Phơng trình lợng giác góc lợng giác & công thức lợng giác
i.lý thuyết
1.giá trị l ơng giác của góc l ợng giác
a.các định nghĩa :
sinα = OK cosα = OH
tanα = AT cotα = BU
b tính chất
i> sin ( α + k2π ) = sinα cos ( α + k2π ) = cosα ; k ∈ Z
tan ( α + kπ ) = tan α cot ( α + kπ ) = cot α ; k ∈ Z
ii> với ∀α ta có : - 1 ≤ sin α ≤ 1 ; - 1 ≤ cos α ≤ 1
iii> cos2α + sin2α = 1 tan α cotα = 1
1 + tan2α =
α 2
cos
1
( cos α ≠ 0 ) 1 + cot2α =
α 2
sin
1
( sinα ≠ 0 )
c dấu các hàm số l ợng giác :
d bảng hàm số của cung l ợng giác đặc biệt
Chú ý :
+ > sin α = 0 ⇔ α = kπ; k ∈ Z
Góc phần t Số đo của góc sin α cosα tanα cotα
I 0 < α < π/2 + + + +
II π/2 < α < π + - -
III π < α < 3π/2 - - + +
IV 3π/2 < α < 2π - + - -
Trang 2+ > sin α = 1 ⇔ α = π/2 + k2π; k ∈ Z
+> sin α = - 1 ⇔ α = - π/2 + k2π; k ∈ Z
+ > cos α = 0 ⇔ α = π/2 + kπ; k ∈ Z
+> cosα = 1 ⇔ α = k2π; k ∈ Z
+> cos α = - 1 ⇔ α = π + k2π; k ∈ Z
2 giá trị l ơng giác của các góc có liên quan đặc biệt
i> cung đối nhau : cos ( - α ) = cos α sin ( - α ) = - sin α
tan ( - α ) = - tan α cot ( - α ) = - cot α
ii> cung hơn kém π: sin (α +π ) = - sin α cos(α + π ) = - cosα
tan(α + π ) = tan α cot(α + π ) = cot α
iii> cung bù nhau : sin (π - α ) = sin α cos (π - α ) = - cos α tan(π - α ) = - tan α cot(π - α ) = - cotα
iv> cung phụ nhau : sin (π/2 - α ) = cos α cos (π/2 - α ) = sin α tan (π/2 - α ) = cot α cot(π/2 - α ) = tan α v> cung hơn kém π/2 : sin (π/2 + α ) = cos α cos (π/2 + α ) = - sin α tan (π/2 + α ) = - cot α cot(π/2 + α ) = - cotα
3 công thức l ợng giác
a.
công thức cộng : cos( x – y ) = cosx.cosy + sinx.siny ( 1)
cos( x + y ) = cosx.cosy – sinx.siny ( 2 ) sin( x – y ) = sinx.cosy – cosx.siny ( 3)
sin( x + y) = sinx.cosy + cosx.siny ( 4 )
tan( x – y ) = 1tan+tanx−x.tantany y ( 5 )
tan( x + y ) = 1tan−tanx+x.tantany y ( 6 )
b công thức nhân đôi :
i> công thức nhân đôi : sin 2x = 2sinx.cosx ( 7) công thức nhân 3 : cos 2x = cos2x – sin2x ( 8 ) sin3x = 3sinx – 4sin3x tan 2x =
x
x
2
tan 1
tan 2
− ( 9 ) cos3x = 4cos3x – 3cosx
ii> công thức hạ bậc : sin2x =
2
2 cos
( 10 ) cos2x =
2
2 cos
( 11 ) tan2 x =
x
x
2 cos 1
2 cos 1
+
−
( 12 )
iii> công thức tính theo t = tan x/2 : đặt t = tanx/2 khi đó ta có các công thức biểu diễn sau:
sin x = 2
1
2
t t
+ ( 13 )
Trang 3cos x = 2
2
1
1
t
t
+
− ( 14 )
tan x = 2 1 2 t t − ( 15 )
c công thức biến đổi tích thành tổng và ng ợc lại i> công thức biến đổi tích thành tổng
cosx.cosy = 2 1 [ cos ( x - y ) + cos ( x + y ) ] ( 16 )
sinx.siny = 2 1 [ cos ( x - y ) - cos ( x + y ) ] ( 17 )
sinx.cosy = 2 1 [ sin( x - y ) + sin ( x + y ) ] ( 18 )
ii> công thức biến đổi tổng thành tích : cosx + cosy = 2cos 2 y x+ cos 2 y x− ( 19 )
cosx - cosy = - 2sin 2 y x+ sin 2 y x− ( 20 )
sinx + siny = 2sin 2 y x+ cos 2 y x− ( 21 )
sinx - siny = 2cos 2 y x+ sin 2 y x− ( 22 )
tanx + tany = cossin(x x.cos+y)y ( 23 )
tanx - tany = cossin(x x.cos−y)y ( 24 )
chú ý một số công thức sau :
sinx + cosx = 2.sin( x + π/4 ) ( 25)
sinx - cosx = 2.sin( x - π/4 ) ( 26 )
cosx + sinx = 2.cos( x - π/4 ) ( 27 )
cosx - sinx = 2.cos( x + π/4 ) ( 28 )
Giải ph ơng trình sau :
1 sinx.cosx + | cosx + sinx| = 1 2 2 2 sinx( x + π/4 ) = 1 1
sinx+cosx
3 2 + cos2x = - 5sinx 4 2tanx + cot2x = 2sin2x + 1
sin 2x
5 sin2x = cos22x + cos23x 6 8.cos3(x + π/3 ) = cos3x
7 |sinx - cosx| + | sinx + cosx | = 2 8 cos6x – sin6x = 13/8.cos22x
9 2sin2x – cos2x = 7.sinx + 2cosx – 4 10 sin3x = cosx.cos2x.( tan2x + tan2x )
11 4.cos5x.sinx – 4sin5x.cosx = sin24x 12 sinx.cos4x – sin22x = 4sin2(π/4 – x/2) – 7/2
13 4cos3x + 3 2 sin2x = 8cosx 14 tanx + 2cot2x =sin2x
Trang 415 sin
2
x
.sinx - cos
2
x
.sin2x + 1 = 2.cos2(π/4 -
2
x
) 16 2.cos2x + 2cos22x + 2cos23x – 3 = cos4x(2sin2x + 1)
17 4(sin4x + cos4x ) + 3 sin4x = 2 18 1 + cot2x = 1 cos 22
sin 2
x x
−
19 sin4x – cos4x = 1 + 4 2 sin( x - π/4 ) 20 ( 1 – tanx )( 1 + sin2x) = 1 + tanx
21 3(sin tan ) 2cos 2
x x
x
x x
23 4cos2x – cos3x = 6cosx – 2( 1 + cos2x) 24 sin3x + cos2x = 1 + 2sinx.cos2x
25 sin2x + 4( cosx – sinx) = 4 26 3sinx + 2cosx = 2 + 3tanx
sinx = x+cosx
29 3.sin 2x=2cos2x−2 2 2 cos 2+ x 30 22
sin x + 2tan
2x + 5tanx + 5cotx + 4 = 0
x = x
π − = π +
34 sinx – 4 sin3x + cosx = 0
35 sinx.sin2x + sin3x = 6cos3x 36 2cosx.cos2x = 1 + cos2x + cos3x
37 5( sinx + cos3 sin 3 ) cos 2 3
1 2sin 2
x x
x x
x
x+ − +
41 cotx – tanx + 4sinx = 2
x
π
43 5sinx – 2 = 3( 1 – sinx)tan2x 44 ( 2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x – sinx
45 cos23x.cos2x – cos2x = 0 46 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0
47 cos4x + sin4x + cos( x -
4
π
).sin(3x -
4
π
) - 3
2 = 0 48 ( cos2x – cos4x )
2 = 6 + 2sin3x
49 ( cos2x – cos4x)2 = 6 + 2sin3x 50 3 sinx + cosx = 1
cos x
51 ( 1 + cosx ).( 1 + sinx ) = 2 52 2cosx + 2 sin10x = 3 2 + 2cos28x.sinx
53 sin2x + cos2x = 1 + sinx – 4cosx 54 ( 1 cos− x+ cosx).cos2x = 1
2sin4x
x x
−
=
(tan
x x
x x
4
π
) = 2 sinx
59 8 2 cos6x + 2 2 sin3x.sin3x - 6 2 cos4x – 1 = 0 60 1 – 5sinx + 2cos2x = 0 tho¶ m·n cosx ≥ 0
61 cos3x + sin3x = sin2x + sinx + cosx 62 sinx.cos4x + 2sin22x = 1 – 4.sin2(
4
π
- 2
x
)
63 4 3 sinx.cosx.cos2x = sin8x 64 sin4x – cos4x = 1 + 4(sinx – cosx )
65 sin( 3x -
4
π
) = sin2x.sin( x +
4
π
) 66 4sin3x.cos3x + 4cos3x.sin3x + 3 3 cos4x = 3
Trang 567
2
2
4
1 tan
x
x x
−
=
−
68 sin24x – cos26x = sin( 10,5π + 10x)
69 tan2x.cot2x.cot3x = tan2x – cot2x + cot3x 70 sin3x + 2cos2x – 2 = 0
73 1 + 3cosx + cos2x = cos3x + 2sinx.sin2x 74 tanx + tan2x = - sin3x.cos2x
75 3( cotx – cosx ) – 5(tanx – sinx) = 2 76 tanx + cotx = 2( sin2x + cos2x )
77 sin4x + cos4x = 7
8cotg( x + 3
π
π − 78 2 2 ( sinx + cosx ).cosx = 3 + cos2x
79.sin4x + sin4( x +
4
π
) + sin4(x -
4
π
) = 9
sin 2
2
1 sin
x
x+
81 cos2x + sinx – 3sin2x.cosx = 0 82 2sin3x + cos2x = sinx
83 3 cos− x− cosx+ =1 2 84 sinx.cosx + 2sinx + 2cosx = 2
85 sin3x(cosx – 2sin3x) + cos3x(1 + sinx – 2cos3x) = 0 86
3
sin
x x
π
= −
2
3(1 sin )
x
π
= 0 88 cos7x - 3 sin7x = - 2 , 2 6
π < < π
89.cosx.cos2x.cos4x.cos8x = 1
3x = sin3x
91 cos2x - 3 sin2x - 3 sinx – cosx + 4 = 0 92 cos2x = cos2x 1 tan x+
93 3cot2x + 2 2 sin22x = ( 2 + 3 2 )cosx 94.tanx – sin2x – cos2x + 2(2cosx - 1
cos x) = 0
95 4( sin3x – cos2x) = 5(sinx – 1) 96.2cos2x + sin2x.cosx + sinx.cos2x = sinx + cosx
97 tanx.sin2x -2sin2x = 3( cos2x + sinx.cosx) 98.sin2x( cotx + tan2x) = 4cos2x
99 48 - 14 22 (1 cot 2 cot ) 0
cos x−sin x + x x = 100 sin6x + cos6x = cos4x
101 cos3x + cos2x + 2sinx – 2 = 0 102 2 + cosx = 2tan
2
x
103 cos3x + 2 cos 3− 2 x=2(1 sin 2 )+ 2 x 104 sinx + sin2x + sin3x = 0
105 cotx – tanx = sinx + cosx 106.sin3x + cos2x =1 + 2sinx.cos2x
107 2cos2x – 8cosx + 7 = 1
3x – sin3x.sin3x = cos34x + 1
4
109 9sinx + 6cosx -3sin2x + cos2x = 8 110 sin3x.cos3x + cos3x.sin3x = sin34x
111 sin8x + cos8x = 2( sin10x + cos10x ) + 5
sin cos
x x
= 0
113 2sin3x – cos2x + cosx = 0 114 1 + cos3x – sin3x = sin2x
sinx+sinx+sin x+cosx=1 116 cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 3
2
117 cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0 118 3sinx + 2cosx = 2 + 3tanx
Trang 6119
0
2 2sin
x x x x
x
x
) = 4
121 cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0 122 (1 + sin2x).cosx + (1 + cos2x).sinx = 1 + sin2x
2
x
+ cos 2
x
)2 + 3 cosx = 3
125 sin2x + cos2x -3sinx – cosx + 1 = 0 126 sin3x - 3 cos3x = 2sin2x
127 sin3x - 3 cos3x = sinx.cos2x - 3 sin2x.cosx 128 2sinx( 1 + cos2x ) + sin2x = 1 + 2cosx
129
3
2
x
x x
π π
x + cos3x + cos2x = 0
131 sin(52x−π4
) – cos(2x−π4
) = 2 cos32x 132. 1 + tan 2x = cosx + tan²2x cos x+cossinxx−1
133 tanx + 2cot2x = cosx + sin2x 134 tan4x + 1 (2 sin 2 )sin 32 4
cos
x x x
−
=
−
x x
137 cos3x.sin2x - cos4x.sinx = sin 3x 1 cosx
2
1
+
2
1 2
3 sin 2 sin sin 2
3 cos 2 cos
1
x cotx cosx
− = − +
141 2 cos x 2 3 sin x cosx 1 3(sin x2 + + = + 3 cosx) 142 sin 2x sin x 1 1 2cot 2x
2sin x sin 2x
143 tanx- 3cotx=8cos2 sinx( x+ 3 cosx) 144 (2 sin 2x− 1)tan 2 2x+ 3(2 cos 2 x− 1)= 0
x
x
2 sin
4 cos 2
146 cos4 x−sin4x= cosx + sinx
147 cos3x + sin3x + 1 = 2.cos2x 148 Sinx + tanx =
Cosx
1
+ Cos(x - π )
149
3
3 4 cos sin 2 cot cos tan
.
2
2 (1 cos 2 )
2sin 2
x
x
+
151
2
1
x x
6
π
− + + =
155 4sin x 4sin x 3sin2x 6cosx3 + 2 + + = 0 156 cos x sin x 2sin x 1.3 + 3 + 2 =
2sinx−sin 2x = x 158 2cos2x + 2 3 sinx.cosx + 1 = 3(sinx + 3 cosx)
159.(2sin2x -1)tan22x + 3(2cos2x – 1 ) = 0 160 sin 2 cos 2 tan cot
x x
x x
x + x = −
