ ược xác đ nh b i . N u  là toán t  k  v ng ị ở ế ử ỳ ọ

có đi u ki n, thì   v i  th a mãn . ề ệ ớ ỏ

M nh đ  2.8.  ệ ề  Gi  s   là m t không gian xác su t, và ả ử ộ ấ T là ­ đ i s  con c a . Gi  s    ạ ố ủ ả ử

là toán t  k  v ng có đi u ki n tử ỳ ọ ề ệ ương  ng. N u  và , thì  n u và ch  n u , và trong ứ ế ế ỉ ế

trường h p này ; đ c bi t . ợ ặ ệ

Ch ng minh: ứ  S  d ng s  đ ng nh t c a  nh  là m t không gian con c a , bi u di n ử ụ ự ồ ấ ủ ư ộ ủ ể ễ u 

nh  là , ư v nh  là , trong đó  và . Gi  s   tư ả ử ương  ng là các k  v ng có đi u ki n c a ứ ỳ ọ ề ệ ủ f, , 

suy ra và 

 và ta có: 

,Trong trường h p này  là m t k  v ng có đi u ki n c a , nghĩa là, .ợ ộ ỳ ọ ề ệ ủ

(i) N u ế f  là không âm, thì t n t i m t hàm đ n gi n ồ ạ ộ ơ ả h th a mãn ỏ h k n .

 và  

trong trường h p này ợ

 (ii) Trong tr ng h p t ng quát,  ườ ợ ổ f  được mô t  nh  là hi u ả ư ệ 1 2

 và các t p con c a nó cho đ n nay luôn luôn là ví d  quan ậ ủ ế ụ

tr ng nh t; và trong trọ ấ ường h p này, chúng ta có thêm các không gian con trù m t c a  ợ ậ ủ  

Đ nh nghĩa 2.6.   ị  N u ế f  là m t hàm nh n giá tr  th c hay giá tr  ph c xác đ nh trên ộ ậ ị ự ị ứ ị

m t t p con c a ộ ậ ủ

r

ﾡ, ta g i ọ giá c a hàm  ủ f  là t p ậ { :x x  dom , ( ) 0}f f x

 là đ  đo Lesbegue trên ộ

r

ﾡ, vì v y ậ µ

 là đ  đo trên không gian con ộ

( )µr X

. (i) Gi  s  r ng    trong đó ả ử ằ

r

 là m t n a kho ng m  b  ch n. T t nhiên là ộ ử ả ở ị ặ ấ χI

 thu c ộ 0

n j j

=

=

  và

vì v y ậ 0

n

j k j

,

k k k

  sao cho , 

được th a mãn. ỏ

(iv) N u  ế f  là hàm kh  tích b t k  trên ả ấ ỳ X, thì ta có th  tìm m t hàm đ n gi n ể ộ ơ ả 0

f

 sao cho   ,

vì v y  ậ

(b)

(i) Đ u tiên ta ph i ki m tra r ng n u ầ ả ể ằ ế k

ι

  là b  ch n ị ặtrong 

r

ﾡ

 và do v y h u h n đ i v i đ  đo ngoài ậ ữ ạ ố ớ ộ µr

, và h u h n v i đ  đo ữ ạ ớ ộ µ

v i m i kho ng m  b  ch n ớ ỗ ả ở ị ặ I. 

(ii) Ph n còn l i l p lu n nh  trong m nh đ  2.2.6b. B i vì  và  là các không gian con ầ ạ ậ ậ ư ệ ề ởtuy n tính c a ế ủ

S

 là các không gian con tuy n tính c a ế ủ

k k k

C ﾡ ﾡ

, 

không gian các hàm liên t c b  ch n nh n giá tr  ph c và có giá b  ch n, và ụ ị ặ ậ ị ứ ị ặ 0

S

 là không gian tuy n tính căng trên ế ﾡ   c a ủ { (χ I X I) :

 là không gian con tuy n tính c a ế ủ

0 0( )

.b)N u ế

0 0( )

. b) 

(ii) T t nhiên ấ 1 L , vì v y ậ e L , và n u ế

0 0( )

, th a hừ ưởng m t th  t  t ng ph n và tr  thành m t ộ ứ ự ừ ầ ở ộkhông gian tuy n tính có th  t  t ng ph n. B i vì ế ứ ự ừ ầ ở | |u L n u ế u L (2.3.2b), u v

, khi đó c n trên đúng c t y u  ậ ố ế  c a ủ | |f  là  

ess  sup | | inf{ :f = � ΣM M 0,{ :x x dom  ,| ( ) |f f x M}

là không b  qua đỏ ược.

là không b  qua đỏ ược, vì v y ậ .

| |f h k n M

. (b) N u ế f g L,  và  h k n .

 , thì ess  sup | | ess  sup | |f = g  Tương t  chúng ta có th  ự ể

đ nh nghĩa m t phi m hàm  trên ị ộ ế L =L ( )µ

u=

. 

n u ế | | | |u v (2.3.4d). Vì v y ta ch  c n ki m tra r ng ậ ỉ ầ ể ằ L  là 

đ y đ  đ i v i chu n ầ ủ ố ớ ẩ

 là m t dãy Cauchy, có gi i h n thu c ộ ớ ạ ộ ﾡ  Do đó