Lời giải Đề số 11 của Math.VN 2011

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số... Mặt bên SAD vuông góc với đáy đồng thời tam giác SAD cân tại S và có trực tâm H.. Lời giải: Dựng hệ trục tọa độ M là gốc, MD trục hoàn

ht tp

.m

vn

DIỄN ĐÀN MATH.VN

http://www.math.vn

LỜI GIẢI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC 2011

Môn thi : Toán Đề số: 11 Câu I 1) (1 điểm)

————————————————————————————————-Cho hàm số y = 2x− 2

x+ 2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

Lời giải:

Hàm số y = 2x− 2

x+ 2

Bảng biến thiên

Đồ thị

2 4 6 8

−2

−4

−2

−4

−6

−8

Câu I 2) (1 điểm) —————————————————————————————————

Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận Hãy tìm hai điểm A,B trên (C) sao cho IA = IB và d AIB= 120◦

Lời giải:

Gọi Aa− 2;2a− 6

a



; B



b− 2;2b− 6

b



∈ (C) (a 6= b;ab 6= 0)

Ta có I(−2;2) ⇒ −→IA=



a;−6

a



;−→IB=b;−6

b



Theo đề IA = IB ⇔ IA2= IB2

⇔ a2+36

a2 = b2+36

b2 ⇔ (a2− b2)



1−a362b2



= 0 ⇔



a = −b

a2b2= 36 ⇔



a = −b

ab= ±6

+ Với a = −b ⇒ −→IA;−→IBngược hướng nên dAIB= 180o(loại)

+ Với ab = ±6 Ta có: −→IA.−→IB = ab +36

ab = IA2.cos 120o= −12IA.IB < 0 ⇒ ab < 0 ⇒ ab = −6

Ta có: −→IA.−→IB

= −12

s

a2+36

a2



b2+36

b2



= ab +36

ab = −12

⇔



a2+36

a2



b2+36

b2



= 242⇔ a2b2+36(a

4+ b4)

a2b2 + 36

2

a2b2 = 242

⇔ 36 + a4+ b4+ 36 = 242⇔ (a2+ b2)2− 2a2b2+ 72 = 242⇔ (a2+ b2)2= 242⇔ a2+ b2= 24

Vậy ta có hệ

(

a2+ b2= 24

ab= −6 ⇔

(

(a + b)2= 12

Câu II 1) (1 điểm) ————————————————————————————————–

Giải phương trình 8 sin

x+π

6



+ tan x + cot x = 4 cot 2x trên R

Lời giải:

phương trình tương đương: 8sinx+π

6



sin 2x = 4 cot 2x

tương đương: 4sinx+π

6



sin 2x + 1 = 2 cos 2x

tương đương: 2(√3 sin x + cos x) sin 2x + 3 sin2x− cos2x= 0 đến đây là ổn rồi 

Câu II 2) (1 điểm) ————————————————————————————————–

ht tp

.m

vn

Giải phương trình sau trên tập số thực: x= 1 +1

2

√

x3+ x2− 8x − 2 +√3x3− 20

Lời giải:

ĐK x ≥ −2, phương trình tương đương: (x2+ 4)√

2x + 4 ≤ 3x2+ 6x − 4

⇔ (x2+ 4)(√

2x + 4 + 1) ≤ 2x(2x + 4 − 1) ⇔ (x2+ 4)(√

2x + 4 + 1) ≤ 2x(√2x+ 4 + 1)(√

2x+ 4 − 1)

⇔ x2+ 4 ≤ 2x(√2x + 4 − 1) ⇔ x2+ 2x + 4 ≤ 2x√2x+ 4 (∗)

Theo AM-GM ta có 2x√2x + 4 ≤ 2|x|√2x + 4 ≤ x2+ 2x + 4 Dấu = xảy ra khi và chỉ khi

(

x2= 2x + 4

x = |x|

Từ đó (∗) ⇔ x2+ 2x + 4 = 2x√

2x+ 4 ⇔

(

x2= 2x + 4

(

x= 1 ±√5

√

Câu III (1 điểm)

—————————————————————————————————-Tính tích phân I=

e

Z

1

x + (1 − lnx)2+ 1

(x + ln x)2 dx

Lời giải:

x + (1 − lnx)2+ 1 = x + ln2x − 2lnx + 2 = (x2+ 2x ln x + ln2x ) − (x2+ 2x ln x) + x − 2lnx + 2

= (x + ln x)2− 2x(x + lnx) + x2+ 3x − 2(lnx + x) + 2 = (x + lnx)2− 2(x + 1)(x + lnx) + x2+ 3x + 2

= (x + ln x)2− 2(x + 1)(x + lnx) + (x + 1)(x + 2)

⇒ I =

Z e

1

(x + (1 − lnx)2+ 1)

(x + ln x)2 dx=

Z e

1

(x + ln x)2− 2(x + 1)(x + lnx) + (x + 1)(x + 2)

=

Z e

1

dx− 2

Z e

1

x+ 1

x + ln x dx+

Z e

1

(x + 1)(x + 2) (x + ln x)2 dx

I0=

Z e

1

(x + 1)(x + 2)

(x + ln x)2 dx= 2

Z e

1

x+ 1

x + ln x dx − x(x + 2)ln 1

x + ln x

e

1

Cuối cùng chúng mình có: I = x

e

1

− x(x + 2)ln 1

x + ln x

e

1

Câu IV (1 điểm)

—————————————————————————————————-Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2BC = 2a Mặt bên (SAD) vuông góc với đáy đồng thời tam giác SAD cân tại S và có trực tâm H Biết rằng khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SBC)

bằng a

√

13

26 Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.

Lời giải:

Dựng hệ trục tọa độ M là gốc, MD trục hoành, MN

trục tung và MS trục cao.

Ta có các điểm A−a

2; 0; 0



; D a

2; 0; 0



; N (0; 2a; 0) Gọi S(0,0,s) và điểm H(0,0,h) với (s,h > 0)

−→

AH=a

2; 0; h



;−→DS=

−a2; 0; s

Ta có: −→AH.−→

DS= 0 ⇔ −a

2

4 + sh = 0 ⇔ sh = a

2

4

Ta có −→NS = (0; −2a;s);−→SH = (0; 0; h − s)

⇒ [−→SH,−→

NS ] = (2a(h − s);0;0)

d (H; SN) =

[−→SH,−→NS]

SN =|2a(h − s)|

√

s2+ 4a2 = a

√

13 26

⇔ 208



a2

4s − s

2

= s2+ 4a2

⇔ 207s4− 108a2s2+ 13a4= 0

⇔







s2= a

2

3

s2= 13a

2

69

⇔







s= √a

3

s = a

r

13 69

bC

D

bS

H

bK

bE

Ta có: V = V S.ABCD= 1

3SH.S ABCD

Với s = √a

3 ⇒ V = 2a

3

3√

3

Với s = a

r

13

69 ⇒ V = 2a

3√

13

3√

ht tp

.m

vn

Câu V (1 điểm) —————————————————————————————————–

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a2+ b2+ c2+ ab + bc + ca = 6 Tìm giá trị lớn nhất và giá

trị nhỏ nhất của biểu thức P = 3a + 4b + 5c.

Lời giải:

(a + b)2+ (b + c)2+ (c + a)2

(1 + 9 + 4) ≥ (3a + 4b + 5c)2⇒ 3a + 4b + 5c ≤√168

3a + 4b + 5c = b + 2c + 3√

Câu VIa 1) (1 điểm) ————————————————————————————————

Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC và 3 đường thẳng (d1 ) : 2x−y−3 = 0, (d2) : x−2y+1 = 0, (d3 ) : x + y − 2 = 0 lần lượt chứa đường cao AH, trung tuyến BM, đường phân giác trong CK của tam giác

ABC Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.

Lời giải:

Gọi A(a;2a − 3),B(2b − 1;b),C(c;2 − c) Gọi A0là điểm đối xứng với A qua phân giác trong CK.

Từ đó ta dễ dàng tính được A0(5 − 2a;2 − a)

Ta có −→A0C (c + 2a − 5;a − c) Vì A0C ⊥ AH nên 2(c + 2a − 5) − (a − c) = 0 hay 3a + 3c = 5 (1)

Ta có trung điểm M của BC là M



a + c

2 ;

2a − c − 1

2



Vì M ∈ BM nên ta có −3a + 3c + 4 = 0 (2)

Ta có −→BC (c − 2b + 1;2 − c − b) Vì BC ⊥ AH nên −3b + 3c = 0 (3)

Giải hệ (1);(2);(3) Ta tính được a =3

2,b= 1

6,c= 1

Câu VIa 2) (1 điểm) ————————————————————————————————

Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng (P) : x − 2y − z = 0, (Q) : x + y + 2z − 3 = 0 và đường thẳng (d) : x

1 = y− 3

2 = z+ 5

3 Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên đường thẳng (d), tiếp xúc mặt phẳng (P) và cắt mặt phẳng (Q) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính r = 3

2

Lời giải:

Cách 1:

Cách 2:

Câu VIIa (1 điểm)

————————————————————————————————-Một học sinh A ước muốn đỗ vào đại học và nếu chưa đỗ năm nay thì năm sau sẽ thi tiếp (thi bao giờ đỗ thì thôi) Biết rằng xác suất để học sinh A đỗ đại học trong một lần thi là 0,2011 Hãy tìm xác suất để học sinh

A thi đỗ ở lần thi thứ 3

Lời giải:

Gọi A i là biến cố học sinh A thi đỗ vào năm thứ i, với i = 1, ,n.

Xác suất để học sinh đó thi đỗ ở lần thứ 3 là: P(A3) = P(A1.A2.A3) = (1 − 0,2011)2.0, 2011= 0, 128 

Câu VIb 1) (1 điểm) ————————————————————————————————

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trực tâm H thuộc đường thẳng (d) : 2x+y+1 = 0, đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC có phương trình x2+ y2+ 4x − 2y − 20 = 0 và trung điểm M(−3

2;

9

2)

của cạnh BC Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.

Lời giải:

Cách 1:

Cách 2:

Câu VIb 2) (1 điểm) ————————————————————————————————

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng (d) : x− 1

y

−2 =

z+ 2

−2 và hai mặt phẳng

(P) : x − y + z = 0, (Q) : x + y + 3z − 10 = 0 Lập phương trình mặt cầu (S) bán kính R = 5, tiếp xúc với đường thẳng (d) đồng thời cắt cả hai mặt phẳng (P) và (Q) theo giao tuyến là các đường tròn lớn.

Lời giải:

Cách 1:

ht tp

.m

vn

Cách 2:

Câu VIIb (1 điểm)

————————————————————————————————-Giả sử có 25 học sinh được chia làm hai nhóm sao cho nhóm có học sinh nhiều hơn thì số học sinh nam trong nhóm cũng nhiều hơn Chọn ngẫu nhiên mỗi nhóm một học sinh, biết rằng xác suất chọn được 2 học sinh nam là 0,48 Tính xác xuất để chọn được một học sinh nam và một học sinh nữ

Lời giải:

Cách 1:

Cách 2:

A thi đỗ lần thi thứ

Lời giải:

Gọi A i biến cố học sinh A... đỗ lần thứ là: P(A3) = P(A1.A2.A3) = (1 − 0,2 011) 2.0, 2 011= 0, 128 

Câu VIb 1) (1 điểm) ————————————————————————————————

Trong... M(−3

2;

9

2)

của cạnh BC Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC.

Lời giải:

Cách 1:

Cách 2:

Câu