1 điểm Cho hình lăng trụ đều ABC.A0B0C0có tất cả các cạnh đều bằng a .Gọi M là trung điểm của cạnh BB0.. Tính thể tích khối tứ diện B0ACMvà bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC.A0B0C
Trang 1DIỄN ĐÀN MATH.VN
http://math.vn
Đề thi số: 13
THI THỬ ĐẠI HỌC 2011 Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
PHẦN CHUNG (7 điểm) Cho tất cả thí sinh
Câu I (2 điểm)
Cho hàm số y = x
1 − x và điểm A(−1; 1)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2 Tìm m để đường thẳng y = mx − m − 1 cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho AM2+ AN2đạt giá trị nhỏ nhất
Câu II (2 điểm)
1 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm
(p
1 − 2√
1 − x2+
q
1 − 2p1 − y2= m
x2+ y2+ x −p1 − y2= 1
2 Giải phương trình
√
3 sin 2x(1 + 2 cos x) + cos 3x
1 + 2 cos x + cos 2x = 1
Câu III (1 điểm)
Tính tích phân: I =
Z 0
− ln 3
x+√3
ex− e3x
e3x dx
Câu IV (1 điểm)
Cho hình lăng trụ đều ABC.A0B0C0có tất cả các cạnh đều bằng a Gọi M là trung điểm của cạnh BB0 Tính thể tích khối tứ diện B0ACMvà bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC.A0B0C0
Câu V (1 điểm)
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn√a2+ b2+√
b2+ c2+√
c2+ a2≤ 3√2 Chứng minh rằng √ 1
8a+ 1+
1
√
8b+ 1+
1
√
8c+ 1≥ 1
PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ làm một trong hai phần A hoặc B
Phần A theo chương trình chuẩn
Câu VIa (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC với đường cao AH có phương trình x = 3√3 , phương trình hai đường phân giác trong góc dABCvà dACBlần lượt là x −√3y = 0 và x +√
3y − 6√
3 = 0 Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 3 Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh A có hoành độ dương
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Cho A(1; 0; 0), B(−1; −2; 0),C(−1; 1; −3) , mặt phẳng (P) : 2x + y − 2 = 0
và đường thẳng 4 :x− 2
y− 3
−1 =
z− 4
−1 Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua A có tâm I thuộc mặt phẳng (P) sao cho IB vuông góc với đường thẳng 4 và mặt cầu (S) cắt (ABC) theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất
Câu VIIa (1 điểm)
Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: |z| = |z + 4 − 3i| và biểu thức A = |z + 1 − i| + |z − 2 + 3i| có giá trị nhỏ nhất
Phần B theo chương trình nâng cao
Câu VIb (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường tròn (C1) : (x − 1)2+ y2= 2 và (C2) :
x+1 2
2
+ y−
√ 3 2
!2
= 2 Gọi A là giao điểm có hoành độ dương của (C1) và (C2); 4 là đường thẳng đi qua A cắt hai đường tròn (C1) và (C2) lần lượt tại M, N sao cho M nằm ngoài (C2) và N nằm ngoài (C1) Các tiếp tuyến của (C1) và (C2) tại M, N cắt nhau tại P Viết phương trình đường thẳng 4 khi bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP lớn nhất
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: x− 1
y− 2
z− 4
1 , d2:
x
1 =
y− 3
−1 =
z− 2 2
và điểm A(0; 1; 3) Chứng minh A, d1, d2cùng nằm trong một mặt phẳng Tìm tọa độ các đỉnh B,C của tam giác ABCbiết đường cao từ B nằm trên d1và đường phân giác trong góc C nằm trên d2
Câu VIIb (1 điểm)
Cho các số phức z1, z2thỏa mãn các điều kiện
2z1− i
2 + iz1
= 1 và |z2− 1 + i| = |z2− 2 + 2i|
Chứng minh |z1− z2| ≥3
√
2 − 2