Phương Trình Lượng Giác.. Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản.. Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp.. Phương Trình Lượng Giác Khác... Phương Trình Lượng Giác§1.. Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản
Trang 1Chuyên đề 8 Phương Trình Lượng Giác 3
§1 Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản 3
§2 Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp 5
§3 Phương Trình Lượng Giác Khác 9
Trang 3Phương Trình Lượng Giác
§1 Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản
Bài tập 8.1 Giải các phương trình sau:
d) sin x − π3 = √2
Lời giải
a) Phương trình vô nghiệm
b) sin x = 14 ⇔
x = arcsin14 + k2π
x = π − arcsin14 + k2π (k ∈ Z)
c) cot x = −2 ⇔ x = arc cot(−2) + kπ (k ∈ Z)
d) sin x − π3 =
√ 2
x −π3 = π4 + k2π
x −π3 = 3π4 + k2π ⇔
x = 7π12 + k2π
x = 13π12 + k2π (k ∈ Z)
e) cos π6 − x = −1 ⇔ π
6 − x = π + k2π ⇔ x = −5π6 − k2π (k ∈ Z)
f) tan 450− 3x = −√3 ⇔ 450− 3x = −600+ k1800 ⇔ 3x = 1050− k1800 ⇔ x = 450− k600 (k ∈ Z) Bài tập 8.2 Giải các phương trình sau:
a) cos 5x + π4 = cos 2x b) sin π3 − x = sin 3x +π
6 c) sin 300− x = cos 2x
d) cos x + π3 + sin 5x = 0 e) tan 5x +π4 = tan 2x f) cot 3x − π4 = tan x
g) tan x = 3 cot x h) tan x + π6 tan x + π
3 = 1 i) cos 2x
sin x+cos x = cos x −
√ 3
2 Lời giải
a) cos 5x + π4 = cos 2x ⇔
5x + π4 = 2x + k2π 5x + π4 = −2x + k2π ⇔
x = −12π + k2π3
x = −28π + k2π7 (k ∈ Z)
b) sin π3 − x = sin 3x +π
6 ⇔
π
3 − x = 3x + π
6 + k2π π
3 − x = π − 3x − π6 + k2π ⇔
x = 24π − kπ
2
x = π4 + kπ (k ∈ Z)
c) sin 300− x = cos 2x ⇔ sin 300− x = sin 900− 2x ⇔
x = 600+ k3600
x = −200− k1200 (k ∈ Z)
d) PT⇔ cos x +π3 = − sin 5x ⇔ cos x + π
3 = sin (−5x)
⇔ cos x +π3 = cos π
2 + 5x ⇔
x +π3 = π2 + 5x + k2π
x +π3 = −π2 − 5x + k2π ⇔
x = −24π − kπ2
x = −5π36+ kπ3 (k ∈ Z) e) tan 5x + π4 = tan 2x ⇔
2x 6= π2 + kπ 5x +π4 = 2x + kπ ⇔
x 6= π4 + kπ2
x = −12π + kπ3 ⇔ x = −
π
12+ kπ3 (k ∈ Z) f) PT⇔ cot 3x −π4 = cot π
2 − x ⇔
π
2 − x 6= kπ 3x −π4 = π2 − x + kπ ⇔ x =
3π
8 + kπ2 (k ∈ Z)
g) tan x = 3 cot x ⇔ tan x = tan x3 ⇔ tan x = ±√3 ⇔ x = ±π3 + kπ (k ∈ Z)
h) PT⇔ tan x + π6 = cot x +π
3 ⇔ tan x +π
6 = tan π
3 − x
⇔
x +π6 6= π
2 + kπ
x +π6 = π3 − x + kπ ⇔
x 6= π3 + kπ
x = 12π + kπ2 (k ∈ Z)
i) Điều kiện x 6= −π4 + kπ
PT⇔ cos x − sin x = cos x −
√ 3
2 ⇔ sin x =
√ 3
x = π3 + k2π
x = 2π3 + k2π (k ∈ Z) (thỏa mãn)
Trang 4Bài tập 8.3 Giải các phương trình sau:
a) 3 sin 4x + 4 = 0 b) 3 cos 3x − 1 = 0 c)√3 tan(π4 − 2x) + 3 = 0
d) 3 cot x − 600 −√3 = 0 e) sin2x − 3 sin x + 2 = 0 f) 2cos22x − 3 cos 2x + 1 = 0 g) tan2x − 5 tan x + 6 = 0 h) cot2x + 3 cot x − 4 = 0 i) cos3x − 3 cos x + 2 = 0
Lời giải
a) 3 sin 4x + 4 = 0 ⇔ sin 4x = −43 (phương trình vô nghiệm)
b) 3 cos 3x − 1 = 0 ⇔ cos 3x = 13 ⇔ 3x = ± arccos1
3+ k2π ⇔ x = ±13arccos13 + k2π3 (k ∈ Z)
c)√3 tan π4 − 2x + 3 = 0 ⇔ tan π
4 − 2x = −√3 ⇔ π4 − 2x = −π3 + kπ ⇔ x = 7π24 − kπ2 (k ∈ Z) d) 3 cot x − 600−√3 = 0 ⇔ cot x − 600 = √3
3 ⇔ x−600 = 600+k1800⇔ x = 1200+k1800 (k ∈ Z) e) sin2x − 3 sin x + 2 = 0 ⇔
sin x = 1 sin x = 2 (vô nghiệm) ⇔ x =
π
2 + k2π (k ∈ Z)
f) 2cos22x − 3 cos 2x + 1 = 0 ⇔
cos 2x = 1 cos 2x = 12 ⇔
x = π2 + kπ
x = ±π6 + kπ (k ∈ Z)
g) tan2x − 5 tan x + 6 = 0 ⇔
tan x = 2 tan x = 3 ⇔
x = arctan 2 + kπ
x = arctan 3 + kπ (k ∈ Z)
h) cot2x + 3 cot x − 4 = 0 ⇔
cot x = 1 cot x = −4 ⇔
x = π4 + kπ
x = arc cot(−4) + kπ (k ∈ Z)
i) cos3x − 3 cos x + 2 = 0 ⇔
cos x = −2 (vô nghiệm)
Bài tập 8.4 Giải các phương trình sau:
a) cos2x − 5 sin x + 5 = 0 b) sin2x + 3 cos x − 3 = 0 c) cos22x − 6 sin x cos x − 3 = 0 d) cos 2x + 5 sin x + 2 = 0 e) cos 4x − 3 cos 2x + 2 = 0 f) cos22x + 2(sin x + cos x)2= 0 Lời giải
a) PT⇔ −sin2x − 5 sin x + 6 = 0 ⇔
sin x = 1 sin x = −6 (vô nghiệm) ⇔ x =
π
2 + k2π (k ∈ Z)
b) PT⇔ −cos2x + 3 cos x − 2 = 0 ⇔
cos x = 1 cos x = 2 (vô nghiệm) ⇔ x = k2π (k ∈ Z)
c) PT⇔ −sin22x − 3 sin 2x − 2 = 0 ⇔
sin 2x = −1 sin 2x = −2 (vô nghiệm) ⇔ x = −
π
4 + kπ (k ∈ Z)
d) PT⇔ −2sin2x + 5 sin x + 3 = 0 ⇔
sin x = 3 (vô nghiệm)
x = −π6 + k2π
x = 7π6 + k2π (k ∈ Z)
e) PT⇔ 2cos22x − 3 cos 2x + 1 = 0 ⇔
cos 2x = 1 cos 2x = 12 ⇔
x = kπ
x = ±π6 + kπ (k ∈ Z)
f) PT⇔ −sin22x + 2 sin 2x + 3 = 0 ⇔
sin 2x = −1 sin 2x = 3 (vô nghiệm) ⇔ x = −
π
4 + kπ (k ∈ Z)
Bài tập 8.5 Giải các phương trình sau:
a) 5 tan x + 2 cot x = 7 b) 2 tan x + 2 cot x = 5 c) 4 tan 2x − cot 2x + 3 = 0 d) (CĐ-09) (1 + 2 sin x)2cos x = 1 + sin x + cos x e) sin x(1 − cos x) = (1 − cos x)2(1 + cos x) Lời giải
a) 5 tan x + 2 cot x = 7 ⇔ 5tan2x − 7 tan x + 2 = 0 ⇔
tan x = 1 tan x = 25 ⇔
x = π4 + kπ
x = arctan25+ kπ (k ∈ Z) b) 2 tan x + 2 cot x = 5 ⇔ 2tan2x − 5 tan x + 2 = 0 ⇔
tan x = 2 tan x = 12 ⇔
x = arctan 2 + kπ
x = arctan12 + kπ (k ∈ Z) c) 4 tan 2x−cot 2x+3 = 0 ⇔ 4tan2x+3 tan x−1 = 0 ⇔
tan x = −1 tan x = 14 ⇔
x = −π4 + kπ
x = arctan14 + kπ (k ∈ Z) d) PT⇔ 4 (1 + sin x) cos x = 1 + sin x ⇔ (1 + sin x) (4 cos x − 1) = 0 ⇔
x = −π2 + k2π
x = arccos14 + k2π (k ∈ Z) e) PT⇔ sin x(1 − cos x) = (1 − cos x)sin2x ⇔ sin x(1 − cos x) (1 − sin x) = 0 ⇔
x = kπ
x = π2 + k2π (k ∈ Z)
Trang 5§2 Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp
Bài tập 8.6 Giải các phương trình sau:
c) sin 3x −√3 cos 3x = 2 d) √2 (sin 3x + cos 3x) = 2
Lời giải
a) PT⇔ √2
5sin x +√1
5cos x = 1 Đặt √2
5 = cos α,√1
5 = sin α, phương trình trở thành cos α sin x + sin α cos x = 1 ⇔ sin (x + α) = 1 ⇔ x = −α +π
2 + k2π Vậy phương trình có nghiệm x = −α + π2 + k2π (k ∈ Z), trong đó cos α = √2
5, sin α = √1
5 b) PT⇔ 35sin 2x −45cos 2x = 1 Đặt 35 = cos α,45 = sin α, phương trình trở thành
cos α sin 2x − sin α cos 2x = 1 ⇔ sin (2x − α) = 1 ⇔ x = α
2 +
π
4 + kπ Vậy phương trình có nghiệm x = α2 +π4 + kπ (k ∈ Z), trong đó cos α = 35, sin α = 45
c) PT⇔ 12sin 3x −
√ 3
2 cos 3x = 1 ⇔ sin 3x −π3 = 1 ⇔ x = 5π
18 + k2π3 (k ∈ Z)
d) PT⇔ sin 3x + π4 = 1 ⇔ x = π
12+ k2π3 (k ∈ Z)
e) PT⇔ 12cos x +
√ 3
2 sin x = 12 ⇔ sin π
6 + x = 1
2 ⇔
x = k2π
x = 2π3 + k2π (k ∈ Z)
f) PT⇔ √2
13sin x −√3
13cos x = √2
13 Đặt √2
13 = cos α,√3
13 = sin α, phương trình trở thành
cos α sin x − sin α cos x = cos α ⇔ sin (x − α) = sinπ
2 − α
⇔
x = π2 + k2π
x = π2 + 2α + k2π Vậy phương trình có nghiệm
x = π2 + k2π
x = π2 + 2α + k2π (k ∈ Z), trong đó cos α = √2
13, sin α = √3
13 Bài tập 8.7 Giải các phương trình sau:
a)√3 sin x + cos x = 2 sin 4x b) cos 2x − 2√3 sin x cos x = 2 sin x
c) √2 (sin 4x + cos 4x) = 2 cos x +π2 d) √3 sin x + cos x + 2 cos x − π3 = 2
Lời giải
a)√3 sin x + cos x = 2 sin 4x ⇔ sin x +π6 = sin 4x ⇔
x = 18π − k2π3
x = π6 + k2π5 (k ∈ Z)
b) cos 2x − 2√3 sin x cos x = 2 sin x ⇔ sin π6 − 2x = sin x ⇔
x = 18π − k2π3
x = −π3 − kπ (k ∈ Z)
c) √2 (sin 4x + cos 4x) = 2 cos x +π2 ⇔ cos 4x −π
4 = cos x +π
2 ⇔
x = π4 + k2π3
x = −20π + k2π5 (k ∈ Z) d) √3 sin x + cos x + 2 cos x −π3 = 2 ⇔ cos x −π
3 = 1
2 ⇔
x = k2π
x = 2π3 + k2π (k ∈ Z)
Bài tập 8.8 Giải các phương trình sau:
a) (D-07) sinx2 + cosx22+√3 cos x = 2 b) 4 sin4 x2 + cos4 x2 +√3 sin 2x = 2
c) 3 sin 3x −√3 cos 9x = 1 + 4sin33x d) 2√2 (sin x + cos x) cos x = 3 + cos 2x
Lời giải
a) PT⇔ sin2 x2 + 2 sinx2cosx2 + cos2 x
2 +√3 cos x ⇔ sin x +√3 cos x = 1 ⇔
x = −π6 + k2π
x = π2 + k2π (k ∈ Z) b) PT⇔ 4 1 − 12sin2x +√3 sin 2x = 2 ⇔√3 sin 2x + cos 2x = −1 ⇔
x = −π6 + kπ
x = π2 + kπ (k ∈ Z) c) PT⇔ sin 9x −√3 cos 9x = 1 ⇔ sin 9x − π3 = 1
2 ⇔
x = 18π + k2π9
x = 7π54+ k2π9 (k ∈ Z)
d) PT⇔√2 sin 2x +√2 (1 + cos 2x) = 3 + cos 2x ⇔√2 sin 2x + √2 − 1 cos 2x = 3 −√2 (vô nghiệm)
Trang 6Bài tập 8.9 Giải các phương trình sau:
a) (D-09)√3 cos 5x − 2 sin 3x cos 2x − sin x = 0 b) 2 sin 4x + 3 cos 2x + 16sin3x cos x − 5 = 0
c) 4sin3x cos 3x + 4cos3x sin 3x + 3√3 cos 4x = 3 d) (B-2012) 2 cos x + √
3 sin x cos x = cos x −√3 sin x + 1.
e) 1 + 2 (cos 2x tan x − sin 2x) cos2x = cos 2x f) (B-09) sin x + cos x sin 2x + √
3 cos 3x = 2 cos 4x + sin3x.
Lời giải
a) PT⇔√3 cos 5x−(sin x + sin 5x)−sin x = 0 ⇔√3 cos 5x−sin 5x = 2 sin x ⇔
x = 18π − kπ3
x = −π6 − kπ
2 (k ∈ Z) b) PT⇔ 2 sin 4x + 3 cos 2x + 4 sin 2x (1 − cos 2x) − 5 = 0 ⇔ 45sin 2x +35cos 2x = 1
Đặt 45 = cos α;35 = sin α, phương trình trở thành sin (2x + α) = 1 ⇔ x = −α2 + kπ (k ∈ Z)
c) PT⇔ (3 sin x − sin 3x) cos 3x + (3 cos x + cos 3x) sin 3x + 3√3 cos 4x = 3
⇔ sin x cos 3x+cos x sin 3x+√3 cos 4x = 1 ⇔ sin 4x+√3 cos 4x = 1 ⇔
x = −24π + kπ2
x = π8 + kπ4 (k ∈ Z) d) PT⇔ 2cos2x +√3 sin 2x = cos x −√3 sin x + 1 ⇔ cos 2x +√3 sin 2x = cos x −√3 sin x
⇔ cos 2x −π3 = cos x +π
3 ⇔
x = 2π3 + k2π
x = k2π3 (k ∈ Z)
e) Điều kiện: cos x 6= 0 PT⇔ 1 + 2 (cos 2x sin x − sin 2x cos x) cos x = cos 2x ⇔ 1 − 2 sin x cos x = cos 2x
⇔ sin 2x + cos 2x = 1 ⇔ sin 2x +π4 = √1
2 ⇔
x = kπ
x = π4 + kπ (k ∈ Z) (thỏa mãn) f) PT⇔ sin x 1 − 2sin2x + cos x sin 2x +√3 cos 3x = 2 cos 4x
⇔ sin x cos 2x + cos x sin 2x +√3 cos 3x = 2 cos 4x
⇔ sin 3x +√3 cos 3x = 2 cos 4x ⇔ cos 3x − π6 = cos 4x ⇔
x = −π6 − k2π
x = 42π + k2π7 (k ∈ Z)
Bài tập 8.10 Giải các phương trình sau:
a) 3sin2x − 4 sin x cos x + cos2x = 0 b) 3sin2x + 2 sin 2x − 5cos2x = 1
c) 2sin2x − 3cos2x + 5 sin x cos x − 2 = 0 d) sin 2x − 2sin2x − 2 cos 2x = 0
e) 4sin3x + 3cos3x − 3 sin x − sin2x cos x = 0 f) (B-08) sin3x −√3cos3x = sin xcos2x −√3sin2x cos x Lời giải
a) Nhận thấy cos x = 0 không phải nghiệm phương trình
Với cos x 6= 0, chia hai vế phương trình cho cos2x ta có:
3tan2x − 4 tan x + 1 = 0 ⇔
tan x = 1 tan x = 13 ⇔
x =π4 + kπ
x = arctan13+ kπ (k ∈ Z) b) Nhận thấy cos x = 0 không phải nghiệm phương trình
Với cos x 6= 0, chia hai vế phương trình cho cos2x ta có:
3tan2x + 4 tan x − 5 = 1 + tan2x ⇔
tan x = 1 tan x = −3 ⇔
x = π4 + kπ
x = arctan(−3) + kπ (k ∈ Z)
c) Nhận thấy cos x = 0 ⇔ x = π2 + kπ là nghiệm phương trình
Với cos x 6= 0, chia hai vế phương trình cho cos2x ta có:
2tan2x − 3 + 5 tan x − 2 1 + tan2x = 0 ⇔ tan x = 1 ⇔ x = π
4 + kπ (k ∈ Z) d) sin 2x − 2sin2x − 2 cos 2x = 0 ⇔ 2 sin x cos x − 2sin2x − 2 cos2x − sin2x = 0
⇔ 2 cos x (sin x − cos x) = 0 ⇔
cos x = 0 tan x = 1 ⇔
x = π2 + kπ
x = π4 + kπ (k ∈ Z).
e) Nhận thấy cos x = 0 không phải nghiệm phương trình
Với cos x 6= 0, chia hai vế phương trình cho cos3x ta có:
4tan3x + 3 − 3 tan x 1 + tan2x − tan2x = 0 ⇔
tan x = 1 tan x = ±√3 ⇔
x = π4 + kπ
x = ±π3 + kπ (k ∈ Z) f) Nhận thấy cos x = 0 không phải nghiệm phương trình
Trang 7Với cos x 6= 0, chia hai vế phương trình cho cos3x ta có:
tan3x −√3 = tan x −√3tan2x ⇔
tan x = ±1 tan x = −√3 ⇔
x = ±π4 + kπ
x = −π3 + kπ (k ∈ Z) Bài tập 8.11 Giải các phương trình sau:
a) 2 cos x + 4 sin x = 3
√
3 cos x =
√ 3 cos x+
1 sin x. c) sin x cos 2x = 6 cos x (1 + 2 cos 2x) d) sin x sin 2x + sin 3x = 6cos3x
e) sin3 x +π4 =√2 sin x f) sin22x cos 3π
2 − 2x + 3 sin 2xsin 2 3π
2 + 2x + 2cos 3
2x = 0.
Lời giải
a) Điều kiện cos x 6= 0 PT⇔ 2+4 tan x = 3 1 + tan2x ⇔
tan x = 1 tan x = 13 ⇔
x = π4 + kπ
x = arctan13 + kπ (k ∈ Z) b) Điều kiện sin x 6= 0; cos x 6= 0
PT⇔ 2tan2x+2√3 tan x =√3 tan x 1 + tan2x+1+tan2x ⇔
"
tan x = ±1 tan x =
√ 3 3
⇔
x = ±π4 + kπ
x = π6 + kπ (k ∈ Z) c) PT⇔ sin x cos2x − sin2x = 6 cos x + 12 cos x cos2x − sin2x
⇔ sin3x − 12sin2x cos x − sin xcos2x + 12cos3x + 6 cos x = 0
⇔ tan3x − 12tan2x − tan x + 12 + 6 1 + tan2x = 0
⇔
tan x = 2 tan x = 2 ±√3 ⇔
x = arctan 2 + kπ
x = arctan 2 ±√3 + kπ (k ∈ Z).
d) PT⇔ 2sin2x cos x + 3 sin x − 4sin3x = 6cos3x
⇔ 4tan3x − 2tan2x + 6 − 3 tan x 1 + tan2x = 0
⇔
tan x = 2 tan x = ±√3 ⇔
x = arctan 2 + kπ
x = ±π3 + kπ (k ∈ Z).
e) Đặt x + π4 = t, phương trình trở thành sin3t =√2 sin t −π4 ⇔ sin3t = sin t − cos t
Nhận thấy cos t = 0 ⇔ t = π2 + kπ ⇒ x = π4 + kπ là nghiệm của phương trình
Với cos t 6= 0, chia hai vế phương trình cho cos3t ta có:
tan3t = tan t 1 + tan2t − 1 + tan2t ⇔ tan2t − tan t + 1 = 0 (vô nghiệm)
Vậy phương trình có nghiệm x = π4 + kπ (k ∈ Z)
f) PT⇔ −sin32x + 3 sin 2xcos22x + 2cos32x = 0 ⇔ −tan32x + 3 tan 2x + 2 = 0
⇔
tan 2x = 2 tan 2x = −1 ⇔
x = 12arctan 2 + kπ2
x = −π4 + kπ2 (k ∈ Z)
Bài tập 8.12 Giải các phương trình sau:
a) 3 (sin x + cos x) + 2 sin x cos x + 3 = 0 b) sin x − cos x + 7 sin 2x = 1
c) 2 sin x + sin 2x − 2 cos x + 2 = 0 d) 3 cos 2x + sin 4x + 6 sin x cos x = 3
Lời giải
a) Đặt sin x + cos x = t, |t| ≤√2 ⇒ sin x cos x = t2−12 , thay vào phương trình ta có:
3t + t2− 1 + 3 = 0 ⇔
t = −1
t = −2 (loại)
Với t = −1 ⇒ sin x + cos x = −1 ⇔ sin x +π4 = −√1
2 ⇔
x = −π2 + k2π
x = π + k2π (k ∈ Z)
b) Đặt sin x − cos x = t, |t| ≤√2 ⇒ sin 2x = 1 − t2, thay vào phương trình ta có:
t + 7 1 − t2 = 1 ⇔ 7t2− t − 6 = 0 ⇔
t = 1
t = −67
Với t = 1 ⇒ sin x − cos x = 1 ⇔ sin x − π4 = √1
2 ⇔
x = π2 + k2π
x = π + k2π (k ∈ Z)
Trang 8Với t = −67 ⇒ sin x − cos x = −67 ⇔ sin x − π4 = − 6
7√2 ⇔
x = π4 + arcsin− 6
7√2
+ k2π
x = 5π4 − arcsin− 6
7√2
+ k2π (k ∈ Z) c) PT⇔ 2(sin x − cos x) + sin 2x + 2 = 0
Đặt sin x − cos x = t, |t| ≤√2 ⇒ sin 2x = 1 − t2, thay vào phương trình ta có:
2t + 1 − t2+ 2 = 0 ⇔ t2− 2t − 3 = 0 ⇔
t = −1
t = 3 (loại)
Với t = −1 ⇒ sin x − cos x = −1 ⇔ sin x −π4 = −√1
2 ⇔
x = k2π
x = 3π2 + k2π (k ∈ Z)
d) PT⇔ 3(sin 2x + cos 2x) + sin 4x = 3
Đặt sin 2x + cos 2x = t, |t| ≤√2 ⇒ sin 4x = t2− 1, thay vào phương trình ta có:
3t + t2− 1 = 3 ⇔ t2+ 3t − 4 = 0 ⇔
t = 1
t = −4 (loại)
Với t = 1 ⇒ sin 2x + cos 2x = 1 ⇔ sin 2x +π4 = √1
2 ⇔
x = kπ
x = π4 + kπ (k ∈ Z)
Bài tập 8.13 Giải các phương trình sau:
a) |sin x − cos x| + 4 sin 2x = 1 b) sin 2x +√2 sin x −π4 = 1
c) 1 + sin3x + cos3x = 32sin 2x d) sin32x + cos32x + 12sin 4x = 1
Lời giải
a) Đặt | sin x − cos x| = t, 0 ≤ t ≤√2 ⇒ sin 2x = 1 − t2, thay vào phương trình ta có:
t + 4(1 − t2) = 1 ⇔ 4t2− t − 3 = 0 ⇔
t = 1
t = 34 (loại)
Với t = 1 ⇒ | sin x − cos x| = 1 ⇔ sin x −π4 = ±√1
2 ⇔
x = π2 + k2π
x = π + k2π
x = k2π
x = 3π2 + k2π
(k ∈ Z)
b) PT⇔ sin 2x + sin x − cos x = 1
Đặt sin x − cos x = t, |t| ≤√2 ⇒ sin 2x = 1 − t2, thay vào phương trình ta có:
1 − t2+ t = 1 ⇔ t2− t = 0 ⇔
t = 1
t = 0
Với t = 1 ⇒ sin x − cos x = 1 ⇔ sin x −π4 = √1
2 ⇔
x = π + k2π
x = π2 + k2π (k ∈ Z)
Với t = 0 ⇒ sin x − cos x = 0 ⇔ sin x −π4 = 0 ⇔ x = π
4 + k2π (k ∈ Z)
c) PT⇔ 1 + (sin x + cos x)3− 3 sin x cos x (sin x + cos x) = 3 sin x cos x
Đặt sin x + cos x = t, |t| ≤√2 ⇒ sin x cos x = t22−1, thay vào phương trình ta có:
1 + t3− 3tt
2− 1
t2− 1
3+ 3t2− 3t − 5 = 0 ⇔
t = −1
t = −1 ±√6 (loại)
Với t = −1 ⇒ sin x + cos x = −1 ⇔ sin x +π4 = −√1
2 ⇔
x = π + k2π
x = −π2 + k2π (k ∈ Z)
d) PT⇔ (sin 2x + cos 2x)3− 3 sin 2x cos 2x (sin 2x + cos 2x) + sin 2x cos 2x = 1
Đặt sin 2x + cos 2x = t, |t| ≤√2 ⇒ sin 2x cos 2x = t2−12 , thay vào phương trình ta có:
t3− 3tt
2− 1
t2− 1
2 = 1 ⇔ t
3− t2+ 3t − 3 = 0 ⇔ t = 1
Với t = 1 ⇒ sin 2x + cos 2x = 1 ⇔ sin 2x +π4 = √1
2 ⇔
x = kπ
x = π4 + kπ (k ∈ Z)
Trang 9§3 Phương Trình Lượng Giác Khác
Bài tập 8.14 Giải các phương trình sau:
a) (D-2013) sin 3x + cos 2x − sin x = 0 b) (CĐ-2012) 2 cos 2x + sin x = sin 3x
c) sin 3x + sin 2x = 5 sin x d) cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 0
e) sin x + sin 2x + sin 3x = 1 + cos x + cos 2x f) sin x + sin 2x + sin 3x = cos x + cos 2x + cos 3x Lời giải
a) PT⇔ 2 cos 2x sin x+cos 2x = 0 ⇔ cos 2x (2 sin x + 1) = 0 ⇔
cos 2x = 0 sin x = −12 ⇔
x = π4 + kπ2
x = −π6 + k2π
x = 7π6 + k2π
(k ∈ Z) b) PT⇔ 2 cos 2x = 2 cos 2x sin x ⇔ 2 cos 2x (1 − sin x) = 0 ⇔
cos 2x = 0 sin x = 1 ⇔
x = π4 + kπ2
x = π2 + k2π (k ∈ Z) c) PT⇔ sin 3x − sin x + sin 2x = 4 sin x ⇔ 2 cos 2x sin x + 2 sin x cos x − 4 sin x = 0
⇔ 2 sin x (cos 2x + cos x − 2) = 0 ⇔
sin x = 0 2cos2x + cos x − 3 = 0
⇔
sin x = 0 cos x = 1 cos x = −32 (vô nghiệm)
⇔ x = kπ (k ∈ Z)
d) PT⇔ 2 cos 2x cos x + 2 cos 3x cos x = 0 ⇔ 2 cos x (cos 3x + cos 2x) = 0
⇔ 4 cos x cos5x
2 cosx2 = 0 ⇔
cos x = 0 cos5x2 = 0 cosx2 = 0
⇔
x = π2 + kπ
x = π5 + k2π5
x = π + k2π
(k ∈ Z)
e) PT⇔ 2 sin 2x cos x + sin 2x = cos x + 2cos2x ⇔ sin 2x (2 cos x + 1) = cos x (1 + 2 cos x) = 0
⇔ (2 cos x + 1) (sin 2x − cos x) = 0 ⇔ (2 cos x + 1) (2 sin x cos x − cos x) = 0
⇔ (2 cos x + 1) cos x (2 sin x − 1) = 0 ⇔
cos x = −12 cos x = 0 sin x = 12
⇔
x = ±2π3 + k2π
x = π2 + kπ
x = π6 + k2π
x = 5π6 + k2π
(k ∈ Z)
f) PT⇔ 2 sin 2x cos x + sin 2x = 2 cos 2x cos x + cos 2x ⇔ sin 2x (2 cos x + 1) = cos 2x (2 cos x + 1)
⇔ (2 cos x + 1) (sin 2x − cos 2x) = 0 ⇔
cos x = −12 tan 2x = 1 ⇔
x = ±2π3 + k2π
x = π8 + kπ2 (k ∈ Z)
Bài tập 8.15 Giải các phương trình sau:
a) (B-07) 2sin22x + sin 7x − 1 = sin x b) sin 5x + sin 9x + 2sin2x − 1 = 0
c) (D-2012) sin 3x + cos 3x − sin x + cos x = √
2 cos 2x d) cos x + sin 2x +π6 − sin 2x − π
6 + 1 =√3 (1 + 2 cos x).
Lời giải
a) PT⇔ 2 cos 4x sin 3x − cos 4x = 0 ⇔ cos 4x (2 sin 3x − 1) = 0
⇔
cos 4x = 0 sin 3x = 12 ⇔
x = π8 + kπ4
x = 18π + k2π3
x = 5π18 + k2π3
(k ∈ Z)
b) PT⇔ 2 sin 7x cos 2x − cos 2x = 0 ⇔ cos 2x (2 sin 7x − 1) = 0
⇔
cos 2x = 0 sin 7x = 1 ⇔
x = π4 + kπ2
x = 14π + k2π7 (k ∈ Z)
c) PT⇔ 2 cos 2x sin x + 2 cos 2x cos x =√2 cos 2x ⇔√2 cos 2x √2 sin x +√2 cos x − 1 = 0
⇔
cos 2x = 0
√
2 (sin x + cos x) = 1 ⇔
cos 2x = 0 sin x + π4 = 1
2
⇔
x = π4 + kπ2
x = −12π + k2π
x = 7π12 + k2π
(k ∈ Z)
d) PT⇔ cos x + 2 cos 2x sinπ6 + 1 =√3 (1 + 2 cos x) ⇔ cos x + 2cos2x =√3 (1 + 2 cos x)
⇔ cos x (1 + 2 cos x) =√3 (1 + 2 cos x) ⇔ (1 + 2 cos x) cos x −√3 = 0
⇔
cos x = −12 cos x =√3 ⇔
x = ±2π3 + k2π
x = ±π6 + k2π (k ∈ Z)
Trang 10Bài tập 8.16 Giải các phương trình sau:
a) cos 5x cos x = cos 4x b) sin x sin 7x = sin 3x sin 5x
c) cos x cos 3x − sin 2x sin 6x − sin 4x sin 6x = 0 d) (D-09)√3 cos 5x − 2 sin 3x cos 2x − sin x = 0. e) 4 cos5x2 cos3x2 + 2 (8 sin x − 1) cos x = 5 f) cos x cosx2cos3x2 − sin x sinx2sin3x2 = 12
Lời giải
a) PT⇔ 12(cos 4x + cos 6x) = cos 4x ⇔ cos 6x − cos 4x = 0 ⇔ −2 sin 5x sin x = 0 ⇔
x = kπ5
x = kπ (k ∈ Z) b) PT⇔ 12(cos 6x − cos 8x) = 12(cos 2x − cos 8x) ⇔ cos 6x − cos 2x = 0
⇔ −2 sin 4x sin 2x = 0 ⇔
x = kπ4
x = kπ2 (k ∈ Z)
c) PT⇔ 12(cos 2x + cos 4x) − 12(cos 4x − cos 8x) − 12(cos 2x − cos 10) = 0
⇔ cos 10x + cos 8x = 0 ⇔ 2 cos 9x cos x = 0 ⇔
x = 18π + kπ9
x = π2 + kπ (k ∈ Z)
d) PT⇔√3 cos 5x − (sin x + sin 5x) − sin x = 0 ⇔
√ 3
2 cos 5x −12sin 5x = sin x
⇔ sin π
3 − 5x = sin x ⇔
x = 18π − kπ3
x = −π6 − kπ
2 (k ∈ Z)
e) PT⇔ 2 (cos x + cos 4x) + 8 sin 2x − 2 cos x = 5 ⇔ 2 1 − 2sin22x + 8 sin 2x = 5
⇔
sin 2x = 32 (vô nghiệm)
x = 12π + kπ
x = 5π12+ kπ (k ∈ Z)
f) PT⇔ 12cos x (cos x + cos 2x) −12sin x (cos x − cos 2x) = 12
⇔ cos2x + cos x cos 2x − sin x cos x + sin x cos 2x = 1
⇔ cos 2x (sin x + cos x) = sin x (sin x + cos x) ⇔ (sin x + cos x) (cos 2x − sin x) = 0
⇔ (sin x + cos x) 1 − 2sin2x − sin x = 0 ⇔
tan x = −1 sin x = −1 sin x = 12
⇔
x = −π4 + kπ
x = −π2 + k2π
x = π6 + k2π
x = 5π6 + k2π
(k ∈ Z)
Bài tập 8.17 Giải các phương trình sau:
a) (B-2013) sin 5x + 2 cos2x = 1 b) sin2x + sin23x = 2sin22x
c) cos22x − sin28x = sin 17π2 + 10x d) (B-02) sin23x − cos24x = sin25x − cos26x
Lời giải
a) PT⇔ sin 5x + cos 2x = 0 ⇔ cos π2 + 5x = cos 2x ⇔
x = −π6 + k2π3
x = −14π + k2π7 (k ∈ Z)
b) PT⇔ 1−cos 2x2 + 1−cos 6x2 = 2(1−cos 4x)2 ⇔ cos 2x + cos 6x = cos 4x
⇔ 2 cos 4x cos 2x = cos 4x ⇔ cos 4x (2 cos 2x − 1) = 0 ⇔
cos 4x = 0 cos 2x = 12 ⇔
x = π8 + k2π4
x = ±π6 + kπ (k ∈ Z) c) PT⇔ 1+cos 4x2 −1−cos 16x2 = cos 10x ⇔ cos 16x + cos 4x = 2 cos 10x
⇔ 2 cos 10x cos 6x = 2 cos 10x ⇔ 2 cos 10x (cos 6x − 1) = 0 ⇔
x = 20π + k10π
x = kπ3 (k ∈ Z)
d) PT⇔ cos 6x + cos 8x = cos 10x + cos 12x ⇔ 2 cos 7x cos x = 2 cos 11x cos x
⇔ 2 cos x (cos 7x − cos 11x) = 2 cos x sin 2x sin 9x = 0 ⇔
cos x = 0 sin 2x = 0 sin 9x = 0
⇔
x = kπ2
x = kπ9 (k ∈ Z)
Bài tập 8.18 Giải các phương trình sau:
a) cos2x = cos4x3 b) 1 + 2cos2 3x5 = 3 cos4x5
c) 1 + sinx2sin x − cosx2sin2x = 2cos2 π4 − x
2 d) 4 sin xcos5x + cos xsin5x + sin32x = 1
e) sin4 x2 + cos4 x2 = 1 − 2 sin x f) (D-05) cos 4 x + sin4x + cos x − π
4 sin 3x − π
4 − 3
2 = 0.
Lời giải
a) PT⇔ 1+cos 2x2 = cos4x3 ⇔ 1 + 4cos3 2x
3 − 3 cos2x
3 = 2 2cos2 2x3 − 1
⇔
"
cos2x3 = 1 cos2x3 = ±
√ 3 2
⇔
x = k3π
x = ±π4 + k3π (k ∈ Z)